湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1C. D.22．已知命題，則命題的否定為（）A. B.C. D.3．要得到的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位4．以，為基底表示為A. B.C. D.5．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(4，－3)，則sinα＋cosα的值是（）A. B.C. D.6．若，，且，則A. B.C. D.7．若兩個(gè)非零向量，滿(mǎn)足，則與的夾角為（）A. B.C. D.8．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)的圖象的一部分如圖1所示，則圖2中的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.10．下列各式中，正確是（）A. B.C. D.11．函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.12．設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍為A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．函數(shù)的最大值與最小值之和等于______14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_________15．已知=，則=_____.16．在中，已知是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，若，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，則_________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）畫(huà)出函數(shù)的圖像；（3）根據(jù)圖像寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間和值域.18．如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（直角三角形三條邊，是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線(xiàn)段上（含線(xiàn)段兩端點(diǎn)），已知米，米，記.（1）試將污水凈化管道的總長(zhǎng)度（即的周長(zhǎng)）表示為的函數(shù)，并求出定義域；（2）問(wèn)取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的總長(zhǎng)度.19．已知函數(shù)（且）為奇函數(shù).（1）求n的值；（2）若，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義證明；（3）在（2）的條件下證明：當(dāng)時(shí)，.20．已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍21．已知，.（1）求；（2）若角的終邊上有一點(diǎn)，求.22．如圖，在長(zhǎng)方體中，，是與的交點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面平面.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】解方程即得或，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】解：由題得或.當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意.所以.故選：D2、D【解析】由特稱(chēng)（存在）量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題直接可得.【詳解】由特稱(chēng)（存在）量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題直接可得：命題的否定為：.故選：D3、A【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)，即可判斷.【詳解】，需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.故選：A.4、B【解析】設(shè)，利用向量相等可構(gòu)造方程組，解方程組求得結(jié)果.【詳解】設(shè)則本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過(guò)向量相等構(gòu)造出方程組，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】由三角函數(shù)的定義可求得sinα與cosα，從而可得sinα+cosα的值【詳解】∵知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，-3），∴sinα，cosα，∴sinα+cosα故選：A6、A【解析】∵，∴2既是方程的解，又是方程的解令a是方程的另一個(gè)根，b是方程的另一個(gè)根由韋達(dá)定理可得：2×a=6，即a=3，∴2+a=p，∴p=52+b=?6，即b=?8，∴2×b=?16=?q，∴q=16∴p+q=21故選：A7、C【解析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，即，所以，即與的夾角為；故選：C8、A【解析】解不等式，，即可得答案.【詳解】解：函數(shù)，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A.9、B【解析】利用三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律可求得結(jié)果.【詳解】觀察圖象可知，右方圖象是由左方圖象向左移動(dòng)一個(gè)長(zhǎng)度單位后得到的圖象，再把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變）得到的，所以右圖的圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為.故選：B10、C【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)的正誤，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的減函數(shù)，則，D錯(cuò).故選：C.11、B【解析】分析：通過(guò)研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).12、A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)遞增，，列出不等式，解出即可.【詳解】∵函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，∴不等式等價(jià)于，解得，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，在解題過(guò)程中要始終注意函數(shù)的定義域，也是易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、0【解析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，則最大值與最小值互為相反數(shù)【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，又由，則函數(shù)為奇函數(shù)，則有，則有；故答案為0【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵14、【解析】由可得，或，令,因?yàn)樵谏线f減，函數(shù)在定義域內(nèi)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為.15、##0.6【解析】尋找角之間的聯(lián)系，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即可【詳解】故答案為：16、【解析】通過(guò)利用向量的三角形法則，以及向量共線(xiàn)，代入化簡(jiǎn)即可得出【詳解】解：∵（）（），∴λ，∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線(xiàn)定理、向量的三角形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）（2）圖像見(jiàn)解析（3）答案見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)解析式即可畫(huà)出圖像；（3）根據(jù)圖像可得出.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則，所以；【小問(wèn)2詳解】畫(huà)出函數(shù)圖像如下：【小問(wèn)3詳解】根據(jù)函數(shù)圖像可得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的值域?yàn)?18、（1），（2）或時(shí)，L取得最大值為米【解析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長(zhǎng)度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù)L=在[，]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．同時(shí)也可求得值【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，，由于，，所以，，，即，【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，由于，由于在上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，L取得最大值為米19、（1）；（2）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由奇函數(shù)的定義可得，然后可得，進(jìn)而計(jì)算得出n的值；（2）由可得，則，然后利用定義證明函數(shù)單調(diào)性即可；（3）由（2）知，先可證得，又，可證得，最后得出結(jié)論即可.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，所以有，即，整理得，由條件可得，所以，即；（2）由，得，此時(shí)，任取，且，則，因?yàn)?，所以，，，所以，則，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，又，從而，又，而當(dāng)時(shí)，，，所以，綜上，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：①取值，②作差、變形（變形主要指通分、因式分解、合并同類(lèi)項(xiàng)等），③定號(hào)，④判斷.20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出方程組，即可求解；（2）由題意得到，根據(jù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）化簡(jiǎn)得到，令，得到，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)根且，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，可得，即，解得；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，可得，即，解得，因?yàn)?，所?（2）由（1）可得，所以，方程化為，所以，令，則，因?yàn)?，可得，令，?dāng)時(shí)，可得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）方程，可化為，可得且，令，則方程化為，方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以由的圖象知，方程有兩個(gè)根且，記，則或，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、（1）（2）【解析】（1）由條件求得，將所求式展開(kāi)計(jì)算（2）由條件求得與，再由二倍角與兩角和的正切公式計(jì)算小問(wèn)1詳解】，，則故【小問(wèn)2詳解】角終邊上一點(diǎn)，則由（1）可得，22、（1）見(jiàn)解析；（