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湖南省衡陽市衡陽縣2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1.已知指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的值為()A. B.1C. D.22.已知命題,則命題的否定為()A. B.C. D.3.要得到的圖像,只需將函數(shù)的圖像()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位4.以,為基底表示為A. B.C. D.5.已知角α的終邊過點P(4,-3),則sinα+cosα的值是()A. B.C. D.6.若,,且,則A. B.C. D.7.若兩個非零向量,滿足,則與的夾角為()A. B.C. D.8.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A. B.C. D.9.已知函數(shù)的圖象的一部分如圖1所示,則圖2中的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為()A. B.C. D.10.下列各式中,正確是()A. B.C. D.11.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.12.設(shè)函數(shù),若,則的取值范圍為A. B.C. D.二、填空題(本大題共4小題,共20分)13.函數(shù)的最大值與最小值之和等于______14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________15.已知=,則=_____.16.在中,已知是延長線上一點,若,點為線段的中點,,則_________三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)時,.(1)求函數(shù)的解析式;(2)畫出函數(shù)的圖像;(3)根據(jù)圖像寫出的單調(diào)區(qū)間和值域.18.如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(直角三角形三條邊,是直角頂點)來處理污水,管道越長,污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點,分別落在線段上(含線段兩端點),已知米,米,記.(1)試將污水凈化管道的總長度(即的周長)表示為的函數(shù),并求出定義域;(2)問取何值時,污水凈化效果最好?并求出此時管道的總長度.19.已知函數(shù)(且)為奇函數(shù).(1)求n的值;(2)若,判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義證明;(3)在(2)的條件下證明:當(dāng)時,.20.已知函數(shù),在區(qū)間上有最大值4,最小值1,設(shè)(1)求的值;(2)不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(3)方程有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍21.已知,.(1)求;(2)若角的終邊上有一點,求.22.如圖,在長方體中,,是與的交點.求證:(1)平面;(2)平面平面.
參考答案一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1、D【解析】解方程即得或,再檢驗即得解.【詳解】解:由題得或.當(dāng)時,上單調(diào)遞增,符合題意;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,不符合題意.所以.故選:D2、D【解析】由特稱(存在)量詞命題的否定是全稱量詞命題直接可得.【詳解】由特稱(存在)量詞命題的否定是全稱量詞命題直接可得:命題的否定為:.故選:D3、A【解析】化簡函數(shù),即可判斷.【詳解】,需將函數(shù)的圖象向左平移個單位.故選:A.4、B【解析】設(shè),利用向量相等可構(gòu)造方程組,解方程組求得結(jié)果.【詳解】設(shè)則本題正確選項:【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠通過向量相等構(gòu)造出方程組,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】由三角函數(shù)的定義可求得sinα與cosα,從而可得sinα+cosα的值【詳解】∵知角α的終邊經(jīng)過點P(4,-3),∴sinα,cosα,∴sinα+cosα故選:A6、A【解析】∵,∴2既是方程的解,又是方程的解令a是方程的另一個根,b是方程的另一個根由韋達(dá)定理可得:2×a=6,即a=3,∴2+a=p,∴p=52+b=?6,即b=?8,∴2×b=?16=?q,∴q=16∴p+q=21故選:A7、C【解析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到,即可得解;【詳解】解:因為,所以,即,即,所以,即與的夾角為;故選:C8、A【解析】解不等式,,即可得答案.【詳解】解:函數(shù),由,,得,,所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,故選:A.9、B【解析】利用三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律可求得結(jié)果.【詳解】觀察圖象可知,右方圖象是由左方圖象向左移動一個長度單位后得到的圖象,再把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)不變)得到的,所以右圖的圖象所對應(yīng)的解析式為.故選:B10、C【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB選項的正誤,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD選項的正誤.【詳解】對于A選項,因為函數(shù)在上為增函數(shù),則,A錯;對于B選項,因為函數(shù)在上為減函數(shù),則,B錯;對于C選項,因為函數(shù)為上的增函數(shù),則,C對;對于D選項,因為函數(shù)為上的減函數(shù),則,D錯.故選:C.11、B【解析】分析:通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性,確定函數(shù)圖像.詳解:為奇函數(shù),舍去A,舍去D;,所以舍去C;因此選B.點睛:有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象左右的位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置;②由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;③由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;④由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).12、A【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)遞增,,列出不等式,解出即可.【詳解】∵函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,,∴不等式等價于,解得,故選A.【點睛】本題主要考查了對數(shù)不等式的解法,在解題過程中要始終注意函數(shù)的定義域,也是易錯點,屬于中檔題.二、填空題(本大題共4小題,共20分)13、0【解析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù),則最大值與最小值互為相反數(shù)【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)函數(shù)的最大值為M,最小值為N,又由,則函數(shù)為奇函數(shù),則有,則有;故答案為0【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性,利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵14、【解析】由可得,或,令,因為在上遞減,函數(shù)在定義域內(nèi)遞減,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,故答案為.15、##0.6【解析】尋找角之間的聯(lián)系,利用誘導(dǎo)公式計算即可【詳解】故答案為:16、【解析】通過利用向量的三角形法則,以及向量共線,代入化簡即可得出【詳解】解:∵()(),∴λ,∴故答案為【點睛】本題考查了向量共線定理、向量的三角形法則,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題三、解答題(本大題共6小題,共70分)17、(1)(2)圖像見解析(3)答案見解析【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可求出;(2)根據(jù)解析式即可畫出圖像;(3)根據(jù)圖像可得出.【小問1詳解】因為是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)時,,則當(dāng)時,,則,所以;【小問2詳解】畫出函數(shù)圖像如下:【小問3詳解】根據(jù)函數(shù)圖像可得,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,函數(shù)的值域為.18、(1),(2)或時,L取得最大值為米【解析】(1)解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式,再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數(shù)解析式,并注明θ的范圍(2)設(shè)sinθ+cosθ=t,根據(jù)函數(shù)L=在[,]上是單調(diào)減函數(shù),可求得L的最大值.同時也可求得值【小問1詳解】由題意可得,,,由于,,所以,,,即,【小問2詳解】設(shè),則,由于,由于在上是單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時,即或時,L取得最大值為米19、(1);(2)在上單調(diào)遞增,證明見解析;(3)證明見解析.【解析】(1)由奇函數(shù)的定義可得,然后可得,進(jìn)而計算得出n的值;(2)由可得,則,然后利用定義證明函數(shù)單調(diào)性即可;(3)由(2)知,先可證得,又,可證得,最后得出結(jié)論即可.【詳解】(1)函數(shù)定義域為,且為奇函數(shù),所以有,即,整理得,由條件可得,所以,即;(2)由,得,此時,任取,且,則,因為,所以,,,所以,則,所以,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;(3)由(2)知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,又,從而,又,而當(dāng)時,,,所以,綜上,當(dāng)時,.【點睛】方法點睛:利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:①取值,②作差、變形(變形主要指通分、因式分解、合并同類項等),③定號,④判斷.20、(1);(2);(3).【解析】(1)根據(jù)題意,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),列出方程組,即可求解;(2)由題意得到,根據(jù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可求解;(3)化簡得到,令,得到,根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程有兩個根且,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)由題意,函數(shù),可得對稱軸為,當(dāng)時,在上為增函數(shù),可得,即,解得;當(dāng)時,在上為減函數(shù),可得,即,解得,因為,所以.(2)由(1)可得,所以,方程化為,所以,令,則,因為,可得,令,當(dāng)時,可得,所以,即實數(shù)的取值范圍是.(3)方程,可化為,可得且,令,則方程化為,方程有三個不同的實數(shù)解,所以由的圖象知,方程有兩個根且,記,則或,解得,綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.21、(1)(2)【解析】(1)由條件求得,將所求式展開計算(2)由條件求得與,再由二倍角與兩角和的正切公式計算小問1詳解】,,則故【小問2詳解】角終邊上一點,則由(1)可得,22、(1)見解析;(
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