專題08比例線段（6個知識點11種題型3個易錯點）（原卷版）

專題08比例線段（6個知識點11種題型3個易錯點）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1：相似圖形的概念知識點2：相似多邊形的概念（重點）知識點3；兩條線段的比及比例線段（重點）知識點4：比例的性質（難點）知識點5：黃金分割（難點）知識點6：平行線分線段成比例（難點）【方法二】實例探索法題型1：相似圖形的判定題型2：由相似多邊形的概念判斷命題的真假題型3：識別成比例線段題型4：與比例線段有關的計算題型5：有關比例尺的計算題型6：利用比例的性質進行計算題型7：黃金分割的實際應用題型8：平行線分線段成比例應用題型9：設輔助元求值題型10：與比例線段有關的開放題題型11：平行線分線段成比例的基本事實的推論與平行四邊形的綜合【方法三】差異對比法易錯點1：在求兩條線段的比時忽略了要統一單位易錯點2：判斷線段是否成比例時，局限于字母的順序而出錯易錯點3：解題時漏掉一個黃金分割點【方法四】成果評定法【學習目標】1.了解相似多邊形及相似比等有關概念。2.了解比例線段的概念，了解比例的基本性質、合比性質、等比性質，會運用比例性質進行簡單的變形。3.了解黃金分割點的概念，掌握基本事實“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”及其推論?！局R導圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1相似圖形的概念相似形：我們把形狀相同的兩個圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形．重點剖析：相似圖形不僅有平面圖形，還有立體圖形，在初中階段主要研究平面圖形的相似。在兩個大小不相等的相似圖形中，我們可以認為大的圖形是由小的圖形經過放大而成的，也可以認為小的圖形是由大的圖形經過縮小而成的。學法指導：兩個圖形相似是指它們的形狀相同，與它們的位置、大小無關。【例1】（2022秋?埇橋區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．任意兩個正方形 B．任意兩個平行四邊形 C．任意兩個菱形 D．任意兩個矩形【變式】下列給出的圖形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一張底片印出來大小不同的照片（B）一張巨幅畫像和用照相機把它拍出來的照片（C）小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像（D）五星紅旗上的大五角星和小五角星知識點2相似多邊形的概念（重點）如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例．當兩個相似的多邊形是全等形時，它們對應邊的長度的比值為1．注意！?。∨袛鄡蓚€多邊形是否相似時，既要考慮對應角是否相等，又要考慮對應邊長度的比是否相等，二者缺一不可。學法指導：在判斷兩個多邊形是否為相似多邊形時，邊數相同、角分別相等容易判斷，而邊是否成比例則需要通過計算來確定，即分別計算長邊與長邊的比，短邊與短邊的比，在判斷時應注意對應關系。【例2】某小區(qū)有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路，使得小路內外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由.

【變式】已知四邊形與四邊形相似，且.四邊形的周長為26.求四邊形的各邊長.知識點3兩條線段的比及比例線段（重點）兩條線段的比：注意！??！在計算兩條線段的比時，這兩條線段的長度單位必須要統一。兩條線段的比是一個沒有單位的正實數，該比值與線段的長度無關。在地圖或工程圖紙上，圖上距離與實際距離的比通常稱為比例尺，因此比例尺也是兩條線段的比的一種形式。2．成比例線段：對于四條線段、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注意?。?！比例線段是有順序的，即比例線段、b、c、d與比例線段、c、b、d是不同的?！纠?】（2022秋·安徽宿州·九年級統考期末）下列各組線段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm知識點4比例的性質（難點）（1）基本性質：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性質：如果，那么；如果，那么．（3）等比性質：如果，那么．重點剖析：利用比例的基本性質可以在比例式和等積式之間互相轉化。將比例式化為等積式是有條件的，并不是比例式中的四個字母中的任意兩個字母的乘積就等于另外兩個字母的乘積，而是比例的外項之積等于內項之積。使用等比性質時，要注意b+d≠0這個條件，否則這個性質不成立?！纠?】（2023春·安徽安慶·九年級統考期末）已知，則（

）A．?3 B．3 C． D．知識點5黃金分割如果點把線段分割成和（）兩段（如下圖），其中是和的比例中項，那么稱這種分割為黃金分割，點稱為線段的黃金分割點．其中，，稱為黃金分割數，簡稱黃金數．注意?。。∫粭l線段有兩個黃金分割點，因此，一般說點P是線段AB的黃金分割點時，需加注或AP＜BP，否則在已知AB的長度求AP（或BP）的長度時，會有兩種情況，此時應分情況討論?！纠?】（2023·安徽蚌埠·校聯考一模）主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側進入，設他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上（BP長為x），則x滿足的方程是（）A． B．C． D．以上都不對知識點6平行線分線段成比例基本事實：兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點和點，那么．平行線分線段成比例速記口訣?。?！平行線分線段，成比例是關鍵。先找出平行線，再找出上、下、全，對應之比均相等，代入數值求線段?！纠?】（2022秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習）如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F．已知，則的值為（）A． B． C． D．【變式】（2023秋·安徽池州·九年級統考期末）如圖，已知，那么下列結論正確的是（）A． B． C． D．【方法二】實例探索法題型1相似圖形的判定1.下面的四個圖案是空心的矩形，正方形，等邊三角形，不等邊三角形，其中每個圖案的邊的寬度都相等，那么每個圖案中邊的內外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）2.如果兩個四邊形的對應邊成比例，能不能得出這兩個四邊形相似？為什么？

題型2由多邊形的概念判斷命題的真假3.下列說法中，正確的是（）A．兩個矩形必相似 B．兩個含45°角的等腰三角形必相似 C．兩個菱形必相似 D．兩個含45°角的直角三角形必相似4.下列判斷中，正確的是（）A．所有等邊三角形都相似 B．有一個角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似題型3識別比例線段5.下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm6.下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，題型4與比例線段有關的計算7．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習）若線段、、、成比例，其中，，，則____．8．（2022秋·安徽宿州·九年級統考期中）若a＝4cm，b＝9cm，則線段a，b的比例中項是______cm．9．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎龡l線段、、，其中，，是、的比例中項，則_____．題型5有關比例尺的計算10.在比例尺為的地圖上，量得與兩地的距離是厘米，則與兩地的實際距離是 ．題型6利用比例的性質進行計算11．（2023春·安徽淮北·九年級淮北一中校聯考階段練習）若，則________．12．（2022秋?金安區(qū)校級月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0．（1）求的值；（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．題型7黃金分割的實際應用13．（2022秋·安徽六安·九年級統考期末）生活中到處可見黃金分割的美，如上圖,在設計人體雕像時：使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感，若圖中b為2米，則a約為（

）．A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米14.主持人站在舞臺的黃金分割點處最自然得體，如果舞臺AB長為20米，一個主持人現站在舞臺AB的黃金分割點點C處，則下列結論一定正確的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A.①②③④B.①②③C.①③D.④15．（2023?合肥一模）設點C是長度為8cm的線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC的長為cm．16．（2023?雨山區(qū)一模）數學中，把這個比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點（AP＞BP），若線段AB的長為8cm，則BP的長為cm．17．（2022秋?霍邱縣期中）兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯發(fā)現了黃金分割，即：如圖，點P是線段AB（AP＞BP）上一點，若滿足，則稱點P是AB的一個黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側點B進入，則他至少走多少米時恰好站在舞臺的黃金分割點上？（結果保留根號）18．（2022秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習）電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體．如圖，若舞臺長為20米，主持人現站在A處，請問主持人應走到離A點至少多少米處才最自然得體？（結果精確到米）19.寬與長之比為的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個黃金矩形里面畫一個正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結論.題型8平行線分線段成比例的應用20.（2021秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C，截直線l5于點D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．21.如圖，，，，求的值．22.如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長．23．（2022秋·安徽安慶·九年級統考期中）如圖，已知在中，是邊的中線，，與交于點G，求的值．24．（2022秋·安徽安慶·九年級統考期中）如圖，中，，．求證：．題型9設輔助元求值25．（2022秋?宣州區(qū)期末）（1）若，求的值；（2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c．26．（2022秋·安徽宣城·九年級統考階段練習）已知線段，，滿足，且．(1)求線段，，的長．(2)若線段是線段，的比例中項，求線段的長．27．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谀┮阎猘，b，c為的三邊長，且，．(1)求線段a，b，c的長；(2)若線段x是線段a，b的比例中頂（即），求線段x的長．28．（2022秋?無為市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．（2）已知線段a＝4cm，線段b＝9cm，線段c是線段a，b的比例中項，求線段c的長．29．（2022秋?迎江區(qū)期中）已知線段a、b、c滿足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項，求x．題型10：與比例線段有關的開放題30．已知三個數、、，請你再添上一個數，使它們成比例，求出所有符合條件的數．題型11：平行線分線段成比例的基本事實的推論與平行四邊形的綜合31.如圖，為平行四邊形的對角線上一點，，的延長線交 的延長線于點，交于點，求的值．32．（2022·安徽安慶·校聯考一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．(1)若點D是邊BC的中點，且BE=CF，求證：DE=DF；(2)若AD⊥BC于D，且BD=CD，求證：四邊形AEDF是菱形；(3)若AE=AF=1，求的值．33．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．現欲將其擴建成一個三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ經過點C．（1）DQ＝10米時，求△APQ的面積．（2）當DQ的長為多少米時，△APQ的面積為1600平方米．【方法三】差異對比法易錯點1：在求兩條線段的比時忽略了要統一單位。34.在比例尺為1：400000的地圖上，量得線段AB兩地距離是24cm，則AB兩地實際距離為km．35.東海大橋全長千米，如果東海大橋在某張地圖上的長為厘米，則這張地圖的比例尺是（ ）（A） （B） （C） （D）易錯點2：判斷線段是否成比例時，局限于字母的順序而出錯。36.已知有三條線段的長分別為，，的線段，請再添一條線段，使這四條線段成比例，求所添線段的長度．37.已知甲、乙兩個三角形相似，甲三角形的三邊長分別為、、，乙三角形其中一邊的長為，求乙三角形的另外兩邊的長．易錯點3：解題時漏掉一個黃金分割點38.（1）點是線段的黃金分割點，，厘米，求的長；（2）已知點是線段的黃金分割點，，求的值．39.如圖，樂器上的一根弦厘米，兩個端點、固定在樂器面板上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，求的長．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2022秋·安徽六安·九年級校考階段練習）已知線段a，b，c，求作線段x，使x滿足的作圖中不正確的是（）A． B． C． D．2．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學校?？茧A段練習）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A．、、、 B．、、、C．、、、 D．、、、3．（2022秋·安徽宣城·九年級統考期末）如果點C是線段的黃金分割點（），那么下列結論正確的為（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江蘇南京·九年級南京市竹山中學?？茧A段練習）如圖，直線，直線分別交、、于點、、，直線分別交、、于點、、，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．5．（2022秋·安徽合肥·九年級?？计谥校┤鐖D，在的正方形網格中，連接小正方形中兩個頂點、，線段與網格線的其中兩個交點為、，那么：：的值是（）A．：： B．：： C．：： D．：：6．（2022秋·安徽安慶·九年級統考期中）已知，則=（）A．2 B．- C．-1 D．7．（2022秋·安徽池州·九年級統考期末）已知線段，線段b是、的比例中項，則線段c的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．128．（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學校考一模）如圖，如圖，在中，分別在邊上，∥，，，則的長度為（

）A．4 B．6 C．12 D．159．（2023春·安徽安慶·九年級統考期末）如圖，在中，，正方形頂點E、F在邊上，點M在邊上，點N在內部，連接并延長交于點D，若，，則長為（

）

A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.510．（2022秋·安徽宣城·九年級?？茧A段練習）已知：a、b、c滿足（），則k的值為（）A．2 B．0或2 C． D．2或二、填空題11．（2022秋·安徽合肥·九年級?？茧A段練習）科學家們通過研究發(fā)現，當外界環(huán)境溫度與人體正常體溫（）之比等于黃金分割比時，人體感覺最舒適，這個氣溫約為（精確到）．12．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習）如果，則＝．13．（2021秋·安徽安慶·九年級安慶市第四中學?？奸_學考試）設點是線段的黃金分割點，那么線段的長是．14．（2022秋·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學?？计谥校┤?，則．15．（2023·安徽馬鞍山·校考一模）數學中，把這個比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然