2023高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練（七）

2023高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)強(qiáng)化專題訓(xùn)練（七）

解析幾何

基礎(chǔ)知識(shí)

橢圓的基本量

1.如圖（1）,過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦A2=_________,稱為通徑.

2.如圖（2）,P為橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)i，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且則的面積為.

3.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為.

4.設(shè)P,A,B是橢圓上不同的三點(diǎn)，其中A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線用與PB的斜率之積為定值

2b2。

*n2一

la3.a+ca—c4.—^7

直線與橢圓

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于x（或y）的一元方程：以2+版+°=（）（或沖2

+by+c=0）.

（1）若可考慮一元二次方程的判別式」,有：

①4>0方直線與圓錐曲線；

②/=0亡直線與圓錐曲線；

③/<0方直線與圓錐曲線.

2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)

設(shè)斜率為4two)的直線/與圓錐曲線C相交于A(xi，yi),B(X2,%)兩點(diǎn)，則AB=.

1.⑴①相交②相切③相離

2.W+R[x2—xil=、Jl+%\y2-yi\

雙曲線的基本量運(yùn)算

1.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為.

2.如圖,P為雙曲線上的點(diǎn),人，匕為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且/FlPF2=仇則△/?|尸母的面積為

3.焦點(diǎn)到漸近線的距離為.

4.設(shè)P,A,B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A,2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則直線必與P8的斜率之積

為.

tanT

拋物線

設(shè)AB是過(guò)拋物線丁=2*。>0)焦點(diǎn)尸的弦，若A(xi，力)，B(x2,yi),則：

〃2

2

(1)JCIX2=4，yiy2=—p;

(2)AF=]_[；a，BF=\+cosa，弦長(zhǎng)48=羽+尤2+。=^*(a為弦AB的傾斜角);

⑶_L+_L=2.

FA干FBp'

(4)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；

(6)過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上.

直線與圓錐曲線

+:=l(a>6>0)上任意一點(diǎn)M(除短軸端點(diǎn)外)與短軸兩端點(diǎn)S，6的連線分別與

已知橢圓C：

屋

x軸交于「，。兩點(diǎn)，。為橢圓的中心，則OPOQ=a2.

2.已知橢圓C：3+指=1（?>0）上任意一點(diǎn)"（除短軸端點(diǎn)外）與短軸兩端點(diǎn)囪，%的連線的斜率

分別為Al,Ii2,則&的=一,.

3.過(guò)拋物線爐=2*3>0）的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，且A（M，），i）,8（X2,竺），則內(nèi)及=￡,

y\y2=~p2.

4.過(guò)拋物線產(chǎn)=2外。>0）的頂點(diǎn)0作兩條互相垂直的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則直線AB過(guò)定點(diǎn)

（2p,0）.

1.（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）

已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為F,直線/過(guò)點(diǎn)/且與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，

垂足為M,的角平分線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P,線段A8的中點(diǎn)為。.若依用=16,則|PQ|=

A.2B.4C.6D.8

2.（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）

（多選題）已知尸2分別為橢圓C：曰+產(chǎn)=1的左、右焦，不過(guò)原點(diǎn)。且斜率為1的直線/與橢圓C

交于P，Q兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有

A.橢圓C的離心率喈B.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

C.若點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，則MO的斜率為一：D.△OP。的面積的最大值為坐

3.（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）

已知B,B分別為雙曲線C：點(diǎn)一后=1（“>0,Q0）的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸2且斜率為1的直線/與雙曲線

C的右支交于P,。兩點(diǎn)，若△QPQ是等腰三角形，則雙曲線C的離心率為.

4.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

已知橢圓C：5+/=1(。>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-6亭，0(1,1).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)的直線/交橢圓于4,B兩點(diǎn)，交直線x=4于點(diǎn)O.設(shè)直線04,QD,

3的斜率分別為即與自，若取/0,證明：空■為定值.

比2

5.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

已知拋物線八y=52的焦點(diǎn)為足

(1)求拋物線r的準(zhǔn)線方程：

(2)若過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋物線「交于A,B兩點(diǎn)，線段A8的中垂線與拋物線「的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C,請(qǐng)問(wèn)是

否存在直線/,使得tan/AC8=9?若存在，求出直線/的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

當(dāng)把一個(gè)任意正實(shí)數(shù)%表示成汽=。*10"(1《。<10,”6%)的時(shí)候，就可以得出正實(shí)數(shù)N的位

數(shù)是“+I,如：235=235x10?,則235是一個(gè)3位數(shù).利用上述方法，判斷18a的位數(shù)是

(參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3010,1g3?0.4771)

A.61B,62C.63D.64

2.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

已知a=sinc=MLl，則

A.a<b<cB,a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

3.(鹽城市2023屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試)

(多選題)對(duì)于函數(shù)7U),若在區(qū)間/上存在X0,使得_Axo)=xo,則稱式X)是區(qū)間/上的“0函數(shù)”.下列

函數(shù)中，是區(qū)間/上的“。函數(shù)”的有

A.J(x)=e~',/=(0,+8)B.式x)=ln(x+l),/=(-1,+oo)

C.y(x)=sinjG/=(0,+oo)D.y(x)=lg(sinx),/=(—2兀，—n)

4.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)(多選題)

已知曲線/(x)=|x3+x2-ax在點(diǎn)P(X1,f(xj)處的切線為/,,貝IJ

4

A.當(dāng)a=0時(shí)，/(x)的極大值為三

B.若玉=1,〈的斜率為2,貝ija=l

C.若/(x)在R上單調(diào)遞增，則。云-1

D.若存在過(guò)點(diǎn)P的直線12與曲線/(x)相切于點(diǎn)Q(X2,f(x2)),則玉+2%=3

5.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

(多選題)已知函數(shù)40=12—“小，則下列結(jié)論正確的有

A.當(dāng)時(shí)，y=>(x)有2個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)時(shí)，./(x)W0恒成立

C.當(dāng)時(shí)，x=l是y=y(x)的極值點(diǎn)

D.若xi，X2是關(guān)于x的方程式x)=0的2不等實(shí)數(shù)根，則xiX2>e

6.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x>0時(shí)，4x)=2'—1,且函數(shù)y=/(x+l)關(guān)于點(diǎn)T(—1,0)對(duì)稱，則滿足

_A2x-3)+/(/)W0的取值范圍是.

7.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

Ji?

設(shè)函數(shù)#x)=sinx—.

⑴若機(jī)=g,求函數(shù)/(%)在[0,+oo)上的最小值；

⑵若對(duì)任意的x￡[0,+oo),有./U)20,求機(jī)的取值范圍

三角函數(shù)

1.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

已知sin(2a-0=-3sin/，且。一月工色+而，a^—?其中AGZ,則三巡二^=

22tana

A.1B.2C.3D.4

2.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

點(diǎn)。為△ABC邊A3上一點(diǎn)，滿足AO=2,￡)8=8,記NA8C=a,/BAC=0.

(1)當(dāng)且夕=20時(shí)，求CO的值；

7T

(2)若a+夕=不求△AC。的面積的最大值.

排列組合

1.(常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平檢測(cè)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

若(1—ar+f)(l—x"的展開式中含/的項(xiàng)的系數(shù)為21,貝Ua=

A.—3B.-2C.11D.1

統(tǒng)計(jì)概率

1.(江蘇省南京市第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)

某收費(fèi)站統(tǒng)計(jì)了2022年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量4~N(1(X)O,〃)，若

P(4>1200)=a,P(800<f<1200)=6,則當(dāng)8成.2+2。時(shí)下列說(shuō)法正確的是()

1131

A.a——B.Z?=-C.〃+b=-D.a—b=—

2442

2.(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試)

史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行.近年來(lái)，某市積極組織開展黨史學(xué)習(xí)教育的活動(dòng)，為調(diào)查

活動(dòng)開展的效果，市委宣傳部對(duì)全市多個(gè)基層支部的黨員進(jìn)行了測(cè)試，并從中抽取了1000份試卷進(jìn)行調(diào)

查，根據(jù)這1000份試卷的成績(jī)(單位：分，滿分100分)得到如下頻數(shù)分布表：

成績(jī)/分165,70)170,75)175,80)180,85)185,90)190,95)L95,100)

頻數(shù)40902004001598040

(1)求這1000份試卷成績(jī)的平均數(shù)?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).

(2)假設(shè)此次測(cè)試的成績(jī)X服從正態(tài)分布Na,居)，其中〃近似為樣本平均數(shù)，居近似為樣本方差$2,已知

s的近似值為6.61,以樣本估計(jì)總體，假設(shè)有84.14%的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)高于市教育局預(yù)期的平均成績(jī)，則

市教育局預(yù)期的平均成績(jī)大約為多少(結(jié)果保留一位小數(shù))？

(3)該市教育局準(zhǔn)備從成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)的120份試卷中用分層抽樣的方法抽取6份，再?gòu)倪@6份試卷中隨

機(jī)抽取3份進(jìn)行進(jìn)一步分析，記丫為抽取的3份試卷中測(cè)試成績(jī)?cè)冢?5,100］內(nèi)的份數(shù)，求丫的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：若X~N@,/),則Pa-a<XW〃+<7)Q0.6827,P(/z-2(7<X<Jtz+2<7)^0.9545,

?戶0.9973.

立體幾何

1.（2022-2023蘇州市高三上學(xué)期期中調(diào)研試卷）（多選題）

在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M,N分別是棱AB、AD的中點(diǎn)，線段MN上有動(dòng)點(diǎn)尸，棱CQ

上點(diǎn)E滿足GC=3G￡.以下說(shuō)法中，正確的有

A.直線GP與8E是異面直線

B.直線GP〃平面8OE

C.三棱錐C-GMN的體積是1

D.三棱錐C-GMN的體積是3

2.（江蘇省南京市南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022.2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）

如圖，在等腰梯形ABC。中，AH=BC=CD=2,40=4,點(diǎn)E為線段A3的中點(diǎn)，將△（?￡＞后沿著CE

折起到ACPE位置，M為EC的中點(diǎn).

（1）求證：平面8PM_L平面A8CE；

（2）當(dāng)平面CPEJ_平面ABCE時(shí)，求二面角B-PC-E的余弦值.

3.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

如圖,在四棱錐P-ABCDrp,PAA.平面ABCD.PB與底面ABCD所成角為45°.四邊形ABCD

是梯形，AD1.AB,BC//AD,AD=2,PA=BC=\.

(1)證明：平面E1CJ■平面尸CD;

(2)若點(diǎn)T是C。的中點(diǎn)，點(diǎn)M是PT的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸到平面的距離.

T

BC

數(shù)列

1.(鹽城市2023屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試)

首項(xiàng)為4的等比數(shù)列｛如｝的前n項(xiàng)和記為S”,其中S5、S4、S6成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式；

]100

(2)令bn~\;n;r,求〉'b：.

bg2甌-Hog2M+ll白'

2.(江蘇省連云港市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題)

已知數(shù)列｛aj和也｝滿足。閂…。“=(6)"，｛2｝為等比數(shù)列，且。2=4，b4-bj=8.

(1)求與b”；

(2)設(shè)c“=也，求數(shù)列￡｝的前”項(xiàng)和，.

3.(鹽城市2023屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試)

數(shù)列｛〃“｝中，m=2,an+an+\=2n+lfn^N*.

(1)求｛跖｝的通項(xiàng)公式;

⑵若數(shù)列｛d｝滿足兒=仇-「2"2","CN*,求｛兒｝的前〃項(xiàng)和.

圓錐曲線

2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題

出題背景

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(1)阿基米德三角形

拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形這個(gè)三角形又常被稱為

阿基米德三角形。因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了拋物線的弦與拋

物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的2/3.

近年全國(guó)以及各地高考以此為背景的頗多。

V3]

(2019年III卷理科21)已知曲線。：y=-Z)為直線尸--上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)力作C的兩條

22

切線，切點(diǎn)分別為力，B.

(1)證明：直線力3過(guò)定點(diǎn)：

(2)若以E(0,￡)為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段4B的中點(diǎn)，求四邊形

ADBE的面積.

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(2)阿波羅尼斯圓

平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)(不為1)的點(diǎn)的軌跡為圓。

1994年全國(guó)高考題

(24)(本小題滿分12分)y|

已知直角坐標(biāo)平面卜.點(diǎn)Q(2,0)和|M|C：/+『=],動(dòng)點(diǎn)M到阿廠卜、

C的切線長(zhǎng)與IMQI的比等廣常數(shù)[乂)).求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)0"4-

明它表示什么曲線，

對(duì)條件的討論

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（2）阿波羅尼斯圓

（2008年江蘇理科題）滿足條件恕=24。=血87的AABC的面積的最大值是

（2013江蘇高號(hào)-17）《本小總滿分14分）

如圖1?在平面直角坐徐系

.必中?點(diǎn)入（。，3）?直線/?=2*L/

同一背景下從

設(shè)0DC的半箱為】?覬心在I0/

不同角度設(shè)問(wèn)

（1）若圓心。也在直線、■了/

一】上.過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線?求/

切線的方程?圖1

（2）若圓C上存在點(diǎn)M?使

MA-2MO?求BB心C?的橫坐標(biāo)。的取值范圍

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

（2）阿波羅尼斯圓

平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離

之比為常數(shù)（不為1）的點(diǎn)的軌跡為圓.

阿波羅尼斯圓可以向圓錐曲線中推廣

定理設(shè)r為一非退化的二次曲線，尸是一

個(gè)不在P上的定點(diǎn)（當(dāng)「是有心二次曲線時(shí)，尸

不是中心》?過(guò)尸任作直線交「于A、B.則存在另

一定點(diǎn)Q,使得端=陶恒成立?

從圓到橢圓的推廣

(2015四川理第20題)如圖，橢圓E：5+￡=

l(a>6>0)的離心率是過(guò)點(diǎn)P(0,l)的動(dòng)直線I

與橢圓相交于A.8兩點(diǎn)?當(dāng)直線/平行于n軸時(shí)，

直線/被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為272.

(I)求橢圓E的方程，

<n)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與

點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得假?=舞!恒成立？

若存在，求出石?若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(3)“垂徑定理”在圓錐曲線中推廣

橢圓或雙曲線任意一條弦所在直線的斜率與該弦中點(diǎn)與橢圓(或雙曲線)中心

連線的斜率之積為常數(shù).

設(shè)點(diǎn)M是有心圓錐曲線C:mx2+ny2=l(m,〃同正或異號(hào))上異于

直徑45的兩個(gè)端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則與“

逆命題就是所謂的第三定義(軌跡不包的端點(diǎn)),

設(shè)而不求

點(diǎn)差法

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(3)“垂徑定理”在圓錐曲線中推廣

(2018年全國(guó)卷m〉已知斜率為大的直線/與橢圓C：，+4=1交于A,8兩點(diǎn).線段A3的中點(diǎn)為

43

(1)證明：kv；

(2)設(shè)尸為C的右焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，且而+百+麗=0.證明：2恒可卜|蘇卜

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

第1問(wèn)和第(2)問(wèn)

的(1)

2以數(shù)學(xué)名題或經(jīng)典結(jié)論為背景的試題

(4)“張直角弦”問(wèn)題

圓中“張直角弦”是圓的直徑；過(guò)圓的中心即圓心；

橢圓、雙曲線、拋物線有類似性質(zhì)嗎？?jī)尚甭手e為其他常數(shù)如何？

直角弦定理

設(shè)點(diǎn)尸(?%,%)在圓錐曲線上，且為直角的頂點(diǎn)。

x2y222

(1)橢圓=+—=1(。>6>0)張角為直角的弦所在的直線過(guò)定點(diǎn)(%,-乂)，其中/=a--b7：

aba+b

(2)雙曲線J-3=l(a>0,b>0,a#b)張角為直角的弦所在的直線過(guò)定點(diǎn)(鳥,一乂)

_.a2+b2

其中r=r一；?；

a2-b2

(3)拋物線/=2px(p>0)張角為直角弦所在的直線過(guò)定點(diǎn)(2p+%,_%)。

(4)“張直角弦”問(wèn)題

2020年新高考I卷第22題

X2y26

22.已知橢圓G—+=1(“>匕>0)的離心率為三，且過(guò)點(diǎn)/(2,1).

a

(1)求派方程：

(2)點(diǎn)總解EC上，且皿44ADLMN,〃為垂足.證明：存在定點(diǎn)0,使得|國(guó)|為定值.

若不是張直角，而是斜率之乘積為常數(shù)，也有類似結(jié)論

定理2設(shè)A/(x°,y。)是給定有心圓錐曲線

+〃y2=i上的定點(diǎn)，點(diǎn)4,4是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，若

與的斜率之積為2，貝IJ:

①當(dāng)幾片絲時(shí)，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)

n

((.〃+m)Xo(/〃+"，)居)

An—mAn—m

②當(dāng)2='時(shí)，動(dòng)直線的斜率為定值一生.

〃X。

(4)“張直角弦”問(wèn)題

若不是張直角，而是斜率之和為常數(shù)，也有類似結(jié)論

—2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷I理科第20題為：

已知橢圓。：馬+1=1(46>0),四點(diǎn)P,(1,

ab

l),P2(0,l),P3(-l,^),P4(1,4)中恰有三點(diǎn)在

橢圓c上。

(1)求。的方程；

(n)設(shè)直線z不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B

兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P28的斜率之和為一1,證

明：Z過(guò)定點(diǎn)。

定理設(shè)直線,不經(jīng)過(guò)橢圓c：馬+哲=1

a0

點(diǎn)P（z0，w）,且與橢圓c相交于兩點(diǎn)A,8,若直

PA與直線PB的斜率之和為葭則

A2z

當(dāng)A=0時(shí)，若仙W0,直線I的斜率為定值?

若W=0,直線2的斜率不存在；

當(dāng)A^0時(shí),直線/過(guò)定點(diǎn)（一爭(zhēng)+4,等一加：

圓中"張直角弦”是圓的直徑；過(guò)圓的中心即圓心；

橢圓、雙曲線、拋物線有類似性質(zhì)嗎？?jī)尚甭手e為其他常數(shù)如何？

直角弦定理

設(shè)點(diǎn)產(chǎn)（?%,九）在圓錐曲線匕且為直角的頂點(diǎn).

222_r2

（1）橢圓一+==1（。>6>0）張角為直角的弦所在的直線過(guò)定點(diǎn)（2,一%）,其中/=

aba十方

x2v2

（2）雙曲線與■一彳=1（。>02>0.。0b）張角為直角的弦所在的直線過(guò)定點(diǎn)（比。，一%）

ab

（3）拋物線V=2pNp>0）張角為直角弦所在的直線過(guò)定點(diǎn)Qp+x。,—％）。

(5)圓錐曲線“等角”定理

過(guò)橢圓「+今=1(。>6>0)長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)NQ,0)的一條弦端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)G：,0；的連線

所成角被焦點(diǎn)所在直線平分，即N0G4=N0GB.

(5)圓錐曲線“等角”定理

過(guò)雙曲線:一1=1(。>0*>0)實(shí)軸所在直線上任意一點(diǎn)NQ,0)的一條弦端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)

"b

G,f.0：的連線所成角被焦點(diǎn)所在直線平分，即NOGd=NOGA

過(guò)拋物線『=2PMp>0)對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)N00)的一條茁端點(diǎn)A,B與對(duì)應(yīng)點(diǎn)G(-G0)的連

線所成角被對(duì)稱軸平分.

(5)圓錐曲線“等角”定理

2018仝國(guó)1卷文科20

設(shè)拋物線C：y2=2x,點(diǎn)4(2,0),3(-2,0),過(guò)點(diǎn)4的直線/與C

交于A/,N兩點(diǎn).

C1)當(dāng)/與工軸垂［工時(shí)，求［江線BM的方程：

(2)證明：NABM=NABN.

2018全國(guó)1卷理科19

設(shè)橢圓C：二+k=1的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)戶的直線,與C

2

交于N,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A/坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線NA/的方程：

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=Z.OMB.

2015年新課標(biāo)標(biāo)I卷20題

v-2

在宜角坐標(biāo)xoy中，曲線C：y=L與直線，=履+。(。>0)交于M,N兩點(diǎn)，

4

(1)當(dāng)左二0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(II)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)“變動(dòng)時(shí)，總有NOPM=NOPN?說(shuō)明理由.

(6)彭賽列(Poncelet)閉合定理

平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切其中一條圓錐曲線且內(nèi)接另一條

圓錐曲線，則此封閉多邊形內(nèi)接的圓錐曲線上每一個(gè)點(diǎn)都是滿足這樣(切、內(nèi)外接)

性質(zhì)的封閉多邊形的頂點(diǎn)，且所有滿足此性質(zhì)的封閉多邊形的邊數(shù)相同.

(2009年江西卷)如圖1,已知圓C:(%-2)2+/=

V2

r2是橢圓7+/=1的內(nèi)接△A8C的內(nèi)切圓，其中4為

16

橢圓的左頂點(diǎn).

(I)求圓的半徑r;

(2)過(guò)點(diǎn)M(0,l)作圓C的兩條切線交橢圓于

〃兩點(diǎn)，證明直線EF與圓G相切.

(6)彭賽列(Poncelet)閉合定理

2021年全國(guó)甲卷理科20題

如.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在T軸上，直線/：/=1交。于P.Q兩點(diǎn)，且

OPLOQ.已知點(diǎn)A/(2.0),且。M與/相切.

(1)求C,0力/的方程；

(2)設(shè)Ai.①，A:i是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2,AIA3均與?A/相切.判斷直線

4人與的位置關(guān)系.并說(shuō)明理由.

（7）蒙日?qǐng)A問(wèn)題

2

橢圓f三十本V=1的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡方程/+必=〃+/（蒙日?qǐng)A）

X2y2

雙曲線二—二=1的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡方程為

a2b2

當(dāng)a>6>0時(shí)，兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡方程蒙日?qǐng)A）

當(dāng)a=6時(shí)-，兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為原點(diǎn)；

當(dāng)0<a<6時(shí)，兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡不存在

拋物線y2=2px的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為工=-g

2014年廣東高考卷理科20題

已知橢圓C：4+口=1（。>6〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)（、氏0）,離心率為且.

/b23

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若動(dòng)點(diǎn)尸（七,%）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩切線相互垂直，求點(diǎn)

P的軌跡方程.

2022年廣州市調(diào)研測(cè)試21題

21.（12分）

已知橢勘C：［+￡=l（0>b>O）的離心率為手，耳，鳥分別為橢圓c的左.右焦點(diǎn),

A/為橢圓。上一點(diǎn)，月的局長(zhǎng)為4+26.

（1）求橢1Mle的方程：

（2）P為131x2+/=5上任意一點(diǎn).過(guò)戶作橢園。的兩條切紋，切點(diǎn)分別為4,B.

判斷⑸?方是否為定值？若是.求出定值：斤不是.說(shuō)明理由.

3.以高等幾何中極點(diǎn)、極線為背景

(1)極點(diǎn)與極線的定義

如圖，。為不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p

引兩條割線一次交圓錐曲線于四點(diǎn)E、/」、G

H,連接切、FG交于N,連接EG、FH交

于M,則MN為點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的極線.。

若P為圓錐曲線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線

即為極線。

由上作圖可知，同理必/為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的

極線，PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)極線，MNP稱為自極

三點(diǎn)形。若連接MN交圓錐曲線于力、8兩點(diǎn)，則以、尸8恰為圓錐

曲線的兩條切線。任何一點(diǎn)關(guān)于一般的代數(shù)曲線都有一條極線，每一

條直線都有一個(gè)極點(diǎn).標(biāo)準(zhǔn)方程下圓錐曲線極

點(diǎn)與相應(yīng)極線的方程與有關(guān)性質(zhì).

命題1橢圓與+匚=1,則點(diǎn)P(x°,y。)對(duì)應(yīng)的極線方程為：

業(yè)+?_1.

雙曲線三_pr=1,則點(diǎn)P(x。,為)對(duì)應(yīng)的極線方程為：

a'b"

x°xyay.

67一；

拋物線=2py,則點(diǎn)P(x0,y。)對(duì)應(yīng)的極線方程為：

Xox-p(y+y0)=0；

拋物線/=2px,則點(diǎn)尸(x°,y。)對(duì)應(yīng)的極線方程為：

yoy-P(X+x0)=o.

命題2若圓錐曲線中極線共點(diǎn)于P,則這些極線相

應(yīng)的極點(diǎn)共線于點(diǎn)P相應(yīng)的極線。反之亦然。稱為極

點(diǎn)與相應(yīng)極線對(duì)偶性。(配極原則)

命題3：已知點(diǎn)P和直線/是圓錐曲線。的一對(duì)極點(diǎn)與極線.

(1)若極點(diǎn)P在曲線上，則極線/與曲線。相切于點(diǎn)P;

(2)(2)若極點(diǎn)P在曲線。內(nèi)，則極線/與曲線。相離；

(3)(3)若極點(diǎn)P在曲線。外，則極線/與曲線。相交.

命題4：（1）圓錐曲線的過(guò)定點(diǎn)（極點(diǎn)）弦的端點(diǎn)之切線交點(diǎn)

的軌跡為直線（極線）；

（2）圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)（極點(diǎn)）的弦AB的中點(diǎn)向極線作

垂線交點(diǎn)為P,則P4P8與圓錐曲線相切.

反之亦然.

（3）圓錐曲線極線上的任意一點(diǎn)”與極點(diǎn)P的連線

\PA\\MA\

交圓錐曲線于43兩點(diǎn)，則扁=卜7才；

（4）過(guò)圓錐曲線特定直線（極線）上任意一點(diǎn)引圓錐

曲線的切線，則切點(diǎn)弦直線恒過(guò)定點(diǎn)（極點(diǎn)）.

上述證明可參考《高等幾何》.

《2020年（新堞標(biāo)I））已知48分別為橢圓E:。+『=］（。>1）的左、右頂

,G為E的上頂點(diǎn)，JGGB=8,2為直線Z上的動(dòng)點(diǎn)，曲與E的另一交點(diǎn)為C,

<0求E的方程；【答案】（1）

<2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

2008年安徽卷設(shè)橢圓2+4=1（a>0,6>0）過(guò)點(diǎn)"（"1）,且左

a0

焦點(diǎn)為巴（-隹,0）.

（I）求橢圓c的方程；

（II）當(dāng)過(guò)點(diǎn)戶（4,1）的動(dòng)直線/與橢圓C相交于不同的點(diǎn)

A、B時(shí),在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足網(wǎng).四=甌卜］珂,

證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

2020年北京卷第20題

己知橢圓C：W+E=1過(guò)點(diǎn)力（-2,-1）,且a=2b.

trb2

（1）求橢圓C的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)占（-4,0）的直線/交橢圓「于點(diǎn)％,N,直線

MA.M4分別交直線x=-4于點(diǎn)P,Q.求的值.

2013年廣東卷理科第20題

已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)戶(O,c)(c>O)到直線/:x-y-2=0的距離為菱.

設(shè)P為直線/的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).

(I)求拋物線C的方程；

(II)當(dāng)點(diǎn)尸(%,%)為直線/上的定點(diǎn)時(shí)，求直線力8的方程：

(III)當(dāng)點(diǎn)尸在直線/上移動(dòng)時(shí)，求?斗忸河的最小值.

2019年全國(guó)卷理科21題

2I

已知曲線C：產(chǎn)三r，。為直線尸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作('的兩條切線，切點(diǎn)分別為兒B.

(1)證明：直線Z8過(guò)定點(diǎn)：

(2)若以￡(0,5為圓心的圓與直線力8相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形

的面積._____________________

4高考題改編

2018年全國(guó)理科1卷19題源自2015年北京卷或2015年全國(guó)卷

2018年隹國(guó)理科1卷19題

設(shè)橢圓。：三+十」的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的宜線/與C交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)W的坐標(biāo)為(2.0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程：

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOA/J=.

2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)19題

已知橢圓C：1+4=](a>b>0)的離心率為巫，點(diǎn)P(0,1)和點(diǎn)A(m,n)(m^O)都在橢圓CI;K線PA

a1b22

軸于點(diǎn)M.

(I)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m.n表示)：

(I!)改。為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，區(qū)線PB交x軸于點(diǎn)N,問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得NQQM-NON

若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

2015年全國(guó)理科1卷20題

Y2

在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=L與直線y=&x+a(a>0)交與M,N兩點(diǎn)，

4

(I)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(II)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有NOPM=NOPN?說(shuō)明理由.

高考真題訓(xùn)練

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高考真題（理））雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，心，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為O,過(guò)耳作

3

。的切線與C的兩支交于M,N兩點(diǎn)，且cosN"NE=w，則C的離心率為（）

A.正B.-C.巫D.叵

2222

2.（2022?全國(guó)?高考真題（理））橢圓C:「+￡=l（a>匕>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于

a-b

y軸對(duì)稱.若直線4P，4Q的斜率之積為!，則C的離心率為（）

A.正B.—C.1D.-

2223

3.（2022.全國(guó).高考真題（文））設(shè)尸為拋物線。：寸=4%的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8（3,0）,若|A@=忸目，

則|即|=（）

A.2B.2垃C.3D.3五

,>2i

4.（2022?全國(guó)?高考真題（文））已知橢圓C:，+4=l（a>b>0）的離心率為:，A，4分別為C的左、

ab~3

右頂點(diǎn)，8為C的上頂點(diǎn).若%?34=-1,則C的方程為（)

D.—