2022年重慶市南開中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）（學(xué)生版+解析版）

2022年重慶市南開中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）設(shè)集合A={Mc-6W0},2={4r<2},則An（CRB）=（）

A.[2,6]B.（-8,2]C.（2,6]D.[6,+<?）

2.（5分）已知命題P：4],久2-a久+4>。”為真命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

（）

1713

A.a<4B.aV號(hào)C.學(xué)D.a>5

3.（5分）已知5n（9+$=—3,則sin20=（）

443

A.-B.—■=-C.—D

555--I

4.（5分）已知圓的內(nèi)接正方形的一條對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5,6）,（3,-4）,

則這個(gè)圓的方程為（）

A.x2+y2+4x-2y+7=0B.-8x-2y-9=0

C.j?+y2+8A-+2y-6=0D./+/-4x+2y-5=0

5.（5分）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BO=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)Af,N分

別為A。，3c的中點(diǎn)，則異面直線AMCM所成的角的余弦值是（）

6.（5分）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左

腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1,1,2,3,5,8,

13,……，則下列選項(xiàng)不正確的是（）

上「3。3:1

41

才占彳01051

4^615201561

A.在第9條斜線上，各數(shù)之和為55

B.在第〃（〃25）條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小

C.在第"條斜線上，共有2n+1一（一，個(gè)數(shù)

4

D.在第11條斜線上，最大的數(shù)是廢

7.（5分）在正方體A8CO-481C1。中，依5|=3,點(diǎn)E是線段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，

在三角形48。內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P（包括邊界），則|網(wǎng)+|尸￡1的最小值是（）

A.2B.2V2C.3D.373

8.（5分）已知函數(shù)/'（x）=5—kZnx,當(dāng)尤＞1時(shí)，不等式/（x）》x+l恒成立，則&的取

值范圍是（）

2

A.（-8,-e]B.（-8,-4]C.（-8,-ejD.（-0°,0]

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（5分）已知復(fù)數(shù)zi，Z2,Z3,五是zi的共軌復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若Zl+Z2=0,則|zi|=|z2|B.若Z2=不則|zi|=|z2|

C.若Z3=Z1Z2,則|Z3|=|Z1||Z2|D.若0+1|=|Z2+1|,則|zi|=|z2|

（多選）10.（5分）如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中4、

A2、43、A4是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙

兩人分別要到N、M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)

出發(fā)，直到達(dá)N、例處為止.則下列說法正確的是（）

A.甲從M到達(dá)N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過A2到達(dá)N處的方法有9種

81

C.甲、乙兩人在4處相遇的概率為不

400

41

D.甲、乙兩人相遇的概率為一

100

（多選）11.（5分）全班學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，各自用A8=4cmBC=CCi=2cm的長方

體ABCO-AiBiCiDi切割出四棱錐P-FBED模型.產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)要求：E,尸分別為AB,

CC的中點(diǎn)，P可以是線段AiBi（不含端點(diǎn)）上的任意一點(diǎn).有四位同學(xué)完成制作后，對(duì)

自己所做的產(chǎn)品分別作了以下描述，你認(rèn)為有可能符合標(biāo)準(zhǔn)的是（）

B.使直線PE與平面PCF所成角取到了最大值

C.使平面PCE與平面PFB的夾角取到了最大值

D.使平面與平面PEB的夾角取到了最大值

（多選）12.（5分）由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2r可以表示為cosx的二次多項(xiàng)

式.一般地,存在一個(gè)〃（nGN*）次多項(xiàng)式P”（f）=。0產(chǎn)+。1產(chǎn)-1+。2產(chǎn)一2+…+?。ā?，，

。2…””eR）,使得cosnx=P"（cosx）,這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）

多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（）

A.為(?)=-4?+3r

B.P4⑺=8八8a+1

c.Sinl8°=-D.C0S18。=-

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一《九章算術(shù)》有一衰分問題（即分層抽樣問題）：今

有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人.凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五

百人，則北鄉(xiāng)遣人.

14.（5分）韋伯望遠(yuǎn)鏡必須在不受任何其它熱源干擾的情況下保持在-223℃以下才能觀察

紅外線中的微弱信號(hào).為了防止熱傳遞，NASA工程師們開發(fā)了由及“加〃材料組成的遮

9

陽板.太陽光通過一層普通玻璃時(shí)，其中的紫外線的強(qiáng)度減弱為原來的而通過韋伯

10

望遠(yuǎn)鏡遮陽板則能將其中的紫外線的強(qiáng)度減弱為原來的a則要達(dá)到韋伯望遠(yuǎn)鏡遮陽板的

減弱效果，至少需要的普通玻璃層數(shù)為.（參考數(shù)據(jù)：收3-0.477）

X2V2

15.（5分）已知橢圓C—4-77=1（。>匕>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,橢圓。外

a2b2

一點(diǎn)P滿足尸尸2，尸1乃，且|P&|=|Q尸2|，線段PF|,尸尸2分別交橢圓C于點(diǎn)A,B,若網(wǎng)

=以乃1，則需=--------

16.（5分）正方體ABC。-481clQi的棱長為2,動(dòng)點(diǎn)尸在對(duì)角線BQ上，過點(diǎn)尸作垂直

于BG的平面a,記平面a截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y=f（x）,

設(shè)BP=x>x&（0/2>/3）.

（I）下列說法中，正確的編號(hào)為.

①截面多邊形可能為四邊形；②/（等）=3V2;③函數(shù)/（無）的圖象關(guān)于"=遮對(duì)稱.

（II）當(dāng)％=百時(shí)，三棱錐P-4BC的外接球的表面積為.

四、解答題（17題10分，18?22題滿分均為12分）

17.（10分）已知公差不為0的等差數(shù)列?！ǎ凉M足。3=5,且ai，圖,紡成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)心=品7數(shù)列｛尻｝前”項(xiàng)和為北，求使得成立的〃的最大值?

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=>/5sin（3x+s）+2sin2（9耳義）一1（3>0,0<。<兀）為奇函

71

數(shù)，且/（X）圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為不

（1）求/（X）的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知/(x)在［一?第時(shí)，求方程2產(chǎn)(%)+何(%)一3=0的所有根的和.

19.(12分)某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由2k-1(z€N*)個(gè)

相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為p各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)

控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正

常運(yùn)行的概率為P*(例如：P2表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；P3

表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率).

(1)若p=,,當(dāng)％=2時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，

并求P2；

(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為4元，設(shè)備升級(jí)后，

在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為

高端產(chǎn)品的概率為之每件高端產(chǎn)品的利潤是8元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤為y

4

(單位：元).

(i)請(qǐng)用P*表示E(K)；

(ii)設(shè)備升級(jí)后，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個(gè)相同的元件，請(qǐng)分析是否能夠提高E

(D.

20.(12分)如圖所示，四棱錐中，△A8C為正三角形，CD//BE,BC=CD=*BE

=1,DE=V3,AD^

(1)求四棱錐A-BCDE的體積；

(2)求BE與平面AOE所成角的正弦值.

xyV2

21.(12分)已知橢圓C：—+—=1(a>fe>0)的焦距為2,點(diǎn)(1,—)在C上.

a2b22

(1)求C的方程；

(2)若過動(dòng)點(diǎn)P的兩條直線/I,/2均與C相切，且/”/2的斜率之積為-1，點(diǎn)A(-8，

0),問是否存在定點(diǎn)B,使得后?而=0?若存在，求出點(diǎn)8的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=^~lnx(a>Q,e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(I)當(dāng)“=1時(shí)，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論：

(II)當(dāng)爛口，e］時(shí)，關(guān)于x不等式/(x)>2匯-/〃〃恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2022年重慶市南開中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3月份)

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合4={xpc-6W0),8={x|x<2},貝ijAC(CRB)=()

A.[2,6]B.(…，2JC.(2,6JD.[6,+°°)

【解答】解：??,8={小<2},...CRB={X|X22},

又；A={Mx-6W0}={小W6},

AAn(CRB)={X|2WXW6},

故選：A.

2.(5分)己知命題P成，4],/一QX+4〉?！睘檎婷}，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

1713

A.a<4B.a<-yC.a<-yD.a>5

【解答】解：“三久€我，4],x2-ax+4>0w為真命題，

i4

則,4]時(shí)，a<(x+—)max，

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，y=x+?取得最大值學(xué).

乙x2

所以〃v孝.

故選：B.

3.(5分)已知tcm(e+,)=—3,則sin26=()

4433

A.-B.一kC.-D.一卷

5555

77-1+tanO

【解答】解：由tQ7i(。+五)=-3,得-------=-3,解得tan8=2,

41-tanO

?2sin6cos0_2tan0_4

一Sin26=sin20+cos26=taMe+l=51

故選：A.

4.(5分)已知圓的內(nèi)接正方形的一條對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5,6),(3,-4),

則這個(gè)圓的方程為()

A.7+9+4%-2)葉7=0B.7+y2-8x-2y-9=0

C.jr+y2+Sx+2y-6=0D.x2+y2-4x+2y-5=0

【解答】解：根據(jù)題意，圓的內(nèi)接正方形的一條對(duì)角線上的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5,

6）,（3,-4）,

則圓的圓心為（4,1）,半徑r=,X.4+100=

則圓的方程為（x-4）2+（y-1）2=26,即/+9-8x-2y-9=0,

故選：B.

5.（5分）如圖，在三棱錐A-3CO中，AB=AC=BD=CD=39AD=BC=2f點(diǎn)、M,N分

別為AO,8C的中點(diǎn)，則異面直線AMCM所成的角的余弦值是（）

77776

A.—B.—QC.—TTFD.

882525

【解答】解：由題意：三棱錐A-BCO中，連結(jié)ND,取ND的中點(diǎn)為E,連結(jié)ME,則

ME//AN,異面直線AN,CM所成的角就是NEMC.

"：AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)、M,N分別為A。，BC的中點(diǎn),

：.AN=2V2,ME=EN=V2,MC=26

又,/ENI.NC,：.EC=y/NC2+NE2=V3；

MC2+ME2-EC22+8-3

cos/EMC=

2MC-ME--2x72x2/2一*

7

，異面直線AN,CM所成的角的余弦值是3

故選：A.

6.（5分）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左

腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1,1,2,3,5,8,

13,……，則下列選項(xiàng)不正確的是（）

「2二工

工4二641

寸務(wù)”01051

A^615201561

A.在第9條斜線上，各數(shù)之和為55

B.在第〃（〃三5）條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小

C.在第"條斜線上，共有2n+1］（一1/個(gè)數(shù)

4

D.在第11條斜線上，最大的數(shù)是C,

【解答】解：由題意，根據(jù)楊輝三角定義繼續(xù)往下寫三行有：

172135352171

18285670562881

193684126126843691

A：由圖知,第九條斜線上,各數(shù)之和為1+10+15+7+1=34,錯(cuò)誤.

B：由定義及圖中規(guī)律可知，都是從左向右先增后減，...B正確.

C：由圖，每條斜線個(gè)數(shù)為1,1,2,2,3,3…，代入------符合，???C正確.

4

力：第11條斜線上最大數(shù)為35=給，：.D正確.

故選：A.

7.（5分）在正方體ABCO-AiBiCiQi中，以身=3,點(diǎn)E是線段上靠近點(diǎn)4的三等分點(diǎn),

在三角形48。內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P（包括邊界），則|%|+|P￡|的最小值是（）

A.2B.2V2C.3D.3V3

【解答】解：如圖，

z

X

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4、DC、。。所在直線為x、AZ軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由正方體的對(duì)稱性可知,ACi_L平面A(3,0,0),Ci(0,3,3),E(3,1,0),

222

設(shè)A關(guān)于平面Ai3￡>的對(duì)稱點(diǎn)為A'=(-3,3,3),ACt=V3+3+3=3V3,

Ixix3x3x3

由等體積法求得A到平面48。的距離h==V3,

：x$x3&3&坐

：.AA'=2痘,則/U'=|■啟=(-2,2,2),

設(shè)A'(x,y,z),則44'=(x-3,y,z)=(-2,2,2),即A'(1,2,2),

：.EA7=(—2,1,2),可得|B4|+|Pg的最小值是J(—2/+12+22=3.

故選：C.

8.(5分)已知函數(shù)f(x)=5-kbix,當(dāng)x>l時(shí)，不等式/(x)與x+l恒成立，則左的取

值范圍是()

2

A.(-8,-e]B.(-8,-4]C.(-8,-e]D.(-8,0]

【解答】解：函數(shù)f(%)=貫—klnx,當(dāng)x>1時(shí)，不等式火x)2x+l恒成立oAWL制―

xG(1,+8).

令g(x)-x-1,g'(x)=2-1,

???函數(shù)g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，???/》x+l,

.*.%4>Z=/x3/=/-4//優(yōu)，％_4/zix+l,

x~4ex-x-lx-4lnx+l-x-l

/.---------->--------------=-4,xG(1,+8).

InxInx

函數(shù)//(x)=x-Mnx,xG(1,+8).

h'(x)=1-9=?,可得函數(shù)/7(x)在(1,4)上單調(diào)遞減，在(4,+8)上單調(diào)

遞增,

h(x)2〃(4)=4-4//?4<0,存在刈>1,使得〃(刈)=0,

的最小值為-4.

Inx

:.kW-4.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

(多選)9.(5分)已知復(fù)數(shù)zi，Z2,Z3,痣是zi的共軌復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.若Zl+Z2=0,則|zi|=|Z2|B.若22=/，則|Z1|=|Z2|

C.若Z3=ZIZ2,則|Z3|=|Z1||Z2|D.若|Z1+1|=|Z2+1|,則|ZI|=|Z2|

【解答】解：選項(xiàng)A：若Z1+Z2=O,則Z1=-Z2,所以|zi|=|-Z2|=|Z2|,故A正確，

選項(xiàng)B：設(shè)zi=x+yi(x,y€R),則五=尤-加,則|z/=區(qū)|=憶2],故B正確，

選項(xiàng)C：設(shè)zi=x+yi,Z2=a-bi(x>y,a,/?GR),則ziz2=(x+yz)(a-bi)=(ax+by)

+Cay-bx)i,

22

貝i||ziz2|=1(ax+by.+(ay_bx)2=J.2+)/2)(02+爐),\z1||z2|=^x+y-

y/a2+b2,所以|z3|=|ziz2|,故C正確，

選項(xiàng)。：設(shè)zi=2+4i,Z2=4,則|zi+l|=|3+4i|=5=|z2+l|=|5|=5,但是|z/=V22+42=

2z鉤Z2|=4,故。錯(cuò)誤，

故選：ABC.

(多選)10.(5分)如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中Ai、

A2、A3、4是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙

兩人分別要到N、M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)

出發(fā)，直到達(dá)N、M處為止.則下列說法正確的是()

由W

A.甲從M到達(dá)N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過A2到達(dá)N處的方法有9種

81

C.甲、乙兩人在A2處相遇的概率為一

400

41

D.甲、乙兩人相遇的概率為一

100

【解答】解：對(duì)于A,甲由道路網(wǎng)M處出發(fā)隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑到達(dá)N處需

走6步，

共有叱=20種方法，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,甲經(jīng)過A2到達(dá)N,可分為兩步：

第一步：甲從M經(jīng)過42的方法數(shù)：禺種，

第二步：甲從42到N的方法數(shù)：可種，

所以：甲經(jīng)過上的方法數(shù)為?盤=9種，故8正確；

對(duì)于C,由AB知：甲從M到達(dá)N處的方法有底=20種，甲經(jīng)過A2的方法數(shù)為：0廢=9

種，

同理，乙從M到達(dá)N處的方法有以=20種，乙經(jīng)過上的方法數(shù)也為：弓第=9種，

，甲、乙兩人相遇經(jīng)4點(diǎn)的方法數(shù)為：廢廢?廢廢=81種，

甲、乙兩人相遇經(jīng)4點(diǎn)的概率P=%=蓋，故C正確；

對(duì)于Q,甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在Ai、A2、A3、A4處相遇，

他們?cè)?（i=l,2,3,4）相遇的走法有（C3‘、i）4種方法；

（C30）4+（C31）4+（C32）4+（C33）4=164

二甲、乙兩人相遇的概率尸=擺=蓋，故。正確.

故選：BCD.

（多選）11.（5分）全班學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，各自用AB=4a〃，BC=CCI=2C7〃的長方

體ABCD-AiBiCiOi切割出四棱錐尸-FBEZ）模型.產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)要求：E,F分別為AB,

C￡）的中點(diǎn)，P可以是線段AiBi（不含端點(diǎn)）上的任意一點(diǎn).有四位同學(xué)完成制作后，對(duì)

自已所做的產(chǎn)品分別作了以下描述，你認(rèn)為有可能符合標(biāo)準(zhǔn)的是（）

DiCi

A.使直線P￡)與平面尸破所成角取到了最大值

B.使直線PE與平面尸所成角取到了最大值

C.使平面PDE與平面PFB的夾角取到了最大值

D.使平面PDF與平面PEB的夾角取到了最大值

【解答】解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖,

Z

E(2,2,0),F(0,2,

0),

設(shè)尸(2,32),0</<4,

則DP=(2,/,2),EP=(0,t-2,2),DF=(0,2,0),DE=(2,2,0),FP=(2,

t-2,2),BP=(0,r-4,2),

取平面P口的一個(gè)法向量為藍(lán)=&=(2,0,0),

設(shè)平面PD產(chǎn)的法向量1=(x,y,z),

則,取尸|,得晨(],O,

71?DP=2x+ty+2z=0

設(shè)平面POE的法向量「=Cxi，yi，zi),

則Rg=2x1+t%+24=。，取用=2,得涓⑵-2,L2),

p-DE—2x1+2yl=0

設(shè)平面尸尸8的法向量為q=(X2，丁2，Z2),

則任m=2必+(-2)為+222=0,取『2,得彳=⑵-2,…)，

對(duì)于A,設(shè)直線PO與平面PE8所成角為a,

4

貝(Isina=|cos<DP,m>|=12P曰--=,

\DP\-\m\2出+8出+8

???0VfV4時(shí)，函數(shù))，=一=單調(diào)遞減，沒有最大值，故A錯(cuò)誤；

出+8

對(duì)于8,設(shè)直線PE與平面PZ)尸所成角為0,

貝I]sinP=|cos<DP,m>\=邛曰=--廣?==1■..=,

|EP"n|72-j(t-2)2+4J(t-2)2+4

0<r<2,函數(shù)尸一單調(diào)遞增,2<f<4時(shí)，函數(shù)尸一單調(diào)遞減,

J(t—2)+44-4

J當(dāng)，=2時(shí)，即尸是中點(diǎn)時(shí)，sin0取最大值，此時(shí)夾角0最大，故3正確；

對(duì)于C,設(shè)平面PDE與平面尸尸3折夾角為9,

則cos0=|cos<p，q>\=江■=[t史及16

IPHql2汽8+(.4)2

下面研究函數(shù))=7=66：+16_^在正(0；4)上的單調(diào)性，

J8+(t—2)-j8+(t—4)

令f-3=s,(r-3)2—s2—r,

t2-6f+16=(/-3)2+7=?+7,

8+(r-2)2=8+[Ct-3)+1]2=9+(/-3)2+2(f-3)=9+，+2s,

8+(f-4)2=8+[(r-3)-1]2=9+(r-3)2-2(r-3)=9+?-Is,

則[8+(f-2)2]?[8+(Z-4)2]=(9+?+25)(9+S2-2S)=(9+52)2-452=/+14?+81

=(?+7)2+32,

產(chǎn)一6t+160+711

??尸|—?==,====.=,

22

j84-(t-2)j8+(t-4)J(S2+7)2+32(S2+79+32H■—

、浮+7)24(丁+7)

任(0,4),r=(r-3)2在正(0,3)遞減，在正(3,4)遞增，且七[0,9),

又y=?1在/?€[(),9)時(shí)遞增，

故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷原理可知：

t2-6t+16

y=在正(0,3)遞減,在正(3,4)遞增,

Js+(t-2)2-j8+(t—4)2

則cos0在f=3時(shí)取最小值，此時(shí)0最大，即平面PDE與平面PFB的夾角取到了最大

值，故C正確；

對(duì)于。，設(shè)平面PD尸與平面PE8的夾角為(p,

則cos(p=|cosVm,九〉|=2坦_==辛，則甲=45°為定值，故O錯(cuò)誤.

|m|-|n|2V2乙

故選：BC.

(多選)12.(5分)由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)

式.一般地，存在一個(gè)〃(nGN*)次多項(xiàng)式P〃G)=ao：+〃i產(chǎn)產(chǎn)2+…(卬,a\,

。2…即ER),使得cosmc=P〃(cosx),這些多項(xiàng)式產(chǎn)〃(/)稱為切比雪夫(P.L.Tschebyscheff}

多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得()

A.P3(/)=-4~+3，B.尸4(力=8產(chǎn)-8P+1

C.sinl80=1,1D.cos18°=

【解答】解：?.?cos3x=4cos3>x-3cosx,

:?P3(f)=4?-3r,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

Vcos4x=2cos-2x-1

=2(2COS2X-1)2-1=8COS4X-8cos2x+L

.*.P4(r)=8r4-8^+1,故選項(xiàng)8正確；

Vcos5x=cos2xcos3x-sin2xsin3x

=(2COS2X-1)(4cos\-3cosx)-2sinxcosx(3siar-4sin\)

=8COS5X-10COS3X+3COSX-2cosx(3sin2x-4sin4x)

=8cos\-10COS3X+3COSX-2cosx(3(1-cos2x)-4(1-cos2x)2)

=8COS5X-10COS3X+3COSX-2cosx(3(1-cos2x)-4(1-cos2x)2)

=8COS5X-10COS3X+3COSX-2cosx(3-3cos2x-4+8cos2x-4cos4x)

=8COS5X-10cos\+3cosx+2cosx-10cos3x+8cos5x

=16cos5r-20COS3X+5COSX,

/.cos90°=16COS518°-20cos318°+5cosl8°=0,

即16cos418。-20COS218°+5=0,

2

曲弭21C?20+J20-4X16X55+2,?o5-75

解借cos18=-----------22-----------——§—或cos18=-g-,

VCOS218°>COS230°=7.Acos2180=生注舍去,

qo

Acos218°Asin218°=1一^

sin18°=I1,故選項(xiàng)C正確；

而(空)2=智。挈，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：BC.

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一《九章算術(shù)》有一衰分問題（即分層抽樣問題）：今

有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人.凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五

百人，則北鄉(xiāng)遣人0人.

5001

【解答】解：由題意，抽樣的比例為

8100+7488+691245,

北鄉(xiāng)應(yīng)抽取8100x^=180人,

故答案為：180.

14.（5分）韋伯望遠(yuǎn)鏡必須在不受任何其它熱源干擾的情況下保持在-223℃以下才能觀察

紅外線中的微弱信號(hào).為了防止熱傳遞，NASA工程師們開發(fā)了由材料組成的遮

9

陽板.太陽光通過一層普通玻璃時(shí)，其中的紫外線的強(qiáng)度減弱為原來的一，而通過韋伯

10

望遠(yuǎn)鏡遮陽板則能將其中的紫外線的強(qiáng)度減弱為原來的士則要達(dá)到韋伯望遠(yuǎn)鏡遮陽板的

9

減弱效果，至少需要的普通玻璃層數(shù)為21.（參考數(shù)據(jù)：/g3心0.477）

【解答】解：設(shè)原紫外線強(qiáng)度為1,設(shè)至少需要的普通玻璃層數(shù)為x層，

則扁尸」

：.x>kg9卜駕=不磐=2紫220.7,

TO9端21g3—1l-2lg3

至少需要的普通玻璃層數(shù)為21層,

故答案為：21.

x2y2

15.(5分)已知橢圓C：—+^-=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為四，尸2,橢圓C外

一點(diǎn)尸滿足勿扛尸正，且|尸尸2|=|尸周，線段PF1，PF2分別交橢圓C于點(diǎn)A,B,若|以|

=12|,則兩=_^.

【解答】解：設(shè)|PF2l=|F|F2l=2c,\PA\=\AFi\=t,

由PFILF\F2,可得依乃|=|以尸f，

由橢圓的定義可得lAFil+H/2|=2f=2a,即t=a,

又2a=2y[2c,即t=a=V2c,

b2a2—c2c2/2

\BFi\=b

V2

T-

嚅72-

4

故答案為:下

P

16.(5分)正方體ABC。-AIBICIQI的棱長為2,動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線8。1上，過點(diǎn)尸作垂直

于BDi的平面a,記平面a截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y=f(x),

設(shè)BP=x,xe(0,2V3).

(I)下列說法中，正確的編號(hào)為②③.

①截面多邊形可能為四邊形；②/(孚)=3V2；③函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于x=遍對(duì)稱.

(II)當(dāng)x=V5時(shí)，三棱錐尸-48C的外接球的表面積為」

【解答】解：(/)正方體ABCQ-AIBICIQI的棱長為2,可得對(duì)角線長為2舊,

x=W時(shí)，由線面垂直的判定和性質(zhì)可得平面4B|C,ZVlBiC為邊長為2迎的正三

角形,

其余截面與平面ABiC平行，且為正三角形，或當(dāng)截面過各棱的中點(diǎn)時(shí)為正六邊形，

截面為正六邊形，故①不正確；

當(dāng)》=挈時(shí)，截面為邊長為近的等邊三角形，可得周長為3立，故②正確；

根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=B對(duì)稱，故③正確；

(〃)x=W時(shí)，截面為△AB]C,P在底面上的射影為AC的中點(diǎn)0，，可得球心。在0P

上，

設(shè)球的半徑為R，可得(OP-R)2+OB2=R2,即(]_R)2+2=R2,解得R=|,

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4TC/?2=9n,

故答案為：②③，91T.

四、解答題(17題10分，18?22題滿分均為12分)

17.(10分)已知公差不為0的等差數(shù)列｛如｝滿足43=5,且42,。5成等比數(shù)歹U.

(1)求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=J—,數(shù)列｛尻｝前"項(xiàng)和為7；”求使得〃成立的〃的最大值.

【解答】解：(1)因?yàn)椤?,as成等比數(shù)列，所以則(%+dp=a1(a1+4d),

又dWO,所以d=2m,又〃3=〃i+2d=5〃i=5,所以m=l,d=2,

所以a九=的+(?i—l)d=2"-1,(n6N*).

x,_11_1,11_1l1,11.

fnr

..Qn+1.(2n_l)(2n+l)一2存一可十可一「十?…

1_1=n

2n—12九+11)—2n+l

要使即不工"V三解得等，故最大整數(shù)〃的值為1。?

652n+l653

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=d5sin(3%+w)+2sin?(母耳衛(wèi))—1(3>0,0<S<}r)為奇函

n

數(shù)，且/(X)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為了

(1)求/(X)的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知/(x)在V，為時(shí)，求方程2產(chǎn)。)+何Xx)—3=0的所有根的和.

LCO)X+(PL

【解答】解：(1)由題意知，/(x)=V5sin(u)x+(p)+2sin2(---)-1=V3sin(u)x+q))

-cos(a)x+(p)=2sin[(a)x+(p)—&]，

因?yàn)?(x)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為泉所以/(X)的最小正周期為T=m所以

(A)=y=2,

又因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以依Z,解得叩=看+配，依Z；

又因?yàn)?V(p<n,所以9=看，函數(shù)f(x)=2sin2x,

,n37r…口兀3n

令一4-2kn<2x<—+2kn,kEZ解得-kn<x<—+kn,kEZ,

22f44

所以函數(shù)/(x)的遞減區(qū)間為岑+而，苧+時(shí)，依Z.

(2)xE[—^,時(shí),2xG[——J,sin2xG[-1,1],f(x)G[-2,2],

方程2f2(%)+V3/(x)-3=0可化為(x)+V3][2/(x)-b]=0,解得/(x)=-V5或

f(X)=孚，

即sin2x=一孚或sin2x=乎，

當(dāng)sin2x=一孚時(shí)，2r=一?；?x=等或2x=挈，解得x=一看或x=學(xué)或x=普，

當(dāng)sin2x=空時(shí)，2xi+2x2=m所以xi+x2=今

綜上知，在[一看，為時(shí)，方程2產(chǎn)(%)+何⑺-3=0所有根的和為(一(+冬+")

.71117T

+2=--

19.(12分)某企業(yè)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級(jí)，升級(jí)后的設(shè)備控制系統(tǒng)由2k-1(任N*)個(gè)

相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為p(OVpVl),各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)

控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正

常運(yùn)行的概率為以(例如：皮表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；P3

表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率).

(1)若p=|,當(dāng)Z=2時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，

并求P2；

(2)已知設(shè)備升級(jí)前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為4元，設(shè)備升級(jí)后，

在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為

高端產(chǎn)品的概率為匚每件高端產(chǎn)品的利潤是8元.記設(shè)備升級(jí)后單位時(shí)間內(nèi)的利潤為丫

(單位:元).

(1)請(qǐng)用Pk表示E(y)；

(ii)設(shè)備升級(jí)后，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個(gè)相同的元件，請(qǐng)分析是否能夠提高E

(H.

【解答】解：(1)因?yàn)閗=2,所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的可能取值為0,1,

2,3,

因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為p=|,所以X?8(3,1),

所以P(X=0)=*(|)。《)3=務(wù)

尸(X=1)=禺.(|)i.(扔者，

P(X=2)=C>(|)2.(I)1=小

P(X=3)=廢.(分.(扔=捺,

所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列為：

X0123

P1248

————

279927

控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3x,=2,P2=P(X=2)+

-448_20

-9+27-27,

a3a

(2)(/)設(shè)備升級(jí)后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間內(nèi)的利潤為-x8+—x4=10a,

22

所以丫的分布列為：

Y10。0

設(shè)備運(yùn)行概率