第三節(jié)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

1．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)2．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條

的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的

；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中

的一個(gè)是最大值，

的一個(gè)是最小值．連續(xù)不斷極值最大最小3．函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系

極值最值區(qū)別(1)極值是個(gè)“局部”概念，只能在定義域內(nèi)部取得；(2)在指定區(qū)間上極值可能不止一個(gè)，也可能一個(gè)都沒有(1)最值是個(gè)“整體”概念，可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得；(2)最值最多有一個(gè)聯(lián)系(1)極值有可能成為最值，最值只要不在區(qū)間端點(diǎn)處取得，必定是極值；(2)在區(qū)間[a，b]上圖象是一條連續(xù)曲線的函數(shù)f(x)若有唯一的極值，則這個(gè)極值就是最值(1)極值點(diǎn)不是點(diǎn)，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點(diǎn)，極大值為f(x1)．(2)極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極小值可能比極大值還大．(3)有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù)．(4)f′(x0)＝0是x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的必要不充分條件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)．1．如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于函數(shù)y＝f(x)的判斷不正確的是

(

)A．在區(qū)間(－3，－2)內(nèi)單調(diào)遞減B．在區(qū)間(2,3)內(nèi)單調(diào)遞增C．x＝－3是極小值點(diǎn)D．x＝4是極大值點(diǎn)答案：C答案：B3．已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋ax2－3x在x＝2處取得極小值，則實(shí)數(shù)a的值為

(

)4．(蘇教版選擇性必修第二冊(cè)P202·T4改編)已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M－m＝________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.計(jì)算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.答案：325．設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)＝x3－2ax2＋a2x的兩個(gè)極值點(diǎn)，若x1＜2＜x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2滿足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.答案：(2,6)層級(jí)一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)已知圖象判斷函數(shù)的極值、最值[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中不正確的是

(

)A．f(x)在[－2，－1]上是減函數(shù)B．當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得最小值C．當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極小值D．f(x)在[－1,2]上是增函數(shù)，在[2,4]上是減函數(shù)解析：根據(jù)圖象知當(dāng)x∈(－2，－1)，x∈(2,4)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故A、D正確；當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極小值，C正確；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)不是取得最小值，B錯(cuò)誤．答案：B

2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是

(

)A．f(x)有極大值f(－2)B．f(x)有極小值f(－2)C．f(x)有極大值f(1)D．f(x)有極小值f(1)解析：由圖象知，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)－2<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0.∴函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減．∴f(x)有極大值f(－2)．答案：A

[一“點(diǎn)”就過(guò)]導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用策略(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的極值、最值．基礎(chǔ)點(diǎn)(二)求簡(jiǎn)單的函數(shù)極值、最值問(wèn)題

[題點(diǎn)全訓(xùn)]4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值是________．解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2，0)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝m最大，∴m＝3.∵f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值為－37.答案：－37[一“點(diǎn)”就過(guò)]1．函數(shù)極值和極值點(diǎn)的求解步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況．2．求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(或遞減)，則f(a)為最小(大)值，f(b)為最大(小)值．(2)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到．層級(jí)二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的極值[典例]已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．求解函數(shù)極值點(diǎn)問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．在求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后，要利用導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)左右的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)來(lái)確定極值點(diǎn)．(2)對(duì)于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值問(wèn)題，一般要對(duì)方程f′(x)＝0的根的情況進(jìn)行討論，分兩個(gè)層次討論．第一層次，討論在定義域內(nèi)是否有根；第二層次，在有根的條件下，再討論根的大?。?3)對(duì)于涉及極值點(diǎn)的不等式證明問(wèn)題，一般要進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而借助不等式去解決．

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，k)，單調(diào)遞增區(qū)間是(k，＋∞)．所以f(x)的極小值點(diǎn)是x＝k，f(x)的極小值為f(k)＝lnk，無(wú)極大值點(diǎn)．綜上，當(dāng)k≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值；當(dāng)k>0時(shí)，f(x)的極小值為lnk，無(wú)極大值．(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值．求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(2021·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為________．2．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)．(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線l與直線3x－y＝0平行，求切線l的方程；(2)求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值．解：(1)f′(x)＝3x2－2ax.因?yàn)閒′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0，又當(dāng)a＝0時(shí)，f(1)＝1，f′(1)＝3，則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，斜率為3，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－1＝3(x－1)，化簡(jiǎn)得3x－y－2＝0.重難點(diǎn)(三)已知函數(shù)的極值(最值)求參數(shù)

[典例]已知f(x)＝ax－lnx，a∈R.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[方法技巧]已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的策略列式根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0或極值列方程(組)，利用待定系數(shù)法求解驗(yàn)證因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證[提醒]

若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上存在極值點(diǎn)，則函數(shù)y＝f′(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)2．設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍．解：(1)因?yàn)閒(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由題設(shè)知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此時(shí)f(1)＝3e≠0.所以a的值為1.層級(jí)三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))一、全面清查易錯(cuò)易誤點(diǎn)1.(混淆極值與最值)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是

(

)A．f(b)>f(a)>f(c)B．函數(shù)f(x)在x＝c處取得極小值，在x＝e處取得極大值C．函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值，在x＝e處取得極小值D．函數(shù)f(x)的最小值為f(d)a解析：由題圖可知，當(dāng)x≤c時(shí)，f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，c]上單調(diào)遞增，又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A不正確．因?yàn)閒′(c)＝0，f′(e)＝0，且當(dāng)x<c時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)c<x<e時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)>0.所以函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值，在x＝e處取得極小值，故B不正確，C正確．由題圖可知，當(dāng)d≤x≤e時(shí)，f′(x)≤0，所以函數(shù)f(x)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而f(d)>f(e)，所以D不正確．故選C.答案：C

2．(由函數(shù)的極值求參數(shù)忽略驗(yàn)證)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1處取得極值0，則m＋n＝

(

)A．4 B．11C．4或11 D．3或93．(忽略函數(shù)的定義域)若函數(shù)f(x)＝x2－aln(2x－1)＋b(a∈R)在(1,2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)，則a的取值范圍是________．二、融會(huì)貫通應(yīng)用創(chuàng)新題4．(創(chuàng)新解題思維·數(shù)形結(jié)合)已知f′(x)是函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是

(

)解析：函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)