人教A版高中數學(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題6.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理（重難點題型精講）（原卷版）

專題6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理（重難點題型精講）1．分類加法計數原理(1)分類加法計數原理的概念完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法，在第2類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法，SKIPIF1<0，在第n類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法，那么完成這件事共有N=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0種不同的方法.

(2)分類加法計數原理的特點

分類加法計數原理又稱分類計數原理或加法原理，其特點是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情，我們可以用第一類有SKIPIF1<0種方法，第二類有SKIPIF1<0???????種方法，，第n類有SKIPIF1<0??????????????種方法，來表示分類加法計數原理，即強調每一類中的任一種方法都可以完成要做的事，因此一共有SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0種不同方法可以完成這件事.(3)分類的原則

分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.2．分步乘法計數原理(1)分步乘法計數原理的概念

???????完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有SKIPIF1<0種不同的方法，做第2步有SKIPIF1<0種不同的方法，SKIPIF1<0，做第n步有SKIPIF1<0種不同的方法，那么完成這件事共有N=SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0種不同的方法.

(2)分步乘法計數原理的特點

分步乘法計數原理的特點是在所有的各步之中，每一步都要使用一種方法才能完成要做的事，可以利用圖形來表示分步乘法計數原理，圖中的“SKIPIF1<0”強調要依次完成各個步驟才能完成要做的事情，從而共有SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0種不同的方法可以完成這件事.

(3)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各個步驟既不能重復也不能遺漏.3．分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析(1)聯系

分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.

(2)區(qū)別

分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區(qū)別如下表：(3)分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換法的應用.【題型1分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析】【方法點撥】根據分類加法計數原理與分步乘法計數原理的概念，進行判斷，即可得解.【例1】（2022·高二課時練習）判斷正誤（1）在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．()（2）在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．()【變式1-1】在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．（判斷對錯）【變式1-2】（2022·高二課時練習）判斷正誤（1）在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．()（2）在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()【變式1-3】（2021?概率統計模擬）判斷下列各事件哪些是運用分類計數原理計數．（1）一個三層書架的上層放有5本不同的數學書，中層放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書，從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）一個三層書架的上層放有5本不同的數學書，中層放有3本不同的語文書，下層放，有2本不同的英語書；從書架上任取三本書，其中數學書，語文書，英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？【題型2分類加法計數原理的應用】【方法點撥】應用分類加法計數原理解題的一般思路：一、分類：將完成一件事的方法分成若干類；二、分步：求出每一類中的方法數；三、結論：將每一類的方法數相加，得出結果.【例2】（2022秋·遼寧葫蘆島·高二期中）某學校開設4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學生學習，某位學生任選1門課程學習，則不同的選法共有（

）A．40種 B．20種 C．15種 D．11種【變式2-1】（2022·高二課時練習）某日，甲、乙、丙三個單位被系統隨機預約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗且每個單位只能被隨機預約到一家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個單位．已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預約方案種數為（

）A．27 B．24 C．18 D．16【變式2-2】（2022·高二課時練習）如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12．設1≤i<j<k≤12，若k?j=3且j?i=4，則稱ai，aj，ak為大三和弦；若k?j=4且j?i=3，則稱ai，aA．5 B．8 C．10 D．15【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）從數字1，2，3，4中取出3個數字（允許重復），組成三位數，各位數字之和等于6，則這樣的三位數的個數為（

）A．7 B．9 C．10 D．13【題型3分步乘法計數原理的應用】【方法點撥】應用分布乘法計數原理解題的一般思路：一、分步：將完成一件事的過程分成若干步；二、計數：求出每一步中的方法數；三、結論：將每一步中的方法數相乘，得出結果.【例3】（2023·全國·高二專題練習）某省新高考采用“3+1+2”模式：“3”為全國統考科目語文、數學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【變式3-1】（2023·高二課時練習）如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數為（

）．A．180 B．160 C．96 D．60【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復使用，也可不使用，則復合這些要求的不同著色的方法共有（

）ABCDEA．500種 B．520種 C．540種 D．560種【變式3-3】（2022·高二單元測試）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數，四隅黑點為陰數（圖中白圈為陽數，黑點為陰數）.現利用陰數和陽數構成一個四位數，規(guī)則如下：（從左往右數）第一位數是陽數，第二位數是陰數，第三位數和第四位數一陰一陽和為7，則這樣的四位數的個數有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【題型4兩個原理的綜合應用】【方法點撥】(1)“類中有步”計數問題：完成一件事有幾類方案，每一類方案中分若干步，利用分步乘法計數原理求出每一類方案中的方法數，再利用分類加法計數原理把各類方案的方法數相加，即可得出結果.(2)“步中有類”計數問題：完成一件事的過程分成若干步，完成每一步的方法分成若干類，利用分類加法計數原理求出完成每一步中的方法數，再利用分步乘法計數原理把每一步的方法數相乘，即可得出結果.【例4】（2022春·湖北十堰·高二階段練習）某校高二年級舉行健康杯籃球賽，共20個班級，其中1、3、4班組成聯盟隊，2、5、6班組成聯盟隊，一共有16支籃球隊伍，先分成4個小組進行循環(huán)賽，決出8強（每隊與本組其他隊賽一場），即每個組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級的8支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強，晉級的4支隊伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時后面的4支隊伍要決出第五至八名，則總共要進行籃球賽的場次為（

）A．32 B．34 C．36 D．38【變式4-1】（2022·高二課時練習）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖所示．現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種【變式