2023學(xué)年完整公開課版反比例復(fù)習(xí)

勿自暴，勿自棄，圣與賢，可馴致。知識(shí)要點(diǎn)反比例函數(shù)1.概念y=k/x(k≠0x≠0)xy=k(k≠0x≠0)y=kx-1(k≠0x≠0)2.圖象與性質(zhì)K>0在每個(gè)分支，y隨x增大而減小K<0在每個(gè)分支，y隨x增大而增大S=|k|反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和y=-x。對(duì)稱中心是：原點(diǎn)xy012y=—kxy=xy=-x1.下列函數(shù)中哪些是正比例函數(shù)？哪些是反比例函數(shù)?

①②③④

⑤⑥⑦⑧

y=2x+1y=8x2y=x3y=x4y=-xy=73xy=15xy=x12.若函數(shù)是反比例函數(shù)，求m的取值范圍。反比例函數(shù)中k的要求：xm2y3-=xky=)0(1k反比例函數(shù)的一般式：1-=kxykxy=xky=)0(1k3.若函數(shù)是反比例函數(shù)，求m的值。2)1(--=mxmy(乘積不變性)函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)表達(dá)式圖象及象限性質(zhì)

在每一個(gè)象限內(nèi):當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而增大.y=kx(k≠0)(特殊的一次函數(shù))當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.k<0xyoxyok>0k<0yx0y0k>0x正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的比較二.反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)k>0一、三象限k<0二、四象限4.若函數(shù)過(guò)第四象限，那么反比例函數(shù)的圖象在()A二、四象限B一、三象限C二、三象限D(zhuǎn)一、四象限bxy+=xby=反比例函數(shù)的圖象：xky=)0(1kA5.函數(shù)的圖象位于第

象限,

在每一象限內(nèi),y的值隨x的增大而

,

當(dāng)x＞0時(shí),y

0,這部分圖象位于第

象限.一、三減小＞一6.函數(shù)的圖象位于第

象限,

在每一象限內(nèi),y的值隨x的增大而

,

當(dāng)x＞0時(shí),y

0,這部分圖象位于第

象限.二、四增大＜四7.若雙曲線在第一、三象限，求c的取值范圍。1)2(-+=xcy8.已知反比例函數(shù)(k≠0)

當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y=kx-k的圖象不經(jīng)過(guò)第

象限.xyok＞0k＞0,-k＜0二9.已知點(diǎn)A(-3,y1)，B(-1,y2)，C(2,y3)在反比例函數(shù)的圖象上，則()xy2-=ABCD321yyy<<123yyy<<213yyy<<312yyy<<三.比較數(shù)值的大小12.已知點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)是反比例函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，且X1<x2<0<x3則()xy2=CD10.已知點(diǎn)A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函數(shù)的圖象上,則y1與y2的大小關(guān)系(從大到小)為

，

當(dāng)-4≤x≤-1時(shí)，y的最大值與最小值分別是

、

.

探索方法y1＞y2yxo-1-4x1y3x2y2x3y1y2＞y1＞y3利用增減性前提在同一象限分類思想別忘了！A,B兩點(diǎn)在同一象限；A,B兩點(diǎn)在不同象限

變式2：若點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在函數(shù)的圖象上,則x1,x2滿足

時(shí),y1

＞y2.探索方法函數(shù)值大小比較方法：代入求值法；圖象性質(zhì)法；圖象觀察法；特殊值法.3.已知點(diǎn)A(2,y1)，B(5,y2)都在正比例函數(shù)y=4x的圖象上,則y1與y2的大小關(guān)系為

.4.已知點(diǎn)A(-2,y1)，B(-1,y2)都在反比例函數(shù)(k＜0)的圖象上,則y1與y2的大小關(guān)系為

.y2＞

y1y2＞

y15.已知點(diǎn)A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,則y1、y2與y3的大小關(guān)系(從大到小)為

.y3＞y1＞y2yxo-1y1y2AB-24Cy35.已知點(diǎn)A(-2,y1),B(-1,y2)C(4,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,則y1、y2

與y3

的大小關(guān)系(從大到小)

為____________.yxo-1y1y2AB-24Cy3y3＞y1＞y2探究無(wú)止境14.面積為2的△ABC，一邊長(zhǎng)為x，這邊上的高為y，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并畫出圖像的草圖()xyoxyoxyoxyo44ACBD22四.實(shí)際問(wèn)題中反比例函數(shù)的圖象c15.反比例函數(shù)與正比例函數(shù)xyoxyoxyoxyoACBD

在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象不可能是()xky2-=kxy2=C待定系數(shù)法：(1)設(shè)出反比例函數(shù)一般式；(2)代入變量值，求出系數(shù)；(3)寫出函數(shù)解析式。17.已知y–2與x成反比例，當(dāng)x=3時(shí)，y=1，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為

。18.已知A(-3,4)和B(m+3,2)都是反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，求m.法一：待定系數(shù)法法二：反比例函數(shù)的乘積不變性六.反比例函數(shù)中k值的意義19.在反比例函數(shù)圖象上任取一xyoPMN點(diǎn)P，過(guò)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，那么四邊形ONPM的面積為

。矩形面積=xy6-=k直角三角形面積=k26PDoyx20.如圖,點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),PD⊥x軸于D.則△POD的面積為

.(m,n)121.在反比例函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M、N，若四邊形ONPM的面積為4，則函數(shù)解析式為

。xyoPMN=矩形面積kk2╳=直角三角形面積P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面積性質(zhì)（一）P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面積性質(zhì)（二）P(m,n)AoyxP/面積性質(zhì)（三）P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想若將此題改為過(guò)P點(diǎn)作y軸的垂線段,其結(jié)論成立嗎?P(m,n)oyxP/yP(m,n)oxP/以上幾點(diǎn)揭示了雙曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形的一類性質(zhì).掌握好這些性質(zhì),對(duì)解題十分有益.(上面圖僅以P點(diǎn)在第一象限為例).做一做(一)1.已知△ABC的面積為12,則△ABC的高h(yuǎn)與它的底邊a的函數(shù)關(guān)系式為

.22.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)A(-1,4)、B(2,-3)。求使一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍。七.一次函數(shù)反比例函數(shù)的大小關(guān)系xyoA(-1,4)B(2,-3)圖象的觀察23.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)A(3,2)、B(-2,-4)。求使反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值的x的取值范圍。xyoA(3,2)B(-2,-4)知能遷移1

(2011·聊城)如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象交反比例函數(shù)y＝(x>0)圖象于點(diǎn)A、B，交x軸于點(diǎn)C.(1)求m的取值范圍；

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,－4)，且＝，求m的值和一次函數(shù)的解析式．解：(1)因反比例函數(shù)的圖象在第四象限，所以4－2m＜0，解得m＞2.(2)∵點(diǎn)A(2,－4)在反比例函數(shù)圖象上，∴－4＝，解得m＝6，得y＝.

過(guò)點(diǎn)A、B分別作AM⊥OC于點(diǎn)M，BN⊥OC于點(diǎn)N，所以∠BNC＝∠AMC＝90°.

又因?yàn)椤螧CN＝∠ACM，所以△BCN∽△ACM，所以＝.

因?yàn)椋剑裕剑矗?

因?yàn)锳M＝4，所以BN＝1，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為－1，因?yàn)辄c(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，所以當(dāng)y＝－1時(shí)，x＝8，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,－1)，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝kx＋b的圖象過(guò)點(diǎn)A(2,－4)，B(8,－1)，所以解得所以一次函數(shù)的解析式為y＝x－5.2k＋b＝－4,8k＋b＝－1,b＝－5,k＝,題型二待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式【例2】(2011·濟(jì)寧)如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝(k≠0)在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1.(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如果點(diǎn)B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合)，且B

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小.解：(1)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則b＝，∴ab＝k.∵ab＝1，∴k＝1，∴k＝2.∴反比例函數(shù)的解析式為y＝.(2)由得∴A為(2,1)．∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，∴B(1,2)．設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,－1)．令直線BC的解析式為y＝mx＋n.∵B為(1,2)，∴∴∴BC的解析式為y＝－3x＋5.

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝.∴P點(diǎn)為(,0)．y＝，y＝x，x＝2,y＝1,m＋n＝2,2m＋n＝－1,m＝－3,n＝5.知能遷移2已知：如圖，正比例函數(shù)y＝ax的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A(3,2).(1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？

(3)M是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0<m<3，過(guò)點(diǎn)M作直線MB∥x軸，交y軸于點(diǎn)B；過(guò)點(diǎn)A

作直線AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，交直線MB于點(diǎn)D.當(dāng)四邊形OADM的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段BM與DM的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：(1)∵直線y＝ax過(guò)點(diǎn)A(3,2)，∴2＝3a，a＝，y＝x.

又∵雙曲線y＝過(guò)點(diǎn)A(3,2)，∴2＝，k＝6，y＝.(2)當(dāng)0<x<3時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值．

(3)BM＝DM.理由如下：∵S△OMB＝S△OAC＝×|k|＝3，∴S矩形OBDC＝S四邊形OADM＋2S△OAC＝3＋3＋6＝12.

即OC·OB＝12.∵OC＝3，∴OB＝4，即n＝4，∴m＝＝，∴MB＝，MD＝3－＝，∴MB＝MD.題型三實(shí)際背景下的反比例函數(shù)的圖象【例3】為了預(yù)防流感，某學(xué)校在休息天用藥熏消毒法對(duì)教室進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間x(分鐘)成正比例；藥物釋放完畢后，y與x成反比例，如圖所示．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：

(1)寫出從藥物釋放開始，y與x

之間的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量取值范圍；

(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.45毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室？解：(1)當(dāng)0≤x<12時(shí)，設(shè)y＝k1x.∵x＝12，y＝9，∴9＝12k1，k1＝，y＝x.

當(dāng)x>12時(shí)，設(shè)y＝，∴k2＝xy＝12×9＝108，y＝.(2)當(dāng)y＝0.45，得0.45＝，x＝＝240(分鐘)＝4(小時(shí))．答：至少需要經(jīng)過(guò)4小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)入教室．題型四反比例函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合【例4】(2011·廣州)已知Rt△ABC的斜邊AB在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，點(diǎn)C(1,3)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且sin∠BAC＝.(1)求k的值和邊AC的長(zhǎng)；

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！

解：(1)把C(1,3)代入y＝得k＝3.[2分]

設(shè)斜邊AB上的高為CD，則

sin∠BAC＝＝.∵C(1,3)，∴CD＝3，∴AC＝5.[4分](2)分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖1，有：AD＝＝4，AO＝4－1＝3.∵△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD·AB，∴AB＝＝，∴OB＝AB－AO＝－3＝.此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)．[7分]當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如圖2，此時(shí)AO＝4＋1＝5，OB＝AB－AO＝－5＝，此時(shí)B點(diǎn)坐標(biāo)為(－,0)．[10分]綜上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0)或(－,0)．[12分]知能遷移4如圖，已知A(－4,n)，B(2,－4)是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積；

(3)求方程kx＋b－＝0的解(請(qǐng)直接寫出答案)；

(4)求不等式kx＋b－<0的解集(請(qǐng)直接寫出答案)．解：(1)∵B(2,－4)在函數(shù)y＝的圖象上，∴m＝－8.∴反比例函數(shù)的解析式為y＝.∵點(diǎn)A(－4,n)在函數(shù)y＝的圖象上，∴n＝2，A(－4,2)．∵直線y＝kx＋b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－4,2)，B(2,－4)，∴解之，得∴一次函數(shù)的解析式為：y＝－x－2.－4k＋b＝2,2k＋b＝－4,k＝－1,b＝－2,(2)∵C是直線AB與x軸的交點(diǎn)，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－2.∴點(diǎn)C(－2,0)，∴OC＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BCO＝×2×2＋×2×4＝6.(3)x1＝－4，x2＝2.(4)－4<x<0或x>2.小結(jié)1.反比例函數(shù)的定義及形式2.反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)4.實(shí)際問(wèn)題中反比例函數(shù)的圖象5.待定系數(shù)法6.反比例函數(shù)中k值的意義7.一次函數(shù)反比例函數(shù)的大小關(guān)系3.比較數(shù)值的大小函數(shù)反比例函數(shù)解析式圖象形狀k>0位置增減性k<0位置增減性

雙曲線雙曲線兩支分別在第一、第三象限在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大雙曲線兩支分別在第二、第四象限在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減??；附:反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)方法與技巧牢固掌握本節(jié)知識(shí)點(diǎn)，樹立函數(shù)思想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，注意與其他學(xué)科的結(jié)合．

1.注意反比例函數(shù)中“xy＝k”的幾何意義(圖象上任意一點(diǎn)作x軸、y軸所形成矩形面積)和實(shí)際意義．

2.比例系數(shù)k決定反比例函數(shù)y＝圖象的分布情況(具體見前面的要點(diǎn)梳理)，要重視這些基礎(chǔ)知識(shí)．

3.關(guān)注與反比例函數(shù)有關(guān)的綜合題，掌握其基本方法，如求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法等．

4.解一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合性問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)用“把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系”的策略．思想方法感悟提高失誤與防范

1．反比例函數(shù)中，y隨x的大小而變化的情況，應(yīng)分x>0與x<0兩種情況討論，而不能籠統(tǒng)地說(shuō)成“k<0時(shí)，y隨x的增大而增大”．雙曲線上的點(diǎn)在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的變化是一致的，但在不同象限上的兩個(gè)點(diǎn)比較函數(shù)值的大小時(shí)，不能按這個(gè)規(guī)律．當(dāng)k>0時(shí)，第一象限點(diǎn)的縱坐標(biāo)值為正，而第三象限點(diǎn)縱坐標(biāo)值都為負(fù)；當(dāng)k<0時(shí)，第二象限上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為正，第四象限上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為負(fù)．

2．在比較大小時(shí)，不可以忽略了反比例函數(shù)的圖象是由兩條分支組成的(分別在不同的兩個(gè)象限)，在不同的象限是不能用它的性質(zhì)來(lái)判斷的，而是要分別討論．運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要注意在每一個(gè)象限內(nèi)的要求.知識(shí)要點(diǎn)3反比例函數(shù)1.概念y=k/x(k≠0x≠0)xy=k(k≠0x≠0)y=kx-1(k≠0x≠0)2.圖象與性質(zhì)K>0在每個(gè)分支，y隨x增大而減小K<0在每個(gè)分支，y隨x增大而增大S=|k|3.應(yīng)用xyo4.∠A=900,∠B=600,AB=1,斜邊BC