降落傘選擇問(wèn)題-數(shù)學(xué)建模

降落傘的選擇問(wèn)題組長(zhǎng)：張瑜組員：楊璐組員：胡瀟摘要本文討論并確定了降落傘的最佳選購(gòu)方案，在滿足空投物資重量的前提下，使購(gòu)買降落傘的費(fèi)用最小。該問(wèn)題是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，以購(gòu)買降落傘的費(fèi)用最小構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，以救災(zāi)物資2000,5種不同半徑的降落傘的最大載重量為限制條件，進(jìn)行線性規(guī)劃，建立優(yōu)化模型。通過(guò)LinDo軟件對(duì)模型進(jìn)行求解，最終得出最佳方案為３的降落傘數(shù)量為６個(gè)，其他半徑的降落傘不予選購(gòu)，以及最小費(fèi)用為4793元。首先，我們需要計(jì)算各規(guī)格降落傘的價(jià)格，可知其價(jià)格由傘面費(fèi)，繩索費(fèi)，固定使用費(fèi)三部分構(gòu)成，以此進(jìn)行計(jì)算。其次，我們需要計(jì)算出阻力系數(shù)，我們利用了兩種方法確定出阻力系數(shù)為2.95747；之后，我們要確定不同半徑的降落傘的最大載重量，通過(guò)之前計(jì)算出的速度與時(shí)間的關(guān)系式，推出速度與質(zhì)量的關(guān)系，再確定質(zhì)量與速度的關(guān)系，從而通過(guò)計(jì)算得出不同半徑降落傘的最大載重量；最后列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，進(jìn)行線性規(guī)劃，利用LinDo軟件得出最終結(jié)果?？傊?，我們的模型在理論分析上提出了選擇降落傘最優(yōu)化，為選擇合適的降落傘提供了可行的理論依據(jù)。關(guān)鍵字：優(yōu)化方案、線性規(guī)劃、微分方程、MATLAB,LINDO():分別表示購(gòu)買一個(gè)半徑為的降落傘的各自總費(fèi)用，單位(元)。：指的是半徑的最大載重量，單位()。:表示t時(shí)刻降落傘的速度單位()。:表示降落傘的受力面積，單位()。:表示時(shí)間，單位()。：表示空氣阻力系數(shù):貨物的質(zhì)量，單位()。:重力加速度，單位()。模型假設(shè)1.假設(shè)2000kg物資可以任意分割。2.假設(shè)在降落傘下落過(guò)程中只受到重力，和一個(gè)可以視為非重力因素共同作用下的合力空氣阻力的影響，不考慮橫向受力。3.假設(shè)繩索和傘面的質(zhì)量忽略不計(jì)。4.假設(shè)在受力分析過(guò)程中，和下落過(guò)程中計(jì)算高度時(shí)，可將物資看做質(zhì)點(diǎn)。5.假設(shè)降落傘的阻力與速度和面積的成績(jī)成正比，其系數(shù)成為空氣阻力系數(shù)，為常數(shù)。6.假設(shè)繩索的價(jià)格每米1元，每個(gè)降落傘固定費(fèi)用是常數(shù)為200元。模型建立由模型分析可知，這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，要建立費(fèi)用最小的目標(biāo)函數(shù)，和以不同規(guī)格的降落傘總載重量大于等于作為約束條件，在LINDO軟件中計(jì)算出不同規(guī)格降落傘的選擇個(gè)數(shù)，得出一個(gè)最優(yōu)方案。對(duì)此問(wèn)題分三步進(jìn)行：第一步：計(jì)算各規(guī)格單個(gè)降落傘的費(fèi)用 在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，總費(fèi)用是各規(guī)格降落傘的個(gè)數(shù)和相應(yīng)的單個(gè)降落傘的費(fèi)用，所以首先要計(jì)算出各規(guī)格單個(gè)降落傘的費(fèi)用。由題目可知，其價(jià)格由三部分組成，傘面費(fèi)，繩索費(fèi)，固定使用費(fèi)，而其中傘面費(fèi)為題目中所給的不同半徑?jīng)Q定，繩索費(fèi)由繩索長(zhǎng)度和單位長(zhǎng)度的價(jià)格決定，固定費(fèi)為常數(shù)由題目中所給表格1（見(jiàn)附錄）及計(jì)算可得其費(fèi)用：(元)651703506601000（元）181226271317362（元）200200200200200（元）44659682211771562表格3其中，由于貨物在球心正下方球面處，則繩索長(zhǎng)度是第二步：計(jì)算阻力系數(shù)為表述不同規(guī)格總載重量大于等于這一條件，并求解降落傘速度滿足的微分方程，方正中的重要參數(shù)——空氣阻力系數(shù)是未知的，在此我們需要對(duì)已知表格2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，從而求出空氣阻力系數(shù)。對(duì)降落傘進(jìn)行受力分析見(jiàn)圖1G=mgG=mgF=kvs貨物圖2由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及假設(shè)有：(1)其中(指下落過(guò)程中的加速度)即(2)解之得(3)積分有：即(4)由假設(shè)將原實(shí)驗(yàn)表的數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍03691215182124273003075128183236285340392445499表格4在matlab中作圖可得：圖3在MATLAB軟件中輸入以下程序：見(jiàn)（附錄程序1）由圖像可見(jiàn)H(t)~圖像的后段幾乎為線性關(guān)系，即后期幾乎為勻速運(yùn)動(dòng)，則選擇t=9s,以后的點(diǎn)作線性回歸(5)(其中:計(jì)算過(guò)程中線性回歸的系數(shù))通過(guò)MATLAB軟件擬合寫(xiě)出程序2（見(jiàn)附錄程序2）可得：那么由分析，則得另一個(gè)方面為了檢驗(yàn)上述擬合是否高度近似，我們用下面的方法進(jìn)行檢驗(yàn)由(3)式可知(6)利用表格2的數(shù)據(jù)和(3)式，輸入MATLAB軟件中作v(t)~t圖像可得：圖4在之后，作擬合，可得在第一個(gè)方法中計(jì)算所得空氣阻力系數(shù)和此方法中計(jì)算的近似相等，可以看出第一個(gè)方法的擬合度是很高的。第三步：求各種規(guī)格降落傘的最大載重量在列約束條件時(shí)，不同規(guī)格總載重量大于等于，總載重量為不同規(guī)格降落傘的個(gè)數(shù)乘其相應(yīng)的最大載重量得到，在此我們需要計(jì)算不同規(guī)格降落傘的最大載重量。由(3)式可知這是下落速度的方程，而我們要求出降落傘最大載重量，在這里將參數(shù)轉(zhuǎn)換，將變?yōu)槌Ａ慷鴮①|(zhì)量視為變量，更容易求解。上式可寫(xiě)為：要求出最大載重量，需要得出關(guān)于是一個(gè)遞增函數(shù)，那么在時(shí)，便可以得到安全范圍內(nèi)的最大載重量。即，則則為單調(diào)遞增函數(shù)故也為單調(diào)遞增函數(shù)由此可得當(dāng)，每種規(guī)格降落傘取得最大載重量聯(lián)立(3)式，(4)式，得(8)消去參數(shù)t,有(9)將，代入(9)式有：152.396238.119342.892466.713609.58525.132739.269956.548776.9690100.5310表格5其中(指的是半徑的最大載重量)模型求解則所得線性規(guī)劃為：根據(jù)購(gòu)買降落傘的總費(fèi)用最少可得出目標(biāo)函數(shù)為：以采購(gòu)的降落傘載重量之和不少于空投物資的總重量為約束條件：決策條件為采購(gòu)的各種規(guī)格的降落傘個(gè)數(shù)不為負(fù)，所以有：且為整數(shù)i=1,2,3,4,5；由已知:帶入數(shù)據(jù)則有：ST且且為整數(shù)i=1,2,3,4,5；通過(guò)LINDO軟件可得；；；；；即在此次降落傘的選擇中選擇半徑為3m的降落傘6個(gè)，最小費(fèi)用為4793元模型的評(píng)價(jià)與推廣優(yōu)點(diǎn)：1.分析阻力時(shí)用兩種方法計(jì)算出了的大小，大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題。2.在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，從推導(dǎo)出,而且從反推出，盡可能大的減少了計(jì)算量。3.在解決問(wèn)題時(shí)，采用分步求解法不但細(xì)化了問(wèn)題，而且使問(wèn)題得到了更全面更精確地結(jié)果。缺點(diǎn)：1．選擇降落傘時(shí)，計(jì)算貨物的加速度時(shí)忽略了風(fēng)力因素，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的不精確。2.在簡(jiǎn)化問(wèn)題時(shí)對(duì)降落傘的質(zhì)量進(jìn)行忽略，但在實(shí)際中是不可任意忽略的。3.本文將貨物處理成物理質(zhì)點(diǎn)，并未考慮實(shí)際物資是否可拆分。模型的推廣1.中，可以通過(guò)該改變降落傘載重量與面積的大小可以改變落地時(shí)速度的大小。2.通過(guò)對(duì)這個(gè)模型的建立，可以推廣到不同質(zhì)量的貨物上，如3000,50003.這個(gè)模型也適用于集裝箱問(wèn)題，從更進(jìn)一步上舉一反三，進(jìn)行資源的整合。參考文獻(xiàn)1./2．《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》蕭樹(shù)鐵主編，高等教育出版社，1999.7.1附錄程序1>>t=[0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30]；>>H=[0,30,75,128,183,236,285,340,392,445,499];>>plot(t,H,'*')程