2023年江西省九江市普通高校對口單招數(shù)學自考真題(含答案)

2023年江西省九江市普通高校對口單招數(shù)

學自考真題（含答案）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（10題）

1.在等差數(shù)列｛aQ中，如果a3+a4+a5+a6+a7+a8=30,則數(shù)列的前10項的

和Sio為（）

A.30B.40C.50D.60

2函數(shù)/（，）=1噸3（戈一1）的定義域為（）

（-℃-1]

A.

（-1,+℃）

B.

C.（-吟1】

（1,2）

D.

3.一條線段AB是它在平面a上的射景的右倍，則B與平面a所成角

為（）

A.30°B.450C.60°D.不能確定

函數(shù)v=4工+3的單調遞增區(qū)間是（）

4.

At*

B.（。,+幻

C(-6.0)

[O.+ac)

D.

5.若是兩條不重合的直線表示平面，給出下列正確的個數(shù)（）

Hn

(?la

(1)mLn

mLa

w//n

(2)n±a

(3)

加/a

)n

(4)mLn

A.lB.2C.3D.4

等差數(shù)列｛%｝中，a,=-5,a2=-1則a3=

6.

A.3

B.8

2

c.

7.“沒有公共點”是“兩條直線異面”的（）

A.充分而不必要條件B.充分必要條件C.必要而不充分條件D.既不充

分也不必要條件

8.已知向量a=（1,1）,b=（2,x）,若a+b與4b-2a平行，則實數(shù)x

的值是（）

A.-2B.OC.2D.1

9.直線4x+2y-7=0和直線3x-y+5=0的夾角是（）

A.30。B.45°C.60°D.90°

10.直線ax+by+b-a=0與圓x2+y2-x-2=0的位置關系是（）

A.相離B.相交C.相切D.無關

二、填空題（10題）

11.若集合/=,貝ijx=.

12.函數(shù)=的定義域是.

13.若lgx>3,則x的取值范圍為.

14.5個人站在一其照相，甲、乙兩人間恰好有一個人的排法有種.

15.當OVxVl時，x(l-x)取最大值時的值為.

16.己知三個數(shù)成等差數(shù)列，他們的和為18,平方和是116,則這三個

數(shù)從小到大依次是.

17.方程擴4X-3x2x-4=0的根為.

18.(x+2)6的展開式中x3的系數(shù)為一。

19已知集合”={—LI}.N=則Ml)N=

2Q已知向量^二盤㈤力二在〃?)，且那么實數(shù)m的值為?

三、計算題(5題)

21.近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為“廚余

垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四類，并分別垛置

了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾的正確分類投放情況，現(xiàn)隨機

抽取了該市四類垃圾箱總計100噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:

噸）:

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾24412

可回收垃坂41923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)試估計“可回收垃圾”投放正確的概率;

(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率。

22.已知函數(shù)y=0cos2x+3sin2x,x￡R求：

(1)函數(shù)的值域；

(2)函數(shù)的最小正周期。

23.有語文書3本，數(shù)學書4本，英語書5本，書都各不相同，要把這

些書隨機排在書架上.

(1)求三種書各自都必須排在一起的排法有多少種？

(2)求英語書不挨著排的概率P。

1—X

己知函f(x)=loga-------，(a>0且ar)

24.1+x

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由。

25.求焦點x軸上，實半軸長為4,且離心率為3/2的雙曲線方程.

四、簡答題(10題)

26.數(shù)歹爪外；的前n項和Sn,且a】=Laz=S*.N=L23求

(1)a2,a3,加的值及數(shù)列3』的通項公式

(2)a2+a4+a6++a2n的值

27.已知函數(shù)：""，求x的取值范圍。

l-sinall-cosd

+smaJ------

J.一—，.---------------Vl+COSd

29.證明：函數(shù)磔由R+x)(xeW是奇函數(shù)

30.在等差數(shù)列中，已知ai,04是方程x2-10x+16=0的兩個根，且加

>ai,求S8的值

31.已知等差數(shù)列㈤；的前n項和是芯二一2^一。求:

(1)通項公式

(2)ai+a3+a5+..?+a25的值

32.如圖，在直三棱柱從駝一48￡中，已知4cl犯，府=2/C=Cq=l

(1)證明：AC±BC；

(2)求三棱錐的體積.

33.在ABC中，BC=6AC=3,sinC=2sinA

(1)求AB的值

sin(2J——)

(2)求2,的值

34.求經過點P(2,-3)且橫縱截距相等的直線方程

14-sin

20=sm6+cos8

35.求證知8+cos6

五、解答題(10題)

36.

37.設函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a#0).

⑴若曲線y=f(x)在點(2,f(x))處與直線y=8相切，求a,b的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間與極值點.

38.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a,

⑴當a=2時，求函數(shù)f(x)在［0,3］上的值域；

⑵若a<0,求使函數(shù)f(x)=x2-2ax+a的定義域為［—1,1］,值域為［一2,2］

的a的值.

39.解不等式4<|l-3x|<7

40.

已知圓C的方程是.

(I)如果圓C與直線)=0沒有公共點，求實數(shù)，”的取值范圍；

(II)如果圓c過坐標原點，直線/過點P(0,)(OW"W2),且與圓C交于A,B兩點，對于每一

個確定的。，當AABC的面積最大時，記直線/的斜率的平方為"，試用含"的代數(shù)式表示"，

試求”的最大值.

41.如圖，在三棱錐A-BCD中，ABJL平面BCD,BC_LBD,BC=3,

BD=4,直線AD與平面BCD所成的角為45。點E,F分別是AC,AD

的中點.

(l)求證:EF//平面BCD;

(2)求三棱錐A-BCD的體積.

求在兩坐標軸上截距之和等于4,且與直線5肝3y=0垂直的直線方程.

42.

43.數(shù)列的前n項和Sn,且生=E,產工”1.23求

(1)a2,a3,04的值及數(shù)列的通項公式

(2)a2+a4+ae++a2n的值

44.

某人在銀行參加每月1000元的零存整取儲蓄，月利率是按單利（單利是指如果儲蓄時間

超過單位時間，利息不計入本金，上一單位時間給予的利息不再付利息）0.2%，計算，問

12個月的本利合計是多少？

2

己知數(shù)列｛4｝的首項4=1,4=3?（1+2n-6n+3（n=2.3,.?.）

數(shù)列｛b?｝的通項公式b“+n2：

⑴證明數(shù)列｛>｝是等比數(shù)列.

45（2）求數(shù)列｛b“｝的前n項和S0.

六、單選題（0題）

46.設一直線過點（2,3）且它在坐標軸上的截距和為10,則直線方程

為（）

A5+7=1

B.衿

c.尹河欄刁

參考答案

1.C

???在等差數(shù)列｛%｝中,

Q,3+(1,\+。巧+。6+。7+=30,

*。5+Q6)=30,

即&)+。6=1°,

.Q_10(Q1+%0)_10(。5+。6)_10X10

??o1()2220e

2.D

3.B

根據(jù)線面角的定義，可得AB與平面a所成角的正切值為1,所以所成

角為45。。

4.A

5.B

若兩條不重合的直線表示平面，由直線和平面之間的關系可知(1)、

(4)正確。

6.A

7.C

“直線a,6沒有公共點”=“直線a,b互為

異面直線或直線a,6為平行線”，

“直線a,b互為異面直線”?！爸本€a,b沒

有公共點”，

“直線a,&沒有公共點”是“直線a,6互為

異面直線”的必要不充分條件。

8.C

T

*/a=(1,1),b=(2㈤,

——T—

/.a+b=(3,a；+1),46—2a,

二(6,4x-2)

由于~a+b與4b-2~a平行，

得6(3+1)—3(41-2)=0,

解得x=2.

9.B

由題意，直線4c+2g-7=0的斜率為-2,

直線3c-沙+5=0的斜率為3,則

直線4c+2g—7=0和直線3i—g+5=0的

1-2-31

夾角的正切值是|--------|=1

1+(-2)x3

直線4c+2y—7=0和直線3c-g+5=0

的夾角45°

10.B

11.

0,V3,-V3,AB為A和B的合集，因此有x2=3或x2=x且x不等

于i,所以x人-—丹

12.{x|l<x<5且/2},

函數(shù)(宓-1)(5-％)的定義域是多少

1一1>0且力一1w1

5-力>0

解得

北(1,2)U(2,5)

13.x>1000對數(shù)有意義的條件

Igjr>3<=>lgx>lgl03=>x>103

14.36,

。(1,3)x42,2)xZ(3,3)

=3x2x6

=36(種)

先選出中間那個人，再對甲乙排序(就兩

種)，最后將5個人看成3個人全排序。

15.1/2

xV-x>0.jr(l—_r

2

:,當且僅當工=即J時等號成立.

均值不等式求最值???（）＜4

16.4、6、8

17.2解方程.原方程即為（2x）-3.2x-4=0,解得2x=4或2x=」（舍去），解得

x=2.

18.160

本題主要考查二項式定理。

展開式中〃的系數(shù)是叱-23=160。

20.-2/3

21.

解：⑴依題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28（噸）

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19噸

19_19

所以，可估計“可回收垃圾”投放正確的概率為：19+4+2+3-28

⑵據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，總共抽取了100噸生活垃圾，其巾“廚余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸，13噸。故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70噸，所以,生活拉圾投放錯誤的總量為100-70=30噸，

100-（19+24+14+13）_3

所以生活垃圾投放錯誤的概率：------100-------=10

22.

：M：y=V3cos2x+3sin2x

=2\/3(sin—cos2x4-cos-sin2x)

66

=2>/3sin(2x+—)

6

(1)函數(shù)的值域為［一2百,2行］.

2JT

(2)函數(shù)的最小正周期為T=M=7r.

2

23.

解：(1)利用捆綁法

先內部排：語文書、數(shù)學書、英語書排法分別為Z；、J；'H

再把語文書、數(shù)學書、英語書看成三類，排法為

排法為：港團工：團=103680

(2)利用插空法

全排列：留；

語文書3本，數(shù)學書4本排法為：⑷

插空：英語書需要8個空中5個：彳

英語書不挨著排的概率：P=^4-=—

/99

24.

解：(1)由題意可知：---->0?解得：一1<\<1,

1+x

?1?函數(shù)/(x)的定義域為xe(-l,1)

(2)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，理由如下：

/(-x)=電=電p=-log。p=-/⑴，

l+(-x)l-x1+X

:.函數(shù)/(X)為奇函數(shù)

25.解:

實半軸長為4

a=4

e=c/a=3/2,/.c=6

.?.a』6,b=c2-a=20

雙曲線方程為16

26.

an=-3Sn-i.(it.2)

i4

則凡“一4=三%即一型1=T

343

則數(shù)列從第二項起的公比是g的等比數(shù)列

⑵79

27.

3x-4>0

解，由題意得x2-x-4>0

3X-4<X2^X-4

X>4

28.

|(1-sinaY+sin°J_is4一

解：原式=ccsa.

1(1+sinn)(l-sina))(1.cos4)(1-cosa)

cos夕L”sinai+sina.上cos/二。是第一象限角

|cosa||sinaI

29.證明：2/(x)=lg(J/+l+K)

=lg(&+1-x)=-/(x)

則，此函數(shù)為奇函數(shù)

30方程？-10/16=0的兩個根為2和8,又心羽

.?.勺=2,at=8

又,.?a4=ai+3d,/.d=2

e。8(8-1*°\8X7X2”

凡=朋+————=8x2+------=72

?/22o

31.

解：(1)由5.=-2/-〃馮=5=-3

a”=,-S.-i=?-4"(ji22)

/.=1-4n(JIeI)

(2){%}是屆=-3,<￡=—4,三位等若數(shù)列

數(shù)列是首項一3,d=-8項數(shù)居13項的等差數(shù)列

則數(shù)列=13x(-3)+號2x(—8)=-663

32.

(1)證明：?.?直三棱柱從J_平面工次"44g,CCj平面ABC

又：BCU平面ABC/.BCJ_CCI

?.AJ_BC又，4ccq=c

ACcq平面2CG4

??.BC_L平面上％4

???ACJ_平面上％4

...AC_LBC

(2)AB=2,AC=1,AC±BC,/.BC=V3

??三棱港用"Cc的觸產皿=興3颯=蕓"11邛

33.

(1)VJJC=V5,sinC=2sinJ

由正弦定理得48=蛆粵￡=2石

(2)由余弦定理得：

AB1^AC1-BC’2石

cos/■--------------------=——

2ABAC5

?石一4一3

??sin/"—,sin2A=一，cos24?二

555

則sin(2/■1)■當

410

34.設所求直線方程為y=kx+b

_b

由題意可知-3=2k+b,b=~k

解得，"萬時，b=0或k=-l時，b=-l

y=--xsifey=-x-1

所求直線為,2

35.

1+2sin6cosJ

證明:左邊==sin。+cos6=右邊

sin6cos0

等式成立

36.

(1)由已知得，點P是角a的終邊與單位圓的交點,

44

■:v=sin(X-v二一.

55

(2)能.

43

A=—,:.cosa=A=-

:.sin(—+a)=sin—cosa.+cos—sina

_772

1()

37.⑴f(x)=3x2-3a,二曲線：y=f(x)在點(2,f(x))處與直線y=8相切,

.-0/3(4—a)■■0(a=4.

I/"(2=8)I8-*6a-4-Z>w,86-24

(2)V/'(j)=3(x*a)(aKO).當aVO時.

r<J)>0.函數(shù)/G)在(-8,+8)上單調遞

增?此時函數(shù)/(J-)沒右極值點.當a>0時,由

/"(x)=0n.r-i?fa?當rW(-°°?->Ja)時.

/?(X)>0,函數(shù)/(J)單調遞增,當工w一n.

日)時?ra)vo?函數(shù)/G)單淵遞乂，當zW

(6?+8)時./0)>0.函數(shù)/(x)通調遞增.

此時1—-4a是/《工)的極大值點?x=4是

/(X)的極小值點.

38.

(1)當ar2時?/□》，-J—4/+2.圖

象關于I=2對稱；??：6[0,3]"《工)在[0.2]

上年蠲減?在[2?3]上單調增一最小小為/(2)

=-2.而/((??2?八3)--1???值域為[-2.2].

//(I)-2,

(2)當一14aW0時?有即

/(a)—-2?

//(I)-1-a-2.

解得■—1；當aV-1時.

|/(a)=a-a'.

(/(—1)=-2?/l+2a+a=

AQ—一1?舍

|/(1)=2.1l-2a+a=2

去.綜上所述a=-1.

39.

解：對不等式進行同解變形得：

4<l-3x<7或-7<l-3x<-4

58_.

—VXV—或4s-2<x<-l

33

40.

(I)解：由可得：X2-.'/x2+(y-l)2=l-表示圖,

二1一〃，>0,即，"VI.又?..圓C與直線.'=0沒有公共點，二1一"Y1,即〃>o.

綜上，實數(shù)川的取值范圍是.

(II)解：..“圓C過坐標原點，

二，"=0.，圓C的方程為.5+,圓心c(0,1),半徑為1.

當。=1時,直線/經過圓心c,AABC不存在,故。€[0,1)11(12].

由題意可設直線/的方程為.35,AABC的面積為S.

則S=：|CA|-|CB|?sinZACB=\sin/ACB....當sin/ACB最大時，S取得最大值.

要使sin/ACB=￡,只需點C到直線/的距離等于三.即日工=①.

227^+12

整理得產=2("-?-120.解得“41-乎或“21-當.

①當。e[01-f]|J口+4Z時，sin/ACB最大值是1.此時A:=2zr-4?-l,即：-ki

②

③當。w(lW」)U(U-當時，NACBe(.T).

2.2.2.

....v=sinA是(二")上的減函數(shù)，，當NACB最小時，sin/ACB最大.

2

過C作CD1AB于D,則NACD=；NACB...?當/ACD最大時,NACB最小.

,/sinZCADxffi=|CD|,且NCAD€（0,?

C4|

...當|CD|最大時，sin/ACD取得最大值，即NCAD最大.

,..|CD|W|CP|,...當CP1/時，|CD|取得最大值|CP|.

...當AABC的面積最大時,直線/的斜率4=0.，〃=0.

"-4“+14€[0,1-^?]0口-專,2]

綜上所述,2.2

0,0€（1_.」）出1,1邛）

i)&w[0J-g]U[l-=，2]，

口=2f-4〃-1=2(U-1)'-1,當“=2或4=0時，u取得最大值I.

L2.

ii)a€(1-^4)11(14-^),u=0.

2x.

由i),ii)得“的最大值是I.

41.

(】)【證明】E、F分別為AC,AD中點AEF

//CDVCDU平面BCD.EF平面BCD,

:?EF〃平面BCD.

(2)【超】直線AD與平面BCD的夾角為45.又

V柱4ABD中.AB1BD?，NBDA=/BAD

?45°?AB=BD=4,又*?S^KD=3X4X=

6■