5.4.2 正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)7題型分類

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)7題型分類一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)名稱函數(shù)性質(zhì)y＝sinxy＝cosx相同處定義域RR值域[－1,1][－1,1]周期性最小正周期2π最小正周期2π不同處圖象奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上單調(diào)遞減在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上單調(diào)遞減最值x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，ymax＝1；x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)時，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)時，ymin＝－1對稱性對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)對稱中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z)二、解讀正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性(1)正弦、余弦函數(shù)在定義域R上均不是單調(diào)函數(shù)，但存在單調(diào)區(qū)間．(2)求解(或判斷)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(或單調(diào)性)是求值域(或最值)的關(guān)鍵一步．(3)確定含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的較復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性時，要注意使用復(fù)合函數(shù)的判斷方法來判斷．三、解讀正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值與對稱性(1)明確正、余弦函數(shù)的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.(2)對有些函數(shù)，其最值不一定是1或－1，要依賴函數(shù)的定義域來定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數(shù)的最值通常利用“整體代換”，即令ωx＋φ＝z，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y＝Asinz的形式求最值．(4)正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點或最低點，即此時的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(5)正弦曲線(余弦曲線)的對稱中心一定是正弦曲線(余弦曲線)與x軸的交點，即此時的正弦值(余弦值)為0.（一）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1、求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的技巧求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，若ω為負(fù)數(shù)，則要先把ω化為正數(shù)．當(dāng)A>0時，把ωx＋φ整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，求得的x的范圍即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．當(dāng)A<0時，上述方法求出的區(qū)間是其單調(diào)性相反的區(qū)間．最后，需將最終結(jié)果寫成區(qū)間形式．2、求y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，可以把ωx＋φ看作一個整體(保證ω>0)放入y=sinx和y=cosx保證x的系數(shù)為正，否則應(yīng)按“同增異減”的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解.題型1：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間11．（2023上·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】當(dāng)時，，所以當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增．故選：B.12．（2023下·吉林長春·高一東北師大附中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，的增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，再用整體代換的方法即可求出單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由題意，得.令，解得.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.因為，所以令，則得函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間為.故選：C.13．（2023下·新疆·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷作答.【詳解】函數(shù)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在、上都不單調(diào)，在上單調(diào)遞減，即選項BCD都不是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，A是.故選：A14．（2023下·高一單元測試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出函數(shù)圖象即可得到單調(diào)增區(qū)間.【詳解】作出的圖象可知其單調(diào)增區(qū)間為，

故選：C.15．（2023·上海·高一假期作業(yè)）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【答案】【分析】將代入余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間求解即可.【詳解】令,得.得單調(diào)遞減區(qū)間是.16．（2023·高一課時練習(xí)）畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象討論其性質(zhì).【答案】答案見解析.【分析】把函數(shù)化成分段函數(shù)，作出在區(qū)間上的圖象，再探討函數(shù)性質(zhì)作答.【詳解】令，其定義域為R，，由得：，即，由得：，即，因此，顯然，函數(shù)在上的圖象，如圖，將上述圖中的圖象向左或向右每個單位長度平移，即得函數(shù)的圖象，顯然有，結(jié)合函數(shù)的圖象知：函數(shù)的定義域為R；值域為：；奇偶性：是偶函數(shù)；周期性：最小正周期為；對稱軸：；單調(diào)性：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.題型2：根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)21．（2023上·湖北·高一湖北省天門中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則取值范圍是.【答案】【分析】利用整體代入得方法得到的單調(diào)遞增區(qū)間，然后列不等式求解即可.【詳解】令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以.故答案為：22．（2023上·全國·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為．【答案】【分析】求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系，列式計算即得.【詳解】函數(shù)中，由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，依題意，，則，解得，由，得，即，而，因此，所以的最大值為.故答案為：23．（2023上·湖北武漢·高一武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用整體代換法求出函數(shù)的遞減區(qū)間，結(jié)合集合的包含關(guān)系列出不等式組，解之即可.【詳解】由題意知，，令，解得，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得，當(dāng)時，.故選：C.24．【多選】（2023下·湖北省直轄縣級單位·高一?？计谥校┮阎?，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值可以是（

）A．1 B． C． D．2【答案】AB【分析】根據(jù)的范圍得出，根據(jù)的單調(diào)性可得出即可得出的可能取值．【詳解】，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，解得，，時，，

的值可以是．故選：AB．25．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則的取值范圍是（

）A． B． C．D．【答案】C【分析】三角函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，可知在區(qū)間內(nèi)不含對稱軸，構(gòu)建不等式即可求得的取值范圍.【詳解】因為，令，可得對稱軸方程，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，,且，，即，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，所以，即，又，可得或，故選：C.26．（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性列不等式組解得實數(shù)m的取值范圍，即可得實數(shù)m的最大值.【詳解】因為，則，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以則，又故，所以實數(shù)m的最大值為.故選：A.27．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合整體法結(jié)合三角函數(shù)圖象性質(zhì)對進(jìn)行最值分析，對區(qū)間上進(jìn)行單調(diào)分析；【詳解】當(dāng)時，因為，則，因為函數(shù)在上存在最值，則，解得，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則．所以，．因此的取值范圍是．故選：D．28．（2023·全國·河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為在上存在對稱軸，求出對稱軸方程，建立不等式組求解即可.【詳解】已知，令，解得則函數(shù)對稱軸方程為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，，解得，又由，且，得，故僅當(dāng)時，滿足題意.故選：C.29．（2023上·江西宜春·高三江西省銅鼓中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)，求出，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖像，求出的取值范圍.【詳解】若，則，因為函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，所以，解得.故答案為：（二）利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大比較三角函數(shù)值大小的方法(1)比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．(2)比較兩個不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較．題型3：利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小31．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【詳解】由題意可得，，，∵，∴，故．故選：C.32．（2023上·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）已知則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，借助等中間量，對分別估值即可得.【詳解】由函數(shù)是上的增函數(shù)，得，且，由函數(shù)是上的增函數(shù)，得，由在單調(diào)遞增，得，綜上可得.故選：A.33．（2023下·四川綿陽·高一綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)在上的單調(diào)性可得大小關(guān)系.【詳解】由誘導(dǎo)公式知：，，在上單調(diào)遞增，，即.故選：D.34．（2023下·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將與0,1比大小，與0比大小，與1比大小，即可得結(jié)論.【詳解】因為，所以，又，，所以.故選：B.35．（2023下·山西·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判即可.【詳解】因為，，，所以．故選：A36．（2023下·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，，又因為，所以，即，所以.故選：B37．（2023上·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷的大小關(guān)系，利用可得，結(jié)合兩邊取對數(shù)可得的大小關(guān)系，即可得答案.【詳解】因為，故，即，又，即，故，即，即，故選：D38．（2023下·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，則大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.【詳解】因為，且在上單調(diào)遞增，則，即；又因為，且在上單調(diào)遞減，則，即，且，所以.故選：B.39．【多選】（2023上·山東泰安·高一泰山中學(xué)?？计谀┮阎?，則下述正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間值進(jìn)行判斷．【詳解】∵，，，∴，故選：AB．310．（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，均在上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等知識確定正確答案.【詳解】由于，在上單調(diào)遞增，所以，A選項錯誤.，在上單調(diào)遞增，所以，而在上單調(diào)遞增，所以，B選項正確.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，C選項錯誤.是奇函數(shù)，，是偶函數(shù)，由于在上單調(diào)遞增，所以，由于在上單調(diào)遞增，所以.故選：B（三）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值(值域)問題三角函數(shù)最值問題的三種常見類型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))的有界性，注意對a正負(fù)的討論．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范圍，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設(shè)t＝sinx，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c求最值．t的范圍需要根據(jù)定義域來確定．題型4：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值(值域)問題41．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，的值域為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用可得，再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知若，則可得；顯然當(dāng)時，可得，由的值域為，利用三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得，解得，即的取值范圍是.故選：D42．（2023上·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值之差為（

）A． B．0 C．2 D．【答案】D【分析】由，可得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最值.【詳解】因為，所以，所以，由的圖像與性質(zhì)知，當(dāng)時，有最小值為，當(dāng)時，有最大值為，所以最大值與最小值之差為，故選：D．43．（2023上·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求解即可.【詳解】解：由，可得，則.故選：A.44．（2023上·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)校考期中）已知關(guān)于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)求出的最小值即得.【詳解】顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由關(guān)于的不等式有解，得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：45．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用三角函數(shù)的值域，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），，，，故的值域為.（2），，，，，，，故的值域為.46．（2023上·山東聊城·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求使成立的的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用整體代入法求得解析式和單調(diào)遞減期間；（2）解三角不等式求得.【詳解】（1），，，的最大值為，，，由，得，的單調(diào)遞減區(qū)間為（2），即，所以所以，故的取值集合為47．（2023上·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)，函數(shù)的值域為，則．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出值域即得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，正弦函數(shù)在上遞增，在上遞減，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，即函數(shù)的值域為，所以.故答案為：48．（2023上·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)值域的知識求得.【詳解】依題意，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由于，所以，此時，當(dāng)時取得最小值，符合題意，所以.故答案為：（四）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性求三角函數(shù)的周期，一般有三種方法定義法：直接利用周期函數(shù)的定義求周期．使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時，都有.利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗證的思路，非常適合選擇題；公式法，即將函數(shù)化為或的形式，再利用求得，對于形如y＝asinωx＋bcosωx的函數(shù)，一般先將其化為y＝eq\r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；圖象法：利用三角函數(shù)圖象的特征求周期．如：正、余弦函數(shù)圖象在相鄰兩最高點(最低點)之間為一個周期，最高點與相鄰的最低點之間為半個周期．相鄰兩對稱軸間的距離為eq\f(T,2)，相鄰兩對稱中心間的距離也為eq\f(T,2),相鄰對稱軸和對稱中心間的距離也為，函數(shù)取最值的點與其相鄰的零點距離為.函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點．題型5：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性51．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的周期：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）利用正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)的周期公式即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的周期為.（2）函數(shù)的周期為.（3）函數(shù)的周期為.（4）函數(shù)的周期為.52．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的周期：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1），（2）中利用三角函數(shù)周期可求解，（3）根據(jù)周期函數(shù)定義結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由題意知：，所以：的周期為：，故所求周期為：.（2）由題意知：，所以：的周期為：，故所求周期為：.（3）由題意可得：，根據(jù)函數(shù)周期的定義可得：的周期為.又的圖象可以看成將在軸下方的圖象翻折到軸上方得到的，故其最小正周期為，故所求周期為：.53．（2023上·上海浦東新·高二上海市洋涇中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的最小正周期是．【答案】【分析】根據(jù)題意，由正弦型函數(shù)的最小正周期，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)，則最小正周期為.故答案為：54．（2023上·廣東·高三廣州市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為．【答案】/【分析】利用正弦型函數(shù)的周期公式以及絕對值函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】因為的最小正周期為，所以的最小正周期為．故答案為：.55．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線是函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角函數(shù)的對稱性和周期性計算即可.【詳解】依題意得函數(shù)的最小正周期，解得.故選：D.56．（2023上·廣東深圳·高一?？计谀┖瘮?shù)的最小正周期是，則．【答案】【分析】利用周期公式直接構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程求解即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以可得，解得，故答案為：.57．（2023上·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為，則.【答案】12【分析】根據(jù)三角函數(shù)的最小正周期公式列方程，解方程求得的值.【詳解】由于，依題意可知.故答案為：58．（2023上·河南安陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由周期性得，再由對稱性與單調(diào)性判斷，【詳解】因為的最小正周期為，所以，所以，令得，即在上單調(diào)遞增，令得，即在上單調(diào)遞減，因為，而，，，

所以由三角函數(shù)性質(zhì)得故選：D.59．（2023下·高一單元測試）已知函數(shù)，且的最小正周期為,若，求實數(shù)的值.【答案】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得，得到，根據(jù)題意得到，進(jìn)而求得方程的解.【詳解】因為的最小正周期為π，所以，解得，所以,由，可得，即，所以，即，又因為，所以.（五）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性（1）對于函數(shù)（A>0,ω>0）：時，函數(shù)為奇函數(shù)；時，函數(shù)為偶函數(shù)．（2）對于函數(shù)（A>0,ω>0）：時，函數(shù)為偶函數(shù)；時，函數(shù)為奇函數(shù)．題型6：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性61．（2023下·湖南·高二校聯(lián)考期末）函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】利用函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)值分析運算判斷即可得解.【詳解】解：設(shè)，定義域為，則有，所以函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故選項A、C錯誤；因為，所以選項B錯誤；綜上知，選項D正確.故選：D.62．（2023上·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）在的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可得答案.【詳解】由題知的定義域為，又因為，所以為偶函數(shù)，即圖象關(guān)于軸對稱，排除A、C；又，排除D.故選：B.63．（2023下·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則是為奇函數(shù)的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先代入，化簡出，由函數(shù)奇偶性定義得到此時為奇函數(shù)，充分性成立，再求出必要性不成立，得到答案.【詳解】時，可得，定義域為R，此時，故為奇函數(shù)，故充分性成立，而當(dāng)為奇函數(shù)時，得，故不一定為，故必要性不成立，是為奇函數(shù)的充分不必要條件.故選：B64．【多選】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的奇偶性確定．【詳解】為偶函數(shù)，因此或．所以，故正確，故選：.65．【多選】（2023下·福建泉州·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)是偶函數(shù)，則的值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)是偶函數(shù)，可得，即，則，解得，當(dāng)時，可得，無論取何值，都不可能等于或或．故選：ABD．66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）使函數(shù)為奇函數(shù)，則的一個值可以是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡函數(shù)為，根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因為為奇函數(shù)，可得，所以，令，可得.故選：D.67．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義列式求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域為R，依題意，，則，，即，整理得，而不恒為0，，因此，所以.故答案為：168．（2023上·河南周口·高三周口市文昌中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則.【答案】5【分析】由奇函數(shù)相關(guān)性質(zhì)可得答案.【詳解】根據(jù)題意，即.所以.故答案為：569．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)校考期中）函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則．【答案】【分析】將函數(shù)解析式化為，設(shè)，則，記，則為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及，即可求得的值.【詳解】因為，設(shè)，則，設(shè)，則，所以是上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，所以，由，得，故答案為：（六）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性(1)定義法：正(余)弦函數(shù)的對稱軸是過函數(shù)的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數(shù)的零點．(2)公式法：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；題型7：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性71．（2023下·江西·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合余弦函數(shù)圖像整體代入法求解即可；【詳解】若圖象的一條對稱軸的方程為，結(jié)合余弦函數(shù)圖像，整體代入得：，所以，經(jīng)驗證，只有，當(dāng)時，符合條件，故選：A.72．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）函數(shù)的對稱中心為.【答案】，.【分析】利用整體代換法求解對稱中心.【詳解】令，解得故函數(shù)的對稱中心為，.故答案為：，.73．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高三新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，的圖象的對稱中心的坐標(biāo)是.【答案】，，.【分析】利用正弦型函數(shù)的對稱性可求得函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)，即可得解.【詳解】由可得，又，所以或或，所以函數(shù)的對稱中心為，，.故答案為：，，.74．【多選】（2023上·江西贛州·高三江西省大余中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于中心對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】A選項，利用三角函數(shù)的周期公式即可判斷；BCD選項，利用代入檢驗法即可判斷.【詳解】因為，所以的最小正周期，故A正確；因為，所以不是的對稱軸，是的對稱中心，故B錯誤，C正確；因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.75．【多選】（2023上·湖南長沙·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是偶函數(shù)D．的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】AD【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A；代入驗證函數(shù)值可判斷B；求出的表達(dá)式即可判斷其奇偶性，判斷C；結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出的單調(diào)減區(qū)間即可判斷D.【詳解】對于A，由三角函數(shù)的性質(zhì)，可得的最小正周期為，所以A正確；對于B，當(dāng)時，可得，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，所以B錯誤；對于C，由，此時函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以C錯誤；對于D，令，，解得，，即函數(shù)的遞減區(qū)間為，，所以D正確．故選：AD76．【多選】（2023上·河北衡水·高三河北武強中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)（），下列結(jié)論錯誤的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BC【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因為，所以的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時，，的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；當(dāng)時，，因為在上不單調(diào)，所以函數(shù)在區(qū)間上不是減函數(shù)，故C錯誤；當(dāng)時，為最大值，的圖象關(guān)于對稱，故D正確．故選：BC．77．（2023上·安徽六安·高三六安一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間恰有兩條對稱軸，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，從而得到，再解不等式即可.【詳解】因為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間恰有兩條對稱軸，所以，解得.故選：B78．（2023上·上海虹口·高三上海財經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級中學(xué)校考期中）已知是常數(shù)，若函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線．則的值不可能在區(qū)間（

）中．A． B． C． D．【答案】C【分析】由的對稱性可得，求出，即可得出答案.【詳解】由的圖象可知函數(shù)的對稱軸為：，因為函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線，所以，所以，當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，；故ABD正確，C錯誤.故選：C.79．（2023上·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性，列式求解即得.【詳解】因為是函數(shù)圖象的一條對稱軸，于是，解得，而，則，所以當(dāng)時，.故選：A710．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦函數(shù)的對稱軸列式，計算即可得解.【詳解】由題意，，，，，…，則的最小值是，故選：C.711．（2023下·全國·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．為偶函數(shù) D．的最小正周期為【答案】C【分析】根據(jù)題意，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)，即對稱性，周期性，奇偶性即可得到結(jié)果.【詳解】，的圖象關(guān)于點不對稱，故A選項不正確.，的圖象關(guān)于直線不對稱，故B選項不正確.因為，又，即，故為偶函數(shù)，故C選項正確.的最小正周期為，故D選項不正確.故選：C.712．（2023上·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)和函數(shù)圖象的對稱軸完全相同，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的對稱求解即可.【詳解】若與的對稱軸完全相同，則函數(shù)的周期相同，即，則，即，由，即的對稱軸為：，所以的對稱軸為，即，所以，則，當(dāng)時，，故選：A.一、單選題1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡后結(jié)合三角函數(shù)的對稱軸即可求解.【詳解】，又圖象關(guān)于對稱，，可以求得，故，對稱軸為，時即A項．故選：A．2．（2023上·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在上沒有零點，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為函數(shù)在上沒有零點，所以，即，所以，解得，由，則，所以，解得，綜上可得，所以的最大值為.故選：B3．（2023上·上海浦東新·高三?？计谥校┢婧瘮?shù)在區(qū)間上恰有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性求出，從而，根據(jù)得到的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，即，所以，當(dāng)時，則，所以，解得，故選：C.4．（2023上·北京·高三北京市第三十五中學(xué)?？计谥校啊笔恰昂瘮?shù)在區(qū)間上最大值為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】當(dāng)時，可得出，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上最大值為求出的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，，則，若時，即當(dāng)時，，因為函數(shù)在區(qū)間上最大值為，則，可得；若時，即當(dāng)時，，因為函數(shù)在區(qū)間上最大值為，則；若時，則，則，不合乎題意，所以，若函數(shù)在區(qū)間上最大值為，則或，所以，“”“函數(shù)在區(qū)間上最大值為”，“”“函數(shù)在區(qū)間上最大值為”，因此，“”是“函數(shù)在區(qū)間上最大值為”的充分不必要條件.故選：A.5．（2024·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且直線與為相鄰的兩條對稱軸，所以，即，且，，又時取得最小值，即，所以，解得，.故選：A.6．（2023上·湖南邵陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知（，為常數(shù)），若在上單調(diào)，且，則的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.【詳解】因為在上單調(diào)，所以，所以，又因為，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，又因為，所以函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱，所以，則有，所以，所以只有當(dāng)滿足，此時，，所以的最小正周期是，故選:B.7．（2023上·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考期中）若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得到，然后根據(jù)在單調(diào)求解.【詳解】解：因為，所以，因為在單調(diào)，所以，∴，故選：D.8．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對進(jìn)行最值分析，對區(qū)間上進(jìn)行單調(diào)分析；【詳解】當(dāng)時，因為，則，因為函數(shù)在上存在最值，則，解得，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因為，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．又因為2，因此的取值范圍是．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點睛：整體法分析是本題的突破點，結(jié)合三角函數(shù)圖像分析是本題的核心.二、多選題9．（2023上·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期中）關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的最大值為2C．在上單調(diào)遞減 D．是的一條對稱軸【答案】AD【分析】依題意可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，所以，所以的最小正周期為，故A正確．當(dāng)時取最大值，且最大值為，故B錯誤．當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯誤．因為，所以是的一條對稱軸，故D正確.故選：AD10．（2023上·湖南·高二校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若的最小正周期為，則B．若，則的圖象關(guān)于點對稱C．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則D．若在區(qū)間上恰有2個零點，則【答案】AD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，若的最小正周期為，則，解得，故A正確；對于B，若，則，時，，故B錯誤；對于C，時，，因為在上單調(diào)遞增，則，解得，故C錯誤；對于D，時，，若在上恰有2個零點，則，解得，故D正確.故選：AD.11．（2023上·新疆·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點中心對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】A選項，根據(jù)周期的公式得到的最小正周期；BCD選項，利用整體代入得方法得到對稱軸、對稱中心和單調(diào)區(qū)間.【詳解】的最小正周期，A正確；令，解得，所以對稱軸為，故B錯；令，解得，所以的對稱中心為，故C正確；令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時滿足題意，故D正確.故選：ACD.12．（2023上·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)，，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷周期后求解．【詳解】在上單調(diào)，則，而，有以下情況，①，而，則，，，②，而，則，，，或，，，綜上，的可能取值為，，，故選：ABD三、填空題13．（2024上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則正數(shù)ω的取值范圍是．【答案】【分析】先求得函數(shù)的零點，再利用題給條件列出關(guān)于正數(shù)ω的不等式，解之即可求得正數(shù)ω的取值范圍.【詳解】由，可得，即，令，則又在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，又，則正數(shù)ω滿足，則，則，解之得，則正數(shù)ω的取值范圍是.故答案為：14．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，曲線的一個對稱中心為，一條對稱軸為，則的最小值為.【答案】9【分析】分別由對稱軸和對稱中心可得的表達(dá)式，由綜合可得．【詳解】因為為的一個對稱中心，為的一條對稱軸，，得，，，代入①得，，當(dāng)，時，.故答案為：9.15．（2023上·北京·高三北京市第三十五中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，給出下列4個結(jié)論：①函數(shù)的值域為②存在正數(shù)m，函數(shù)在區(qū)間上無零點③函數(shù)的周期為④對任意正數(shù)m，函數(shù)在區(qū)間上有無窮多個零點其中正確的結(jié)論序號有．【答案】①②④【分析】先應(yīng)用換元法再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)根據(jù)值域判斷①，根據(jù)零點判斷②④，特殊值法判斷③.【詳解】,函數(shù)的值域為,①正確;存在正數(shù)上無零點函數(shù),所以在區(qū)間上無零點,②正確;,函數(shù)的周期不是,③錯誤;對任意正數(shù)m，有無窮多個零點所以函數(shù)在區(qū)間上有無窮多個零點,④正確;故答案為:①②④16．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高三新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a，b是兩個連續(xù)整數(shù)，若，則.（從“，，”這三個符號中選擇一個填空）【答案】【分析】先根據(jù)不等式求出，然后利用正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因為a，b是兩個連續(xù)整數(shù)，且，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：17．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是奇函數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，化簡求得的值.【詳解】由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，，由于不恒為零，所以，，對比系數(shù)得.故答案為：18．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有2個不等實根，則整數(shù)的最小值是．【答案】9【分析】令，根據(jù)已知得出的對稱性以及最小值，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖象以及余弦函數(shù)的值域，即可得出答案.【詳解】令，由已知可知關(guān)于直線對稱，且在處取得最小值9.關(guān)于的方程恰有2個不等實根，等價于恰有2個不等實根.又因為，所以.顯然應(yīng)有，即.又為整數(shù)，若，則，顯然滿足題意.故答案為：9.四、解答題19．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值．【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間是，.(2)，此時；，此時.【分析】（1）由余弦函數(shù)的周期公式即可求得答案，再利用整體法即可得到單調(diào)減區(qū)間；（2），利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得其最小值和最大值及取得最值時的值.【詳解】（1）的最小正周期，當(dāng)，即，時，單調(diào)遞減，∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，.（2）∵，則，故，∴，此時，即，，此時，即．20．（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求實數(shù)的值；(2)求的最大值．【答案】(1)或(2)答案見解析【分析】（1）將條件代入運算可得解；（2）換元，令，，化為，分類討論求出的最大值.【詳解】（1）函數(shù)，所以整理得，解得或．（2）因為，設(shè)，則，化為，則為二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為，所以當(dāng)，即時，的最大值為；當(dāng)，即時，的最大值為；當(dāng)，即時，的最大值為；所以當(dāng)時，的最大值；當(dāng)時，的最大值為；當(dāng)時，的最大值為．21．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）設(shè)函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程以及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取最值時的值.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析【分析】（1）利用三角函數(shù)周期定義即可求得函數(shù)的最小正周期，利用整體代換法即可求得函數(shù)的對稱軸方程以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用正弦函數(shù)圖像