新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 數(shù)列求和-倒序相加法求和（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．B【解析】【詳解】由于，故原式.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)變換，考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的規(guī)律：第一個自變量和最后一個自變量的和為，第二個自變量和倒數(shù)第二個自變量的和為，依次類推.故猜想的值為常數(shù)或者有規(guī)律的數(shù)，通過計(jì)算可知，手尾兩項(xiàng)的和為，由此求得表達(dá)式的值.2．B【解析】【分析】根據(jù)條件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差數(shù)列求和公式即可得解.【詳解】由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，兩式相加得a1＋an＝30.又因?yàn)?，所以n＝14.故選：B3．D【解析】化簡函數(shù)的解析式，利用數(shù)列的和，求出通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，然后求解數(shù)列的和即可．【詳解】因?yàn)?，由，得，又也滿足上式，所以，則為常數(shù)，所以數(shù)列為等差數(shù)列；所以，.則數(shù)列的前項(xiàng)和為，記，則，所以，因此.故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于先由數(shù)列的前項(xiàng)和確定數(shù)列是等差數(shù)列，得出為定值，結(jié)合誘導(dǎo)公式，推出為定值，利用倒序相加法，即可求解.4．B【解析】【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.【詳解】依題意，記，則，又，兩式相加可得，則.故選：B．5．C【解析】【分析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C．6．D【解析】根據(jù)函數(shù)滿足，利用倒序相加法求出，再求前20項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，①，②，由①②可得，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及倒序相加法求和，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】先根據(jù)已知條件求出，再利用倒序相加法求和即可.【詳解】解：，，即，設(shè)，①則，②則①＋②得：，故.故選：C.8．D【解析】【詳解】試題分析：，所以原式.考點(diǎn)：函數(shù)求值，倒序求和法.【思路點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)求值與倒序相加法.注意到原式中第一個自變量加上最后一個自變量的值為，依此類推，第二個自變量加上倒數(shù)第二個自變量的值也是，故考慮是不是定值.通過算，可以得到，每兩個數(shù)的和是，其中，所以原式等價(jià)于個即.9．A【解析】【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.【詳解】∵，∴．∵，∴．令，則，兩式相加得，∴．故選:A10．C【解析】根據(jù)拐點(diǎn)的定義，求出對稱中心，然后運(yùn)用倒序相加法求值.【詳解】，，令，得，且，關(guān)于點(diǎn)對稱，，故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對新定義的理解，仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵，考查倒序法求和，屬于中檔題.11．D【解析】【詳解】等比數(shù)列滿足即2020故選：D【點(diǎn)睛】本題綜合考查函數(shù)與數(shù)列相關(guān)性質(zhì)，需要發(fā)現(xiàn)題中所給條件蘊(yùn)含的倒數(shù)關(guān)系，尋找規(guī)律進(jìn)而求出答案.12．A【解析】【分析】由條件結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可求，再結(jié)合倒序相加法求，利用裂項(xiàng)相消法求.【詳解】，∴，，∴，故選：A．13．C【解析】【分析】利用累加法即可求出通項(xiàng)公式．【詳解】解：∵，則當(dāng)時(shí)，，……，，∴，化簡得，又，∴，經(jīng)檢驗(yàn)也符合上式，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，考查倒序相加法求數(shù)列的和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．14．D【解析】【分析】由題意可得的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，函數(shù)的圖像也關(guān)于對稱，然后利用對稱性以及倒序相加法即可得出答案.【詳解】函數(shù)滿足，的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，而函數(shù)的圖像也關(guān)于對稱，設(shè)令，則，，令，則，，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對稱性應(yīng)用，考查了倒序相加法求和，解題的關(guān)鍵是找出中心對稱點(diǎn)，屬于中檔題.15．B【解析】由已知可得出，可推導(dǎo)出，利用倒序相加法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，，，所以，，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的倒序相加法，解本題的關(guān)鍵在于利用奇函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)出，進(jìn)而得出，根據(jù)此規(guī)律結(jié)合倒序相加法求解.16．A【解析】【分析】根據(jù)課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法，運(yùn)用倒序相加法來求解【詳解】令

①則

②①②可得：故選【點(diǎn)睛】類比等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，代入角度后列出和的表達(dá)式，采用倒序相加法來求出結(jié)果，在計(jì)算過程中還運(yùn)用了兩角差的余弦公式，本題只要理解方法不難解答17．C【解析】【詳解】∵正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且∴，即.∵函數(shù)∴令，則∴∴故選C.點(diǎn)睛：倒序相加法求和，不僅應(yīng)用在等差數(shù)列中，而且在函數(shù)中也有應(yīng)用.等差數(shù)列中主要利用等差數(shù)列性質(zhì)：若，則；函數(shù)中主要利用對稱中心性質(zhì)：若關(guān)于對稱，則.18．A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可驗(yàn)證出，采用倒序相加法可求得結(jié)果.【詳解】，，令，則，兩式相加得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查倒序相加法求和的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式確定為常數(shù).19．C【解析】【分析】設(shè)，得到，再利用倒序相加求和得解.【詳解】解：函數(shù)，設(shè)，則有，所以，所以當(dāng)時(shí)，，令，所以，故．故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.20．B【解析】【分析】先計(jì)算出的值，然后利用倒序相加法即可計(jì)算出所求代數(shù)式的值.【詳解】，，設(shè)，則，兩式相加得，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的和的求法，注意運(yùn)用倒序相加法，求得是解題的關(guān)鍵，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．C【解析】【分析】觀察要求解的式子，根據(jù)給的數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算是否為定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.【詳解】由已知，數(shù)列通項(xiàng)，所以，所以，所以.故選：C.22．C【解析】由在上為奇函數(shù)，知，令，則，得到．由此能夠求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由題已知是上的奇函數(shù)，故，代入得：，∴函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，令，則，得到，∵，，倒序相加可得，即，故選：C．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用函數(shù)的性質(zhì)以及倒序相加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題.先利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對稱中心，再用換元法得到，最后利用倒序相加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.23．A【解析】【分析】根據(jù)，采用倒序相加的方法可得，從而得到，根據(jù)基本不等式求得最小值.【詳解】由題可知：令又于是有

因此所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值問題.關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)的規(guī)律求得與的和，從而能夠構(gòu)造出基本不等式的形式.24．D【解析】【分析】根據(jù)兩圓的關(guān)系求出兩圓的公共弦，求出圓的圓心，得到，利用倒序相加法即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，圓與圓相交，設(shè)交點(diǎn)為，，圓，圓，相減可得直線的方程為：圓平分圓的周長，直線經(jīng)過圓的圓心，，．的所有項(xiàng)的和為．故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項(xiàng)相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯位相減法.25．B【解析】【分析】由在上為奇函數(shù)，知，令，則，得到．由此能夠求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由題已知是上的奇函數(shù)故，代入得：

∴函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，令，則，得到．∵，倒序相加可得，即，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，借助函數(shù)性質(zhì)處理數(shù)列問題問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解．屬難題26．【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，結(jié)合倒序相減法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，可得，則，可得，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.27．【解析】【分析】由題得，設(shè),考慮一般情況，，即得解.【詳解】由題得,，兩式相加得，考慮一般情況，設(shè),則所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算和倒序相加求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.28．【解析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可知，再利用倒序相加法求和.【詳解】，，，，，，…，，，，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求三角函數(shù)的和，解題關(guān)鍵是找到，然后利用倒序相加法求和.29．【解析】【分析】由題設(shè)函數(shù)式易得，再由，應(yīng)用倒序相加得，即可求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.【詳解】∵，又，∴，∴，∴.故答案為：30．4【解析】由，然后配對(用倒序相加法)可求和，從而求出的關(guān)系，可得出答案.【詳解】由.所以，且a，b均為正實(shí)數(shù).則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故答案為：4.31．0【解析】【分析】由函數(shù)的解析式可得，由倒序相加法可得答案.【詳解】由題意，所以由

①則

②由①+②得所以故答案為：032．【解析】【分析】由題設(shè)，討論n的奇偶性求的通項(xiàng)公式，再求.【詳解】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.33．【解析】【分析】根據(jù)可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，繼而得的表達(dá)式，采用錯位相減法可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：34．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由題意可得：，由即可求解；（2）求出的表達(dá)式，由指數(shù)的運(yùn)算即可求解；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用倒序相加法即可求解.（1）因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以.（2）因?yàn)椋?，所?（3）由（1）知，可得，所以，①又因?yàn)?，②因?yàn)椋寓佗?，得，所?35．（1）

1

（2）

（3）

證明見解析.【解析】【分析】（1）由已知條件以及對數(shù)運(yùn)算法則化簡即可；（2）利用倒序相加求和法得到結(jié)果；（3）先化簡，再放縮，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和，即證得不等式?！驹斀狻浚?），是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)，，，且時(shí)，（2），，，①，②由①②，得：，，故；（3），，，，是單調(diào)遞增數(shù)列，，所以，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)值的求法，考查數(shù)列前項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解答本題的關(guān)鍵是觀察出，由倒序相加法求和，由，放縮后裂項(xiàng)相消法可求和，屬于壓軸題.36．【解析】【分析】由題得，所以….①….②，兩式相加即得解.【詳解】因?yàn)椋?故….①….②①+②，得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.37．（1）；（2）若時(shí)，；若時(shí)，=；（3）【解析】【分析】（1）使用裂項(xiàng)相消法求和法；（2）時(shí)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；時(shí)，用乘公比錯位相減法求和；（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，使用上面的結(jié)果求出，然后再加上第項(xiàng)即可.【詳解】解（1），．（2）若，則；若，

①．

②，得．．（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．由，可知，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．，.符合；綜上，【點(diǎn)睛】這三小題是數(shù)列求和的常見形式，應(yīng)切實(shí)把握．尤其是第（2）小題，在時(shí)，乘公比，錯后一項(xiàng)，相減，然后應(yīng)用等比數(shù)列求和公式求和，環(huán)環(huán)相扣．既要注意求和時(shí)的項(xiàng)數(shù)，還要留意符號，稍有不慎，就可能算錯，應(yīng)通過適量練習(xí)，學(xué)好這種算法．第（3）小題是正負(fù)相間的波動數(shù)列求和的例子，用的是配對求和的方法．這種方法常常很有效，對奇數(shù)情形的處理策略是將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的偶數(shù)情況.屬于中檔題.38．(1)(2)(3)充分不必要條件【解析】【分析】（1）根據(jù)所給定義計(jì)算可得；（2）根據(jù)歸納推理可得，利用倒序相加法，化簡即可得結(jié)果.（3）根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；(1)解：序列為1，2，3，，，，即8，．(2)解：時(shí)，時(shí)，．時(shí)，，時(shí)，，，取時(shí)，，取時(shí)，①，則②，①②得，所以．由序列為1，2，，，可得．(3)解：序列為序列，2，，的一個排列，．而反之不成立．例如取序列為：，，，2，1，滿足．因此是的充分不必要條件．39．(1)(2)(3)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.（2）首先根據(jù)題意得到，再利用倒序相加求解即可.（3）當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，利用縮放法證明即可.(1)因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，所?當(dāng)時(shí)，故是奇函數(shù)．綜上．(2)，.令，則，兩式相加得：，所以.故.(3)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以不等式成立.當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗跃C上，當(dāng)，恒成立．40．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）利用指對恒等式化簡得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域.（2）通過驗(yàn)證，利用倒序相加法求值.（3）設(shè)，，則方程等價(jià)于，故有零點(diǎn)，即求的值域.(1)若，當(dāng)上函數(shù)為增函