新高考數(shù)學一輪復習考點精講講練學案 正 余弦定理的綜合應用（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．B【解析】【分析】利用余弦定理、誘導公式、三角函數(shù)、三角恒等變換的知識進行判斷.【詳解】對于A，若，則，則B為銳角，不能判定為銳角三角形，故A錯誤；對于B，若為銳角三角形，則，且，所以，故B正確；對于C，若，則，所以，所以或，即或，不一定是等腰三角形，故C錯誤；對于D，若，則，即，即，因為A，B是三角形的內(nèi)角，所以A-B=0，即A=B.是等腰三角形，故D錯誤.故選：B.2．D【解析】【分析】根據(jù)已知條件及正弦定理的邊角化，再利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，結合三角函數(shù)特殊值對應特殊角及角的范圍即可求解.【詳解】由及正弦定理，得,在中，，所以,所以，即，于是有，因為所以所以,即，所以的形狀是等腰三角形.故選：D.3．B【解析】【分析】令，再利用余弦定理得解.【詳解】解：由正弦定理可得，令，則為最長的邊，故角最大，由余弦定理可得，所以角為直角.故是直角三角形．故選：B．4．A【解析】【分析】由正弦定理的邊化角公式化簡得出，，，最后由結合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的取值范圍.【詳解】由以及正弦定理得，所以即，又B為鈍角，所以，故于是，因為，所以由此，即的取值范圍是故選：A5．D【解析】【分析】由給定條件結合正弦定理邊化角，求出角C，再利用正弦定理借助三角函數(shù)恒等變換即可作答.【詳解】中，由正弦定理得：,整理變形得：，而，則，，于是得，則，令，于是有，因為銳角三角形，即，由正弦定理得，，而，則有，即，所以的取值范圍為.故選：D6．B【解析】【分析】由余弦定理可求得，再由等面積關系可得，利用余弦定理結合基本不等式得出，即可求得，再結合的范圍即可得出結論.【詳解】，由余弦定理可得，整理可得，又AC邊上的高為，所以，即，，當且僅當取等號，，即，即，，，則，，故∠ABC的最大值為.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題考查余弦定理的應用，解題的關鍵是等面積關系得，由基本不等式得.7．D【解析】【分析】在直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對各個選項進行變形，判斷即可．【詳解】解：對于A，，則，故A成立；對于B，因為，所以，故B成立；對于C，，則，故C成立；對于D，，則，故D不成立.故選：D.8．B【解析】根據(jù)是銳角三角形,令,然后逐項判斷排除即可.【詳解】解:是銳角三角形,可令,,A錯誤;,C錯誤;,D錯誤;,B正確.故選:B【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理,以及三角形內(nèi)角的正余弦值之間的關系,可用排除法得出正確選項.9．A【解析】【分析】由正弦的二倍角公式和正弦函數(shù)的值域判斷;寫出全稱命題的否定判斷;由銳角三角形的定義和正弦函數(shù)的單調(diào)性,結合誘導公式可判斷;由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),結合充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：由,得的最大值為,故錯誤;“,”的否定是“”,故正確;為銳角三角形,,則，在上是增函數(shù),,同理可得，,,故正確;,函數(shù)的零點是,0,結合二次函數(shù)的對稱軸,可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,結合二次函數(shù)的對稱軸,可得,,“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的充分必要條件,故正確．其中錯誤的個數(shù)是1.故選:A.【點睛】本題考查命題的真假判斷,考查含有一個量詞的命題的否定,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),以及充分必要條件的判斷,是中檔題．10．D【解析】【分析】運用正弦定理進行邊角互化，運用誘導公式進行化簡，然后判斷出三角形形狀.【詳解】由正弦定理可得，所以，所以，所以，所以或，因為，，所以或，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故選：D11．C【解析】【分析】首先利用正弦定理化邊為角求出的值，再結合，以及三角形的內(nèi)角和即可求出，進而可得正確選項.【詳解】由正弦定理知：，，則可化為：.因為所以，所以，可得或，又因為，所以所以，，，所以為等邊三角形.故選：C.12．C【解析】【分析】由余弦定理將轉(zhuǎn)化為，化簡得到，結合勾股定理知△ABC為直角三角形.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴B為直角.故選：C.【點睛】本題考查了余弦定理；利用余弦定理將角化邊，化簡確定三角形三邊關系.13．A【解析】【分析】用降冪公式變形后利用余弦定理得邊的關系，從而判斷出三角形形狀．【詳解】在△ABC中，因為，所以，所以cosA＝.由余弦定理，知，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.故選：A．14．A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和題設條件，化簡得到，進而得到，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理，可得，又由，所以，因為，可得，所以，又因為，所以，所以為直角三角形.故選：A.15．D【解析】【分析】利用余弦定理計算可得；【詳解】解：．把代入余弦定理求得，即，因此，從而，為等邊三角形．故選：．16．D【解析】【分析】設點A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用點差法求解直線的斜率，得到a、b關系，通過點到直線的距離求解c，求出a，b，即可推出離心率，判斷A，B的正誤；設P在雙曲線的右支上，記則，利用，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積，判斷C；設P(x0，y0)，通過三角形的面積求解P的坐標，結合雙曲線的定義以及余弦定理，判斷三角形的形狀，判斷D.【詳解】設點A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)則，且，兩式相減得，所以，因為，所以，故雙曲線C的漸近線方程因為焦點(c，0)到漸近線的距離為1，所以，，所以，，離心率為，故A，B錯誤．對于C，不妨設P在右支上,記則因為,所以解得或(舍去）,所以的面積為，故C不正確；對于D，設P(x0，y0)，因為，所以，將帶入C：，得，即由于對稱性，不妨取P得坐標為(，2)，則，因為所以∠PF2F1為鈍角，所以PF1F2為鈍角三角形，故D正確故選：D17．D【解析】【分析】利用余弦定理將化為，然后化簡可得答案.【詳解】，由余弦定理可得，則，則，所以為直角三角形.故選：D18．C【解析】【分析】根據(jù)給定條件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化邊即可計算判斷作答.【詳解】在中，原等式化為：，由正弦定理得，，即，由余弦定理得：，整理得，則有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形狀是等腰三角形或直角三角形.故選：C19．B【解析】【分析】由不能得到是銳角三角形，但是銳角三角形,則，根據(jù)必要不充分條件的定義，即可求解.【詳解】由正弦定理可知，，不能得到是銳角三角形,但是銳角三角形,則.故“”是“是銳角三角形”的必要不充分條件，故選:B．20．D【解析】【分析】在中，，由余弦定理知，，兩式相加，利用基本不等式及正弦函數(shù)的有界性即可判斷出該的形狀．【詳解】在中，，又由余弦定理知，，兩式相加得：，（當且僅當時取“”，又，（當且僅當時成立），為的內(nèi)角，，，又，的形狀為等邊△．故選：．21．C【解析】【分析】利用余弦定理可得，再結合條件利用正弦定理及余弦定理可得，即得.【詳解】∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，由2cosAsinB＝sinC，得∴，即，又，故三角形為等邊三角形.故選：C22．B【解析】【分析】由條件可得，由正弦定理結合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，從而可得出答案.【詳解】由，可得，所以，所以.在中，，故，因為，所以，因為，所以，故為直角三角形.故選：B23．A【解析】【分析】由結合余弦定理可求得，由結合正弦定理可求得，從而可判斷出三角形的形狀【詳解】由，得，所以由余弦定理得，因為，所以，因為，所以由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，所以,所以為等腰直角三角形，故選：A24．D【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角，再由二倍角公式計算可得；【詳解】解：因為，由正弦定理可得，即，即，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形；故選：D25．B【解析】【分析】利用給定條件結合對數(shù)運算可得，再利用正弦定理角化邊即可判斷得解.【詳解】因，則有，即有，于是得，在中，由正弦定理得：，所以是直角三角形.故選：B26．C【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得，由此判斷三角形形狀得解.【詳解】因，則有，即，可得，此時，有，所以是等邊三角形.故選：C27．A【解析】【分析】利用正弦定理角化邊，即可得出答案.【詳解】由結合正弦定理得，,從而.故選：A.【點睛】本題考查利用正弦定理判斷三角函數(shù)的形狀，屬于基礎題.熟記正弦定理是解本題的基礎.28．C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理邊化角可得，利用兩角和公式進行化簡計算即可.【詳解】由正弦定理得：，，，三角形內(nèi)角和等于180°，，故選：C.29．A【解析】【分析】利用余弦定理將角化為邊整理，即可得三角形的邊之間的關系，從而可得此三角形的形狀.【詳解】由余弦定理，可得，整理，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以或或，故三角形為等腰三角形.故選：A30．B【解析】【分析】首先利用余弦定理角化邊，然后確定△ABC的形狀即可.【詳解】由及余弦定理得，整理得，或，為等腰三角形或直角三角形.本題選擇B選項.【點睛】判斷三角形的形狀有兩種方法，一是把角化為邊后進行判斷，另一種方法是把邊化為角后再進行判斷.31．C【解析】【分析】由余弦定理確定角的范圍，從而判斷出三角形形狀．【詳解】由得－cosC>0，所以cosC<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.故選：C．32．A【解析】【分析】首先利用正弦定理邊化角公式得到，即可得到答案.【詳解】因為，所以，即，整理得到，因為，，所以，即，，為等腰三角形.故選：A33．A【解析】【分析】將變成，然后根據(jù)取值范圍分析即可【詳解】因為,所以兩邊同除以,得因為,所以.所以即所以為銳角,又為最大角,所以此三角形是銳角三角形故選：A34．C【解析】【分析】先判斷出最大角，通過余弦定理判斷即可.【詳解】由正弦定理可得，則C為最大角，設，因為，所以C為鈍角，故為鈍角三角形．故選：C.35．ACD【解析】【分析】先根據(jù)題意求出，，,結合正弦定理可得A，D的正誤,結合余弦定理可得B，C的正誤.【詳解】由題意,設,解得;所以,所以A正確;由以上可知最大,所以為銳角,所以B錯誤;由以上可知最小,,,即,因為為銳角,為銳角,所以所以C正確;因為，所以,設外接圓的半徑為,則由正弦定理可得所以所以D正確.故選:ACD.36．BCD【解析】【分析】選項A.由題意可得或，從而可判斷；選項B.若,則，由正弦定理可判斷；選項C.若為銳角三角形，則，即所以，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；選項D.在中,若，由正弦定理可得，從而可判斷.【詳解】選項A.在中,若,則或所以或，所以為等腰或直角三角形.故A不正確.選項B.在中,若,則，由正弦定理可得,即，故B正確.選項C.若為銳角三角形，則所以，所以,故C正確.選項D.在中,若，由正弦定理可得，即，所以，故D正確.故選：BCD37．ACD【解析】【分析】由兩角和的正切公式結合誘導公式以及，，為的內(nèi)角可判斷A；由正弦定理化邊為角結合正弦的二倍角公式可判斷B；由正弦定理化邊為角，逆用兩角和的正弦公式可判斷C；利用正弦定理化邊為角結合同角三角函數(shù)基本關系可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A，因為，所以，所以，因為，，為的內(nèi)角，所以，，都是銳角，所以是銳角三角形，故選項A正確；對于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯；對于C：由及正弦定理化邊為角，可知，即，因為，為的內(nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故選項C正確；對于D：由和正弦定理化邊為角，易知，所以，因為，，為的內(nèi)角，所以，所以是等邊三角形，故選項D正確；故選：ACD.38．BC【解析】【分析】選項A，轉(zhuǎn)化，結合題干條件，可得，故可判斷；選項B，，可得，可判斷；選項C，轉(zhuǎn)化，代入，可判斷；選項D，，結合均值不等式和，可判斷【詳解】為銳角，故選項A不正確；又，化簡得，故選項B正確；將代入得：故選項C正確；當且僅當時等號成立，故選項D不正確故選：BC【點睛】本題考查了解三角形綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于中檔題39．【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理將目標式由邊化為角的函數(shù)關系，再求的取值范圍，根據(jù)函數(shù)值域即可求得結果.【詳解】因為，則，，又，故由正弦定理可得：又為銳角三角形，故可得，解得，則，故，即.故答案為：.40．②④【解析】【分析】利用三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦定理，余弦定理逐個分析判斷即可【詳解】對于①，若，則余弦定理可得，得角為銳角，而不能得到其它兩個角為銳角，所以不一定是銳角三角形，所以①錯誤，對于②，由，得，所以由正弦定理得，設，則可知是最大的角，由余弦定理得，所以角為銳角，所以一定是銳角三角形，所以②正確，對于③，因為，所以，所以，由正弦定理得，所以為直角，所以為直角三角形，所以③錯誤，對于④，因為，所以，所以，因為，所以，所以均為銳角，所以一定是銳角三角形，所以④正確，故答案為：②④41．【解析】【分析】設，，求出，在中，求出，然后表示出矩形面積，然后利用兩角和與差的正弦公式，二倍角公式，化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，最后由正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】，設，，則，中，，由正弦定理，，所以，，所以，即時，取得最大值．故答案為：．42．直角三角形【解析】【分析】根據(jù)正弦定理邊化角以及兩角和的余弦公式變形可得答案.【詳解】因為，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，因為，所以，則.所以為直角三角形.故答案為：為直角三角形.43．銳角三角形【解析】【分析】設增加同樣的長度為，原三邊長為,則，，則新的三角形三邊長可表示出來,可知為最大邊,其對應角最大，進而利用余弦定理求得余弦值大于0判斷出最大角為銳角，得三角形為銳角三角形.【詳解】設增加同樣的長度為,原三邊長為,且,，則新的三角形的三邊長為,可知為最大邊,其對應角最大，而,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正,則最大角為銳角,所以新的三角形為銳角三角形.故答案為:銳角三角形.【點睛】本題主要考查了余弦定理的應用，考查了學生轉(zhuǎn)化和化歸的思想.44．直角三角形【解析】【分析】首先結合正弦定理進行角化邊，然后結合余弦定理角化邊，進而整理以后因式分解即可得出結果.【詳解】因為，結合正弦定理得：，由余弦定理得，所以，即，所以，，，，因為，所以，即，所以是直角三角形.故答案為：直角三角形.45．（1）；（2）.【解析】（1）利用降冪公式進行化簡，得到，然后利用整體法求解的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先利用，求出，利用得出與的關系，再利用得出與或的關系.【詳解】解(1)依題又故的單調(diào)遞減區(qū)間為(2)由題意知，又，故，依題意，在三角形中，由余弦定理故.【點睛】（1）分析三角函數(shù)的性質(zhì)時，要靈活運用三角恒等變換公式將原函數(shù)解析式化為的形式，然后分析其單調(diào)區(qū)間、對稱性、周期性、最值等問題；（2）當已知一角及任意兩邊的關系求解三角形中邊長的比例關系時，要注意運用正弦定理、余弦定理進行求解.46．(1)(2)，千米【解析】【分析】（1）若，得到，在等邊中，得到，分別在直角中，求得，再在直角中，求得的長；（2）若，在中，利用正弦定理求得，在中，利用余弦定理求得，進而求得最大值，即可求解.(1)解：若，又由，所以此時，又因為為邊長為3的等邊三角形，所以，在直角中，因為，所以，在直角