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幾種常見的數(shù)列通項7,07,012341234正弦函數(shù)2222222(10n-1)/9典型例題】逐和法例:{}中,=1,(n=2、3、4…),求{}的通項公式。累乘法例:在數(shù)列{}中,=1,,求已知數(shù)列{}滿足=,,求(2004全國卷I.15)已知數(shù)列{an},滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),則{an}的通項構(gòu)造等比數(shù)列法原數(shù)列{}既不等差,也不等比。若把{}中每一項添上一個數(shù)或一個式子構(gòu)成新數(shù)列,使之等比,從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或=其中b、c為不相等的常數(shù),為一次式例1、已知數(shù)列{an}滿足以下遞歸關(guān)系求通項an析:引入輔助數(shù)列,化成求等比數(shù)列的分通項問題方法1:令an+1-α=3(an-α)用待定系數(shù)法確定方法2:遞歸式兩邊都除于得利用階差法求解α方法3:解不動點方程x=3x+4得x=-2,引入輔助數(shù)列bn=an+2得b1=1+2=3,bn+1=3bn解bn可求an例2、已知數(shù)列{}中,=1,=,求數(shù)列的通項公式。分析:該數(shù)列不同于以上幾個數(shù)列,該數(shù)列中含是變量,而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列,其中為常數(shù),使之為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列。解:構(gòu)造數(shù)列,為不為0的常數(shù),使之成為q=2的等比數(shù)列即=整理得:=滿足=得∴新數(shù)列是首項為=,q=2的等比數(shù)列∴=∴=例3、(07天津文20)在數(shù)列{}中,=2,=,求數(shù)列的通項。解:構(gòu)造新數(shù)列,使之成為q=4的等比數(shù)列,則=整理得:=滿足=,即得∴新數(shù)列的首項為,q=4的等比數(shù)列∴∴例4、已知數(shù)列{an}滿足,求通項an提示:類比例1方法2求解,注意數(shù)列可求和。(怎么求?)構(gòu)造等差數(shù)列法數(shù)列{}既不等差,也不等比,遞推關(guān)系式形如,那么把兩邊同除以后,想法構(gòu)造一個等差數(shù)列,從而間接求出。例1.(07石家莊一模)數(shù)列{}滿足且。求、、是否存在一個實數(shù),使此數(shù)列為等差數(shù)列?若存在求出的值及;若不存在,說明理由。解:由==81得=33;又∵==33得=13;又∵==13,∴=5假設(shè)存在一個實數(shù),使此數(shù)列為等差數(shù)列即===該數(shù)為常數(shù)∴=即為首項,d=1的等差數(shù)列∴=2+=n+1∴=作業(yè)、數(shù)列{}滿足=(),首項為,求數(shù)列{}的通項公式。解:=兩邊同除以得=+1例2、(07天津理21)在數(shù)列{}中,=2,且()其中>0,求數(shù)列{}的通項公式。解:的底數(shù)與的系數(shù)相同,則兩邊除以得即∴是首項為,公差d=1的等差數(shù)列?!唷?。取倒數(shù)法有些關(guān)于通項的遞推關(guān)系式變形后含有項,直接求相鄰兩項的關(guān)系很困難,但兩邊同除以后,相鄰兩項的倒數(shù)的關(guān)系容易求得,從而間接求出。例1、已知數(shù)列{},=,,求=?解:把原式變形得兩邊同除以得∴是首項為,d=的等差數(shù)列故∴。例2(06江西理22)已知數(shù)列{}滿足,且()求數(shù)列{}的通項公式。解:把原式變形成兩邊同除以得即……⑴構(gòu)造新數(shù)列,使其成為公比q=的等比數(shù)列即整理得:滿足⑴式使∴∴數(shù)列是首項為,q=的等比數(shù)列∴。例3.(06江西文22)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足:,且求數(shù)列{}的通項公式。解:把原式變形為兩邊同除以得移項得:所以新數(shù)列是首項為q=2的等比數(shù)列。故解關(guān)于的方程得。利用公式求通項有些數(shù)列給出{}的前n項和與的關(guān)系式=,利用該式寫出,兩式做差,再利用導(dǎo)出與的遞推式,從而求出。例1.(07重慶21題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項和為滿足>1且6=n∈求{}的通項公式。解:由=解得=1或=2,由已知>1,因此=2又由=得=0∵>0∴從而{}是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,故{}的通項為=2+3(n-1)=3n-1.例2.(07陜西理22)已知各項全不為0的數(shù)列{}的前k項和為,且=(k∈)其中=1,求數(shù)列{}的通項公式。解:當(dāng)k=1時,=及=1得=2;當(dāng)k≥2時,由==得=2∵≠0∴=2從而=1+(m-1)2=2m-1=2+(m-1)2=2m(m∈)故=k(k∈).例3.(07福建文21)數(shù)列{}的前n項和為,=1,(n∈),求{}的通項公式。解:由=1,=2,當(dāng)n≥2時==得=3,因此{(lán)}是首項為=2,q=3的等比數(shù)列。故=(n≥2),而=1不滿足該式所以=。例4.(06全國Ⅰ理22)該數(shù)列{}的前n項和(n=1、2、3……)求{}的通項公式。解:由(n=1、2、3……)…①得=所以=2再=(n=2、3…)…②將①和②相減得:==整理得(n=2、3…)因而數(shù)列{}是首項為,q=4的等比數(shù)列。即==,因而。重新構(gòu)造新方程組求通項法雙數(shù)列型有時數(shù)列{}和{}的通項以方程組的形式給出,要想求出與必須得重新構(gòu)造關(guān)于和的方程組,然后解新方程組求得和。例1.(07遼寧第21題):已知數(shù)列{},{}滿足=2,=1且(),求數(shù)列{},{}的通項公式。解析:兩式相加得則{}是首項為,d=2的等差數(shù)列,故=3+2(n-1)=2n+1…………(1)而兩式相減得==則{}是首項為=1,q=的等比數(shù)列,故=…………(2)聯(lián)立(1)、(2)得由此得,。分析該題條件新穎,給出的數(shù)據(jù)比較特殊,兩條件做加法、減法后恰好能構(gòu)造成等差或等比數(shù)列,從而再通過解方程組很順利求出{}、{}的通項公式。若改變一下數(shù)據(jù),又該怎樣解決呢?下面給出一種通法。例2.在數(shù)列{}、{}中=2,=1,且(n∈)求數(shù)列{}和{}的通項公式。解析:顯然再把與做和或做差已無規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列{}其中為的常數(shù)。則==+=令得=2或=3則{}為首項,q=+2的等比數(shù)列。即=2時,{}是首項為4,q=4的等比數(shù)列,故=4×=;=3時,{}是首項為5,q=5的等比數(shù)列,故=5×=聯(lián)立二式解得,。注:該法也可適用于例21,下面給出例21的該種解法解:構(gòu)造新數(shù)列{},則=++=令得=1或=即=1時,新數(shù)列{}中,=∴()新數(shù)列{}是首項為,d=2的等差數(shù)列∴==………(1)當(dāng)=時,新數(shù)列{}是首項為=1,q=的等比數(shù)列∴=………(2)聯(lián)立(1)、(2)得,。例3.在數(shù)列{}、{}中,,且(n∈),求{}、{}的通項公式。解:構(gòu)造新數(shù)列{},則=+=,令得=或=5{}為首項,q=+5的等比數(shù)列即=-3時,{}是首項為=,q=5+=2的等比數(shù)列,故==;當(dāng)=5時,{}是首項為=6,q=+5=10的等比數(shù)列,故=6×聯(lián)立二式得,。不動點法當(dāng)f(x)=x時,x的取值稱為不動點,不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。為了求出遞推數(shù)列的通項,我們先給出如下兩個定義:定義1:若數(shù)列{}滿足,則稱為數(shù)列{}的特征函數(shù).定義2:方程=x稱為函數(shù)的不動點方程,其根稱為函數(shù)的不動點.下面分兩種情況給出遞推數(shù)列通項的求解通法.(1)當(dāng)c=0,時,由,記,,則有(k≠0),∴數(shù)列{}的特征函數(shù)為=kx+c,由kx+c=xx=,則∴數(shù)列是公比為k的等比數(shù)列,∴.(2)當(dāng)c≠0時,數(shù)列{}的特征函數(shù)為:=由設(shè)方程的兩根為x1,x2,則有:,∴……(1)……(2)又設(shè)(其中,n∈N*,k為待定常數(shù)).由……(3)將(1)、(2)式代入(3)式得:∴數(shù)列{}是公比為(易證)的等比數(shù)列.∴=.2.應(yīng)用舉例例1:已知數(shù)列{an}中,a1=2,,求{an}的通項。解:因為{an}的特征函數(shù)為:,由,∴∴數(shù)列{an-1}是公比為的等比數(shù)列,∴an-1=an=1+.例2已知數(shù)列{an}中,a1=3,,求{an}的通項。解:因為{an}的特征函數(shù)為:,由設(shè)即,∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.∴∵a1=3,∴.該類型題目也可利用待定系數(shù)法求解下面將介紹該種方法:例3已知數(shù)列{an}中,a1=2,,求{an}的通項。解:因為{an}的特征函數(shù)為:,由設(shè)即,∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.∴∵a1=2,∴.例4已知數(shù)列{an}的前n項和為,,,求{an}的通項。解:∵……①∴……②②-①得:……③因為{an}的特征函數(shù)為:,由x=1.設(shè),……④將④代入③得:∴,∵∴∴。通過分解系數(shù),可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種方法適用于型的遞推式,通過對系數(shù)p的分解,可得等比數(shù)列:設(shè),比較系數(shù)得,可解得。再應(yīng)用前面類型3的方法求解。例1:在數(shù)列中,,,,求。解析:在兩邊減去,得類型四:設(shè)二階常系數(shù)線性齊次遞推式為(),其特征方程為,其根為特征根。(1)若特征方程有兩個不相等的實根,則其通項公式為(),其中A、B由初始值確定;(2)若特征方程有兩個相等的實根,則其通項公式為(),其中A、B由初始值確定。例20:已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解法一(待定系數(shù)——迭加法)由,得,且。則數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,于是。把代入,得,,,。把以上各式相加,得。。解法二(特征根法):數(shù)列:,的特征方程是:。,。又由,于是故構(gòu)造對數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)變形方法,可由復(fù)雜變?yōu)楹唵?,使問題得以解決.例29:設(shè)正項數(shù)列滿足,(n≥2).求數(shù)列的通項公式.解:兩邊取對數(shù)得:,,設(shè),則是以2為公比的等比數(shù)列,.,,,∴例1、數(shù)列中,,。求。(1981年第22屆IMO預(yù)選題)分析本題的難點是已知遞推關(guān)系式中的較難處理,可構(gòu)建新數(shù)列,令,這樣就巧妙地去掉了根式,便于化簡變形。解:構(gòu)建新數(shù)列,使則,,即 化簡得 ,即數(shù)列是以2為首項,為公比的等比數(shù)列。即 例2、設(shè),,求證:。分析利用待證的不等式中含有及遞推關(guān)系式中含有這兩個信息,考慮進(jìn)行三角代換,構(gòu)建新數(shù)列,使,化簡遞推關(guān)系式。證明:易知,構(gòu)建新數(shù)列,使,則 ,又,,從而因此,新數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列。考慮到當(dāng)時,有。所以,注:對型如,,都可采用三角代換。作業(yè):三角函數(shù)是個很奇妙的東西,看看下面的例子例4、設(shè)r為正整數(shù),定義數(shù)列如下:,求證:。分析把條件變形為比較與前的系數(shù)及與的足碼,考慮到另一項為,等式兩邊同乘以,容易想到構(gòu)新數(shù)列,使。證明:由已知得 構(gòu)建新數(shù)列,則,作業(yè):數(shù)列確定,求通項..在數(shù)列中,,且,求.例5、設(shè)數(shù)列滿足,,對一切,有分析變形遞推關(guān)系式為,就容易想到怎樣構(gòu)建新數(shù)列了。解:由已知構(gòu)建新數(shù)列則, 例6、設(shè)數(shù)

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