北京市2022年中考數學一模圓的綜合試題

2022一模圓的綜合試題

1.海淀

如圖，oo是△ABC的外接圓，AB是OO的直徑。點。為斗。的中點.QO的切線DE交OC的延長線

于點E.

(1)求證：DEI/AC；

4

(2)連接5。交AC于點P,若AC=8.cosA=-.

5

求￡)￡和8尸的長.

D

2.東城

如圖，在AABC中，AB^AC,以AB為直徑作OO,交BC于點。，交AC于點E,過點B作。。的切

線交OD的延長線于點F.

（2）若A3=4,DF=\,求4E的長.

3.西城

如圖,AB是。。的直徑,弦CDLAB于點E,點尸在BC上,AF與CD交于點G,點H在DC的延長線上,且

HG=HF,延長HF交AB的延長線于點M.

(1)求證:H尸是。。的切線；力4

(2)若sinM=&5,BM=1,求A尸的長.;三

Hcy

A1

4.朝陽

如圖，A8為e。的直徑，C為e。上一點，和過點C的切線互相垂直,垂足為O.

(1)求證：AC平分NZM?：

4

(2)若cosNC4D=—,AB=5,求CD的長.

5

5.大興

如圖，A是上一點，8c是。。的直徑，BA的延長線與。。的切線CO相交于點。，E為CD的中點,

AE的延長線與BC的延長線交于點P.

(1)求證：AP是。。的切線;

(2)若OC=CP,AB=2由,求CQ的長.

6.豐臺

如圖，A8是。。的直徑，C是。。上一點，連接4c.過點B作。。的切線，交AC的延長線于點。，在

A。上取一點E,使AE=AB,連接BE,交。。于點F,連接AF.

(1)求證：NBAF=NEBD；

(2)過點E作EG_LBO于點G.如果AB=5,BE=2近,求EG,8。的長.

7.門頭溝

如圖，AB是0。的直徑，點。、E在上，ZA=2/BDE，過點E作。。的切線EC,交AB的延

長線于C.

(1)求證：NC=ZABD；

(2)如果。。的半徑為5.BE=2.求EE的長.

8.平谷

如圖，A8是。。的直徑，C是。。上一點，過C作。。的切線交48的延長線于點。，連接AC、BC,過0

OF//AC,交8c于G,交。C于F.

(1)求證：NDCB=NDOF；

(2)若tanNA=L,BC=4,求OF、。尸的長.

2

9.順義

如圖，四邊形ABC。內接于A8為的直徑，點。為AC的中點，對角線AC,8。交于點￡Q0

的切線A尸交8。的延長線于點凡切點為A.

(1)求證：AE=A尸；(2)若AF=6,BF=10,求BE的長.

BDF

C

10.通州

如圖1.A5是eO的直徑，點C是e。上不同于A8的點，過點。作e。的切線與BA的延長線交于點。,

連結AC,BC.

(1)求證：ZDCA=ZB；.

(2)如圖2.過點C作CELAB于點E.交e。于點F，F。的延長線交CB于點G.若e。的直徑為

4,ZD=30°,求線段FG的長.

答案解析

1.海淀

（本題滿分6分）

（1）解：連接OO,與AC交于H,如圖.

???。后是。。的切線，

ODLDE.

：.ZODE=90°.

???。為AC的中點，

:.AD=CD.

???ZAOD=ZCOD.

9：AO=CO,

：.OH±AC.

：.NOHC=90o=/ODE.

J.DE//AC.

（2）解：

???AB是。。的直徑，

???ZACB=90°.

4

VAC=8,cosA=—,

5

：.在Rt/XABC中，AB=-^—=\O.

cosA

：.OA=OB=OD=5.

OHLAC,

：.AH=CH=-AC=4.

2

：.OH=ylAO2-AH2=3.

9：DE//AC,

：./\OCHs/\OED.

?.?-C-H--OH-_3

DEOD5a

:.DE=—,

3

?:NBCH=NDHC=90。,NAFD=NCFB,

：.ABCFsADHF.

,BCCF

??------=-------.

DHHF

"：BC=yjAB2-AC2=6,DH=OD-OH=2,

:.CF=3HF.

■:CF+HF=CH9,

：.CF=3.

：.BF=-JBC2+CF2=3x/5.

2.東城

【小問1詳解】

證明：???A3=4C

:.ZC^ZABC

,/OB=OD

：.ZODB=ZOBD

NC=N()DB

:.AC//OD

：.ZA=ABOF

【小問2詳解】

解：如圖：連接BE

QA3是。0的直徑，AB=4

NAEB=90°,OB=OD=-AB^2

2

?.?BE是。O的切線

;.NOBF=90°

：.ZAEB=ZOBF

又?；ZA=NBOF

.-.△AfiES^OFB

AEAB

OB—OF

又?.?OF=QD+OR=2+1=3

AE48

---=—,解得AE=—

233

3.西城

(1)證明：連接OR,如圖1.

QOA=OF,

AFAO=ZAFO.1分

QHG=HF,

.-.ZHGF=ZHFG,

QZHGF=ZAGE,

:.ZAGE=ZHFG.........................2分

QCD±AB

.\ZAEG=9^0

ZAGE+ZGAE^9Q°

：.ZHFG+ZAFO=90°

.-.ZHFO=90°

OF±HF

.?.板是=6。的切線...............3分

(2)解：連接用，如圖2.

QOF±FM,

ZOFM=90°.

國2

jOF4

在RtZ^OFM中，sinM=--------.

OM5

設OE=4x,則

QOB=OF=Ax,BM=1,OM=OB+BM,

.,.5x=4x+l,解得x=l.

.-.OB=OF=4,OM=5.........................4分

：.FM=4OM--OF'=3

QAM=AB+BM^9

.BMFM1

"FM~AM~3

QZM=ZM,

:Z\FAM.........5分

FB1

—=一，即AF=3EB.

AF3

QA3是e。的直徑，

:.ZAFB=90°.

在用ZkA用中，AB=yjAF2+FB2=V10F5=8.

=yV10.........................6分

4.朝陽

(1)證明：如圖1,連接℃

QCO是e。的切線，

.?.zocr>=90°.

ZDCA+ZACO^90°,

QAD1CD,

:.ADCA+ZDAC^90°

圖1

:.ZACO^ZDAC2分

QOA=OC,

ZACO=ZOAC,

..ZDAC^ZOAC,

，AC平分ND48.3分

(2)解：如圖2,連接BC.

QA3為e°的直徑，

??..Z

ACB=90°.

4

cosZCAB-cos/CAD--

由(1)可知5.

QA3=5,

.-.AC=45分

AD=ACcosZCAD=—

在川△ACD中，5

6分

5.大興

(1)證明：連接A。，AC.

???8C是。。的直徑，

ZBAC=ZCAD=90°1分

???￡是C。的中點，

：.CE=DE=AE.

：.^ECA=ZEAC.

；04=0C,

ZO4C=ZOC4.

???CC是。。的切線，

/.CDIOC...................................................................2分

，ZECA+ZOCA=90°.

：.ZEAC+ZOAC=90°.

：.OA±AP.

：A是。O上一點，

.?.AP是。。的切線......................................3分

(2)解：由(1)知OALAP.

在RtZiOAP中，

VZQ4P=90°,OC=CP=OA,BPOP=2OA,

...sin/P=絲」.

OP2

：.ZP=30°.....................................................................4分

ZAQP=60°.

?：OC=OA,

.?.△AOC為等邊三角形，

/.ZACO=60°.

在RtZ\84C中，

ZBAC=90°,AB=2M，ZACO=60°,

AB2百

AC=

tanZ.ACOtan600

又..?在RtZ\ACQ中,

/CW=90。，

ZACD=90°-ZACO=30°,

r.CD=———=—--=超......................6分

cosZACDcos3003

7.門頭溝

【小問1詳解】

證明：如圖1,連接?！?

D

TAB是。的直徑

JZADB=90°

：.NA+NA8O=90。

??，CE是。的切線

JOELCE

：.NOEC=90。

AZC+ZCOE=90°

VZA=2ZBDEfZCOE=2ZBDE

：.ZC=ZABD

【小問2詳解】

解：如圖2,連接3E,

圖2

解：設N5OE=(x,AZADF=90°-a,ZA=2a,ZDBA=90°-2a,

在△ADF中，ZDM=180°-2a-(90°-a)=90°-a,

???NADF=/DFA,

：.AD=AF=A0+08-BF=8,

：.AD=AF=S

VZADF=ZAFD,NADF=NFBE,NAFD=NBFE,

:?/BFE=/FBE,

??BE=EF,

由（1）知，ZA=2ZBDE=ZCOEf

?：NBED=NA,

：.ZBEF=ZCOEt

■:NFBE=/OBE,

:?△BEFS^BOE,

.EF_BF

^~OE~~BE

.EF_2

a，~~~EF

；?EF=M,

故E尸的長為麗.

8.平谷

【小問1詳解】

解：如圖所示，連接OC,

??,CD是圓。的切線，A8是圓。的直徑,

：.ZOCD=ZACB=90°,

:.ZDCB+ZOCB=ZOCA+ZOCB,

:.ZDCB=ZOCA,

OC=OA,

：./OAC=/OCA=/DCB,

9：0F//AC,

：.ZDOF=ZOACf

：.ZDOF=ZDCB；

DC

【小問2詳解】

解：設。尸與BC交于點G,

,：OF//AC,

:.XOBGs缸ABC,ZBGO=ZACB=90°

BGOBOG1

/.——=—=——=一，ZCGF=90°

BCABAC2

：.BG=-BC=2,

2

CG=2,

八1

VZBCD^ZOAC,tanNA=一，

2

tanZFCG=tanZA=-=-=—,

CG2AC

：.GF=-CG=\,AC=2BC=S,

2

??.0G=；AC=4，CF^GF+CG?=5

：.OF=OG+GF=5,

同理可證△OfQs/vicn,

,DFOF

/.---=----,

DCAC

.DF_5

,,DF+亞一飛'

-5石

??Dr--------?

3

9.順義

(1)證明：?；4B為。。的直徑，AF切。。于A,

\ABJ_AF,ZADB=900...............