5.3.1函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負(fù)f(x)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞增f′(x)<0單調(diào)遞減考點(diǎn)二：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；(3)用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．考點(diǎn)三：函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值的大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上：導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大快比較“陡峭”(向上或向下)越小慢比較“平緩”(向上或向下)【題型歸納】題型一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性（不含參）1．（2023上·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中?？计谀┖瘮?shù)?的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．?B．?和?C．?D．?【答案】D【分析】求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.2．（2023下·四川宜賓·高二?？计谥校┖瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A3．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和(4)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1），則，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），則，由，得或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（3），則，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.（4），則，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.題型二：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)4．（2023下·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】關(guān)鍵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由在上恒成立求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立；即在上恒成立；即在上恒成立；所以，故選：C5．（2023下·甘肅武威·高二民勤縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可知導(dǎo)函數(shù)在上恒大于等于零.再參變分離求解函數(shù)最值即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在恒成立.故，即在恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在處取得的最大值0，所以.故選：A6．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【詳解】首先求出的定義域和極值點(diǎn)，由題意得極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，且，得出關(guān)于的不等式組，求解即可．【分析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，得，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以，解得：故選：B.題型三：由函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)7．（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，解出即可．【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．所以的取值范圍是．故選：C8．（2023下·山東濟(jì)寧·高二嘉祥縣第一中學(xué)校考期中）若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由單調(diào)性可知在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得，由此可得的取值范圍.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，解得：，的取值范圍為.故選：D.9．（2023下·江西九江·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而得到在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，只需，進(jìn)而求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒有，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立.因?yàn)?，所以在區(qū)間上恒成立，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以的取值范圍是.故選：B.題型四：函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像的關(guān)系10．（2023上·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項(xiàng)中的（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合圖象進(jìn)行判斷即可.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，只有選項(xiàng)C符合，故選：C11．（2023下·新疆巴音郭楞·高二?？计谀┤鐖D所示是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的單調(diào)性，，原函數(shù)單調(diào)遞增，，原函數(shù)單調(diào)遞減，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：A.12．（2023下·四川樂山·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，即可求得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于或，故不等式的解集為，故選：A題型五：含參分類討論函數(shù)的單調(diào)性13．（2023下·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)校）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)單調(diào)遞減為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)答案見解析【分析】（1）代入后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）對(duì)求導(dǎo)，分類討論與，得到的單調(diào)情況，從而得解.【詳解】（1）由題意得，定義域?yàn)椋瑒t，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增（2）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，（i）當(dāng)時(shí)，則在定義域上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，令，即，解得；令，即，解得；所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．（2023下·廣東江門·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間有和(2)答案見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)相應(yīng)求導(dǎo)（此時(shí)不含參），即可研究的單調(diào)增區(qū)間；（2）直接對(duì)求導(dǎo)（此時(shí)含參），再結(jié)合即可進(jìn)一步討論的單調(diào)性．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)其求導(dǎo)得，令，注意到的定義域?yàn)椋纱丝梢粤谐鲆韵卤砀瘢阂虼擞梢陨媳砀窨芍汉瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，令，接下來對(duì)分兩種情形來討論：情形一：當(dāng)時(shí)，有，即在上單調(diào)遞增.情形二：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)合以上分析可列出以下表格：由以上表格可知：在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問比較常規(guī)，而第二問的關(guān)鍵是要對(duì)進(jìn)行分類討論.15．（2023下·四川成都·高二四川省成都列五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況討論，分析的正負(fù)即可確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，即可得出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，解得.即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.（2）若時(shí)，都有，即，即恒成立.令，則，，令，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，即，所以在單調(diào)遞減，所以=，所以.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題16．（2024·四川成都·成都七中校考一模）已知函數(shù)在其定義域上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，“”是“單調(diào)遞增”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上的導(dǎo)函數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，故充分性成立；若在上單調(diào)遞增，則，如，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，但是，故必要性不成立；故“”是“單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：D17．（2023下·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)分析單調(diào)性即可.【詳解】，定義域?yàn)?，令，解得，所以在上單調(diào)遞減.故選：D.18．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中校考期中）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知：存在，使得，利用參變分離結(jié)合存在性問題分析求解.【詳解】因?yàn)?，由題意可知：存在，使得，整理得，且在上單調(diào)遞減，則，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.19．（2023下·四川綿陽·高二鹽亭中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)滿足在上恒成立，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用求導(dǎo)逆運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)，由已知可得在上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】解：設(shè)，則，由，可知，所以在上是增函數(shù)，又，所以，即，故選：B.20．（2023下·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，，都有，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，即可得解.【詳解】不等式，依題意令，，，，函數(shù)在上是增函數(shù)，又，不等式，即，即，由函數(shù)單調(diào)性可知，所以不等式的解集為．故選：A．21．（2023下·浙江杭州·高二杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．【答案】(1)；(2)，.【詳解】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．（1），則則，又，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（2），則，由可得或，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.22．（2023下·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)在點(diǎn)處切線斜率為，且．(1)求和；(2)試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合，進(jìn)行求解即可；（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)，由，得解得：．（2）由（1）得，求導(dǎo)，令，得，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．23．（2023下·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）（1）已知函數(shù)，.在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知函數(shù).討論的單調(diào)性.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【分析】（1）求導(dǎo)后利用分離參數(shù)法即可求出的取值范圍；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論不同情況時(shí)的導(dǎo)函數(shù)情況，即可得出的單調(diào)性.【詳解】（1）由題意，，在中，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),∴當(dāng)時(shí),恒成立,即當(dāng)時(shí),恒成立,故當(dāng)時(shí),恒成立，設(shè)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，則，∴當(dāng)時(shí),，解得：.∴的取值范圍是.（2）由題意，在中，當(dāng)時(shí),則,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),由，解得.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【高分突破】一、單選題24．（2023下·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)，比較的大小關(guān)系（

）A． B．bC． D．【答案】C【分析】由，構(gòu)造、且，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性比較大小關(guān)系.【詳解】由，令且，則，所以遞減，則，故，則，令且，則，所以遞減，則，故，則，綜上，.故選：C25．（2023下·安徽合肥·高二合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求解不等式作答.【詳解】定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，不等式等價(jià)于，解得，所以不等式的解集是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及給定含有導(dǎo)函數(shù)的不等式，根據(jù)不等式的特點(diǎn)結(jié)合求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探求給定問題是解題的關(guān)鍵.26．（2023下·四川綿陽·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】探討函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性即可求解不等式作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是奇函數(shù)，又，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，即，于是，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D27．（2023下·四川眉山·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)奇偶性得到在上單調(diào)遞增，且，分與，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，得到解集.【詳解】令，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，則在R上為奇函數(shù)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又在R上為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，又，則，故，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，解得，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，解得，所以不等式的解集為.故選：A28．（2023下·安徽安慶·高二?？茧A段練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，其導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意正數(shù)恒有，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的奇偶性得到在上恒成立，進(jìn)而得到在上單調(diào)遞減，由為奇函數(shù)得到在R上單調(diào)遞減，從而由單調(diào)性解不等式，求出解集.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，對(duì)任意正數(shù)恒有，即，故在上恒成立，故在恒成立，故在上單調(diào)遞減，定義域?yàn)镽，又，故為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又的圖象連續(xù)不斷，故在R上單調(diào)遞減，變形得到，所以，解得，解得.故選：D二、多選題29．（2023上·山西晉中·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)滿足，則正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到遞減，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】令，則，從而遞減，則，即，，，.故選：AC.30．（2023下·山東淄博·高二校考階段練習(xí)）已知，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為 B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．在處的切線方程為 D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BC【分析】對(duì)于AC，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可，對(duì)于BD，求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【詳解】對(duì)于AC，，由，得，所以切線的斜率，所以在處的切線方程為，所以A錯(cuò)誤，C正確，對(duì)于BD，函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，得，解得，由，得，解得，所以在上遞增，在上遞減，所以B正確，D錯(cuò)誤，故選：BC31．（2023下·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，都是單調(diào)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，令，則下列說法中一定正確的是（

）A．若，，則單調(diào)遞增 B．若，，則單調(diào)遞增C．若，，則單調(diào)遞減 D．若，，則單調(diào)遞減【答案】AD【分析】對(duì)于AD，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析判斷即可，對(duì)于BC，舉例判斷.【詳解】，若，則單調(diào)遞增，故A正確；若，則單調(diào)遞減，故D正確；取，則滿足，，顯然是常函數(shù)，不單調(diào)遞增，故B不一定正確；取，，則滿足，顯然是常函數(shù)，不單調(diào)遞減，故C不一定正確．故選：AD．32．（2023下·江西新余·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，且當(dāng)時(shí)，，令，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．在上為減函數(shù)D．不等式的解集為.【答案】ACD【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A、B，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性及偶函數(shù)性質(zhì)判斷選項(xiàng)C，利用抽象函數(shù)的單調(diào)性及偶函數(shù)性質(zhì)解不等式判斷D.【詳解】，定義域?yàn)?，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由得，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上為減函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；將不等式化為，即，又函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以，所以，平方化簡(jiǎn)得，解得，所以不等式的解集為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD33．（2023下·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的圖像關(guān)于對(duì)稱 B．的圖像關(guān)于對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．【答案】BD【分析】首先求出的定義域，利用與判斷出A錯(cuò)誤B正確，利用特殊值判斷出C錯(cuò)誤，分別在與時(shí)討論可判斷出，所以D正確.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋灰驗(yàn)椴缓銥榱?，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，故B正確；令，，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，且，所以，當(dāng)時(shí)，，且，所以，故D正確；故選：BD.三、填空題34．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上有解，分離參數(shù)后求函數(shù)最值即可得解.【詳解】，由題意在上有解，即在上有解，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最大值，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：35．（2023下·福建泉州·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得且，得到在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合不等式，得出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，又由不等式，可得，即，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.36．（2023下·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是.【答案】【分析】令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，由為偶函數(shù)，可得為奇函數(shù)，分兩種情況：，分析不等式的解集，即可得出答案.【詳解】令，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以為奇函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，若，則等價(jià)于，所以，若，則等價(jià)于，所以.綜上所述，不等式的解集是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性解題，考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力.37．（2023下·陜西咸陽·高二?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則的解集是．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而利用換元即可求解.【詳解】令，，則由題意可得在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，則，即的解集為，所以，解得，綜上，故答案為：四、解答題38．（2023上·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．【答案】(1)(2)分類討論，答案見解析.【分析】（1）求導(dǎo)代入得到斜率和切點(diǎn)，寫出點(diǎn)斜式即可；（2）分和討論即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，．曲線在處的切線的斜率為．把代入中得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為．所以曲線在處的切線方程為．（2）令，得．①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)．②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，為單調(diào)減函數(shù)；在區(qū)間上，，為單調(diào)增函數(shù)．綜上，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間上，為單調(diào)增函數(shù)．39．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)求解即可.（2）首先求導(dǎo)得到，再分類討論，，，情況的單調(diào)性即可.【詳解】（1）由已知，則，當(dāng)時(shí)，，，則曲線在處的切線方程為，即（2）由（1）知，，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由，得，（?。┊?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；綜上可得：①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.40．（2023下·河北石家莊·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，若曲線在處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．【答案】(1)；(2)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的