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文檔簡介
2024屆江蘇省興化市第一中學數(shù)學高三上期末教學質量檢測試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若復數(shù),,其中是虛數(shù)單位,則的最大值為()A. B. C. D.2.的內(nèi)角的對邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.3.已知是雙曲線的兩個焦點,過點且垂直于軸的直線與相交于兩點,若,則的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度5.已知集合,則集合真子集的個數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.86.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一,它歷史悠久,風格獨特,神獸人們喜愛.下圖即是一副窗花,是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點,則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.8.若是定義域為的奇函數(shù),且,則A.的值域為 B.為周期函數(shù),且6為其一個周期C.的圖像關于對稱 D.函數(shù)的零點有無窮多個9.明代數(shù)學家程大位(1533~1606年),有感于當時籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.10.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)11.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-212.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個零點,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.執(zhí)行以下語句后,打印紙上打印出的結果應是:_____.14.設隨機變量服從正態(tài)分布,若,則的值是______.15.的展開式中常數(shù)項是___________.16.若函數(shù)(a>0且a≠1)在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),則a的取值范圍是_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱錐中,,,側面為等邊三角形,側棱.(1)求證:平面平面;(2)求三棱錐外接球的體積.18.(12分)設拋物線過點.(1)求拋物線C的方程;(2)F是拋物線C的焦點,過焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,若,求的值.19.(12分)已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.(1)求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設函數(shù),證明時,.20.(12分)已知.(1)解不等式;(2)若均為正數(shù),且,求的最小值.21.(12分)已知數(shù)列,,數(shù)列滿足,n.(1)若,,求數(shù)列的前2n項和;(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,且對任意n,恒成立.①當數(shù)列為等差數(shù)列時,求證:數(shù)列,的公差相等;②數(shù)列能否為等比數(shù)列?若能,請寫出所有滿足條件的數(shù)列;若不能,請說明理由.22.(10分)為增強學生的法治觀念,營造“學憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍,某學校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動,并組織全校學生進行法律知識競賽.現(xiàn)從全校學生中隨機抽取50名學生,統(tǒng)計他們的競賽成績,已知這50名學生的競賽成績均在[50,100]內(nèi),并得到如下的頻數(shù)分布表:分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)51515123(1)將競賽成績在內(nèi)定義為“合格”,競賽成績在內(nèi)定義為“不合格”.請將下面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關?合格不合格合計高一新生12非高一新生6合計(2)在(1)的前提下,按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣,從這50名學生中抽取5名學生,再從這5名學生中隨機抽取2名學生,求這2名學生競賽成績都合格的概率.參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由復數(shù)的幾何意義可得表示復數(shù),對應的兩點間的距離,由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復數(shù)的幾何意義可得,復數(shù)對應的點為,復數(shù)對應的點為,所以,其中,故選C【點睛】本題主要考查復數(shù)的幾何意義,由復數(shù)的幾何意義,將轉化為兩復數(shù)所對應點的距離求值即可,屬于基礎題型.2、A【解析】
先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡,可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因為,則,而,所以.故選:A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎題.3、B【解析】
首先由求得雙曲線的方程,進而求得三角形的面積,再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選:B【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質,考查三角形的內(nèi)心的概念,考查了轉化的思想,屬于中檔題.4、A【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結果.【詳解】因為,故要得到,只需將向左平移個單位長度.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎題.5、C【解析】
解出集合,再由含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個可得答案.【詳解】解:由,得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選:C【點睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應用,含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個,屬于基礎題.6、D【解析】
由幾何概型可知,概率應為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應用,屬于基礎題.7、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點睛:由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.8、D【解析】
運用函數(shù)的奇偶性定義,周期性定義,根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù),則,,又,,即是以4為周期的函數(shù),,所以函數(shù)的零點有無窮多個;因為,,令,則,即,所以的圖象關于對稱,由題意無法求出的值域,所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質,主要是抽象函數(shù)的性質,運用數(shù)學式子判斷得出結論是關鍵.9、C【解析】
根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時不滿足,跳出循環(huán),輸出結果為,由題意,得.故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算,意在考查學生的理解能力和計算能力.10、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故選B.11、B【解析】
由函數(shù)解析式中含絕對值,所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象,結合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當時,有最大值,當時,有最小值.故選:B.【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎題.12、C【解析】
當時,最多一個零點;當時,,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當時,,得;最多一個零點;當時,,,當,即時,,在,上遞增,最多一個零點.不合題意;當,即時,令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個零點;根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點,在,上有2個零點,如圖:且,解得,,.故選.【點睛】遇到此類問題,不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過程中有可能分類不全面、不徹底.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
根據(jù)程序框圖直接計算得到答案.【詳解】程序在運行過程中各變量的取值如下所示:是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán),所以打印紙上打印出的結果應是:1故答案為:1.【點睛】本題考查了程序框圖,意在考查學生的計算能力和理解能力.14、1【解析】
由題得,解不等式得解.【詳解】因為,所以,所以c=1.故答案為1【點睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質,意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.15、-160【解析】試題分析:常數(shù)項為.考點:二項展開式系數(shù)問題.16、(1,)【解析】
在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2],等價轉化為與的圖像在(1,)上恰有兩個交點,考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知:與的圖像在(1,)上恰有兩個交點考查臨界情形:與切于,.故答案為:.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,把已知條件進行等價轉化是求解的關鍵,側重考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設中點為,連接、,利用等腰三角形三線合一的性質得出,利用勾股定理得出,由線面垂直的判定定理可證得平面,再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面;(2)先確定三棱錐的外接球球心的位置,利用三角形相似求出外接球的半徑,再由球體的體積公式可求得結果.【詳解】(1)設中點為,連接、,因為,所以.又,所以,又由已知,,則,所以,.又為正三角形,且,所以,因為,所以,,,平面,又平面,平面平面;(2)由于是底面直角三角形的斜邊的中點,所以點是的外心,由(1)知平面,所以三棱錐的外接球的球心在上.在中,的垂直平分線與的交點即為球心,記的中點為點,則.由與相似可得,所以.所以三棱錐外接球的體積為.【點睛】本題考查面面垂直的證明,同時也考查了三棱錐外接球體積的計算,找出外接球球心的位置是解答的關鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.18、(1)(2)【解析】
(1)代入計算即可.(2)設直線AB的方程為,再聯(lián)立直線與拋物線的方程,消去可得的一元二次方程,再根據(jù)韋達定理與求解,進而利用弦長公式求解即可.【詳解】解:(1)因為拋物線過點,所以,所以,拋物線的方程為(2)由題意知直線AB的斜率存在,可設直線AB的方程為,,.因為,所以,聯(lián)立,化簡得,所以,,所以,,解得,所以.【點睛】本題考查拋物線的方程以及聯(lián)立直線與拋物線求弦長的簡單應用.屬于基礎題.19、(1);函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.【解析】
試題分析:(1)由題得,根據(jù)曲線在點處的切線方程,列出方程組,求得的值,得到的解析式,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)得根據(jù)由,整理得,設,轉化為函數(shù)的最值,即可作出證明.試題解析:(1)由題得,函數(shù)的定義域為,,因為曲線在點處的切線方程為,所以解得.令,得,當時,,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;當時,,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由(1)得,.由,得,即.要證,需證,即證,設,則要證,等價于證:.令,則,∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,即,故.20、(1);(2)【解析】
(1)利用零點分段討論法可求不等式的解.(2)利用柯西不等式可求的最小值.【詳解】(1),由得或或,解得.(2),所以,由柯西不等式得:所以,即(當且僅當時取“=”).所以的最小值為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對值不等式的基本方法有零點分段討論法、圖象法、平方法等,利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇,利用平方去掉絕對值符號時注意代數(shù)式的正負,而利用圖象法求解時注意圖象的正確刻畫.利用柯西不等式求最值時注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式,本題屬于中檔題.21、(1)(2)①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列,見解析【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點,奇數(shù)項為等差數(shù)列,偶數(shù)項為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進行求解;(2)①設數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當n為奇數(shù)時,得出;當n為偶數(shù)時,得出,從而可證數(shù)列,的公差相等;②利用反證法,先假設可以為等比數(shù)列,結合題意得出矛盾,進而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列.【詳解】(1)因為,,所以,且,由題意可知,數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是首項和公比均為4的等比數(shù)列,所以;(2)①證明:設數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當n為奇數(shù)時,,若,則當時,,即,與題意不符,所以,當n為偶數(shù)時,,,若,則當時,,即,與題意不符,所以,綜上,,原命題得證;②假設可以為等比數(shù)列,設公比為q,因為,所以,所以,,因為當時,,所以當n為偶數(shù),且時,,即當n為偶數(shù),且時,不成立,與題意矛盾,所以數(shù)列不能為等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合,數(shù)列求和時一般是結合通項
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