小學(xué)數(shù)學(xué)中的大道理

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理

——核心概念的理解與呈現(xiàn)1編輯ppt突出數(shù)學(xué)課的數(shù)學(xué)味2編輯ppt個(gè)人工作背景簡(jiǎn)介任小學(xué)一線數(shù)學(xué)教學(xué)工作10年。任小學(xué)數(shù)學(xué)教研員16年。期間參加浙教版新思維小學(xué)?數(shù)學(xué)?教材編寫，任編委。北京師范大學(xué)附屬杭州中學(xué)任校長(zhǎng)助理1年。2021年起任6-8年級(jí)數(shù)學(xué)教研員3年?，F(xiàn)任4-6年級(jí)數(shù)學(xué)教研員，分管中小學(xué)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)。3編輯ppt在梯形ABCD中，AD//BC，AB=10，∠A=90°，AD=4，BC=6，點(diǎn)P在線段AB上，是否存在以點(diǎn)P、A、D組成的三角形相似于點(diǎn)P、B、C組成的三角形?假設(shè)存在，求AP長(zhǎng)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。分類討論在相似三角形中的應(yīng)用ABPCD4編輯ppt錯(cuò)例呈現(xiàn)圖形暗示：DP⊥PC，這個(gè)暗示無法防止。強(qiáng)化了憑直覺解題。5編輯ppt觀察、直覺所得不能作條件用圖中空白局部是正方形開展學(xué)生的圖形直覺6編輯ppt長(zhǎng)方體、正方體的認(rèn)識(shí)分成兩節(jié)課上7編輯ppt以下圖形中，哪個(gè)圖形是長(zhǎng)方體？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕整體感知，直覺判斷8編輯ppt靜態(tài)觀察，提取特征觀察長(zhǎng)方體實(shí)物或圖形，同桌交流：長(zhǎng)方體有

個(gè)面，

每個(gè)面的形狀是

，

完全相同的面有

。長(zhǎng)方體有

條棱，

長(zhǎng)度相等的棱有

。長(zhǎng)方體有

個(gè)頂點(diǎn)。9編輯ppt想一想：把長(zhǎng)方體與其他立體圖形區(qū)別開來的關(guān)鍵特征是什么？〔1〕〔2〕〔3〕分析比較，提取關(guān)鍵特征10編輯ppt基于關(guān)鍵特征的推理面數(shù)量形狀大小棱數(shù)量長(zhǎng)度頂點(diǎn)數(shù)量6長(zhǎng)方形相對(duì)的2個(gè)面完全相同。2個(gè)/組×3組=6個(gè)面。12相對(duì)的4條棱長(zhǎng)度相等。4條/組×3組=12條棱。811編輯ppt基于運(yùn)動(dòng)的推理：面動(dòng)成體12編輯ppt基于運(yùn)動(dòng)的推理：線動(dòng)成面13編輯ppt基于運(yùn)動(dòng)的推理：點(diǎn)動(dòng)成線14編輯ppt基于運(yùn)動(dòng)的推理：點(diǎn)動(dòng)成線15編輯ppt圖形名稱底面面數(shù)棱數(shù)頂點(diǎn)數(shù)四棱柱四邊形6128五棱柱五邊形六棱柱六邊形七棱柱七邊形n棱柱n邊形715108181292114n+23n2n歐拉公式：棱=面+頂點(diǎn)-216編輯ppt基于運(yùn)動(dòng)變化的推理17編輯ppt為什么上下一樣粗細(xì)？為什么上下底面平行？18編輯ppt大道理：多樣視角

——基于運(yùn)動(dòng)變換觀點(diǎn)的理解側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×經(jīng)過距離體積=底面積×經(jīng)過距離19編輯ppt工廠的廢氣通過10個(gè)直徑80厘米的圓形排氣管口排入空中，排氣速度平均0.1米/秒，這個(gè)工廠每天排出廢氣多少立方米？20編輯ppt大道理：運(yùn)動(dòng)變化的學(xué)習(xí)價(jià)值小學(xué)數(shù)學(xué)中引入平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱〔反射〕，不僅是為了認(rèn)識(shí)生活中這樣的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，更因?yàn)樗鼮閷W(xué)習(xí)圖形提供了統(tǒng)一的視角。把圖形認(rèn)識(shí)、圖形運(yùn)動(dòng)、測(cè)量統(tǒng)一起來了。平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱描述了一種空間性質(zhì)，在這一空間中圖形經(jīng)三種運(yùn)動(dòng)變化保持形狀、大小不變，這種運(yùn)動(dòng)也叫剛體運(yùn)動(dòng)。21編輯ppt一道考題：先填空，再答復(fù)以下問題。〔1〕右圖中一共有條線段?！?〕5位朋友見面，每?jī)扇宋找淮问?，他們總共握了次手。?〕右圖中一共有條線段?！?〕從前面3個(gè)小題的解答中你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)解釋為什么會(huì)這樣。22編輯ppt大道理：聯(lián)系的觀點(diǎn)ABCDOABOCDABCDEABECD23編輯ppt對(duì)教學(xué)的啟示：靜與動(dòng)哪些是三角形？什么叫做三角形？24編輯ppt對(duì)教學(xué)的啟示：靜與動(dòng)在什么條件下形成三角形？三點(diǎn)不在一直線上，兩邊之和…什么叫做三角形？A25編輯ppt用這樣的觀點(diǎn)如何認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓?！裁床蛔儯克^規(guī)律：就是變化中的不變性。如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓周長(zhǎng)與直徑之間存在倍數(shù)關(guān)系？小貼士：頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E，由歐拉公式V+F-E=2證得僅存在五種正多面體。

26編輯ppt大道理：定義與性質(zhì)、判定長(zhǎng)方形特征：對(duì)邊相等，四個(gè)直角。正方形特征：四邊相等，四個(gè)直角。正方形是特殊的長(zhǎng)方形〔據(jù)特征〕。如何給長(zhǎng)方形下定義？長(zhǎng)方形鄰邊不等，正方形鄰邊相等。系統(tǒng)定義：屬加種差方式。經(jīng)濟(jì)原那么：四個(gè)角是直角的四邊形是長(zhǎng)方形。27編輯ppt把下面的四邊形分成兩類⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻四個(gè)角是直角的四邊形叫做長(zhǎng)方形28編輯ppt射影幾何平行線交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)29編輯ppt射影幾何30編輯ppt都涉及二維與三維之間的關(guān)系在影像處理上有什么不同？對(duì)教學(xué)有什么啟示？中心投影與平行投影31編輯ppt不同方位觀察物體從哪個(gè)方向觀察可以看到圖B?你真的看到了？〔眼睛、點(diǎn)光源〕怎么辦？〔平行光投影、壓扁〕需要說明、需要想象！圖A圖B32編輯ppt大道理：長(zhǎng)度、面積、體積測(cè)量的本質(zhì)什么叫面積？物體外表或平面封閉圖形的大小叫做面積。大小什么意思？數(shù)學(xué)地定義面積有五個(gè)屬性：非負(fù)性；有限性；可列可加性；運(yùn)動(dòng)不變性；正那么性〔面積單位〕。33編輯ppt為什么面積單位要用單位長(zhǎng)度的正方形來定義，而不是用平行四邊或其他圖形？1cm1cm1dm1dm34編輯ppt35編輯ppt36編輯ppt你能找出平均每株秧苗的占地面積嗎？種瓜得瓜，種豆得豆。無論如何，所有的辛勞最后都會(huì)有應(yīng)有的回報(bào)！37編輯ppt哪個(gè)體積大？大道理：公式的函數(shù)視角38編輯ppt面積與什么有關(guān)？平行四邊形的面積與什么有關(guān)？如何讓學(xué)生感知？恐怕很難！歷史上把公式當(dāng)成函數(shù)來看可能是比較遲的事情。s=ah=absinαabhα

底、高的變化一定引起面積變化，而鄰邊和角就不一定。39編輯ppt求下面圖形的面積學(xué)生為什么容易錯(cuò)？如何解決？40編輯ppt求下面圖形的面積S=5×3.2=16s=a1×h141編輯ppt求下面圖形的面積S=4×4=16s=a2×h242編輯ppt求下面圖形的面積S=5×3.2=16s=a1×h1S=4×4=16s=a2×h2

兩種方法都是底×高，我們確定面積公式是底×高，要注意什么問題？43編輯ppt角的度量可以通過定性比較兩個(gè)角的大小到定量刻畫兩個(gè)角的大小，引出角的度量單位，定義1°角。44編輯ppt角的度量經(jīng)歷用1°角度量一個(gè)角的過程，順時(shí)針或逆時(shí)針從角的一邊開始，頂點(diǎn)重合用1°角擺，數(shù)出度數(shù)來經(jīng)歷量角器的形成過程，進(jìn)而更好地理解用量角器量角的方法。45編輯ppt46編輯ppt數(shù)：有趣的名稱自然數(shù)；整數(shù)；分?jǐn)?shù)；小數(shù)；有理數(shù)；無理數(shù)；實(shí)數(shù)；虛數(shù)；復(fù)數(shù)。真分?jǐn)?shù)；假分?jǐn)?shù)；帶分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)。純小數(shù)；帶小數(shù)；有限小數(shù)；無限小數(shù)；循環(huán)小數(shù)；不循環(huán)小數(shù)；正數(shù)；負(fù)數(shù)。小學(xué)里學(xué)了哪些數(shù)？47編輯ppt分?jǐn)?shù)的意義把單位“1〞平均分成假設(shè)干份，表示這樣1份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的定義揭示了分?jǐn)?shù)在測(cè)量、分物等實(shí)踐活動(dòng)中的發(fā)生過程。0/5來自于數(shù)學(xué)運(yùn)算，如0÷5，4/5-4/5。用運(yùn)算定義：分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。

48編輯ppt大道理：數(shù)學(xué)來源的多樣性數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程：生活→數(shù)學(xué)〔最初的源泉，有局限性〕數(shù)學(xué)→數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)→生活數(shù)學(xué)知識(shí)的組織過程：數(shù)學(xué)→數(shù)學(xué)〔邏輯的考量，具有普適性〕49編輯ppt50編輯ppt51編輯ppt52編輯ppt這樣教的正負(fù)數(shù)能比較大小嗎？小學(xué)生爭(zhēng)論：結(jié)余2000元記做+2000，負(fù)債4000元記做-4000，+2000和-4000誰比較大？甲：前者大，結(jié)余總是有錢多，負(fù)債不僅沒有錢，還更慘。乙：后者大，把結(jié)余2000元還掉，再還2000元。如果結(jié)余2000元記做-2000，負(fù)債4000元記做+4000，-2000和+4000誰比較大？53編輯ppt算一算：三個(gè)小組各得多少分？第一組：答對(duì)7題，答錯(cuò)4題。第二組：答對(duì)4題，答錯(cuò)6題。第三組：答對(duì)4題，答錯(cuò)5題。70-40=3040-60=40-40-20=0-20=-2040-50=40-40-10=0-10=-10-20是一個(gè)怎樣的數(shù)？計(jì)算步驟：①拆數(shù)；②抵消；③去0.54編輯ppt算一算：三個(gè)小組各得多少分？第一組：答對(duì)7題，答錯(cuò)4題。第二組：答對(duì)4題，答錯(cuò)6題。第三組：答對(duì)4題，答錯(cuò)5題。70-40=40-40+30=0+30=+3040-60=40-40-20=0-20=-2040-50=40-40-10=0-10=-10-20是一個(gè)怎樣的數(shù)？計(jì)算步驟：①拆數(shù)；②抵消；③去0.55編輯ppt歷史上的負(fù)數(shù)〔四〕：理論上確立的負(fù)數(shù)對(duì)有序數(shù)對(duì)〔a，b〕——〔a，b〕的直觀意義就是a-b，當(dāng)a＞b時(shí)，〔a，b〕是正數(shù)；當(dāng)a＜b時(shí)，〔a，b〕是負(fù)數(shù)；當(dāng)a=b時(shí)，〔a，b〕為0。這就是正負(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)理論中的定義。本課就是用這樣的方法講正負(fù)數(shù)56編輯ppt1234+2.5

0-1-3-2-2.5

能不能把負(fù)數(shù)也表示出來？

回到源頭。用減法和相反意義的數(shù)解釋數(shù)軸的合理性。57編輯ppt1234+2.5

0-1-3-2-2.5

能不能把負(fù)數(shù)也表示出來？

“-1〞與“-2〞哪個(gè)比較大？回到源頭。用減法解釋正負(fù)數(shù)的大小。58編輯ppt1234+2.5

0-1-3-2-2.5

數(shù)軸上數(shù)的大小排列有什么規(guī)律？越來越大越來越小59編輯ppt?小學(xué)數(shù)學(xué)教師?特稿“數(shù)方夜談〞60編輯ppt某倉庫運(yùn)進(jìn)面粉7.5噸，運(yùn)出3.8噸。選〔〕為正，運(yùn)進(jìn)面粉7.5噸記作〔〕，運(yùn)出3.8噸記作〔〕。商店三月份盈利50萬元，四月份虧損6萬元。選〔〕為正，三月份盈利50萬元記作〔〕，四月份虧損6萬元記作〔〕。小明向東運(yùn)動(dòng)50米，小華向西運(yùn)動(dòng)40米。選〔〕為正，小明向東運(yùn)動(dòng)50米記作〔〕，小華向西運(yùn)動(dòng)40米記作〔〕，小剛原地不動(dòng)記作〔〕。選一種量為正，用正負(fù)數(shù)表示題中的量運(yùn)進(jìn)+7.5-3.8盈利+50-6向東+50-400向西-50+400正負(fù)數(shù)表示的符號(hào)選擇與加減法意義相統(tǒng)一。61編輯ppt我們可以：把結(jié)余2000元記做+2000，負(fù)債4000元記做-4000。我們也可以：把結(jié)余2000元記做-2000，負(fù)債4000元記做+4000。你感到別扭嗎？62編輯ppt如果把一個(gè)人先向東走3m記作+3m，那么這個(gè)人又向東走-4m是什么意思？這時(shí)他距離出發(fā)點(diǎn)有多遠(yuǎn)？在直線上表示出來。012345678-1-2-3-4-5-663編輯ppt

父親56歲，其子29歲。何時(shí)父親年齡是兒子的2倍？列方程：56+x=2〔29+x〕德·摩根〔AugustusdeMorgan〕1806-1871英國(guó)代數(shù)學(xué)家2年前父親的年齡是兒子的2倍。設(shè)x年后父親年齡是兒子的2倍。56+x=58+2x

56=58+x

0=x+2x=0-2即x=-2答：-2年后父親的年齡是兒子的2倍。64編輯ppt父親56歲，其子29歲。何時(shí)父親年齡是兒子的2倍？列方程：56-x=2〔29-x〕剛剛的解釋是正確的！設(shè)x年前父親年齡是兒子的2倍。56-x=58-2x

56+x=58x=58-56x=56-56+2x=0+2

x=+2即x=265編輯ppt

父親56歲，其子29歲。何時(shí)父親年齡是兒子的2倍？列方程：56+x=2〔29+x〕德·摩根〔AugustusdeMorgan〕1806-1871英國(guó)代數(shù)學(xué)家要不要再另列方程解？設(shè)x年后父親年齡是兒子的2倍。56+x=58+2x

56=58+x

0=x+2x=0-2即x=-2答：2年前父親的年齡是兒子的2倍。66編輯ppt

提出用減號(hào)“－〞表示負(fù)數(shù)和減法運(yùn)算，用加號(hào)“+〞表示正數(shù)和加法運(yùn)算，他的提議很快得到人們的公認(rèn)，并一直沿用至今。

吉拉爾〔A．Girard〕1595-1632法國(guó)數(shù)學(xué)家他的提議為什么會(huì)很快得到人們公認(rèn)呢？性質(zhì)符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)統(tǒng)一。67編輯ppt正數(shù)與負(fù)數(shù)是意義相反的數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常被用來表示意義相反的量。不是從生活到數(shù)學(xué)，而是從數(shù)學(xué)到生活。第一次逆轉(zhuǎn)！68編輯ppt大道理：有理數(shù)集的本質(zhì)全體有理數(shù)——整數(shù)和分?jǐn)?shù)，仍然滿足結(jié)合律、交換律和分配律，而且關(guān)于x的方程

a+x=b,ax=b

總有唯一解。換句話說，在有理數(shù)范圍內(nèi)，所有的有理運(yùn)算——加減乘除——可以無限制進(jìn)行，而決不會(huì)超出這個(gè)范圍，這樣一個(gè)數(shù)集叫做一個(gè)域。這是對(duì)有理數(shù)集的本質(zhì)刻畫！要緊緊抓??！69編輯ppt你如何解釋除數(shù)不能為0？把12個(gè)蘋果平均分成0份，每份有幾個(gè)？把12個(gè)蘋果，每0個(gè)蘋果分1份，可以分成多少份？這樣解釋行嗎？不行！不能用生活實(shí)例來解釋，要從純粹數(shù)學(xué)運(yùn)算的角度來解釋。70編輯pptax=b〔a、b為任意自然數(shù)〕是關(guān)于x的方程，要使x有唯一確定的解，需滿足什么條件？分類討論：當(dāng)a=0，b=0時(shí)，x有無數(shù)解；當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，x無解；當(dāng)a≠0，b=0時(shí)，x有唯一解為0；當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，x有唯一解為b/a.規(guī)定：除法的除數(shù)、比的后項(xiàng)、分?jǐn)?shù)的分母不能為0。為什么？71編輯ppt你如何理解分?jǐn)?shù)等的“根本性質(zhì)〞？12x=9→4x=3→x=3/4x=9÷12→x=3÷4→x=3/4x=9∶12→x=3∶4→x=3/4x=9/12→x=3/4等式性質(zhì)、商不變性、比的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)根本性質(zhì)相互聯(lián)系，可以歸結(jié)為等式性質(zhì)。0.2=0.20→2/10=20/10072編輯pptax=b，x=？〔a、b為整數(shù)〕x是真分?jǐn)?shù)，x＜1。x是假分?jǐn)?shù)，x≥1。x是整數(shù)x可化成帶分?jǐn)?shù)x是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是否b≥a否是b是否a的倍數(shù)否是a、b是否互素否是x不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，通常要化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)或整數(shù)x可表示成有限小數(shù)x可表示成無限循環(huán)小數(shù)分母是否只含有素因數(shù)2、5否是

x=（a≠0）ax=b：整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)73編輯ppt大道理：數(shù)學(xué)來源的多樣性與多元表征