遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第23頁/共23頁沈陽市五校協(xié)作體2022—2023學(xué)年度（上）期末考試數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘分?jǐn)?shù)：150分試卷說明：試卷共兩部分：第一部分：選擇題型（1—12題共60分）第二部分：非選擇題型（13—22題共90分）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，，下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷ABD選項(xiàng)；利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，，A錯；對于BD選項(xiàng)，，則，B對D錯；對于C選項(xiàng)，，則與不共線，C錯.故選：B.2.雙曲線的兩條漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，所以，雙曲線的兩條漸近線方程為，即.故選：A.3.已知，在這三條直線中有兩條平行，另外一條與它們垂直，則實(shí)數(shù)（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線平行與垂直的充要條件分情況列方程求解，即可得的值.【詳解】對于直線，整理得，若，則，無解；若，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)直線不重合；若，則，無解；綜上，.故選：C.4.某數(shù)學(xué)小組有名同學(xué)，組內(nèi)規(guī)定：在每次的數(shù)學(xué)測試后，成績在前三名的同學(xué)，給其余四名同學(xué)進(jìn)行輔導(dǎo)（成績互異），每人至少輔導(dǎo)一名同學(xué)，這四名同學(xué)每人只允許被一名同學(xué)進(jìn)行輔導(dǎo)．某次數(shù)學(xué)測試后，這個數(shù)學(xué)小組的同學(xué)間有（）種輔導(dǎo)分配．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將其余名同學(xué)分為組，每組的人數(shù)分別為、、，然后再將這三組同學(xué)分配給成績前三名的同學(xué)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】將其余名同學(xué)分為組，每組的人數(shù)分別為、、，然后再將這三組同學(xué)分配給成績前三名的同學(xué)，不同的輔導(dǎo)分配方案種數(shù)為種.故選：B.5.已知圓與圓有兩個公共點(diǎn)、，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一般方程表示圓以及兩圓相交可得出關(guān)于的不等式組，求出直線的方程，分析可知直線經(jīng)過圓心，將圓心的坐標(biāo)代入直線的方程，可求得實(shí)數(shù)的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.【詳解】對于圓，有，可得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，且，因?yàn)閮蓤A有兩個公共點(diǎn)、，則，即，將兩圓方程作差可得，因?yàn)?，則直線過圓心，所以，，解得，滿足.因此，.故選：C.6.已知是棱長為2的正方體表面上的一個動點(diǎn)，且，則的軌跡周長是（）A. B.2π C. D.4π【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可得到的中點(diǎn)為的距離為，再根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可得在其中一個側(cè)面上的軌跡長度，同理可確定其它側(cè)面上的軌跡長度，從而可得的軌跡周長.【詳解】因?yàn)椋瑒t，又正方體的棱長為，取線段的中點(diǎn)為，則，由于在正方體的表面上運(yùn)動，要滿足，則點(diǎn)在正方體的四個側(cè)面上運(yùn)動，如圖，當(dāng)在側(cè)面上運(yùn)動時，取中點(diǎn)為，連接因?yàn)?，分別為，中點(diǎn)，所以，，又平面，所以平面，由于平面，所以，則，則在側(cè)面上得軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，此時的軌跡長為；同理，當(dāng)在其它側(cè)面上運(yùn)動時軌跡長均為；綜上，的軌跡周長是.故選：D.7.三棱錐的各面展開圖如圖所示，其中是邊長為的等邊三角形，．是棱上的動點(diǎn)，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算出的取值范圍，可得出的取值范圍.【詳解】由題意作出三棱錐的直觀圖如下圖所示：由題意可知，三棱錐為正三棱錐，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，則為等邊的中心，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，且，，平面，平面，，，，，，為的中點(diǎn)，，且，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取最小值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、重合時，取最大值，，.故選：D.8.已知橢圓的上頂點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，直線交于兩點(diǎn)，恰是的重心，則的斜率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合重心坐標(biāo)公式列方程即可求得直線的斜率的值.【詳解】由題可得，若直線斜率存在，則直線的方程設(shè)為，，則，所以，得，所以，則因?yàn)榍∈堑闹匦模?，則，解得.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題．每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部答對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.對于直線與圓的以下說法正確的有（）A.過定點(diǎn)B.被截得的弦長最長時，C.與相切時，或D.與相切時，記兩種情形下的兩個切點(diǎn)分別為、，則【答案】A【解析】【分析】將直線的方程變形，求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；分析可知，當(dāng)被截得的弦長最長時，直線過圓心，可求出的值，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)與相切求出的值，可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，將直線的方程變形為，由可得，所以，直線過定點(diǎn)，A對；對于B選項(xiàng)，被截得的弦長最長時，直線過圓心，則，解得，B錯；對于C選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)直線與相切時，則，解得，C錯；對于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，直線與相切時只有一種情況，D錯.故選：A.10.已知，則下列計(jì)算正確的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】令，則，，直接求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用賦值法可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】令，則，由可得，令對于A選項(xiàng)，的最高次項(xiàng)的系數(shù)為，的最高次項(xiàng)的系數(shù)為，故，A錯；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，所以，，C錯；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：BD.11.已知曲線，、、，是上的一個動點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對稱B.的最小值是C.若的中點(diǎn)在曲線上，則D.過的直線恰與有兩個公共點(diǎn)、，則【答案】BCD【解析】【分析】利用特例法可判斷A選項(xiàng)；利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷B選項(xiàng)；求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C選項(xiàng)；求出、的坐標(biāo)，利用弦長公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，易知點(diǎn)在曲線上，但點(diǎn)不在曲線上，所以，曲線不關(guān)于軸對稱，A錯；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，曲線的方程為，易知拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，B對；對于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，線段的中點(diǎn)為，由題意可得，解得，，故點(diǎn)，所以，，C對；對于D選項(xiàng)，曲線的方程為，如下圖所示：若直線恰與有兩個公共點(diǎn)，則直線與曲線相切于第一象限，且直線斜率為正數(shù)，設(shè)直線的方程為，其中，聯(lián)立可得，則，解得，由可得，則，即點(diǎn)，聯(lián)立可得，由可得，所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故，D對.故選：BCD.12.如圖，是正四棱臺的底面中心，上底面邊長是，下底面邊長是，側(cè)棱長是，是棱上的動點(diǎn)．下列選項(xiàng)中說法正確的是（）A.將四棱錐翻起，其底面與該正四棱臺底面重合，恰好拼成一個正四棱錐B.平面與平面所成銳二面角的余弦值是C.當(dāng)取得最大值時，三棱錐的體積是D.當(dāng)取得最小值時，二面角平面角的正切值是【答案】ABD【解析】【分析】計(jì)算出四棱錐各側(cè)棱的長，可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷B選項(xiàng)；分析可得，當(dāng)取最小值時，確定點(diǎn)的位置，利用三棱錐的體積公式可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)取最大值時，確定點(diǎn)的位置，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，連接、，則為的中點(diǎn)，由正四棱臺的幾何性質(zhì)可知四邊形為等腰梯形，在等腰梯形中，，，，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，同理可知，，所以，將四棱錐翻起，其底面與該正四棱臺底面重合，恰好拼成一個正四棱錐，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)上底面的中心為，由正四棱臺的幾何性質(zhì)可知平面，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、，設(shè)平面法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，故平面與平面所成銳二面角的余弦值是，B對；對于C選項(xiàng)，，由A選項(xiàng)可知，，則為等腰三角形，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時，取最大值，此時取最大值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，三棱錐不存在，C錯；對于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時，取最小值，此時取最小值，此時點(diǎn)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，易知平面一個法向量為，所以，，則，故，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的正切值為，D對.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分．13.如圖，在平行六面體中，O是AC與BD交點(diǎn)．記，則________（結(jié)果用表達(dá)）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的一個基底表示作答.【詳解】在平行六面體中，，則O是BD的中點(diǎn)，即，所以.故答案為：14.雙曲線的對稱中心為，傾斜角是的直線過的右焦點(diǎn)，并且交的右支于、兩點(diǎn)，在第一象限內(nèi)，若，則的離心率是________．【答案】【解析】【分析】求得設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，，，利用余弦定理可求得，由雙曲線的定義可得出關(guān)于、的齊次等式，即可得出雙曲線的離心率的值.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，，在中，，，，由余弦定理可得，由雙曲線的定義可得，所以，雙曲線的離心率為.故答案為：.15.將紅、黃、藍(lán)三種顏色的涂料都涂在下圖的六個區(qū)域中，每個區(qū)域涂一種顏色，要求有三個區(qū)域涂同一顏色，且相鄰的兩個區(qū)域不同色，共有_________涂法（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】分析可知區(qū)域①③⑤或區(qū)域②④⑥或區(qū)域①③⑥或區(qū)域①④⑥涂同一種顏色，則剩余三個區(qū)域中有兩個不相鄰的區(qū)域涂一種顏色，最后一個區(qū)域涂第三種顏色，利用組合計(jì)數(shù)原理以及分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，區(qū)域①③⑤或區(qū)域②④⑥或區(qū)域①③⑥或區(qū)域①④⑥涂同一種顏色，（1）若區(qū)域①③⑤或區(qū)域②④⑥涂一種顏色，則剩余三個區(qū)域中有兩個區(qū)域涂一種顏色，最后一個區(qū)域涂第三種顏色，因此，不同的涂色種數(shù)為種；（2）若區(qū)域①③⑥涂同一種顏色，則區(qū)域④⑤涂剩余的兩種顏色，區(qū)域②和區(qū)域①③所涂顏色不同，此時，不同的涂色種數(shù)為種；（3）若區(qū)域①④⑥涂同一種顏色則區(qū)域②③涂剩余的兩種顏色，區(qū)域⑤和區(qū)域④⑥所涂顏色不同，此時，不同的涂色種數(shù)為種.綜上所述，不同的涂色方法種數(shù)為種.故答案為：.16.方程有且僅有兩個不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由，則曲線與曲線有兩個公共點(diǎn)，分析可知方程在只有唯一的根，根據(jù)二次方程根的分布可得出關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】由可得，所以，曲線與曲線有兩個公共點(diǎn)，它們關(guān)于y軸對稱，對于曲線，，可得，整理可得，由可得，即曲線為圓的下半圓，由可得，其中，聯(lián)立可得，若方程在時有唯一根，則，此時方程只有唯一的實(shí)根，不合乎題意，所以，方程在只有唯一的根，因?yàn)槎魏瘮?shù)在時單調(diào)遞減，只需，解得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題．共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，它的左焦點(diǎn)為，且到其漸近線的距離是．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交左支于一點(diǎn)，且的斜率是，求長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離可得的值，再將代入雙曲線方程可得的值，即可求得雙曲線方程；（2）由題意得直線的方程，代入雙曲線方程可求得點(diǎn)橫坐標(biāo)，在根據(jù)弦長公式即可求得長．【小問1詳解】雙曲線的左焦點(diǎn)為，漸近線方程為，即則到漸近線的距離為，又將代入雙曲線方程得：，所以，故雙曲線方程為；【小問2詳解】由題意可得直線的方程為：，即，則，所以，解得，，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以.18.已知，.（1）若的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和是，求展開式中的第項(xiàng)；（2）若的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)僅是第項(xiàng)，求展開式中的常數(shù)項(xiàng)【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)和求出的值，然后利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可求得展開式中的第項(xiàng)；（2）由二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)可求得的值，然后寫出展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)后即可得解.【小問1詳解】解：若的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和是，則，可得，所以，的展開式中的第項(xiàng)為.【小問2詳解】解：若的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)僅是第項(xiàng)，則，可得，所以，，的展開式通項(xiàng)為，的展開式通項(xiàng)為，所以，，其中、，令可得，則，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.19.如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．（1）求異面直線與所成的角的余弦值；（2）求異面直線與之間的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得異面直線與所成的角的余弦值；（2）根據(jù)空間向量求直線與公垂線的方向向量，再結(jié)合空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可得異面直線與之間的距離．【小問1詳解】圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，故，則異面直線與所成的角的余弦值為；【小問2詳解】由（1）得，設(shè)是異面直線與公垂線的方向向量，所以，令，則所以異面直線與之間的距離為.20.已知平面上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離小1．（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得變化時，直線與的斜率之和是0，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，寫出理由．【答案】（1）（2）存在，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）由題意可得動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等．可得動點(diǎn)的軌跡是拋物線；（2）設(shè)直線方程為，，代入拋物線方程得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，假設(shè)存在定點(diǎn)，由斜率關(guān)系可得，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化與坐標(biāo)關(guān)系可求得為定值，即可確定定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題意可得動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等．動點(diǎn)的軌跡是拋物線：點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，可得方程為：．【小問2詳解】由題意可設(shè)，直線方程為，，則，消去得，恒成立，所以，假設(shè)存在點(diǎn)，則設(shè)，所以，于是可得，故存在定點(diǎn).21.如圖所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且．（1）證明：；（2）在平面內(nèi)尋求一點(diǎn)，使得平面，求此時二面角的平面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可證明；（2）根據(jù)四點(diǎn)共面、線面垂直等求出