第42講 空間角（原卷版）

第42講空間角一、基礎(chǔ)知識1.空間角的定義:(1)異面角所成的角①定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間中任一點作直線a'∥a,b'∥b,把a'與b'所成的叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).

②范圍:.

(2)線面角①直線與平面所成的角:如圖7421,AB是平面α的垂線段,AC是平面α的斜線段,直線BC稱為直線AC在平面α內(nèi)的射影,∠ACB稱為直線AC與平面α所成的角.圖7421②線面角的取值范圍:.

(3)二面角和二面角的平面角①從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為,這條直線稱為二面角的,這兩個半平面稱為.

②二面角的平面角:在二面角αABβ的棱上任取一點O,以O(shè)為垂足,分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB,則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角,如圖7422,O∈l,OA?α,OB?β,OA⊥l,OB⊥l,二面角αlβ的平面角是.

圖7422③二面角的平面角的取值范圍:.

2.空間向量與空間角的關(guān)系(1)兩條異面直線所成角θ的求法設(shè)a,b分別為l1,l2的方向向量,則cosθ=|cosa,b|=|a·b||a|·|b(2)直線和平面所成角的求法如圖7423所示,設(shè)直線l的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為φ,向量e與n的夾角為θ,則有sinφ=|cosθ|=|e·n||e|·|n圖7423(3)二面角的求法如圖7424所示,n1,n2分別是二面角αlβ的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足.

圖7424二、分類探究探究點一異面直線所成的角例1如圖7426,已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,半徑為2,母線長為22.(1)求該圓錐的體積;(2)已知AB為圓錐底面圓的直徑,C為底面圓周上一點,且∠BOC=90°,M為AC的中點,求異面直線OM與PB所成角的大小.圖7426[總結(jié)反思](1)用幾何法求異面直線所成的角時,可將異面直線通過平移轉(zhuǎn)化為共面直線;(2)用向量法求異面直線所成角的步驟:①選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系;②確定異面直線上兩個點的坐標,從而確定異面直線的方向向量;③利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值;④兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.變式題如圖7427,四邊形ABCD為平行四邊形,且AB=AD=BD=2,點E,F為平面ABCD外兩點,EF∥AC且EF=2AE=23,∠EAD=∠EAB.(1)證明:BD⊥CF;(2)若∠EAC=60°,求異面直線AE與DF所成角的余弦值.圖7427探究點二直線與平面所成的角例2如圖7428,在四棱錐EABCD中,四邊形ABCD是邊長為2的菱形,∠DAE=∠BAE=45°,∠DAB=60°.(1)證明:平面ADE⊥平面ABE;(2)若平面DCE與平面ABE所成角的余弦值為155,求直線DE與平面ABE所成角的正弦值圖7428[總結(jié)反思](1)解決直線與平面所成角的問題,關(guān)鍵是找到此直線在平面上的射影,常用的方法是尋找一個經(jīng)過此直線并與已知平面垂直的平面,從而利用面面垂直的性質(zhì)定理確定直線上一點在平面上的射影.如果從已知直線出發(fā)較難找到直線在平面上的射影時,可以嘗試通過平移直線(或平面)將它轉(zhuǎn)化到其他位置來解決.當然我們也可以利用等體積法直接求出直線上一點到平面的距離,從而使問題得到解決.(2)事實上,對于建立空間直角坐標系比較方便的幾何體,我們可以通過向量來解決,如果有特殊的幾何背景,還可以通過補形等方法來解決.變式題如圖7429,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC,∠ABC=90°,且側(cè)面ABB1A1為菱形.(1)證明:A1B⊥平面AB1C1;(2)若∠A1AB=60°,AB=2,直線AC1與底面ABC所成角的正弦值為55,求三棱錐CABA1的體積.圖7429探究點三二面角例3如圖74210,半圓弧AB所在平面與平面ABCD垂直,M是AB上異于A,B的動點,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC.(1)證明:MB⊥平面MAD;(2)當直線MB與平面ABCD所成的角為45°時,求二面角DMAC的正弦值.圖74210[總結(jié)反思](1)求解二面角的大小問題,關(guān)鍵是要合理作出它的平面角,當找到二面角棱的一個垂面時,即可確定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理).(2)對于建立空間直角坐標系比較簡便的幾何體,我們可以直接利用向量求出兩個平面的法向量,并轉(zhuǎn)化為求兩個法向量的夾角來完成.變式題如圖74211,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB∥CD,且CD=2,AB=1,BC=22,PA=1,AB⊥BC,N為PD的中點.(1)求證:AN∥平面PBC.(2)求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值.(3)在棱PD上是否存在一點M,使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為2626?若存在,求出DMDP圖74211三、同步作業(yè)1.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2A1B1=2B1C1,且AB⊥BC,點M是A1C1的中點,則異面直線MB與AA1所成角的余弦值為 ()A.13 B.223 C.32圖K4212.如圖K421,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2,底面三角形的邊長為1,則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角為 ()A.π6 B.πC.π4 D.3.如圖K422,將兩個全等的等腰直角三角形拼成一個平行四邊形PBCD,將△PBD沿對角線BD折起到△ABD的位置,使得平面ABD⊥平面BCD,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為 ()圖K422A.223 B.63 C.334.在生活中,我們?？吹礁鞣N各樣的簡易遮陽棚.現(xiàn)有直徑為2m的圓面,在圓周上選定一個點固定在水平的地面上,然后將圓面撐起,使得圓面與南北方向的某一條直線平行,做成簡易遮陽棚.設(shè)正東方向射出的太陽光線與地面成30°角,若要使所遮陰影面的面積最大,那么圓面與陰影面所成角的大小為 ()A.30° B.45° C.60° D.75°5.如圖K423,在菱形APCD中,∠APC=60°,將△APC沿AC折起到△ABC的位置,使得平面BAC⊥平面DAC,則二面角BCDA的余弦值為 ()A.2 B.12 C.33 D圖K423圖K4246.如圖K424,第41屆世界博覽會于2010年5月1日至2010年10月31日在中國上海舉行,氣勢磅礴的中國館——“東方之冠”令人印象深刻,該館以“東方之冠,鼎盛中華,天下糧倉,富庶百姓”為設(shè)計理念,代表中國文化的精神與氣質(zhì).其形如冠蓋,層疊出挑,制似斗拱.它有四根高33.3米的方柱,托起斗狀的主體建筑,總高度為60.3米,上方的“斗冠”類似一個倒置的正四棱臺,上底面邊長是139.4米,下底面邊長是69.9米,則“斗冠”的側(cè)面與上底面的夾角約為()A.20° B.28° C.38° D.48°7.在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,點P是線段B1C上的一個動點,則:(1)AP+D1P的最小值為;

(2)直線AP與平面AA1D1D所成角的正切值的取值范圍為.

8.在三棱錐PABC中,已知△ABC是邊長為6的等邊三角形,PA⊥平面ABC,PA=12,則AB與平面PBC所成角的余弦值為 ()A.25719 B.C.13319 D.9.如圖K425,將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角ABDC,有如下四個結(jié)論:①AC⊥BD;②△ACD是等邊三角形;③AB與平面BCD所成的角為60°;④AB與CD所成的角為60°.其中錯誤的結(jié)論是 ()圖K425A.① B.② C.③ D.④10.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD翻折,使得二面角ABDC的平面角的大小為π3,若點E,F分別是線段AC和BD上的動點,則BE·CF的取值范圍為 (A.[1,0] B.[1,14C.[12,0] D.[12,11.(多選題)如圖K426,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,面對角線B1D1上有兩個動點E,F,且EF=22a,以下結(jié)論正確的有 (圖K426A.AC⊥BEB.點A到平面BEF的距離為定值C.三棱錐ABEF的體積是正方體ABCDA1B1C1D1體積的1D.異面直線AE,BF所成的角為定值12.(多選題)如圖K427,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=AC=23AB=2,AB⊥AC,點D,E分別是線段BC,B1C上的動點(不含端點),且ECB1C=DCBC.A.ED∥平面ACC1A1B.該三棱柱的外接球的表面積為68πC.異面直線B1C與AA1所成角的正切值為3D.二面角AECD的余弦值為4圖K427圖K42813.如圖K428,在三棱錐PABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是邊長為2的正三角形,E為PC的中點.若直線AE與平面PBC所成角的正弦值為427,則PA的長為14.已知菱形ABCD的邊長為23,∠BAD=60°,沿對角線BD將△ABD折起,使得二面角ABDC為鈍角,且所得四面體ABCD的外接球的表面積為36π,則二面角ABDC的余弦值為.

15.如圖K429,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,∠ABE=60°,G為BE的中點.(1)求證:AG⊥平面ADF;(2)若AB=3,BC=1,求二面角DCAG的余弦值.圖K42916.如圖K4210,在四棱錐EABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,AB=2BC=2CD,△EAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形,且平面EAB⊥平面ABCD,點F滿足EF=λEA(λ∈[0,1]).(1)試探究λ為何值時,CE∥平面