Bpnaasw高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)

大風(fēng)起會(huì)石飛揚(yáng)

七夕，古今詩人慣詠星月與悲情。吾生雖晚，世態(tài)炎涼卻已看透矣。情也成空，

且作“揮手袖底風(fēng)”罷。是夜，窗外風(fēng)雨如晦，吾獨(dú)坐陋室，聽一曲《塵緣》，合

成詩韻一首，覺放諸古今，亦獨(dú)有風(fēng)韻也。乃書于紙上。畢而臥。凄然入夢。乙

酉年七月初七。

一一嘯之記。

高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)、易混、易忘題分類匯編

"會(huì)而不對，對而不全"一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去

的痛，如何解決這個(gè)問題對決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年

高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問題也

是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為

相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過作針對性練習(xí)幫你

識破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自己的

理想報(bào)負(fù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

例1、設(shè)，，若，求實(shí)數(shù)a組成的集合的子集有多少個(gè)？

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略

這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象.

解析：集合A化簡得，由知故(I)當(dāng)時(shí)，即方程無解，此時(shí)a=0符合已知條件(II)

當(dāng)時(shí)，即方程的解為3或5,代入得或。綜上滿足條件的a組成的集合為，故其子集

共有個(gè)。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】(1)在應(yīng)用條件AUB=BACB=AAB時(shí)，要樹立起分類討論的

數(shù)學(xué)思想，將集合A是空集①的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.

(2)在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集

合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過

程中要注意集合語言(數(shù)學(xué)語言)和自然語言之間的轉(zhuǎn)化如：，，其中，若求r的取值

范圍。將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語言向自然語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心以2

的半徑的圓，集合B表示以(3,4)為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離

或內(nèi)含時(shí)，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式

的解集等也要注意集合語言的應(yīng)用。

【練1】已知集合、，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。答案：或。

【易錯(cuò)點(diǎn)2]求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知，求的取值范圍

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解，

但極易忽略x、y滿足這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。

解析：由于得(x+2)2=l-Wl,；.-3WxW-l從而x2+y2=-3x2-16x-12=

+因此當(dāng)x=-l時(shí)x2+y2有最小值1,當(dāng)x=-時(shí)，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范圍是

[1,1

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來理解條件對x、y的限制，顯然方

程表示以(-2,0)為中心的橢圓，則易知-3WxW-l,o此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為

三角最值求解。

大風(fēng)起今云飛揚(yáng)

【練2】(05高考重慶卷)若動(dòng)點(diǎn)(x,y)在曲線上變化，則的最大值為()

(A)(B)(C)(D)

答案：A

【易錯(cuò)點(diǎn)3］求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掠確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。

例3、是R上的奇函數(shù)，(1)求a的值(2)求的反函數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出

錯(cuò)。

解析：(1)利用(或)求得a=l.

(2)由即，設(shè)，則由于故，，而所以

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】(1)在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的

定義域在反函數(shù)的解析式后表明(若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略)。

(2)應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換。

【練3】(2004全國理)函數(shù)的反函數(shù)是()

A、B、

C、D、

答案：B

【易錯(cuò)點(diǎn)4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位

例4、已知函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖象關(guān)于直線對稱，則的解析式為()

A、B、C、D、

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由與互為反函數(shù)，而認(rèn)為的反函數(shù)是則==而錯(cuò)選A。

解析：由得從而再求的反函數(shù)得。正確答案：B

【知識點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他只是表示中x用x-1替代后的反函

數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來看：設(shè)則，

再將x、y互換即得的反函數(shù)為，故的反函數(shù)不是，因此在今后求解此題問題時(shí)一定要

謹(jǐn)慎。

【練4】(2004高考福建卷)已知函數(shù)y=k>g2x的反函數(shù)是y=f-l(x),則函數(shù)y=f-l(l-x)的圖

象是()

答案：B

【易錯(cuò)點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。

例5、判斷函數(shù)的奇偶性。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數(shù)為非

奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。

解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域下易

證即函數(shù)為奇函數(shù)。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件,

因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。

(2)函數(shù)具有奇偶性，則是對定義域內(nèi)x的恒等式。常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參

數(shù)的值。

【練5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：

①②③

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。

例6、函數(shù)的反函數(shù)為，證明是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)。

大風(fēng)起今云飛揚(yáng)

【思維分析】可求的表達(dá)式，再證明。若注意到與具有相同的單調(diào)性和奇偶性，只需研

究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。

解析：，故為奇函數(shù)從而為奇函數(shù)。又令在和上均為增函數(shù)且為增函數(shù)，故在和

上分別為增函數(shù)。故分別在和上分別為增函數(shù)。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。

（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域?yàn)榉菃?/p>

元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反

函數(shù)的定義域和值域到換。即。

【練6】（1）（99全國高考題）已知，則如下結(jié)論正確的是（）

A、是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、是奇函數(shù)且為減函數(shù)

C、是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、是偶函數(shù)且為減函數(shù)

答案：A

（2）（2005天津卷）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（）A、B、

C、D、

答案：A（時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，所以.）

【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先

的原則。

例7、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定

義中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意

識。

解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可。設(shè)，由于故

當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。又山于函數(shù)為奇函數(shù)，

故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和上分

別為減函數(shù).

【知識歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值

等問題中，應(yīng)引起足夠重視。

（2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，這表明增減性

的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于（小于）零。

（3）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不能說在上為增

函數(shù)，在上為減函數(shù)，在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號"U“和

"或,，

【練7】（1）（濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。（2）設(shè)在

的最小值為，求的解析式。

答案：（1）函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。（2）

（2）（2001天津）設(shè)且為R上的偶函數(shù)。（1）求a的值（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)

性并給出證明。

答案：（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)（證明略）

【易錯(cuò)點(diǎn)8］在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使

用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。

例8、（2004全國高考卷）已知函數(shù)上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，

如在R上遞減，但。

解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則故解得。（2）當(dāng)時(shí)，易知此時(shí)函數(shù)

大風(fēng)起會(huì)云飛揚(yáng)

也在R上是減函數(shù)。(3)當(dāng)時(shí)，在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是

減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是。

【知識歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明:①與

為增函數(shù)的關(guān)系：能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，，是為

增函數(shù)的充分不必要條件。②時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系:若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，

即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。六當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。

③與為增函數(shù)的關(guān)系：為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)

函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。二是為增函數(shù)的必要不充分條

件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上

三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用

開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的

討論問題，要謹(jǐn)慎處理。

因此本題在第一步后再對和進(jìn)行了討論，確保其充要性.在解題中誤將必要條件作充分條

件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)

過程中注意思維的嚴(yán)密性。

【練8】(1)(2003新課程)函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()

A、B、C、D、

答案：A

(2)是否存在這樣的K值，使函數(shù)在上遞減，在上遞增？

答案：。(提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)在上遞減，在上遞增的必要條件,

不一定是充分條件因此由求出K值后要檢驗(yàn)。)

【易錯(cuò)點(diǎn)9)應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得

等號時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知：a>0,b>0,a+b=l,求(a+)2+(b+)2的最小值。

錯(cuò)解:(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4,2ab++4N4+4=8，(a+)2+(b+)2的最小值是8

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2N2ab,第一次等號成立的條

件是a=b=，第二次等號成立的條件ab=,顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不

是最小值。

解析：原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4=(l-2ab)(l+)+4由ab

W()2=得：l-2ab>l-=,fi>16,1+217；.原式，X17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號

成立)；.(a+)2+(b+)2的最小值是。

【知識歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺?不可即"一

正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號成立的變量的值是否在其

定義域限制范圍內(nèi)。

【練9】(97全國卷文22理22)甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度

不得超過ckm/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：

可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

答案為：(1)(2)使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)Wc時(shí)，行駛速度v=；當(dāng)〉c時(shí)，行駛速度

V=Co

【易錯(cuò)點(diǎn)10】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識

和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)在上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說明理由。

大風(fēng)起今云飛揚(yáng)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程

中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。

解析：函數(shù)是由和復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法（1）當(dāng)a>l時(shí)，若使

在上是增函數(shù)，則在上.是增函數(shù)且大于零。故有解得a>l。（2）當(dāng)a<l時(shí)若使在上是

增函數(shù)，則在上是減函數(shù)且大于零。不等式組無解。綜上所述存在實(shí)數(shù)a>l使得函數(shù)在

上是增函數(shù)

【知識歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系

數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號及對稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1）,特別在解決涉及指、對復(fù)合函數(shù)的

單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）。

【練10]（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)，且試求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間。

答案：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。

（2）（2005高考天津）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A、B、

C、D、

答案：B.（記,則當(dāng)時(shí)，要使得是增函數(shù)，則需有恒成立，所以.矛盾.排除C、D當(dāng)時(shí)，

要使是函數(shù)，則需有恒成立，所以.排除A）

【易錯(cuò)點(diǎn)11】用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性.

例11、已知求的最大值

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想令

將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成錯(cuò)解，

解析：由已知條件有且（結(jié)合）得，而==令則原式=根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)即

忖，原式取得最大值。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】"知識"是基礎(chǔ)，"方法"是手段，"思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就

是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是"能力"，解數(shù)學(xué)題時(shí)，

把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用??個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元

的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題

移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易

處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起

來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)

算和推證簡化。

【練11]（1）（高考變式題）設(shè)a>0,000求f（x）=2a（sinx+cosx）—sinx?cosx—2a的最大值

和最小值。

答案：f（x）的最小值為一2a—2a—,最大值為

（2）不等式>ax+的解集是（4,b）,則a=,b=。

答案：（提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為）

【易錯(cuò)點(diǎn)12]已知求時(shí)，易忽略n=1的情況.

例12、（2005高考北京卷）數(shù)列前n項(xiàng)和且。（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用與的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為對于任意n值都成立，忽略了對n=l的情

況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。

解析：易求得。由得故得又，故該數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系可以已知求。

但注意只有在當(dāng)適合時(shí)兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式。

【練12]（2004全國理）已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項(xiàng)為。

答案：（將條件右端視為數(shù)列的前n-1項(xiàng)和利用公式法解答即可）

大風(fēng)起今云飛揚(yáng)

【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是

正整數(shù)集或其子集（從1開始）

例13、等差數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，o問n為何值時(shí)最大？

［易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二

次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。

解析：由題意知=此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)忖，故即此二次函數(shù)開

口向下，故由得當(dāng)時(shí)取得最大值，但由于，故若為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，最大。

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)最大。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集

（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識解決問題。

特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如所對應(yīng)

的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個(gè)很

重要的結(jié)論。此外形如前n項(xiàng)和所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。

【練13］（2001全國高考題）設(shè)是等差數(shù)列，是前n項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）A、B、C、D、和均為的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合

單調(diào)性解答）

【易錯(cuò)點(diǎn)14］解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答

過程繁瑣。

例14、已知關(guān)于的方程和的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)

列中的項(xiàng)是如何排列的。

解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程的另

一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識易

知此等差數(shù)列為：故從而=。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個(gè)重要方面，有解題中充分

運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數(shù)列，若，則；對于等比數(shù)列，

若，則；若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等比數(shù)列；若數(shù)列是

等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。

【練14］（2003全國理天津理）已知方程和的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則=

（）A、1B、C、D、

答案：C

【易錯(cuò)點(diǎn)15］用等比數(shù)列求和公式求和時(shí):易忽略公比q=1的情況

例15、數(shù)列中，，，數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列。

（I）求使成立的的取值范圍；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)的和.

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=l的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。

再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)

項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。

解：（I）;?數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，???，，由得，即（），解得.

（II）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這表明數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶

數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是，又，，，當(dāng)時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解題的關(guān)鍵，這種給出

數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整

大風(fēng)起會(huì)云飛揚(yáng)

個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)

列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生

產(chǎn)生對現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤。

【練15]（2005高考全國卷一第問）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,前n項(xiàng)和（1）求q的取

值范圍。

答案：

【易錯(cuò)點(diǎn)16]在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)

采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。

例16、.（2003北京理）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令求數(shù)列前項(xiàng)和的公式。

【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再由數(shù)列的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列是一

個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的"差比數(shù)列"，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。

解析：（1）易求得

⑵由（1）得令（I）則（II）用（I）減去（H）（注意錯(cuò)過一位再相減）得當(dāng)當(dāng)

時(shí)

綜上可得：

當(dāng)當(dāng)時(shí)

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】?般情況下對于數(shù)列有其中數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則

其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過一項(xiàng)相減的方

法來求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。

【練16]（2005全國卷一理）已知當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

答案：忖當(dāng)時(shí).

【易錯(cuò)點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對

裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。

例17、求….

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)?方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，

其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過程中，對消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。

解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，二，取，，，…，就分別得到，…，；.

【知識歸類點(diǎn)拔】“裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩

個(gè)數(shù)（也可三個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這

些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對稱的。常見的變

形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項(xiàng)，即，問題會(huì)很容易解決。另

外還有一些類似，，裂項(xiàng)法，，的題目，如：，求其前項(xiàng)和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)

列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。

【練17]（2005濟(jì)南統(tǒng)考）求和++H----F.

答案：…=.

【易錯(cuò)點(diǎn)18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)

謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。

例18、（2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無窮等差數(shù)列｛an）的前n項(xiàng)和為Sn.

（I）若首項(xiàng)32,公差，求滿足的正整數(shù)k；

（H）求所有的無窮等差數(shù)列｛an｝,使得對于一切正整數(shù)k都有成立.

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力.

學(xué)生在解第（II）時(shí)極易根據(jù)條件”對于一切正整數(shù)k都有成立"這句話將k取兩個(gè)特殊值確定

大風(fēng)起今云飛揚(yáng)

出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)識到求解出的等差數(shù)列僅是對己知條件成立的必要條

件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。

解：（I）當(dāng)時(shí)

由，即又.

（II）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則在中分別取k=l,2,得

由⑴得當(dāng)

若成立，

若故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)

若

若.

綜上，共有3個(gè)滿足條件的無窮等差數(shù)列：

①{an}:an=O,即0,0,0,,,,；②{an}:an=l,即1,I,I,,??；③{an}:an=2n—

1,即1,3,5,…，

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上，"條件中使得對于一切正整數(shù)k都有成立.“就等價(jià)于關(guān)于k的

方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這程

等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法

中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。

【練18］（1）（2000全國）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列.求常數(shù)p

答案：p=2或p=3（提示可令n=I,2,3根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說明p值

對任意自然數(shù)n都成立）

【易錯(cuò)點(diǎn)19］用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)

是否為0.尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.

例19、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，

方程組有兒解，則直線與曲線就有兒個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易忽

視對方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。

解析：聯(lián)立方程組消去y得到（1）當(dāng)時(shí)，即，方程為關(guān)于x的一次方程，此時(shí)方程組

只有解，即直線與雙曲線只有?個(gè)交點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)即，方程組只有一解，故直線與雙曲線

有一個(gè)交點(diǎn)（3）當(dāng)時(shí)，方程組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí)且。（4）當(dāng)時(shí)即或時(shí)方程組無解此時(shí)

直線與雙曲線無交點(diǎn)。

綜上知當(dāng)或時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且。時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)

方程組無解此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：??種代數(shù)方法即判斷方程組

解的個(gè)數(shù)對應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的

方法解答，并且這兩種方法的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)

線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過這一點(diǎn)也說明直線與雙曲線只

有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相

切。通過本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一。

【練19］（1）（2005重慶卷）已知橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為的左右頂點(diǎn),

而的左右頂點(diǎn)分別是的左右焦點(diǎn)。（1）求雙曲線的方程（2）若直線與橢圓及雙曲線恒

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足，其中O為原點(diǎn)，求k的取值范圍。答

案：（1）（2）

（2）已知雙曲線C：,過點(diǎn)P（1,1）作直線1,使1與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上

大風(fēng)起會(huì)云飛揚(yáng)

述條件的直線1共有條。答案：4條(可知kl存在時(shí)，令1:y-l=k(x-l)代入中整理有

(4-k2)x2+2k(k-1)x-

(l-k2)，=0,，當(dāng)4-k2=0即k=±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k#±2時(shí)，由A=0有，有一個(gè)切

點(diǎn)另：當(dāng)kl不存在時(shí)，x=l也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn).?.綜匕共有4條滿足條件的直線)

【易錯(cuò)點(diǎn)20】易遺忘關(guān)于和齊次式的處理方法。

例20、已知，求(1)；(2)的值.

【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用可將(2)式分子分母除去即可。

解：(1)；

(2)

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到)，進(jìn)行弦、

切互化，就會(huì)使解題過程簡化。

這些統(tǒng)稱為1的代換)常數(shù)"1"的種種代換有著廣泛的應(yīng)用.

【練20】.(2004年湖北卷理科)

已知的值.

答案：(原式可化為，)

【易錯(cuò)點(diǎn)21]解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第n項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和混淆導(dǎo)

致錯(cuò)誤解答。

例21、如果能將一張厚度為0.05mm的報(bào)紙對拆，再對拆….對拆50次后,報(bào)紙的厚度是多少?

你相信這忖報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為

米)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對拆50次后,報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第n項(xiàng)，易誤理解為是比等比數(shù)

列的前n項(xiàng)和。

解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設(shè)每次對拆厚度構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列是以米為首

項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。從而對拆50次后紙的厚度是此等比數(shù)列的第51項(xiàng)，利用等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式易得a51=0.05X10-3X250=5.63X1010,而地球和月球間的距離為4X108<5.63

X1010故可建一座橋。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，其中有很

多問題都是涉及到等差或者等比數(shù)列的前n項(xiàng)和或第n項(xiàng)的問題,在審題過程中一定要將兩

者區(qū)分開來。

【練21](2001全國高考)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，

并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本

年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，山于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游

業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.

(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表

達(dá)式；

(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

(1)an=800+800X(l-)+-+8(X)X(l-)n-l=800X(l-)k-l=4000X[1-()n]

bn=400+400X(1+)+…+400X(l+)k-1=400X()k-l=1600X[()n—1]

(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入

【易錯(cuò)點(diǎn)22]單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學(xué)生易對此知識遺忘，應(yīng)用意識不強(qiáng),

另一方面易將角的三角函數(shù)值所對應(yīng)的三角函數(shù)線與線段的長度二者等同起來，產(chǎn)生概念性

的錯(cuò)誤。

例21、下列命題正確的是()

大風(fēng)起今云飛揚(yáng)

A、、都是第二象限角，若，貝UB、、都是第三象限角，若，貝I」C、、都是第四

象限角，若，則D、、都是第一象限角，若，則。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】學(xué)生在解答此題時(shí)易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：（1）將象限角簡單理解為銳角或鈍角或

270到360度之間的角。（2）思維轉(zhuǎn)向利用三角函數(shù)的單調(diào)性，沒有應(yīng)用三角函數(shù)線比較兩

角三角函數(shù)值大小的意識而使思維受阻。

解析：A、由三角函數(shù)易知此時(shí)角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要小即B、同理可

知C、知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要大即。正確。D、同理可

知應(yīng)為。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】單位圓的三角函數(shù)線將抽象的角的三角函數(shù)值同直觀的有向線段的數(shù)量

對應(yīng)起來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注意一點(diǎn)的就是角的三角函數(shù)值是有向線段的數(shù)

量而不是長度。三角函數(shù)線在解三角不等式、比較角的同名函數(shù)值的大小、三角關(guān)系式的證

明都有著廣泛的應(yīng)用并且在這些方面有著一定的優(yōu)越性。例如利用三角函數(shù)線易知，等。

【練22］（2000全國高考）已知,那么下列命題正確的是（）

A、若、都是第一象限角，則B、若、都是第二象限角，則

B、若、都是第三象限角，則D、若、都是第四象限角，則

答案：D

【易錯(cuò)點(diǎn)23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時(shí)。易將和求錯(cuò)。

例23.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）

A、先將每個(gè)x值擴(kuò)大到原來的4倍，y值不變，再向右平移個(gè)單位。

B、先將每個(gè)x值縮小到原來的倍，y值不變，再向左平移個(gè)單位。

C、先把每個(gè)x值擴(kuò)大到原來的4倍，y值不變，再向左平移個(gè)單位。

D、先把每個(gè)x值縮小到原來的倍，y值不變，再向右平移個(gè)單位。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】變換成是把每個(gè)x值縮小到原來的倍，有的同學(xué)誤認(rèn)為是擴(kuò)大到原來的

倍，這樣就誤選A或C,再把平移到有的同學(xué)平移方向錯(cuò)了，

有的同學(xué)平移的單位誤認(rèn)為是。

解析：由變形為常見有兩種變換方式，一種先進(jìn)行周期變換，即將的圖象上各點(diǎn)的縱坐

標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫胶瘮?shù)的圖象，

再將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移單位。即得函數(shù)。

或者先進(jìn)行相位變換，即將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位，得到函

數(shù)的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍即得即得函數(shù)的圖象。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用圖角變換作圖是作出函數(shù)圖象的一種重要的方法，一般地由得到

的圖象有如下兩種思路：一先進(jìn)行振幅變換即由橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍得

到，再進(jìn)行周期變換即山縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到，再進(jìn)行相位變換

即由橫坐標(biāo)向左（右）平移個(gè)單位，即得，另種就是先進(jìn)行了振幅變換后，再進(jìn)行相位

變換即由向左（右）平移個(gè)單位，即得到函數(shù)的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋都吹谩?/p>

不論哪一種變換都要注意一點(diǎn)就是不論哪一種變換都是對純粹的變量x來說的。

【練23］（2005全國卷天津卷）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的

A、橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度。B、橫碓標(biāo)縮短為

原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度。C、橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐

標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長度。D、橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右

平移個(gè)單位長度。

答案：C

【易錯(cuò)點(diǎn)24】沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。

例24、已知，求的值。

大風(fēng)起會(huì)云飛揚(yáng)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題可依據(jù)條件，利用可解得的值，再通過解方程組的方法即可解得、

的值。但在解題過程中易忽視這個(gè)隱含條件來確定角范圍，主觀認(rèn)為的值可正可負(fù)從而

造成增解。

解析：據(jù)已知（1）有，又由于，故有，從而即（2）聯(lián)立（1）（2）可得，可得。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在三角函數(shù)的化簡求值過程中，角的范圍的確定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，

在解題過程中要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號、三

角形中各內(nèi)角均在區(qū)間內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性等。

本題中實(shí)際上由單位圓中的三角函數(shù)線可知若則必有，故必有。

【練24］（1994全國高考）已知,貝I」的值是。

答案：

【易錯(cuò)點(diǎn)25］根據(jù)已知條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角函數(shù)值再求角的意識或

確定角的三角函數(shù)名稱不適當(dāng)造成錯(cuò)解。

例25、若，且、均為銳角，求的值。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題在解答過程中，若求的正弦，這時(shí)由于正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)故滿

足條件的角有兩個(gè)，兩個(gè)是否都滿足還需進(jìn)一步檢驗(yàn)這就給解答帶來了困難，但若求的余

弦就不易出錯(cuò)，這是因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)，滿足條件的角唯一。

解析：由且、均為銳角知解析：由且、均為銳角知，則由、均為銳角即故

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】根據(jù)已知條件確定角的大小，一定要轉(zhuǎn)化為確定該角的某個(gè)三角函數(shù)值,

再根據(jù)此三

角函數(shù)值確定角這是求角的必然步驟，在這里要注意兩點(diǎn)-就是要結(jié)合角的范圍選擇合適的

三角函數(shù)名稱

同時(shí)要注意盡量用已知角表示待求角，這就需要一定的角的變換技巧如：等。

二是依據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)要注意確定角的范圍的技巧。

【練25］（1）在三角形中，已知，求三角形的內(nèi)角C的大小。

答案：（提示確定已知角的余弦值，并結(jié)合已知條件確定角A的范圍）

（2）（2002天津理，17）已知cos（a+）=Wa<,求cos（2a+）的值.

答案：=一

【易錯(cuò)點(diǎn)261對正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)：如圖象、對稱軸、對稱中心易遺忘或

沒有深刻理解其意義。

例26、如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線時(shí)稱，那么a等于（）

A.B-C.lD.-1

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對稱中

心是圖象與x軸的交點(diǎn)，學(xué)生對函數(shù)的對稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng)時(shí)，y=0,導(dǎo)致解答出錯(cuò)。

解析：（法一）函數(shù)的解析式可化為，故的最大值為，依題意，直線是函數(shù)的對稱軸，

則它通過函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)即

,解得,故選D

（法二）依題意函數(shù)為，直線是函數(shù)的對稱軸，故有，即：，而

故，從而故選D.

（法三）若函數(shù)關(guān)于直線是函數(shù)的對稱則必有，代入即得。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)它們有無窮多條對稱軸及無數(shù)多個(gè)對稱

中心，它們的意義是分別使得函數(shù)取得最值的x值和使得函數(shù)值為零的x值，這是它們的幾

何和代數(shù)特征。希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)本題的三種解法根據(jù)具體問題的不同靈活處理。

【練26］（1）（2003年高考江蘇卷18）已知函數(shù)上R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，

且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和3的值.

大風(fēng)起今云飛揚(yáng)

答案：或。

（2）（2005全國卷一第17題第一問）設(shè)函數(shù)的，圖象的一條對稱軸是直線，求答案:

【易錯(cuò)點(diǎn)27】利用正弦定理解三角形時(shí)，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時(shí),

易忽視三角形解的個(gè)數(shù)。

例27、在中，。求的面積

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】根據(jù)三角形面積公式，只需利用正弦定理確定三角形的內(nèi)角C,則相應(yīng)的三

角形內(nèi)角A即可確定再利用即可求得。但由于正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)所以滿足

條件的角可能不唯一，這時(shí)要借助已知條件加以檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解、不多解。

解析：根據(jù)正弦定理知：即得，由于即滿足條件的三角形有兩個(gè)故或?則或故相應(yīng)

的三角形面積為或.

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形中的

邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題（1）一知兩角及其一邊，求其它的邊和

角。這時(shí)有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦

函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾

何法來作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。如：在中，已知a,b和A解的情況如下：

（1）當(dāng)A為銳角

（2）若A為直角或鈍角

【練27］（2001全國）如果滿足,,的三角表恰有一個(gè)那么k的取值范圍是（）A、B、

C、D、或

答案：D

【易錯(cuò)點(diǎn)28】三角形中的三角函數(shù)問題。對三角變換同三角形邊、角之間知識的結(jié)合的綜

合應(yīng)用程度不夠。

例28、（1）（2005湖南高考）已知在4ABC中，sinA（sinB+cosB）-sinC=0,sinB+cos2C

=0,求角A、B、C的大小.

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題在解答過程中若忽視三角形中三內(nèi)角的聯(lián)系及三角形各內(nèi)角大小范圍的

限制，易使思維受阻或解答出現(xiàn)增解現(xiàn)象。

解法一由得

所以即

因?yàn)樗裕瑥亩芍獜亩?由即由此得所以

解法二：由由、，所以即由得

所以即因?yàn)?，所以由從而，知B+2C=不合要求.再由,得所以

2、（北京市東城區(qū)2005年高三年級四月份綜合練習(xí)）在AABC中，a、b、c分別是角A、

B、C的對邊，且（I）求角B的大小（II）若，求4ABC的面積.

【思維分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理將條件化為三角形邊的關(guān)系或角的關(guān)系解答。

（I）解法一：由正弦定理得將上式代入已知即故A+B+C=,為三角形的內(nèi)角，.

解法二：由余弦定理得將上式代入整理得

大風(fēng)起今云飛揚(yáng)

為三角形的內(nèi)角，.

(n)將代入余弦定理得

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】三角形中的三角函數(shù)問題一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。對正余弦定理的

考查主要涉及三角形的邊角互化(如判斷三角形的形狀等，利用正、余弦定理將條件中含有

的邊和角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊或角的關(guān)系是解三角形的常規(guī)思路)，三角形內(nèi)的三角函數(shù)求值、

三角恒等式的證明、三角形外接圓的半徑等都體現(xiàn)了三角函數(shù)知識與三角形知識的交匯，體

現(xiàn)了高考命題的原則。

【練28](1)(2004年北京春季高考)在中，a,b,c分別是的對邊長，已知a,b,c成

等比數(shù)列，且，求的大小及的值。

答案：，

(2)(2005天津)在AABC中，NA、/B、/C所對的邊長分別為a、b、c,設(shè)a、b、c

滿足條件和。求NA和的值。

答案：，

【易錯(cuò)點(diǎn)29】含參分式不等式的解法。易對分類討論的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，分類討論達(dá)不到不

重不漏的目的。

例29、解關(guān)于x的不等式

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】將不等式化為關(guān)于x的一元二次不等式后，忽視對二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)的討論,

導(dǎo)致錯(cuò)解。

解：原不等式可化為：>0,即[(a-l)x+(2-a)](x-2)>0.

當(dāng)a>l時(shí)，原不等式與(x-)(x-2)>0同解.若22,即0Wa<l時(shí)，原不等式無解；若<

2,即a<0或a>l,于是a>l時(shí)原不等式的解為(一8,)U(2,+°°).

當(dāng)a<l時(shí)，若a<0,解集為(，2)；若0<a<l,解集為(2,)

綜上所述：當(dāng)a>l時(shí)解集為(-8,)U(2,+8)；當(dāng)0<a<l時(shí)，解集為(2,)；當(dāng)a=0

時(shí)，解集為；當(dāng)a<0時(shí)，解集為(，2).

【知識點(diǎn)分類點(diǎn)拔】解不等式對學(xué)生的運(yùn)算化簡等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題

原則向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對解不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾

個(gè)問題：

(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.

(2)掌握用序軸標(biāo)根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.

(3)掌握無理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對數(shù)不等式的幾種基本類型的解法.

(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法.

(5)在解不等式的過程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不

等式.(6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論.

【練29](2005年江西高考)已知函數(shù)為常數(shù))，且方程有兩個(gè)實(shí)根為

(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，解關(guān)于的不等式：

答案：①當(dāng)時(shí),解集為②當(dāng)時(shí)，不等式為解集為③當(dāng)時(shí),解集為

【易錯(cuò)點(diǎn)30】求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯(cuò)位

例30、已知函數(shù)(1)如果函數(shù)的定義域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。(2)如果函數(shù)的值

域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生易忽視對是否為零的討論，而導(dǎo)致思維不全面而漏解。另一方面

對兩個(gè)問題中定義域?yàn)镽和值域?yàn)镽的含義理解不透徹導(dǎo)致錯(cuò)解。

解析：(1)據(jù)題意知若函數(shù)的定義域?yàn)镽即對任意的x值恒成立，令，當(dāng)=0時(shí)、即或。

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)適合，當(dāng)時(shí)，據(jù)二次函數(shù)知識若對任意x值函數(shù)值大于零恒成立，只需解之

大風(fēng)起今云飛揚(yáng)

得或綜上所知m的取值范圍為或。

(2)如果函數(shù)的值域?yàn)镽即對數(shù)的真數(shù)能取到任意的正數(shù)，令當(dāng)=0時(shí)，即或。經(jīng)驗(yàn)

證當(dāng)時(shí)適合，當(dāng)時(shí)，據(jù)二次函數(shù)知識知要使的函數(shù)值取得所有正值只需解之得綜上可知

滿足題意的m的取值范圍是。

【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對于二次型函數(shù)或二次型不等式若二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，要注意對字母

是