高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過(guò) 專題24 不等關(guān)系與一元二次不等式（含解析）文試題

專題24不等關(guān)系與一元二次不等式1．不等關(guān)系了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景.2．一元二次不等式（1）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.（3）會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖.一、不等關(guān)系1．不等式的概念（1）現(xiàn)實(shí)世界與日常生活中，與等量關(guān)系一樣，不等量關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)量關(guān)系．（2）用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式．2．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較（1）作差法：設(shè)a，bR，則a>b?a?b>0，a<b?a?b<0.（2）作商法：設(shè)a>0，b>0，則a>b?，a<b?.3．不等式的性質(zhì)（1）實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系①a>b?；②a=b?a?b=0；③a<b?.（2）不等式的性質(zhì)①對(duì)稱性：a>b?；(雙向性)②傳遞性：a>b，b>c?；(單向性)③可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性)④a>b，c>d?；(單向性)⑤可乘性：a>b，c>0?ac>bc；(單向性)a>b，c<0?ac<bc；(單向性)⑥a>b>0，c>d>0?；(單向性)⑦乘方法則：；(單向性)⑧開(kāi)方法則：a>b>0?(nN，n≥2)．(單向性)注意：（1）應(yīng)用傳遞性時(shí)，若兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，則等號(hào)無(wú)法傳遞.（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號(hào).4．必記結(jié)論（1）a>b，ab>0?.（2）a<0<b?.（3）a>b>0,0<c<d?.（4）0<a<x<b或a<x<b<0?.（5）若a>b>0，m>0，則；(b?m>0)；；(b?m>0)．二、一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的概念我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式，有三種形式：（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；（3）兩根式：.2．三個(gè)“二次”之間的關(guān)系判別式的圖象一元二次方程的根有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式與相應(yīng)的方程、函數(shù)之間的關(guān)系可知,求一元二次不等式的解集的步驟如下：（1）變形：將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式，即或；（2）計(jì)算：求出相應(yīng)的一元二次方程（）的根，有三種情況：；（3）畫(huà)圖：畫(huà)出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象的草圖；（4）求解：利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．可用程序框圖表示一元二次不等式的求解過(guò)程，如圖.4．一元二次不等式恒成立問(wèn)題（1）恒成立的充要條件是：且．（2）恒成立的充要條件是：且．（3）恒成立的充要條件是：且．（4）恒成立的充要條件是：且．（5）恒成立的充要條件是：且或且．（6）恒成立的充要條件是：且或且．考向一比較大小比較大小的常用方法：（1）作差法的一般步驟是：作差，變形，定號(hào)，得出結(jié)論．注意：只需要判斷差的符號(hào)，至于差的值究竟是什么無(wú)關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的形式或者多個(gè)因式的積的形式.（2）作商法的一般步驟是：作商，變形，判斷商與1的大小，得出結(jié)論．注意：作商時(shí)各式的符號(hào)為正，若都為負(fù)，則結(jié)果相反.（3）介值比較法：①介值比較法的理論根據(jù)是：若a>b,b>c,則a>c，其中b是a與c的中介值.②介值比較法的關(guān)鍵是通過(guò)不等式的恰當(dāng)放縮，找出一個(gè)比較合適的中介值.（4）利用單調(diào)性比較大小.（5）函數(shù)法，即把要比較的數(shù)值通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)的單調(diào)性將其進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為自變量的大小問(wèn)題來(lái)解決.典例1當(dāng)p,q都為正數(shù)，且p+q=1時(shí)，試比較代數(shù)式(px+qy)2與p典例2已知0<a<b<1，則，，的大小關(guān)系是A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】A【解析】因?yàn)?<a<b<1,所以,,又>1,所以<=0.綜上，得<<.故選A.【名師點(diǎn)睛】在用介值法比較時(shí)，中介值一般是通過(guò)放縮變形，得到一個(gè)中間的參照式（或數(shù)），其放縮的手段可能是基本不等式、三角函數(shù)的有界性等.1．已知1<A．m<nC．m>nD．m,n的大小關(guān)系不確定,與考向二求范圍的問(wèn)題求范圍的問(wèn)題需用到不等式的性質(zhì)，熟記不等式性質(zhì)中的條件與結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.在使用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要注意不等式成立的前提條件，特別是不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)、兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)求n次方時(shí)，一定要注意其成立的前提條件，如果忽視前提條件就可能出現(xiàn)錯(cuò)誤.求范圍的一般思路是：（1）借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；（2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；（3）結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的適用條件及整體思想的運(yùn)用.典例3已知1≤a-b≤2,A．[3,12]B．[5,10]C．[6,12]D．[3,10]【答案】B典例4若二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且，，求f(－2)的取值范圍.令m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b∴，∴.∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f∵，，∴.【名師點(diǎn)睛】同向不等式只能相加，不能相減.2．已知正數(shù)x,y滿足，則的最小值為A．1B．C．D．考向三一元二次不等式的解法1．解不含參數(shù)的一元二次不等式的方法：（1）若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解,即能夠轉(zhuǎn)化為幾個(gè)代數(shù)式的乘積形式,則可以直接由一元二次方程的根及不等號(hào)方向得到不等式的解集.（2）若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式,不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述兩種方法均不能解決,則應(yīng)采用求一元二次不等式的解集的通法,即判別式法.2．在解答含有參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,為了做到分類“不重不漏”，一般從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮：（1）關(guān)于不等式類型的討論：若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，以確定不等式是一次不等式還是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；（2）關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程的根的討論：兩根(>0),一根(=0),無(wú)根(<0)；（3）關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：.典例5解下列不等式：（1）.（2）.典例6解關(guān)于x的不等式.【解析】當(dāng)a=0時(shí)，不等式可化為x-1<0當(dāng)a≠0時(shí)，不等式可化為，則：當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)0<a<當(dāng)a<0時(shí)，3．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是A．B．(﹣3，1)∪(2，+∞)C．(﹣1，1)∪(3，+∞)D．(﹣∞，﹣3)∪(1，3)考向四一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間關(guān)系的應(yīng)用一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要注意三者之間的相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.（1）若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系.（2）若一元二次不等式的解集為或，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，此時(shí)可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定對(duì)應(yīng)一元二次方程的判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.典例7已知不等式的解集為{x|x>2（1）求b和c的值；（2）求不等式的解集.方程的兩根分別是1和，所以所求不等式的解集為.典例8已知關(guān)于x的不等式.（1）若不等式的解集為{x|x<-3或（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.若k≠0，則，解得.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.4．若關(guān)于x的不等式的解集為(x1,x2A．B．C．D．考向五一元二次不等式的應(yīng)用對(duì)于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.1．分式不等式的解法若與是關(guān)于的多項(xiàng)式，則不等式(或<0，或0，或0)稱為分式不等式．解分式不等式的原則是利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式(組)求解．即;;;.對(duì)于形如a(或<a)的分式不等式，其中a0，求解的方法是先把不等式的右邊化為0，再通過(guò)商的符號(hào)法則，把它轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.2．高次不等式的解法不等式的最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式．解高次不等式常用的方法有兩種：（1）將高次不等式中的多項(xiàng)式分解成若干個(gè)不可約因式的乘積，根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則，把它等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)不等式(組)．于是原不等式的解集就是各不等式(組)解集的并集．（2）穿針引線法：①將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，一端為0，另一端為一次因式(因式中x的系數(shù)為正)或二次不可約因式的乘積；②求出各因式的實(shí)數(shù)根，并在數(shù)軸上標(biāo)出；③自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過(guò)數(shù)軸，遇奇次重根穿過(guò)，遇偶次重根穿而不過(guò)(奇過(guò)偶不過(guò))；④記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號(hào)寫(xiě)出解集．典例9不等式的解集為_(kāi)________.【答案】典例10解關(guān)于x的不等式:

<0(a∈R).【解析】原不等式等價(jià)于：(x－a)(x－a2)<0，其對(duì)應(yīng)方程的兩根為x1＝a，x2＝a2.，分情況討論如下：①若a<0或a>1，即a2>a，則所求不等式的解集為．②若a＝0或a＝1，原不等式可化為x2<0或(x－1)2<0.此時(shí)，所求不等式的解集為.③若0<a<1，即a2<a，則所求不等式的解集為．綜上所述：當(dāng)a<0或a>1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為．5．不等式的解集是A．B．C．D．考向六含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略解決含參不等式恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，從解題策略的角度看，一般而言，針對(duì)不等式的表現(xiàn)形式，有如下四種策略：（1）變換主元，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問(wèn)題.解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù).參數(shù)和未知數(shù)是相互牽制、相互依賴的關(guān)系，有時(shí)候變換主元，可以起到事半功倍的效果.（2）聯(lián)系不等式、函數(shù)、方程，轉(zhuǎn)化為方程根的分布問(wèn)題.（3）對(duì)于一元二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值．即①若在定義域內(nèi)存在最大值，則(或)恒成立(或);②若在定義域內(nèi)存在最小值，則(或)恒成立(或);③若在其定義域內(nèi)不存在最值，只需找到在定義域內(nèi)的最大上界(或最小下界)，即在定義域內(nèi)增大(或減小)時(shí)無(wú)限接近但永遠(yuǎn)取不到的那個(gè)值，來(lái)代替上述兩種情況下的，只是等號(hào)均可以取到.（4）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求參數(shù).在不等式恒成立問(wèn)題的處理中，若能畫(huà)出不等式兩邊相應(yīng)的函數(shù)圖象，恒成立的代數(shù)問(wèn)題立即變得直觀化，等價(jià)的數(shù)量關(guān)系式隨之獲得，數(shù)形結(jié)合可使求解過(guò)程簡(jiǎn)單、快捷．典例11已知不等式.（1）若對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍；（2）若對(duì)于m∈[-2,2.由①得，；由②得，，取交集得且x≠1.∴x的取值范圍是.典例12已知函數(shù).（1）若對(duì)于x∈R，f(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;（2）若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<5-m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.記g(x)==,x∈[1,3],易知,所以.即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.6．若對(duì)一切x≥4恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.1．若,則下列結(jié)論正確的是A．若,則a2＞b2B．若a＞b,c＞d,則ac＞bdC．若a＜b＜0,則D．若a＞b＞0,c＜d＜0,則＜2．已知，則下列不等式一定成立的是A．B．log2(x﹣y)＞0C．x3＜y3D．3．已知全集=，集合，則A． B．C． D．4．不等式的解集為R，那么A．a(chǎn)<0,Δ<0C．a(chǎn)>0,Δ≥05．已知m=0.20.1A．n<m<pB．n<p<mC．p<n<mD．m<p<n6．如果a＞b＞0，A．M＞NBC．M=ND．M與7．不等式≤0的解集為A．(-∞,-3]B．(1,2]C．(-∞,-3]∪[1,2]D．(-∞,-3]∪(1,2]8．若關(guān)于x的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．[2，＋∞)B．(－∞，－6]C．[－6,2]D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)9．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________.10．若關(guān)于x的不等式的解集是(1，m)，則m

=___________.11．已知實(shí)數(shù)x,y滿足：-1≤x+y≤1，-112．若關(guān)于x的不等式>0的解集為R，則k的取值范圍為_(kāi)__________.13．已知a>0,b>0,求證:.14．已知,≤3x+y≤,求9x+y的取值范圍.15．已知不等式ax2+x+c（1）求實(shí)數(shù)a,c（2）若不等式ax2+2x+4c>0的解集為A,不等式3ax+cm<016．已知不等式log2(ax（1）求a，b的值；（2）解不等式(c為常數(shù)).17．設(shè)f(x)＝ax2﹣(a＋1)x＋1.（1）解關(guān)于x的不等式f(x)＞0；（2）若對(duì)任意的a∈[﹣1，1]，不等式f(x)＞0恒成立，求x的取值范圍.1．（2017天津文科）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)．若，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．2．（2016新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ文科）已知集合，則A． B．C． D．3．（2015浙江文科）設(shè)，是實(shí)數(shù)，則“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件4．（2015浙江文科）有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：）分別為，，，且，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/）分別為，，，且．在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是A．B．C．D．5．（2015廣東文科）不等式的解集為．（用區(qū)間表示）6．（2016江蘇）函數(shù)y=的定義域是.變式拓展變式拓展1．【答案】C【解析】由題可得，.因?yàn)?<a<b，所以所以，即m>n2．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以設(shè)2x+y=a2x-y+b(x-3y)，即2x+y=2a+bx-a+3b因?yàn)?，所以，即，即的最小值?故選C.3．【答案】A4．【答案】D【解析】若a=0，顯然不符合題意；若a>0,則的解為-2a<x<4a,由題意可得x2-x若a<0,則的解為4a<x<-2a,由題意可得x2-x綜上可得，.5．【答案】B【解析】不等式移項(xiàng)得：，即，可化為：或，解得，則原不等式的解集為.故選B.6．【解析】因?yàn)閙<0,所以綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是.考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】D【解析】對(duì)于A,例如,a=1,b=-2,1>-2對(duì)于B,例如,a=-1,b=-2,-1>-2,c=-3,對(duì)于C,例如,a=-2,b對(duì)于D,若c＜d＜0,所以＜,又因?yàn)閍＞b＞0,所以＜，所以D正確.選D.2．【答案】D【解析】當(dāng)x＞y時(shí)，對(duì)于選項(xiàng)A，，由于xy對(duì)于選項(xiàng)B，只有x-y>1時(shí)才成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，單調(diào)遞增，故當(dāng)x＞y時(shí)，x對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x＞y時(shí)，成立，故選項(xiàng)D正確.綜上，正確的只有選項(xiàng)D，故選D.3．【答案】D4．【答案】A【解析】由題意知的解集為R,所以a<0,Δ5．【答案】B【解析】因?yàn)閚=log0.12<0,m=0.206．【答案】A【解析】∵a＞b＞0，t＞0，∴，7．【答案】D【解析】由≤0得,解得或,則不等式≤0的解集是.故選D.8．【答案】D【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，所以，解得a≤-6或a9．【答案】{x|x>【解析】由題意可得x2-2x-3>0,所以x>3或x10．【答案】2【解析】∵ax2﹣6x+a2＜0的解集是(1，解得m=11．【答案】-2【解析】由題意得,.而2x+y=32(x+y)+12故2x+y的最小值是-2.12．【答案】【解析】∵關(guān)于x的不等式>0的解集為R，而x2+x+1=(x+12)2+34>0，∴13．【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=,則f(x)==1-,當(dāng)x>0時(shí),f(x)單調(diào)遞增.∵a>0,b>0，∴a+b+ab>a+b>0，∴.則=f(a+b+ab)>f(a+b)=a+b即.14．【解析】方法一：設(shè),則2a+3b=9,