安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期冬季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023年冬季聯(lián)賽（高一）數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第3頁(yè)，第Ⅱ卷第4至第6頁(yè).全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致.2.答第Ⅰ卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.答第Ⅱ卷時(shí)，必須使用毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用毫米的黑色墨水簽字筆描清楚.必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)效.4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集定義即可得解.【詳解】由，解得或，則，，所以.故選：A.2.若命題：，是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】變形為在上有解，利用基本不等式求出最小值，從而得到，得到答案.【詳解】由題意得在上有解，即在上有解，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.3.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合抽象函數(shù)定義域，列出不等式組求解即得.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，得，因此函?shù)中，，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D4.若，：關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到或，進(jìn)而判斷出答案.【詳解】由，解得或，由于或，但或，故是成立的充分不必要條件.故選：A.5.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)和，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)滿(mǎn)足，若，則與的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用方程組的思想求出函數(shù)的解析式即可得解.【詳解】由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得，又，，則，即，解得，，因此，，所以.故選：A6.已知，，，，則（）A.2 B.5 C.10 D.20【答案】D【解析】【分析】利用換底公式轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式與已知條件結(jié)合，得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，即，由基本不等式可知，又因?yàn)椋?，即滿(mǎn)足基本不等式取等條件，即，故選：D.7.已知函數(shù)定義域?yàn)?，若?duì)于，當(dāng)時(shí)，都有成立，則稱(chēng)函數(shù)是“共建”函數(shù)，則下列四個(gè)函數(shù)中是“共建”函數(shù)的是（）A. B.C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可對(duì)化簡(jiǎn)后得，然后構(gòu)造函數(shù)從而可求解.舉例說(shuō)明A不成立.【詳解】對(duì)于B：，定義域?yàn)?，根?jù)題意，，當(dāng)時(shí)，都有，化簡(jiǎn)得，即，設(shè)，即，得在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，此時(shí)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，故B項(xiàng)符合；對(duì)于C：，，定義域?yàn)?，由上可知得在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，但此時(shí)在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)不符合；對(duì)于D：，，定義域?yàn)椋缮峡芍迷谄涠x域上為單調(diào)遞減函數(shù)，但此時(shí)在上單調(diào)遞增，故D項(xiàng)不符合；對(duì)于A：當(dāng)且時(shí)，恒成立，不符合“共建”函數(shù)定義，即A項(xiàng)不符合；故選：B.8.函數(shù)的最小值是（）A B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，函數(shù)變形后利用基本不等式求出，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到答案.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，由同向可加性得到結(jié)果；CD選項(xiàng)，由不等式性質(zhì)得到.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)椋鶕?jù)同向可加性可知，故B正確；CD選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，則，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10.若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則以下關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法中正確的是（）A.的定義域是 B.的值域是C.是增函數(shù) D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合冪函數(shù)定義求出，進(jìn)而求出的解析式，再逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】由為冪函數(shù)，得，解得，由點(diǎn)在的圖象上，得，解得，于是，由，解得，的定義域是，A錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)是增函數(shù)，C正確；當(dāng)時(shí)，，即，的值域?yàn)椋珺正確；由，得，即，D正確.故選：BCD11.若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)，則可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先得到四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的零點(diǎn)，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到的零點(diǎn)所在區(qū)間，從而得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，在R上單調(diào)遞增，令，解得，B選項(xiàng)，因在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，令，解得，C選項(xiàng)，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減，故在R上單調(diào)遞增，又，故零點(diǎn)為0，D選項(xiàng)，由于在上單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增，令，解得，由同增異減可知，在上單調(diào)遞增，又，故零點(diǎn)為1，在上單調(diào)遞增，又，，，由零點(diǎn)存在性定理可得的零點(diǎn)所在區(qū)間為，因?yàn)?，，所以ABD選項(xiàng)滿(mǎn)足要求，C選項(xiàng)不滿(mǎn)足要求，故選：ABD.12.定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于函數(shù)在定義域內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】畫(huà)出的圖象，設(shè)，故函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)和，不妨設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理和函數(shù)圖象可得，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到，得到答案.【詳解】畫(huà)出的圖象，如下：令，則，由題意原函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，可知函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)和，不妨設(shè)，且，，分析函數(shù)的圖象可知，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，則，解得.故選：AB第Ⅱ卷（非選擇題共90分）考生注意事項(xiàng)：請(qǐng)用毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知函數(shù)，則的值域?yàn)開(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】換元后，轉(zhuǎn)化二次函數(shù)問(wèn)題，求出值域.【詳解】令，則，，，當(dāng)時(shí)，取的最小值，最小值為，則的值域?yàn)?故答案為：14.已知函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二、四象限，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一組的值________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)求出，再按分類(lèi)討論即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，的圖象必過(guò)第四象限，矛盾，因此，由函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二、四象限，得點(diǎn)只能在原點(diǎn)，則，即，當(dāng)時(shí)，若，則有，的圖象必過(guò)第四象限，矛盾，當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)的圖象在第三象限，若，則，此時(shí)的圖象在第一象限，所以且，滿(mǎn)足條件的一組的值可以為.故答案為：15.設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則面積的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值.【詳解】如圖所示，設(shè)，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)面積的最小值為.故答案為：16.若函數(shù)對(duì)于都有，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，再求出函數(shù)的所有零點(diǎn)，求出解析式即可得解.【詳解】由對(duì)于都有，得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，顯然，則，于是，因此，所以.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.某品牌汽車(chē)制造廠(chǎng)引進(jìn)了一條小型家用汽車(chē)裝配流水線(xiàn)，本年度第一季度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表月份1月2月3月小型汽車(chē)數(shù)量（輛）306080創(chuàng)造的收益（元）480060004800（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列三個(gè)函數(shù)模型中：①，②，③選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述這條流水線(xiàn)生產(chǎn)的小型汽車(chē)數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的收益（元）之間的關(guān)系，并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；（2）利用上述你選取的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算，若這家工廠(chǎng)希望在一周內(nèi)利用這條流水線(xiàn)創(chuàng)收6020元以上，那么它在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)多少輛小型汽車(chē)？【答案】17.選?、冢?8.且【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的單調(diào)性選?、冢鶕?jù)對(duì)稱(chēng)性得到對(duì)稱(chēng)軸，設(shè)函數(shù)頂點(diǎn)式，代入坐標(biāo)，求出解析式；（2）在（1）基礎(chǔ)上，得到，求出不等式，因?yàn)橹荒苋≌麛?shù)值，所以得到且.【小問(wèn)1詳解】選?、冢深}表可知，隨著的增大，的值先增大后減小，而函數(shù)及均為單調(diào)函數(shù)，故不符合題意，所以選?、冢瑢ⅲ?，三點(diǎn)分別代入函數(shù)解析式，可得二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為，故可將函數(shù)解析式設(shè)為，即得到，解出，∴，∴，，；【小問(wèn)2詳解】設(shè)在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)輛小型汽車(chē)，根據(jù)題意，可得，即，即，因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，由二次函數(shù)的圖象可知不等式的解為.因?yàn)橹荒苋≌麛?shù)值，所以當(dāng)這條流水線(xiàn)在一周內(nèi)生產(chǎn)的小型汽車(chē)數(shù)量且之間時(shí)，這家工廠(chǎng)能夠獲得6020元以上的收益.18.（1）已知，求證；（2）利用（1）的結(jié)論，證明：（且）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）作差法比較出大?。唬?）在（1）的基礎(chǔ)上，得到，利用放縮法證明出，得到答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，于?（2）即證（且），由（1）式可知，，故（且），（且），即（且），原式得證.19.我們知道存儲(chǔ)溫度（單位：℃）會(huì)影響著鮮牛奶的保鮮時(shí)間（單位：），溫度越高，保鮮時(shí)間越短.已知與之間的函數(shù)關(guān)系式為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），某款鮮牛奶在5℃的保鮮時(shí)間為，在25℃的保鮮時(shí)間為.（參考數(shù)據(jù)：）（1）求此款鮮牛奶在0℃的保鮮時(shí)間約為幾小時(shí)（結(jié)果保留到整數(shù)）；（2）若想要保證此款鮮牛奶的保鮮時(shí)間不少于，那么對(duì)存儲(chǔ)溫度有怎樣的要求？【答案】19.254小時(shí)；20.存儲(chǔ)溫度要不高于15℃.【解析】【分析】（1）把給定的數(shù)對(duì)代入函數(shù)關(guān)系，求出，并確定，再求出即得.（2）利用（1）中信息，建立不等式，再借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即得.【小問(wèn)1詳解】依題意，把，分別代入，得，于是，則，，當(dāng)時(shí)，，此款鮮牛奶在0℃的保鮮時(shí)間為254小時(shí).【小問(wèn)2詳解】依題意，，由（1）知，顯然，于是，則，因此，而，則有，所以想要保證此款鮮牛奶的保鮮時(shí)間不少于，存儲(chǔ)溫度要不高于15℃.20.定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足，對(duì)于任意的都有成立，并且，使得.（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合條件計(jì)算即可證明；（2）由條件轉(zhuǎn)化不等式為，利用（1）的結(jié)論去函數(shù)符號(hào)，分離參數(shù)計(jì)算范圍即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)單調(diào)遞減.，證明如下：由得，，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，則，故，所以函數(shù)單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】不等式可等價(jià)變形為，因?yàn)?，所以，則不等式可變?yōu)?，由?）知，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，恒成立，則，解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.已知函數(shù)（1）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格紙中畫(huà)出的簡(jiǎn)圖，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（無(wú)需證明）；（2）定義函數(shù)在定義域內(nèi)的，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)不動(dòng)點(diǎn)；若滿(mǎn)足，則稱(chēng)為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)定點(diǎn).①求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；②求函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，單增區(qū)間為，，的單減區(qū)間為（2）①；②，和1.【解析】【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式，畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間.（2）結(jié)合分段函數(shù)解析式，由不動(dòng)點(diǎn)，穩(wěn)定點(diǎn)的定義計(jì)算分析求解.【小問(wèn)1詳解】的單增區(qū)間為，，的單減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】易知①當(dāng)時(shí)，，令得，解得；當(dāng)時(shí)，，令得，解得（舍）綜上所述：函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為.②當(dāng)時(shí)，，且，則令得，，解得或（舍）；當(dāng)時(shí)，，且，則令，得，解得；當(dāng)時(shí)，，且，則，令，得，解得或（舍）綜上所述：函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)有3個(gè)，分別是，和1.22.已知函數(shù)，其中.（1）若存在，使得，求的最小值；（2）令，若關(guān)于的方程有兩個(gè)根，求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合基本不等式計(jì)算即可；（