對數函數教案

龍文教育個性化輔導教案教師張紫玉學生王東昊授課時間授課層次高一授課課題對數函數課型新授課教學目標知識目標：了解對數函數的概念，理解對數函數與指數函數關系并能熟練的進行轉換；了解對數函數的倆個運算性質；能熟練的運用對數的性質和換底公式進行化簡和求值；能力目標：3、情感態(tài)度與價值觀：教學重點和難點重點：對數的運算性質難點：運用對數的運算性質和換底公式進行運算與化簡教學內容：知識點總結：對數與對數函數1.對數〔1〕對數的定義：如果ab=N〔a＞0，a≠1〕，那么b叫做以a為底N的對數，記作logaN=b.〔2〕指數式與對數式的關系：ab=NlogaN=b〔a＞0，a≠1，N＞0〕.兩個式子表示的a、b、N三個數之間的關系是一樣的，并且可以互化.〔3〕對數運算性質:①loga〔MN〕=logaM+logaN.②loga=logaM－logaN.③logaMn=nlogaM.〔M＞0，N＞0，a＞0，a≠1〕④對數換底公式：logbN=〔a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0〕.2.對數函數〔1〕對數函數的定義注意：真數式子沒根號那就只要求真數式大于零,如果有根號,要求真數大于零還要保證根號里的式子大于零，底數那么要大于0且不為1

對數函數的底數為什么要大于0且不為1呢？在一個普通對數式里a<0,或=1的時候是會有相應b的值的。但是，根據對數定義:logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切實數〔比方log11也可以等于2，3，4，5，等等〕第二，根據定義運算公式：logaM^n=nlogaM如果a<0,那么這個等式兩邊就不會成立〔比方，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一個等于1/16，另一個等于-1/16〕〔2〕對數函數的圖象底數互為倒數的兩個對數函數的圖象關于x軸對稱.〔3〕對數函數的性質:①定義域：〔0，+∞〕.②值域：R.③過點〔1，0〕，即當x=1時，y=0.④當a＞1時，在〔0，+∞〕上是增函數；當0＜a＜1時，在〔0，+∞〕上是減函數.根底例題1.函數f〔x〕=|log2x|的圖象是解析：f〔x〕=答案：A2.假設f－1〔x〕為函數f〔x〕=lg〔x+1〕的反函數，那么f－1〔x〕的值域為___________________.解析：f－1〔x〕的值域為f〔x〕=lg〔x+1〕的定義域.由f〔x〕=lg〔x+1〕的定義域為〔－1，+∞〕，∴f－1〔x〕的值域為〔－1，+∞〕.答案：〔－1，+∞〕3.f〔x〕的定義域為［0，1］，那么函數y=f［log〔3－x〕］的定義域是__________.解析：由0≤log〔3－x〕≤1log1≤log〔3－x〕≤log≤3－x≤12≤x≤.答案：［2，］4.假設logx=z，那么x、y、z之間滿足A.y7=xz B.y=x7zC.y=7xz D.y=zx解析：由logx=zxz=x7z=y，即y=x7z.答案：B5.1＜m＜n，令a=〔lognm〕2，b=lognm2，c=logn〔lognm〕，那么A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.b＜a＜c D.c＜a＜b解析：∵1＜m＜n，∴0＜lognm＜1.∴l(xiāng)ogn〔lognm〕＜0.答案：D6.假設函數f〔x〕=logax〔0＜a＜1〕在區(qū)間［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，那么aA. B. C. D.解析：∵0＜a＜1，∴f〔x〕=logax是減函數.∴l(xiāng)ogaa=3·loga2a∴l(xiāng)oga2a=.∴1+loga2=.∴l(xiāng)oga2=－.∴a=.答案：A7.函數y＝log2｜ax－1｜〔a≠0〕的對稱軸方程是x＝－2，那么a等于A. B.－ C.2 D.－2解析：y=log2|ax－1|=log2|a〔x－〕|，對稱軸為x=，由=－2得a=－.答案：B注意：此題還可用特殊值法解決，如利用f〔0〕=f〔－4〕，可得0=log2|－4a－1|.∴|4a+1|=1.∴4a+1=1或4a∵a≠0，∴a=－.8.函數f〔x〕=log2|x|，g〔x〕=－x2+2，那么f〔x〕·g〔x〕的圖象只可能是解析：∵f〔x〕與g〔x〕都是偶函數，∴f〔x〕·g〔x〕也是偶函數，由此可排除A、D.又由x→+∞時，f〔x〕·g〔x〕→－∞，可排除B.答案：C9.設f－1〔x〕是f〔x〕=log2〔x+1〕的反函數，假設［1+f－1〔a〕］［1+f－1〔b〕］=8，那么f〔a+b〕的值為A.1 B.2 C.3 D.log解析：∵f－1〔x〕=2x－1，∴［1+f－1〔a〕］［1+f－1〔b〕］=2a·2b=2a+b.由2a+b=8，∴a+b=3.答案：C10.方程lgx+lg〔x+3〕=1的解x=___________________.解析：由lgx+lg〔x+3〕=1，得x〔x+3〕=10，x2+3x－10=0.∴x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.答案：2典型例題【例1】函數f〔x〕=那么f〔2+log23〕的值為A. B. C. D.剖析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，∴f〔2+log23〕=f〔3+log23〕=〔〕3+log23=.答案：D【例2】求函數y＝log2｜x｜的定義域，并畫出它的圖象，指出它的單調區(qū)間.解：∵｜x｜＞0，∴函數的定義域是｛x｜x∈R且x≠0｝.顯然y＝log2｜x｜是偶函數，它的圖象關于y軸對稱.又知當x＞0時，y＝log2｜x｜y＝log2x.故可畫出y＝log2｜x｜的圖象如下列圖.由圖象易見，其遞減區(qū)間是〔－∞，0〕，遞增區(qū)間是〔0，＋∞〕.注意：研究函數的性質時，利用圖象會更直觀.【例3】f〔x〕=log［3－〔x－1〕2］，求f〔x〕的值域及單調區(qū)間.解：∵真數3－〔x－1〕2≤3，得1－＜x＜1+，∴x∈〔1－，1］時，3－〔x－1〕2單調遞增，從而f〔x〕單調遞減；x∈［1，1+〕時，f〔x〕單調遞增.注意：討論復合函數的單調性要注意定義域.【例4】y=loga〔3－ax〕在［0，2］上是x的減函數，求a的取值范圍.解：∵a＞0且a≠1，∴t=3－ax為減函數.依題意a＞1，又t=3－ax在［0，2］上應有t＞0，∴3－2a＞0.∴a＜.故1＜a＜.【例5】設函數f〔x〕=lg〔1－x〕，g〔x〕=lg〔1+x〕，在f〔x〕和g〔x〕的公共定義域內比擬|f〔x〕|與|g〔x〕|的大小.解：f〔x〕、g〔x〕的公共定義域為〔－1，1〕.|f〔x〕|－|g〔x〕|=|lg〔1－x〕|－|lg〔1+x〕|.〔1〕當0＜x＜1時，|lg〔1－x〕|－|lg〔1+x〕|=－lg〔1－x2〕＞0；〔2〕當x=0時，|lg〔1－x〕|－|lg〔1+x〕|=0；〔3〕當－1＜x＜0時，|lg〔1－x〕|－|lg〔1+x〕|=lg〔1－x2〕＜0.綜上所述，當0＜x＜1時，|f〔x〕|＞|g〔x〕|；當x=0時，|f〔x〕|=|g〔x〕|；當－1＜x＜0時，|f〔x〕|＜|g〔x〕|.【例6】求函數y=2lg〔x－2〕－lg〔x－3〕的最小值.解：定義域為x＞3，原函數為y＝lg.又∵＝＝＝〔x－3〕＋＋2≥4，∴當x＝4時，ymin＝lg4.【例7】〔2003年北京宣武第二次模擬考試〕在f1〔x〕=x，f2〔x〕=x2，f3〔x〕=2x，f4〔x〕=logx四個函數中，x1＞x2＞1時，能使［f〔x1〕+f〔x2〕］＜f〔〕成立的函數是A.f1〔x〕=xB.f2〔x〕=x2C.f3〔x〕=2x D.f4〔x〕=logx解析：由圖形可直觀得到：只有f1〔x〕=x為“上凸〞的函數.答案：A探究創(chuàng)新1.假設f〔x〕=x2－x+b，且f〔log2a〕=b，log2［f〔a〕］=2〔a≠1〕.〔1〕求f〔log2x〕的最小值及對應的x值；〔2〕x取何值時，f〔log2x〕＞f〔1〕且log2［f〔x〕］＜f〔1〕？解：〔1〕∵f〔x〕=x2－x+b，∴f〔log2a〕=log22a－log2a+b.由有l(wèi)og22a－log2a+b=b，∴〔log2a－1〕log2a=0.∵a≠1，∴l(xiāng)og2a=1.∴a=2.又log2［f〔a〕］=2，∴f〔a〕=4.∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.故f〔x〕=x2－x+2，從而f〔log2x〕=log22x－log2x+2=〔log2x－〕2+.∴當log2x=即x=時，f〔log2x〕有最小值.〔2〕由題意0＜x＜1.2.函數f〔x〕=3x+k〔k為常數〕，A〔－2k，2〕是函數y=f－1〔x〕圖象上的點.〔1〕求實數k的值及函數f－1〔x〕的解析式；〔2〕將y=f－1〔x〕的圖象按向量a=〔3，0〕平移，得到函數y=g〔x〕的圖象，假設2f－1〔x+－3〕－g〔x〕≥1恒成立，試求實數m的取值范圍.解：〔1〕∵A〔－2k，2〕是函數y=f－1〔x〕圖象上的點，∴B〔2，－2k〕是函數y=f〔x〕上的點.∴－2k=32+k.∴k=－3.∴f〔x〕=3x－3.∴y=f－1〔x〕=log3〔x+3〕〔x＞－3〕.〔2〕將y=f－1〔x〕的圖象按向量a=〔3，0〕平移，得到函數y=g〔x〕=log3x〔x＞0〕，要使2f－1〔x+－3〕－g〔x〕≥1恒成立，即使2log3〔x+〕－log3x≥1恒成立，所以有x++2≥3在x＞0時恒成立，只要〔x++2〕min≥3.又x+≥2〔當且僅當x=，即x=時等號成立〕，∴〔x++2〕min=4，即4≥3.∴m≥.小結1.對數的底數和真數應滿足的條件是求解對數問題時必須予以特別重視的.2.比擬幾個數的大小是對數函數性質應用的常見題型.在具體比擬時，可以首先將它們與零比擬，分出正負；正數通常都再與1比擬分出大于1還是小于1，然后在各類中間兩兩相比擬.3.在給定條件下，求字母的取值范圍是常見題型，要重視不等式知識及函數單調性在這類問題上的應用.本次課后作業(yè)：學生對于本次課的評價：○特別滿意○滿意○一般學生簽字：教師評定：1、學生上次作業(yè)評價：