高中必背88個數(shù)學(xué)公式

高中必背88個數(shù)學(xué)公式

［直線過焦點］,必有ecosA=(x-l)/(x+l),其中A為直線與焦點

所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。注：上述公

式適合一切圓錐曲線。如果焦點內(nèi)分(指的是焦點在所截線段

上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為

(x+l)/(x-l),其他不變。

2022高中必背88個數(shù)學(xué)公式

1高中必背88個數(shù)學(xué)公式是什么

2.函數(shù)的周期性問題(記憶三個)

⑴若f(x)=-f(x+k),則T=2k;

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0),則T=2k;

⑶若f(x)=f(x+k)+f(x-k),則T=6ko

注意點：a.周期函數(shù)，周期必無限b.周期函數(shù)未必存在最小

周期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函

數(shù)，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù)。

3.關(guān)于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下

⑴若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立,對稱軸為

x=(a+b)/2

⑵函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于x=(b-a)/2對稱;

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b,則f(x)圖像關(guān)于(a,b)中心對稱

4.函數(shù)奇偶性

⑴對于屬于R上的奇函數(shù)有f(0)=0;

⑵對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項，偶函數(shù)沒有奇次方

項

⑶奇偶性作用不大，一般用于選擇填空

5.數(shù)列爆強定律

⑴等差數(shù)列中：S奇=血中，例如S13=13a7(13和7為下角標);

(2)等差數(shù)列中:S(n)、S(2n)-S(n)>S(3n)-S(2n)成等差

⑶等比數(shù)列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在

q=-l時,未必成立

⑷等比數(shù)列爆強公式：S(n+m)=S(m)+q2ms(n)可以迅速求q

6.數(shù)列的終極利器，特征根方程

首先介紹公式:對于an+l=pan+q(n+l為下角標,n為下角標),

al已知，那么特征根x=q/(l-p),則數(shù)列通項公式為an=(al-x)p

2(n-l)+x,這是一階特征根方程的運用。

二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上

述公式。當然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造(兩邊同時加數(shù))

7.函數(shù)詳解補充

1、復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外

2、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減

3、重點知識關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)

曲線其實是中心對稱圖形。

它有一個對稱中心，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0,根x即為中

心橫坐標，縱坐標可以用x帶入原函數(shù)界定。另外，必有唯

一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8.常用數(shù)列bn=nX(22n)求和Sn=(n-l)X(22(n+l))+2記憶方

法

前面減去一個1,后面加一個，再整體加一個2

9,適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式

kffi=-{(b2)xo}/{(a2)yo}kXX={(b2)xo)/{(a2)yo}kife=p/yo

注：(xo,y。)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

10.強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技

已知直線LI：alx+bly+cl=O直線L2：a2x+b2y+c2=0

若它們垂直：(充要條件)ala2+blb2=0;

若它們平行：(充要條件)alb2=a2bl且alc2^a2cl[

這個條件為了防止兩直線重合)

注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺！

11.經(jīng)典中的經(jīng)典

相信鄰項相消大家都知道。

下面看隔項相消：

對于Sn=l/(1X3)+1/(2X4)+1/(3X5)+…

+l/[n(n+2)]=l/2[l+l/2-l/(n+l)-l/(n+2)]

注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫

在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔！

12.爆強△面積公式

S=l/2Imq-np|其中向量AB=(m,n),向量BC=(p,q)

注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題

13.你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯

⑴空間中不同三點確定一個平面

⑵垂直同一直線的兩直線平行

⑶兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

⑷如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面

⑸有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是

棱柱

⑹有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱

錐

注：對初中生不適用。

14.一個小知識點

所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15.求f(x)=|x-1|+|x-2|+Ix-3|+,?,+|x-nI(n為正整數(shù))

的最小值

答案為：當n為奇數(shù)，最小值為當-1)/4,在x=(n+l)/2時取

到；

當n為偶數(shù)時，最小值為廣/4,在x=n/2或n/2+l時取到。

16.V((a2+b2))/2?(a+b)/22Jab22ab/(a+b)(a、b為正

數(shù)，是統(tǒng)一定義域)

17.橢圓中焦點三角形面積公式

S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)

說明：適用于焦點在x軸，且標準的圓錐曲線。A為兩焦半

徑夾角。

18.爆強定理

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b}/［向

量a的模X向量b的模］

(1)A為線線夾角

⑵A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)

(3)A為面面夾角注：以上角范圍均為［0,派/2］。

19.爆強公式

I2+22+32+—+n2=l/6(n)(n+l)(2n+l);l23+223+323+—+n2

3=l/4(n2)(n+l)2

20.爆強切線方程記憶方法

寫成對稱形式，換一個x,換一個y

舉例說明：對于y2=2px可以寫成yXy=px+px

再把(xo,yo)帶入其中一個得：yXyo=pxo+px

21.爆強定理

(a+b+c)2n的展開式［合并之后］的項數(shù)為:Cn+22,n+2在下,

2在上

22.轉(zhuǎn)化思想

切線長1=V(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離,r為圓半徑,

而d最小為圓心到直線的距離。

23.對于y2=2px

過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的和最小為8p。

爆強定理的證明：對于y2=2px,設(shè)過焦點的弦傾斜角為A

那么弦長可表示為2p/((sinA)2),所以與之垂直的弦長為

2p/[(cosA)2]

所以求和再據(jù)三角知識可知。

(題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于CD)

24.關(guān)于一個重要絕對值不等式的介紹爆強

I|a|-|b||WIa±bIIaI+IbI

25.關(guān)于解決證明含In的不等式的一種思路

舉例說明：證明1+1/2+1/3+…+l/n>ln(n+l)

把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sno

解：令an=l/n,令Sn=ln(n+1),則bn=ln(n+D-lnn,

那么只需證an>bn即可，根據(jù)定積分知識畫出y=l/x的圖。

an=lXl/n=矩形面積〉曲線下面積=bn。當然前面要證明l>ln2o

注：僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣,

就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和，證面積大小即可。說明:

前提是含In。

26.爆強簡潔公式

向量a在向量b上的射影是：(向量aX向量b的數(shù)量積)/［向

量b的模］。

記憶方法：在哪投影除以哪個的模

27.說明一個易錯點

若f(x+a)［a任意］為奇函數(shù)，那么得到的結(jié)論是f(x+a)=-f(-x+a)

(等式右邊不是卡-x-a))

同理如果f(x+a)為偶函數(shù)，可得f(x+a)=f［x+a)牢記

28.離心率爆強公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2,兩腰角為M,N

29.橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西，它可以解決一些

最值問題。

比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。

解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知

道快多少倍！

30.僅供有能力的童鞋參考的爆強公式

和差化積

sin9+sin@=2sin[(。@)/2]cos[(0-6)/2]sin0-sin<t)=2cos[(0

+<t>)/2]sin[(0-4))/2]cos。+cos6=2cos[(9+))/2]cos[(0-

4))/2]cos9-cos6=-2sin[(1+6)/2]sin[(。@)/2]

積化和差

sinasinB=[cos(a-B)-cos(a+6)]/2cosacosB=[cos(a+

B)+cos(a-B)]/2sinacosB=[sin(a+B)+sin(a-0)]/2cosa

sinB=[sin(a+B)-sin(a-B)]/2

31.爆強定理

直觀圖的面積是原圖的J2/4倍。

32.三角形垂心爆強定理

⑴向量01向量0A+向量0B+向量0C（。為三角形外心，H

為垂心）

⑵若三角形的三個頂點都在函數(shù)y=l/x的圖象上，則它的垂

心也在這個函數(shù)圖象上。

33.維維安尼定理（不是很重要（僅供娛樂））

正三角形內(nèi)（或邊界上）任一點到三邊的距離之和為定值，這

定值等于該三角形的高。

34.爆強思路

如果出現(xiàn)兩根之積xlx2=m,兩根之和xl+x2=n

我們應(yīng)當形成一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個二次函數(shù)

再利用△大于等于0,可以得到m、n范圍。

35.常用結(jié)論

過(2p,0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。

。為原點，連接AO.BO。必有角AOB=90度

36.爆強公式

ln(x+l)Wx(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。

舉例說明：ln(l/(22)+l)+ln(l/(32)+l)+-+ln(l/(n2)+l)<l(n^2)

證明如下：令x=l/(r|2),根據(jù)ln(x+l)Wx有左右累和右邊

再放縮得：左和證畢！

37.函數(shù)y=(sinx)/x是偶函數(shù)

在(0,派)上它單調(diào)遞減，(-派,0)上單調(diào)遞增。

利用上述性質(zhì)可以比較大小。

38.函數(shù)

y=(lnx)/x在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+無窮)上單調(diào)遞減。

另外y=x2(1/x)與該函數(shù)的單調(diào)性一致。

39.幾個數(shù)學(xué)易錯點

(l)f'(x)<0是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件

⑵研究函數(shù)奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一步：考

慮定義域是否關(guān)于原點對稱

⑶不等式的運用過程中，千萬要考慮='號是否取到

⑷研究數(shù)列問題不考慮分項，就是說有時第一項并不符合通

項公式，所以應(yīng)當極度注意：數(shù)列問題一定要考慮是否需要

分項!

40.提高計算能力五步曲

⑴扔掉計算器

⑵仔細審題（提倡看題慢，解題快），要知道沒有看清楚題目,

你算多少都沒用

⑶熟記常用數(shù)據(jù)，掌握一些速算技

⑷加強心算、估算能力

⑸檢驗

41.一個美妙的公式

已知三角形中AB=a,AC=b,。為三角形的外心，

則向量AOX向量BC（即數(shù)量積）=（1/2膽2目］

證明：過。作BC垂線，轉(zhuǎn)化到已知邊上

42.函數(shù)

①函數(shù)單調(diào)性的含義：大多數(shù)同學(xué)都知道若函數(shù)在區(qū)間D上

單調(diào)，則函數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)，但有

些意思可能有些人還不是很清楚，若函數(shù)在D上單調(diào)，則函

數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當別論)這也說明了為什么不能說

y=tanx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因為它的圖像被無窮多條漸近

線擋住，換而言之，不連續(xù).還有，如果函數(shù)在D上單調(diào)，則

函數(shù)在D上y與x一—對應(yīng).這個可以用來解一些方程.至于

例子不舉了

②函數(shù)周期性：這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程式所要表達的周

期設(shè)f(x)為R上的函數(shù)，對任意x￡R

(l)f(a±x)=f(b±x)T=(b-a"加絕對值,下同)

(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

(3)f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

⑷設(shè)TWO,有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)滿足M[M(x)]=x,且M(x)

Wx則函數(shù)的周期為2

43.奇偶函數(shù)概念的推廣

⑴對于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a,使得f(a-x)=f(a+x),則稱f(x)

為廣義(I)型偶函數(shù)，且當有兩個相異實數(shù)a,b滿足時，f(x)

為周期函數(shù)T=2(b-a)

⑵若f(a-x)=-f(a+x),則f(x)是廣義(I)型奇函數(shù)，當有兩個相

異實數(shù)a,b滿足時,f(x)為周期函數(shù)T=2(b-a)

⑶有兩個實數(shù)a,b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時，就稱f(x)

是廣義(H)型的奇，偶函數(shù).且若f(x)是廣義(II)型偶函數(shù)，那

么當f在［a+b/2,8)上為增函數(shù)時，有f(xl)<f(x2)等價于絕對

值xl-(a+bp=""<=""2)<絕對值x2-(a+b)="">

44.函數(shù)對稱性

⑴若f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c則函數(shù)關(guān)于(a+b/2,c/2)成中心對

稱

⑵若f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2成軸對稱

柯西函數(shù)方程：若f(x)連續(xù)或單調(diào)

⑴若f(xy)=f(x)+f(W(x>0,y>0),則f(x)=logax

(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),則f(x)=x2u(u由初值給出)

⑶f(x+y)=f(x)f(y)則f(x)=a2x

⑷若則⑸若

f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,f(x)=ax2+bxf(x+y)+f(x-y)=2f(x)/

則f(x)=ax+b特別的若f(x)+f(y)=f(x+y),則f(x)=kx

45.與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何最基本

的圖形就是三角形

①正切定理(我自己取的，因為不知道名字)：在非Rt△中，

有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

②任意三角形射影定理(又稱第一余弦定理)：

在4ABC中,

a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA

③任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2S/a+b+c（S為面積），外接圓半徑

應(yīng)該都知道了吧

④梅涅勞斯定理：設(shè)C1分別是4ABC三邊BC,CA,

AB所在直線的上的點，則Al,Bl,C1共線的充要條件是

CB1/B1A?BA1/A1C?AC1/C1B=1

44.易錯點

⑴函數(shù)的各類性質(zhì)綜合運用不靈活，比如奇偶性與單調(diào)性常

用來配合解決抽象函數(shù)不等式問題；

⑵三角函數(shù)恒等變換不清楚，誘導(dǎo)公式不迅捷。

45.易錯點

⑶忽略三角函數(shù)中的有界性，三角形中角度的限定，比如一

個三角形中，不可能同時出現(xiàn)兩個角的正切值為負

⑷三角的平移變換不清晰，說明：由y=sinx變成y=sinwx的

步驟是將橫坐標變成原來的1/IW|倍

46.易錯點

⑸數(shù)列求和中，常常使用的錯位相減總是粗心算錯

規(guī)避方法：在寫第二步時，提出公差，括號內(nèi)等比數(shù)列求和，

最后除掉系數(shù)；

⑹數(shù)列中常用變形公式不清楚，如：an=l/[n(n+2)]的求和保

留四項

47.易錯點

⑺數(shù)列未考慮al是否符合根據(jù)sn-sn-1求得的通項公式；

⑻數(shù)列并不是簡單的全體實數(shù)函數(shù)，即注意求導(dǎo)研究數(shù)列的

最值問題過程中是否取到問題

48.易錯點

⑼向量的運算不完全等價于代數(shù)運算;

(10)在求向量的模運算過程中平方之后，忘記開方。

比如這種選擇題中常常出現(xiàn)2,V2的答案…，基本就是選

V2,選2的就是因為沒有開方；

(11)復(fù)數(shù)的幾何意義不清晰

49.關(guān)于輔助角公式

asint+bcost=[V(a2+b2)]sin(t+m洪中tanm=b/a[條件：a>0]

說明：一些的同學(xué)習慣去考慮sinm或者cosm來確定m,個

人覺得這樣太容易出錯

最好的方法是根據(jù)tanm確定m.(見上)。

舉例說明：sinx+V3cosx=2sin(x+m),

因為tanm=J3,所以m=60度，所以原式=2sin(x+60度)

50.A、B為橢圓x2/a2+y2/b2=l上任意兩點。若OA垂直O(jiān)B,

貝I」有1/IOAI2+1/|OB|2=l/a2+l/b2

2高中數(shù)學(xué)常用公式記憶口訣

《集合與函數(shù)》

內(nèi)容子交并補集，還有幕指對函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察

圖象最明顯。

復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細證明它，還須

將那定義抓。

指數(shù)與對數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù)，1兩

邊增減變故。

函數(shù)定義域好求。分母不能等于0,偶次方根須非負，零和

負數(shù)無對數(shù)；

正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平;其余函數(shù)實數(shù)集，多種情

況求交集。

兩個互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同;圖象互為軸對稱，y=x是

對稱軸；

求解非常有規(guī)律，反解換元定義域;反函數(shù)的定義域，原來函

數(shù)的值域。

幕函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分數(shù);函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇

子奇函數(shù)，

奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù);圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增

減看正負。

《三角函數(shù)》

三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號坐標注。函數(shù)圖象單位圓，周期

奇偶增減現(xiàn)。

同角關(guān)系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上

到下弦切割；

中心記上數(shù)字1,連結(jié)頂點三角形;向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)

系是對角，

頂點任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好，負化

正后大化小,

變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)

化余偶不變，

將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為

單角好求值，

余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余

角度變名稱。

計算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難

向著簡易變。

逆反原則作指導(dǎo)，升哥降次和差積。條件等式的證明，方程

思想指路明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形

運用加巧用；

1加余弦想余弦，1減余弦想正弦，嘉升一次角減半，升幕

降次它為范；

三角函數(shù)反函數(shù)，實質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判

角取值范圍；

利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為

最簡求解集；

《不等式》

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對指無理不等式，化為

有理不等式。

高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助

解答作用大。

證不等式的方法，實數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商

和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面

難則反證法。

還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖

建模構(gòu)造法。

《數(shù)列》

等差等比兩數(shù)列，通項公式n項和。兩個有限求極限，四則

運算順序換。

數(shù)列問題多變幻，方程化歸整體算。數(shù)列求和比較難，錯位

相消巧轉(zhuǎn)換，

取長補短高斯法，裂項求和公式算。歸納思想非常好，編個

程序好思考：

一算二看三聯(lián)想，猜測證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法，證明

步驟程序化：

首先驗證再假定，從k向著k加1,推論過程須詳盡，歸納

原理來肯定。

五、《復(fù)數(shù)》

虛數(shù)單位i一出，數(shù)集擴大到復(fù)數(shù)。一個復(fù)數(shù)一對數(shù)，橫縱

坐標實虛部。

對應(yīng)復(fù)平面上點，原點與它連成箭。箭桿與X軸正