高二理科數(shù)學圓錐曲線單元測試及答案

高二年單元考試試卷（圓錐曲線）

一、選擇題（60分）

22

1.已知雙曲線C：二-二=1（。>0）的一個焦點為（5,0）,則雙曲線。的

cT16

漸近線方程為（）

A.4x±3y=12B.4x±A/41y=0

C.16x±9y=0D.4x±3y=0

2.平面直角坐標系中，已知。為坐標原點，點A、B的坐標分別

為（1,1）、（-3,3）.若動點P滿足9=4礪+〃礪，其中4、且

九+〃=1,則點P的軌跡方程為

A.x-y-0B.x+y=0

C.x+2y-3=0D.（x+l）2+（y-2）2=5

3.拋物線y2=2px（p>0）上橫坐標為6的點到焦點的距離是10,則

焦點到準線的距離是（）

A.4B,8C.16D.32

4.橢圓加？+>2=］的離心率是當，則它的長軸長是（）

A.1B.1或2C.2D.2或4

5.設(shè)經(jīng)過點M（2,l）的等軸雙曲線的焦點為耳,居，此雙曲線上一點

N滿足麗」麗，則鳥的面積為（）

A.V2B.V3C.2D.3

6.拋物線有如下光學性質(zhì)：由焦點的光線經(jīng)拋物線反射后平行于

拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物

線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線>2=4x的焦點為尸，一條

平行于X軸的光線從點M（3,l）射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，

再經(jīng)拋物線上的另一點3射出，則直線的斜率為（）

A.--B.-C.+-D.

3339

7.已知點耳,工是橢圓Y+2y2=2的左、右焦點，點P是該橢圓上

的一個動點，那么|麗+用|的最小值是（）

A.2B.272C,0D.1

22

8.橢圓亍+%=1（a>b>0）上存在一點P滿足NAPF=W,F為

橢圓的左焦點，A為橢圓的右頂點，則橢圓的離心率的范圍是

（）

A.（0&B.（0用C,加口隹1）

9.把離心率6=塵土1■的曲線=力>0）稱之為黃金雙

2ab

曲線.若以原點為圓心，以虛半軸長為半徑畫圓。，則圓。與黃金

雙曲線C（）

A.無交點B.有1個交點C.有2個交點D.有4個交

點

10.已知mnxo,則方程是m2x+n2y=1與mx+n2y=0在同一坐標系內(nèi)的

圖形可能是（）

ABC

D

11.設(shè)直線y=Z（x+l）與拋物線y2=4x相交于M、N兩點，拋物線

試卷第2頁，總6頁

的焦點為F,若|前|=2兩，則A的值為()

A.±偵B.±逑C.土逑D.±邁

3322

12.已知橢圓和雙曲線有共同焦點1尸2尸是它們的一個交點，且

n]

=-aa

3,記橢圓和雙曲線的離心率分別為％足2,則e1e2的最大值是

()

2m4,

A.3B.3C.2D.3

二、填空題(20分)

13.已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸

于點N.若M為FN的中點，則|FN=.

14.拋物線X2=2py(p>0)的焦點為F,其準線與雙曲線X2-y2=1相交于A,B

兩點，若AABF為等邊三角形，則P=

2222

xy日xv

—+—=l(a>b>0)-------=]

15.已知橢圓C：ab離心率為2,雙曲線22的漸近線

與橢圓有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形面積為16,則

橢圓C的方程為________________

22

16.設(shè)橢圓。：三+七=l(a>b>0)的左右焦點為片,不，過居作x軸的

垂線與C相交于A,B兩點，月8與y軸相交于。，若49，月8,則橢

圓。的離心率等于.

三、解答題

22

17(10分).設(shè)命題〃：方程」----匚=1表示雙曲線；命題q：

2+Z3上+1

斜率為左的直線/過定點P(-2,l),且與拋物線y2=4x有兩個不同的

公共點.若。入4是真命題，求攵的取值范圍.

18（12分）.（1）已知橢圓的離心率為4,短軸一個端點到右焦點

的距離為4,求橢圓的標準方程。

（2）已知雙曲線過點（4,6）,且漸近線方程為＞=±gx,求該雙曲線

的標準方程。

22

19（12分）.已知雙曲線C與=1的離心率為百，點（g,

a~0一

0）是雙曲線的一個頂點。

⑴求雙曲線的方程；

⑵經(jīng)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線/,直線/與雙曲線

交于不同的A,B兩點，求AB的長。

試卷第4頁，總6頁

20(12分).過拋物線C:d=20；(p>O)的焦點廠作直線/與拋物線。

交于A8兩點，當點A的縱坐標為1時，|AF|=2.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若直線/的斜率為2,問拋物線。上是否存在一點M,使得

MA±MB,并說明理由.

21(12分).已知橢圓。過點兩個焦點為(-1,0),(1,0).

(1)求橢圓。的方程；

(2)是橢圓。上的兩個動點，①如果直線AE的斜率與A尸的

斜率之和為2,證明：直線EF恒過定點.

a

22(12分).已知橢圓C的離心率為半，點A,B,尸分別為橢

圓的右頂點、上頂點和右焦點，且5^4"=】—

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知直線/：y=Ax+〃z被圓。：f+,2=4所截得的弦長為

2g,若直線/與橢圓。交于M,N兩點，求AMON面積的最大值.

試卷第6頁，總6頁

參考答案

1.D

【解析】由題得c=5,則儲=/—16=9,即a=3,所以雙曲線的漸近線方

程為y=±±x,即4x±3y=0,故選D

2.C

【解析】設(shè)P（x,y），則x=4—3〃,y=丸+3〃=/1=叱吆■—二

26

因止匕蟲+^^=1=*+2），一3=0,選C.

26

3.B

【解析】.一橫坐標為6的點到焦點的距離是10,???該點到準線的距離

為10,

p

X=一一

拋物線的準線方程為2,

P

6+-=10=>p=8

2

故選B.

4.D

【解析】把橢圓如2+V=1方程轉(zhuǎn)化為：

分兩種情況：①時橢圓的離心率正

m2

則：個_=3解得：m二，進一步得長軸長為4

144

m

②Li時

m

答案第1頁，總13頁

橢圓的離心率內(nèi),則：長軸長為2

故選：D

點睛：在橢圓和雙曲線中，焦點位置不確定時，勿忘分類討論.

5.D

【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為尤272=4，因為過點M(2,l),所以

X=2?—1=3.1iNf；|-|N瑞卜2道,憶入1=2屈

22

從而|叫|+|NF21+2|N制|'鳥|=12=|1巴|2-21^11^1=12

=>24—2加用"周=12n|N"|NF2=6nS=；NF、|9|=3,選D.

6.A

【解析】令v=l,代入V=4x,,即A(L1),由拋物線的光學性

44

質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過焦點F(1,O),所以直線A3的斜率為2=

1-13

4

故選A

【答案】A

【解析】橢圓f+2y2=2,即為:+丁=1,貝"橢圓的。=四,6=1,則由

OP為斗鳥的中線，即有而=g(西+%),則|所+所|=2|叫，可設(shè)

尸(％>),則］+y2=i,即有叫="2+與=++1―/「^］,當

%=0時，取得最小值1,則|兩+盟］的最小值為2,故選A.

8.C

【解析】設(shè)P(x,y),則由ZAPF=|得

(x+c,y)?(x-a,y)=0n(%+c)(x-Q)+y2=0,因為

答案第2頁，總13頁

=+二=1,所以x=a或x--~7^—e（-a,a\n2e2+e-l>0

a'b'c~

?;0<e<1g<e<1,選C.

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立

一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉。得到a,c的

關(guān)系式，而建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線

的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.

9.D

【解析】由題意知縣Lf,所以⑶、⑶:i=d業(yè)1-1=或上!,

2aya）\a）42

因為2=行+1〉],所以2>i,所以〃>a,所以圓0與黃金雙曲線C

\a）2a

的左右兩支各有2個交點，即圓0與黃金雙曲線C由4個交點，故選

D.

10.A

2_m

2丫—X22

【解析】方程mx+ny=0即n,表示拋物線，方程mx+ny=l（mnw0）表

示橢圓或雙曲線，當m和n同號時，拋物線開口向左，方程

mx2+ny2=i（mnx0）表示橢圓，無符合條件的選項，當m和n異號時，拋物

2m

y=-x22

線n開口向右，方程mx+ny=1表示雙曲線，故選A.

11.B

【解析】設(shè)NH，%），因為|叫=2|兩，所以由拋物線定義

得XI-1=2工2，3=2%>>1y>i=4X],y；=4X2/.X,=4X2,

答案第3頁，總13頁

如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為'I,雙曲線的半實軸長為,2,則根據(jù)橢圓

及雙曲線的定義：

|PF1|+|PF2|=2aJPF1|-|PF2|=2a2

APF=a+aPF=aa

|lli2l2li-2

n

下同=2(:,公產(chǎn)2=-

設(shè)之

則，在小「^2中根據(jù)余弦定理可得到

222"

4c=(a1+a2)+(ai-a2)-2(31+-a2)cos-

2o2.2

???化簡得:aj3a2=4C

13

—+—=4

22

該式可變成：6162

132

.+.4>^12j3

s

2e2eeo

e】212exe23

故選A

點睛：本題綜合性較強，難度較大，運用基本知識點結(jié)合本題橢圓和

雙曲線的定義給出a2與Pl、PF?的數(shù)量關(guān)系，然后再利用余弦定理求

出與c的數(shù)量關(guān)系，最后利用基本不等式求得范圍。

答案第4頁，總13頁

13?【解析】如圖所示，不妨設(shè)點”位于第一象限，設(shè)拋物線的準線

與X軸交于點F',作MB_LI與點B,NA_LI與點A,由拋物線的解析式可得準

AN+FF'

BM=-----------=3

線方程為x=-2,則AN=2,FF，=4,在直角梯形ANFF，中，中位線2,

由拋物線的定義有：MF=MB=3,結(jié)合題意，有MN=MF=3,故

FN|=|FM|+|NM|=3+3=6

點睛:拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物

線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉(zhuǎn)

化.如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那

么用拋物線定義就能解決問題.因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦

問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，這樣

就可以使問題簡單化.

14.2,

,p、P

F(o,一)y=-一

【解析】由拋物線可知焦點2,準線2,由于^ABF為等邊三角形，

v'p2+4P1-4+4

B(--------,—)「p=J3(-----------),p=2J3

設(shè)AB與y軸交于M,FM=P,22,FM=j3MB,即2，填

2辰

【點睛】

對于圓錐曲線要先定位，再定量，本題的拋物線焦點是在y軸正半徑。

答案第5頁，總13頁

所以求出拋物線的焦點坐標與準線方程，再把準線方程與雙曲線組方

程組算出B點坐，再由等邊三角形，可解的P,

22

xy

—十——=1

15.205

22

xy

——--=1

【解析】由題意，雙曲線22的漸近線方程為y=±x

...以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,故邊長為4,???(2，2)

x?y244

C:—+—=l(a>b>0)

在橢圓a2b2上，a2b2

Jia2-b23

e=—,----=-

2222

2a24a=4b/.a=20,b=5

22

xy_

---+———1

..橢圓方程為：2。5

22

xy_

---+———1

故答案為：205

16.—

3

【解析】

試題分析：連接AF,,「OD〃AB,。為FE的中點，「.D為BF,的中點,

又/.|Af^|=|AB|./.|AFj=2|A^|.i^|AF2|=n,|AFj=2n,

e_c_舊用_舊n_V3

|F閭=Gn,e--

a|AF,|+|AF2|

答案第6頁，總13頁

【方法點晴】本題考查的是橢圓的幾何性質(zhì)（離心率問題），屬于中

檔題.本題的切入點就在原點。上，利用平行關(guān)系，推出D點也是中點，

從而思路豁然開朗.解析幾何的中心思想就是數(shù)形結(jié)合，善于抓圖像

的性質(zhì)，是解好解析幾何題的關(guān)鍵所在，特別是小題.離心率問題是

重點題型，主要思路就是想方設(shè)法去建立a、c的等或者不等的關(guān)系即

可.

（Y，O）UQ2）

17.32

【解析】試題分析：（1）命題p中式子要表示雙曲線，只需

（2+乃邰+1）＞0,對于命題q：直線與拋線有兩上不同的公共點，即設(shè)

,左

＜

直線丫=京+2左+1與拋物線方程組方程組，只需也=16-16可2止+1）＞0,

解出兩個不等式（組）中k的范圍，再求出交集。

上＞

試題解析：命題百真，則（2+塊3無+1）＞0,解得無＜-2或3,

命題，為真，由題意，設(shè)直線，的方程為了7=氏。+2）,即了=奴+2無+1,

y=H+1

聯(lián)立方程組［j=4x,整理得城-"+4（2北+1）=0,

答案第7頁，總13頁

要使得直線與拋物線有兩個公共點，需滿足也=16-16H2北+1)>0,

k<-2或上>——

-1<k且出H0

若「八1是真命題，則

所以上的取值范圍為32

—+—=1

18.(1)169

【解析】試題分析：(1)由已知，先確定a，。的值，進而求出b?,可

得橢圓的標準方程

(2)由已知可得雙曲線焦點在x軸上且c=6,將點A(6,-5)代入雙曲線方

程，可求出a=16,b=20,即得雙曲線的標準方程

試題解析：

(1)由橢圓的離心率為4,短軸一個端點到右焦點的距離為4,得

22

x_+y__1

a=4,c=J7,b=3,即169

(2)試題分析：由雙曲線漸近線方程可知雙曲線方程可設(shè)為

^1x2-y2=A,代入點(4,向)得；l=l,所以雙曲線方程為2?-丁=1

考點：雙曲線方程及性質(zhì)

19.(1)工-匯=1(2)

答案第8頁，總13頁

【解析】試題分析：(1)由橢圓過點(G,0)得a,再由離心率求c,

最后根據(jù)勾股數(shù)求b;(2)先根據(jù)點斜式寫出直線/方程，再與雙曲線

聯(lián)立方程組，消y得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達定理，利用弦

長公式求40的長

22

試題解析：(1)因為雙曲線c：[-5=1的離心率為G，點(G，

ab~

22

0)是雙曲線的一^個頂點，所以a==3,力=C,即——=1(2)經(jīng)

36

過雙曲線右焦點石作傾斜角為30°的直線/：y=#(x-3)與雙曲線

聯(lián)立方程組消y得5%2+6%-27=0,「.%=5,%2=-3,由弦長公式解得

|4回=，71上一到=今叵

點睛：有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法

涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求法計算弦

長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；

涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.涉及中點弦

問題往往利用點差法

20.(1)C:x2=4y;(2)存在點用(-6,9),“(6,9).

【解析】【試題分析】(1)運用拋物線的定義建立方程5+1=2求出

p=2；(2)借助題設(shè)條件建立方程(％+.)(與+/)+16=0,再

運用根與系數(shù)的關(guān)系得至U方程焉+4京。+12=(),通過對判別式的研究發(fā)

現(xiàn)有解，即所設(shè)的點存在：

解：(1)由拋物線的定義可得~|+1=2=>〃=2,故拋物線方程為V=4y；

答案第9頁，總13頁

(2)假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點M(x0,%),則設(shè)直線A比丁=依+1代入

3=4y可得％2-4心-4=0,設(shè)4(%,乂),3(孫%)，則為+/=4左，七％=-4。因

為MA=^-x0,yi-y0'),MB=(x2-x(),y2-y0'),則由AM_LA/B可得：

(%-%0)(工2-%)+(兇-％)(%-%)=。，即

(%1-%0)(%2-%0)1+5(%+%)(々+/)=0,也即(％+/)(毛+/)+16=0,所

以x；+45+12=0,由于判另4式八=16爐—48=16(4—3)>0,此時

x0=-2,x0=-6,則存在點”(-2,1),加(-6,9),即存在點M(%%)滿足題

設(shè)。

v-22

21.(1)y+^-=l；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

⑴由題意得到a,b的值即可確定橢圓方程；

(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理分類討論即

可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

22

(1)由題意可得：a2=4,b2=3,則橢圓。的方程為三+匯=1

43

(2)設(shè)"%,%)*(9,%)，直線EF方程為y=Ax+。,

x2y2.

{TT-，得：(3+4-產(chǎn)+8助X+4〃-12=0

y=kx+b

4b2-12

由韋達定理：…「心,

中2=3+4公

答案第io頁，總13頁

3333

%一萬

kxi+b--kx2+b--

由題意可知——2.+——^=2,即------2.+-----------2.=2

%1―1%2-]%]一]/一]

:卜+人一|丘2+匕-5卜-1）=2（々-1乂王-1）

艮口（2左一2）X[X,+[b—左+]）（X]+x,）+1—2b=0

4/—128kb）

（2k-2）+（一+/+1—2。=0

3+4/3+4pJ

（2Z—2）（4/72-12）+1b—々+g）（—8Z:b）+（l—2b）（3+4左2）=0

—8b2-24k+27-4kb-6b+4k2=0

8b2+24k-27+4kb+6b-4k2=0

8左2+（4左+6）Z?—（4左2—24左+27）=0

8左24（4左+6）上一（2次-9）（2左一3）=0

[4Z?—（2女一9）][2b+（2k—3）]=0

b=—~—^b=-k+—

242

當〃=4_2時，直線EF方程y=Ax+K_2=Z（x+L]-2恒過定點（一J,-2

242412J4124

當〃=一女+』時，直線EF方程丁="一女+3=女（工一1）+3恒過定點［1,32］與

222V2j2

A點重合，

不合題意舍去，

綜上所述，直線E77恒過定點.

點睛：⑴解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消

去M或D建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)

答案第11頁，總13頁

條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

⑵涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0

或不存在等特殊情形.

2/y

22.(1)—+/=1(2)當f=3,即人=±在時，面積取到最大

42

值1.

【解析】試題分析：利用離心率可以得出a,c的關(guān)系，化為的關(guān)系，

再利用AABE的面積列出a,b,c的方程，借助4=〃十^解出“力，寫出橢

圓方程，聯(lián)立方程組，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用設(shè)而