函數(shù)值域求法(例題)

函數(shù)值域求法（例題)

在函數(shù)得三要素中，定義域與值域起決定作用,而值域就是由定義域與對(duì)應(yīng)法則共同確定。研究函數(shù)得值域,不但要重視對(duì)應(yīng)法則得作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻弥萍s作用。確定函數(shù)得值域就是研究函數(shù)不可缺少得重要一環(huán)。對(duì)于如何求函數(shù)得值域,就是學(xué)生感到頭痛得問(wèn)題，它所涉及到得知識(shí)面廣，方法靈活多樣,在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定得地位,若方法運(yùn)用適當(dāng),就能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，避繁就簡(jiǎn),事半功倍得作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。

1、直接觀察法

對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單得函數(shù),其值域可通過(guò)觀察得到.

例1、求函數(shù)得值域。

解:∵

∴

顯然函數(shù)得值域就是:

例2、求函數(shù)得值域。

解：∵

故函數(shù)得值域就是:

2、配方法

配方法就是求二次函數(shù)值域最基本得方法之一。

例3、求函數(shù)得值域。

解：將函數(shù)配方得：

∵

由二次函數(shù)得性質(zhì)可知：當(dāng)ｘ=1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

故函數(shù)得值域就是：［4，８］

３、判別式法

例４、求函數(shù)得值域。

解:原函數(shù)化為關(guān)于x得一元二次方程

（1）當(dāng)時(shí),

解得：

(2）當(dāng)y=１時(shí),,而

故函數(shù)得值域?yàn)?/p>

例5、求函數(shù)得值域。

解：兩邊平方整理得：（1）

∵

∴

解得:

但此時(shí)得函數(shù)得定義域由，得

由,僅保證關(guān)于x得方程：在實(shí)數(shù)集Ｒ有實(shí)根,而不能確保其實(shí)根在區(qū)間[0,２］上，即不能確保方程(1）有實(shí)根，由求出得范圍可能比y得實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)得值域?yàn)椤?/p>

可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)得值域。

∵

代入方程(１）

解得:

即當(dāng)時(shí),

原函數(shù)得值域?yàn)?

注：由判別式法來(lái)判斷函數(shù)得值域時(shí),若原函數(shù)得定義域不就是實(shí)數(shù)集時(shí),應(yīng)綜合函數(shù)得定義域，將擴(kuò)大得部分剔除。

4、反函數(shù)法

直接求函數(shù)得值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其原函數(shù)得定義域來(lái)確定原函數(shù)得值域。

例6、求函數(shù)值域。

解：由原函數(shù)式可得:

則其反函數(shù)為:,其定義域?yàn)?

故所求函數(shù)得值域?yàn)?

５、函數(shù)有界性法

直接求函數(shù)得值域困難時(shí),可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)得有界性，反客為主來(lái)確定函數(shù)得值域。

例7、求函數(shù)得值域.

解：由原函數(shù)式可得:

∵

∴

解得：

故所求函數(shù)得值域?yàn)?/p>

例8、求函數(shù)得值域.

解：由原函數(shù)式可得：，可化為：

即

∵

∴

即

解得：

故函數(shù)得值域?yàn)?/p>

6、函數(shù)單調(diào)性法

例9、求函數(shù)得值域。

解:令

則在[２,10］上都就是增函數(shù)

所以在［２,10］上就是增函數(shù)

當(dāng)x=2時(shí),

當(dāng)x=１0時(shí)，

故所求函數(shù)得值域?yàn)椋?/p>

例1０、求函數(shù)得值域。

解:原函數(shù)可化為:

令,顯然在上為無(wú)上界得增函數(shù)

所以,在上也為無(wú)上界得增函數(shù)

所以當(dāng)x=1時(shí),有最小值，原函數(shù)有最大值

顯然，故原函數(shù)得值域?yàn)?/p>

７、換元法

通過(guò)簡(jiǎn)單得換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù),其題型特征就是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法就是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一,在求函數(shù)得值域中同樣發(fā)揮作用。

例1１、求函數(shù)得值域。

解:令,

則

∵

又，由二次函數(shù)得性質(zhì)可知

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí)，

故函數(shù)得值域?yàn)?/p>

例１2、求函數(shù)得值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

故所求函數(shù)得值域?yàn)?/p>

例13、求函數(shù)得值域。

解：原函數(shù)可變形為:

可令,則有

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí),

而此時(shí)有意義。

故所求函數(shù)得值域?yàn)?/p>

例14、求函數(shù),得值域。

解:

令，則

由

且

可得：

∴當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，

故所求函數(shù)得值域?yàn)椤?/p>

例1５、求函數(shù)得值域。

解：由，可得

故可令

∵

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí),

故所求函數(shù)得值域?yàn)椋?/p>

8、數(shù)形結(jié)合法

其題型就是函數(shù)解析式具有明顯得某種幾何意義,如兩點(diǎn)得距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然,賞心悅目.

例16、求函數(shù)得值域。

解:原函數(shù)可化簡(jiǎn)得:

上式可以瞧成數(shù)軸上點(diǎn)P(ｘ)到定點(diǎn)A（2），間得距離之與.

由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段ＡB上時(shí),

當(dāng)點(diǎn)Ｐ在線段ＡＢ得延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，

故所求函數(shù)得值域?yàn)椋?/p>

例1７、求函數(shù)得值域。

解：原函數(shù)可變形為:

上式可瞧成ｘ軸上得點(diǎn)到兩定點(diǎn)得距離之與,

由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與ｘ軸得交點(diǎn)時(shí)，,

故所求函數(shù)得值域?yàn)?/p>

例18、求函數(shù)得值域。

解：將函數(shù)變形為：

上式可瞧成定點(diǎn)A（３,2)到點(diǎn)P(ｘ，0)得距離與定點(diǎn)到點(diǎn)得距離之差.

即：

由圖可知:（１）當(dāng)點(diǎn)P在ｘ軸上且不就是直線AB與x軸得交點(diǎn)時(shí),如點(diǎn),則構(gòu)成,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有

即：

（２）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AＢ與x軸得交點(diǎn)時(shí),有

綜上所述，可知函數(shù)得值域?yàn)椋?/p>

注：由例17，18可知，求兩距離之與時(shí)，要將函數(shù)式變形，使Ａ、B兩點(diǎn)在x軸得兩側(cè),而求兩距離之差時(shí)，則要使A,Ｂ兩點(diǎn)在ｘ軸得同側(cè)。

如:例17得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為:（3，2),，在x軸得同側(cè)；例１8得A,Ｂ兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3,2），，在x軸得同側(cè)。

9、不等式法

利用基本不等式,求函數(shù)得最值,其題型特征解析式就是與式時(shí)要求積為定值，解析式就是積時(shí)要求與為定值,不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)與兩邊平方等技巧。

例19、求函數(shù)得值域。

解：原函數(shù)變形為:

當(dāng)且僅當(dāng)

即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

故原函數(shù)得值域?yàn)椋?/p>

例2０、求函數(shù)得值域。

解：

當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立。

由可得：

故原函數(shù)得值域?yàn)?

10、一一映射法

原理：因?yàn)樵诙x域上ｘ與y就是一一對(duì)應(yīng)得。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。

例２1、求函數(shù)得值域。

解：∵定義域?yàn)?/p>

由得

故或

解得

故函數(shù)得值域?yàn)?/p>

11、多種方法綜合運(yùn)用

例２２、求函數(shù)得值域。

解：令,則

（１)當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)t=１，即時(shí)取等號(hào)，所以

（2）當(dāng)ｔ=0時(shí)，y＝０。

綜上所述,函數(shù)得值域?yàn)?

注:先換元,后用不等式法

例２3、求函數(shù)得值域.

解：

令,則

∴當(dāng)時(shí),