函數(shù)的概念及其表示教學(xué)設(shè)計

函數(shù)的概念及其表示〃教學(xué)設(shè)計【教學(xué)分析】

一、［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合

語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念；

2.體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；

3.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素及同一個函數(shù)。

二、【評價目標(biāo)】

1.通過對函數(shù)概念的理解，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；使學(xué)生懂得

一切事物都是在不斷變化、相互聯(lián)系和相互制約的辯證唯物

主義觀點(diǎn)

2.通過求簡單函數(shù)的定義域，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3.學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：理解應(yīng)用函數(shù)概念。

三、【教學(xué)重難點(diǎn)】

（一）教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)概念，明確對應(yīng)法則、定義域和值域。

（二）教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用函數(shù)的概念判斷函數(shù)關(guān)系。

四、【教法學(xué)法】

強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念及其表示所蘊(yùn)含的歸納思想,集合與對應(yīng)觀點(diǎn)

下的函數(shù)思想,把發(fā)展數(shù)學(xué)抽象,直觀想象素養(yǎng)作為重要教

學(xué)目標(biāo),以具有內(nèi)在邏輯的問題串去分解教學(xué)目標(biāo)，并以此

生成教學(xué)過程.在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行了教學(xué)反思,并從

數(shù)學(xué)內(nèi)容的層次劃分,教學(xué)目標(biāo)的制訂以及教學(xué)實(shí)施過程等

方面進(jìn)行了點(diǎn)評,指出了數(shù)學(xué)內(nèi)容的層次劃分與教學(xué)目標(biāo)的

制訂之間的關(guān)系,并結(jié)合教學(xué)過程闡明了數(shù)學(xué)概念〃以學(xué)生

熟悉的生活情境,數(shù)學(xué)情境為載體,引導(dǎo)學(xué)生用集合的語言

對已學(xué)內(nèi)容進(jìn)行再抽象,并以〃問題串〃的形式指導(dǎo)學(xué)生閱讀

教材,在閱讀教材的過程中理解集合語言.〃問題串〃的設(shè)計

是整節(jié)課的教學(xué)主線,力求使所提出的問題對學(xué)生理解集合

概念,領(lǐng)悟集合的基本思想,掌握用集合的語言刻畫有關(guān)事

物等發(fā)揮作用.在教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上,對教學(xué)設(shè)計與過程進(jìn)行

了反思,并從人教A版新教材與原來教材在〃集合〃內(nèi)容上的

變化出發(fā),結(jié)合課堂教學(xué)的流程,對教學(xué)的過程性,數(shù)學(xué)抽象

的過程和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的〃初高中銜接〃等

幾個方面進(jìn)行了點(diǎn)評。

為了實(shí)現(xiàn)以上的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，體現(xiàn)以

教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)思想.采用的教學(xué)方法如下：

在教學(xué)中以問題為核心構(gòu)建課堂教學(xué)，采用問題探究教學(xué)法、

啟發(fā)教學(xué)法和多媒體輔助教學(xué)等方法；在教學(xué)中重視學(xué)生的

主體參與，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考、合作交流、積極

探究等多種學(xué)習(xí)方式來達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

五、【課時安排】.

這是2019版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修一（人教B版）第二

章第1單元第1節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容占2課時.

六、【教學(xué)準(zhǔn)備】課本，筆記本，雙色筆.

七【教學(xué)過程設(shè)計】

3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)

《3.1.1函數(shù)及其表示方法》第一課時課前預(yù)習(xí)案

請同學(xué)們認(rèn)真預(yù)習(xí)，思考一下問題：

1.初中所學(xué)的函數(shù)的概念是什么？請你描述自變量X與因變量y之間的依賴關(guān)

系？

2.試一試，完成下表:

解析式圖像自變量范圍因變量范圍

一次函數(shù)

反比例函數(shù)

二次函數(shù)

3.某物體從高度為44.1m的空中自由下落，物體下落的距離s（m）與所用時間t（s）

的平方成正比，這個規(guī)律用數(shù)學(xué)式子可以描述為其中g(shù)取9.8m/s2.

問題1時間大和物體下落的距離s滿足什么條件？

問題2時間MOWtW3）確定后，下落的距離s確定嗎？

問題3下落后的某一時刻能同時對應(yīng)兩個距離嗎？

4.請你閱讀學(xué)習(xí)課本P84-P90后思考以下問題:

例：新中國成立后共進(jìn)行了六次人口普查

好奇心與年齡的變化

各次普查得到的人口數(shù)據(jù)如下表：

14)*年份19531小198219902000

；

3Q?-總?cè)丝跀?shù)（億）5.96.91111.312.713.4

2111()fl12131415x

函數(shù)的概念（圖一）函數(shù)的表示（圖二）

問題1：圖一中青少年的好奇心與其年齡，圖二中每次人口普查的年份與其對應(yīng)

的總?cè)丝跀?shù)是否存在一一對應(yīng)的關(guān)系呢？如何刻畫這些變量間的對應(yīng)關(guān)系呢？

問題2:以上四個舉例中的對應(yīng)關(guān)系都是函數(shù)關(guān)系，由此推知函數(shù)關(guān)系是兩個數(shù)

集之間的關(guān)系，這兩個數(shù)集的元素是怎樣對應(yīng)的？

4.［數(shù)學(xué)文化］——了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用

1.早期函數(shù)概念一一幾何觀念下的函數(shù)

十七世紀(jì)伽利略(G.Galileo,意，1564?1642)在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎

全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)

系.

1673年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨首次使用“function"(函數(shù))表示“幕”.

萊布尼茨

2.十八世紀(jì)函數(shù)概念一一代數(shù)觀念下的函數(shù)

1718年約翰?貝努利(BernoulliJohann,瑞，1667?1748)在萊布尼茲函數(shù)概

念的基礎(chǔ)上對函數(shù)概念進(jìn)行了定義；1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉將函數(shù)定義為“如

果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們將前面的變量稱為后面變量的

歐拉

函數(shù).”

3.十九世紀(jì)函數(shù)概念一一對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)

1837年德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確

定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù).”

1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合."中的任意元素x,總有集合N中的確定

的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合物上定義一個函數(shù)，記為y=f(x).元素x稱為

自變元，元素y稱為因變元.狄利克雷

19世紀(jì)70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念又進(jìn)而用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募?/p>

和對應(yīng)語言表述，言簡意賅地講述了數(shù)學(xué)中一個最重要的概念一一函數(shù).

數(shù)學(xué)是人類社會進(jìn)步的產(chǎn)物，與人類文明與人類文化密切聯(lián)系!

一個人不識字可以生活，但是若不識數(shù)，就很難生活!

函數(shù)的概念課第一課時課內(nèi)探究案

學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)目標(biāo)

1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函

1.通過對函數(shù)概念的理解，提升數(shù)學(xué)抽象

數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫

素養(yǎng);使學(xué)生懂得一切事物都是在不斷變

函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念；

化、相互聯(lián)系和相互制約的辯證唯物主義

2.體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)

觀點(diǎn)

概念中的作用；

2.通過求簡單函數(shù)的定義域，提升數(shù)學(xué)運(yùn)

3.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素及同一個函數(shù)

算素養(yǎng).

的概念，能求簡單函數(shù)的定義域和值域.

3.學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：理解應(yīng)用函數(shù)概念

一、函數(shù)的概念學(xué)好數(shù)學(xué)概念，理解非常重要

⑴定義：一般地，給定兩個非空實(shí)數(shù)集A與個以及對應(yīng)關(guān)系了,如果對于集合

A中的每一個實(shí)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與x對應(yīng)，則稱/為定

義在集合A上的一個函數(shù)，記作y=?x),xdA,其中x稱為自變量，y稱為因變

量，自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集

合｛>￡用XGA｝稱為函數(shù)的值域.

函數(shù)的這種定義強(qiáng)調(diào)的是“對應(yīng)關(guān)系”，對應(yīng)關(guān)系也可用其他小寫英文字母如g,

h等表示.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

問題1：“集合A中的每一個實(shí)數(shù)x,在集合8中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與x對

應(yīng)''，如何理解“唯一確定”？

問題2：圖中給出的四個對應(yīng)關(guān)系，其中構(gòu)成函數(shù)的是()

①②③④

A.①②B.①④C.①②④D.③④

問題3：在函數(shù)的定義中，集合8與函數(shù)的值域的關(guān)系是什么？

問題4：如何理解函數(shù)符號>=〃)”？

問題5：次x）=3x+2與g⑺=3f+2是不是同一個函數(shù)？

當(dāng)堂自測：

1.函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合.（）

2.根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任何一個x可以對應(yīng)著值域中不同的y.（）

3..在函數(shù)y=7（x）中，對于不同的x,y也不同.（）

4..在函數(shù)的定義中，集合8是函數(shù)的值域.（）

題型一函數(shù)關(guān)系的判斷

驗(yàn)證對應(yīng)關(guān)系下，集合M中x的任意性，集合N中）'的存在性、唯一性

【例1】（1）設(shè)M={x|0WxW2},N={y|O0W2},給出下列四個圖形，其中能

表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

（2）已知集合4={鄧）忘*W8},集合B={x|0WxW4},則下列對應(yīng)關(guān)系中，不能看

作是從A到3的函數(shù)關(guān)系的是（）

A/：尤B/：x—y=；xC.f：D/：x-~y=x

【訓(xùn)練1】（1）若函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)镸={x|-2WxW2},值域?yàn)镹={y|OW

>W2},則函數(shù)y=/（x）的圖像可能是（)

（2）已知集合”={-1,1,2,4},N={1,2,4）,給出下列四個對應(yīng)關(guān)系：

①y=f,②y=x+l,③y=x—l,④y=|x|,其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)是（）

二函數(shù)的概念學(xué)好數(shù)學(xué)概念，理解非常重要

（3）同一個函數(shù)：如果兩個函數(shù)表達(dá)式表示的函數(shù)定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同（即

對自變量的每一個值，兩個函數(shù)表達(dá)式得到的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個函數(shù)

表達(dá)式表示就是同一個函數(shù).

問題1.在函數(shù)的概念中，如果函數(shù)y=/a)的定義域與對應(yīng)關(guān)系確定，那么函數(shù)的

值域確定嗎？

問題2.如果函數(shù)y=Ax)的定義域、值域確定，那么對應(yīng)關(guān)系確定嗎？

(4)函數(shù)定義域約定及求定義域的依據(jù)

①在表示函數(shù)時，如果不會產(chǎn)生歧義，函數(shù)的定義域通常省略不寫,此時就約定：

函數(shù)的定義域就是使得這個函數(shù)有意義的所有實(shí)數(shù)組成的集合.

②求函數(shù)定義域常用的依據(jù)：a.分式中分母不能為委；

b.二次根式中的被開方數(shù)要大于或等于零.

課堂互動題型剖析

題型二求函數(shù)的定義域?qū)ふ蚁拗茥l件，再列不等式(組)求定義域

【例2】求下列函數(shù)的定義域：

2

⑴產(chǎn)(X-1)+、//干2；⑵廠(xx++11)+后I---?

【訓(xùn)練2】(1)函數(shù)次x)=［2_］的定義域?yàn)?)

c］拈Wx<1或x>1j-D.1x|—1WxW/或x>“

(2)設(shè)全集為R,函數(shù)人*)=產(chǎn)^的定義域?yàn)镸,則CRM為()

A.{x\x>2}B.{x|x<2}

C.{小<2}D.{小22}

題型三同一個函數(shù)的判定化簡解析式時，必須注意等價變形

【例3】(1)下列各組函數(shù):

①Ax)=-—gX(x)=x-l；②Ax)=ylVX，g(x)=，Xp

③*x)=、(x+3)2,g(x)=x+3；(4)y(JC)=Jc+1,g(x)=x+x°；

⑤汽車勻速運(yùn)動時，路程與時間的函數(shù)關(guān)系/W=80f(0WfW5)與一次函數(shù)g(x)=

80x(0WxW5).其中表示同一個函數(shù)的是(填序號).

【訓(xùn)練3】下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是()

A.y=1,y=~B.y=1x—2?出+2,y=-\7x2—4

C.y=|x|,y=(g)2D.y=x,y=y[^

題型四求函數(shù)值或函數(shù)的值域

方向1求函數(shù)的值求值時，明確函數(shù)解析式，代入求值

【例4—1】已知/(x)=]R,且xW—1),g(x)=f+2(xCR).

(1)求/2)，g(2)的值；(2)求/[g(3)]的值.

方向2判定對象與值域的關(guān)系

【例4-2]已知函數(shù),大外=4耳的值域?yàn)镾,試判斷一地，仍是否是S中

的元素.

當(dāng)堂檢測

1.若A={x|0W無W2},B={y|lWyW2},下列圖形中能表示以A為定義域，B為

值域的函數(shù)的是()

2.下表表示函數(shù)y=/U)的x與)，的所有對應(yīng)值，則此函數(shù)的定義域?yàn)?)

X-101

於)235

A.{-1,0,1}B.{2,3,5}

C.{x|—1?1}D.{x|2?5}

3.已知函數(shù)yu)=*則d=.

4.已知四組函數(shù)：

@fix)=x,g(x)=(G)2；②穴x)=|x|,g(x)="？；③*〃)=2"—1,g(〃)=2〃+l(〃

GN)；刨X)=%2—2X—1,g⑺=尸一21一1.

其中是同一個函數(shù)的是(填序號).

5.求出函數(shù)g(x)=/—2的值域A,判斷一5和7是否是A中的

第一課時函數(shù)的概念課后鞏固案

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一'選擇題

1.設(shè)兀^二%2是定義在A上值域?yàn)?的函數(shù)，如果集合8={1},那么集合A不可

能是（）

A.{1}B.{—1}C.{-1,1}D.{-1,0}

2.下列各組函數(shù)為同一個函數(shù)的是（）

A<x）=x,g（x）=V?B，Xx）=l,g（x）=（x—I）。

~（亞）2x/19

C；/（x）=*，g（x）=（也）2口.》）=r+3'S（x）=x—3

3.四個函數(shù)：①y=x+l；②y=f；③y=%2—1；④?=:中定義域相同的函數(shù)有

（）

A.①②③B.①②

C.②③D.②③④

4.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“李

生函數(shù)”.函數(shù)解析式為y=2x2—1,值域?yàn)閧1,7}的“攣生函數(shù)”共有（）

A.10個B.9個C.8個D.4個

二、填空題

2x

5.若/x）=f+2,則火D=-

6.已知函數(shù)/x）=、x—3,若/（a）=3,則實(shí)數(shù)a=.

三'解答題

x~\~1

7.已知函數(shù)加）=壬.⑴求旭）；⑵求加U）］.

能力提升

8.已知函數(shù)/%）=4不+占.（1）求函數(shù)的定義域；（2）求八-4）,（|）的值.

9.已知函數(shù)/U）對任意實(shí)數(shù)X，y都有/（孫）=Ax）+Ay）成立.

⑴求火0）和川）的直（2）若y（2）=a,次3）=仇a,“勻?yàn)槌?shù)），求式36）的值.

函數(shù)的概念及其表示學(xué)情分析

在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對

應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在

刻畫函數(shù)概念中的作用。

理解感悟函數(shù)概念是一個難點(diǎn)，所以〃集合的概念〃以學(xué)生熟悉的生

活情境，數(shù)學(xué)情境為載體，引導(dǎo)學(xué)生用集合的語言對已學(xué)內(nèi)容進(jìn)行再

抽象，并以〃問題串〃的形式指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,在閱讀教材的過程中

理解集合語言.〃問題串〃的設(shè)計是整節(jié)課的教學(xué)主線，力求使所提出

的問題對學(xué)生理解集合概念，領(lǐng)悟集合的基本思想，掌握用集合的語

言刻畫有關(guān)事物等發(fā)揮作用。

在教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上，對教學(xué)設(shè)計與過程進(jìn)行了反思，并從人教A版

新教材與原來教材在〃集合〃內(nèi)容上的變化出發(fā)，結(jié)合課堂教學(xué)的流程,

對教學(xué)的過程性,數(shù)學(xué)抽象的過程和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的

〃初高中銜接〃等幾個方面進(jìn)行了點(diǎn)評。

課后反思

1、收集和閱讀函數(shù)的形成和發(fā)展資料，論述函數(shù)發(fā)展的過程，主要

人物、重要結(jié)果及其對人類文明的貢獻(xiàn)，能激起學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和濃

厚興趣。

2、基于對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)概念，感悟函數(shù)概念進(jìn)一步抽象，逐步使用

符號語言所以是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn),從學(xué)生熟知的簡單函數(shù)和函

數(shù)圖像入手多角度、多層次、多實(shí)例、多問題、多討論剖析函數(shù)概念

對學(xué)生理解函數(shù)有很大幫助。

3、理解函數(shù)需要后期及時的鞏固，需要繼續(xù)研究函數(shù)的圖像函數(shù)的

性質(zhì)等再繼續(xù)理解函數(shù)的概念，所以應(yīng)該要求學(xué)生記住函數(shù)的概念。

函數(shù)概念教材分析

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的

最基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用。貫穿高

中數(shù)學(xué)課程的主線。

內(nèi)容要求:函數(shù)概念與性質(zhì)，塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，

函數(shù)應(yīng)用。

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解

為刻畫變量之間的依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具,也把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)

集合之間的對應(yīng)關(guān)系；能用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖像揭示函數(shù)的主要性質(zhì);

在現(xiàn)實(shí)問題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問題。

本節(jié)課強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念及其表示所蘊(yùn)含的歸納思想，集合與對應(yīng)觀點(diǎn)下

的函數(shù)思想，把發(fā)展數(shù)學(xué)抽象,直觀想象素養(yǎng)作為重要教學(xué)目標(biāo)，以具

有內(nèi)在邏輯的問題串去分解教學(xué)目標(biāo)，并以此生成教學(xué)過程.從數(shù)學(xué)內(nèi)

容的層次劃分，教學(xué)目標(biāo)的制訂以及教學(xué)實(shí)施過程等方面進(jìn)行了點(diǎn)評,

指出了數(shù)學(xué)內(nèi)容的層次劃分與教學(xué)目標(biāo)的制訂之間的關(guān)系，并結(jié)合教

學(xué)過程闡明了數(shù)學(xué)概念教學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

的內(nèi)在聯(lián)系。

當(dāng)堂檢測

1.若A={x|0WxW2},B={y}l^y^2},下列圖形中能表示以A為定義域，B為

值域的函數(shù)的是()

2.下表表示函數(shù)y=/U)的x與)，的所有對應(yīng)值，則此函數(shù)的定義域?yàn)?)

X-101

於)235

A.{-1,0,1}B.{2,3,5}

C.{x|—1?1}D.{x|2?5}

3.已知函數(shù)yu)=*則d=.

4.已知四組函數(shù)：

@fix)=x,g(x)=(G)2；②穴x)=|x|,g(x)="？；③*〃)=2"—1,g(〃)=2〃+l(〃

GN)；刨X)=%2—2X—1,g⑺=尸一21一1.

其中是同一個函數(shù)的是(填序號).

5.求出函數(shù)g(x)=/—2的值域A,判斷一5和7是否是A中的

第一課時函數(shù)的概念

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一'選擇題

1.設(shè)兀^二%2是定義在A上值域?yàn)?的函數(shù)，如果集合8={1},那么集合A不可

能是（）

A.{1}B.{—1}C.{-1,1}D.{-1,0}

2.下列各組函數(shù)為同一個函數(shù)的是（）

A<x）=x,g（x）=V?B，Xx）=l,g（x）=（x—I）。

~（亞）2