信號與線性系統

1．問題的提出

付氏變換法存在缺點：

局限性：

要收斂，滿足絕對可積條件，否則

（1）的付氏變換不存在，例如

（2）存在，但不能用定義式求得，

可能出現沖激函數，帶來分析和運算困難（3）只能求解系統的零狀態(tài)響應（4）反變換必須計算廣義積分，有時計算比較困難第五章：連續(xù)時間系統的復頻域分析5.2拉普拉斯變換laplacetransform如果不收斂，可以考慮用收斂因子——將原信號乘以e?σt——強行使其收斂，再進行FT討論：

1）付氏變換與拉氏變換的形式相似，基本差別：

付氏變換時域與變換域變量皆為實數（）

2）拉氏變換時域變量為實數，變換域變量為復數

假設FT存在的前提下，從公式的形式上看,將FT中的純虛數jω推廣為復數s，就可以導出LT；反之，令LT中的復變量s的實部為零，就可以得到FT。可以這樣認為：FT是LT的一個特例，LT是FT的推廣。2）物理意義

傅氏：將分解成許多形式為的指數項之和，每一對正、負組成一個余弦振蕩，振幅為

拉氏：將分解成許多形式為的指數項之和，每一對正、負組成一個變幅的余弦振蕩,振幅為

——復頻率——復頻譜復頻率可以表示在復平面上，且復平面上的點與指數函數相對應3）傅立葉變換是雙邊拉普拉斯變換中的一種特殊情況，因此，求兩者反變換的積分路徑不同。

theunilateralLaplacetransform5.3拉普拉斯變換的收斂區(qū)ROC(regionofconvergence)oftheLaplacetransform0收斂軸收0收斂軸05.4常用函數的拉普拉斯變換由求：

而

或的收斂域包括軸在內。

三種情況(有始信號)：

①

（收斂邊界在S平面的左半邊）

是衰減函數，可以對換②

（收斂邊界落在軸上）

是階躍函數不可以簡單對換（不出現沖激的部分可對換）

③

（收斂邊界在S平面的右半邊）

是增長函數，不可以對換

下次課內容提問1.信號傅里葉變換存在的條件是什么？2.拉斯變換如何對傅里葉變換進行了擴展？3.拉斯反變換的物理意義是什么？4.拉斯變換和傅里葉變換的關系是什么？5.什么是雙邊拉斯變換，什么是單邊變換？6.什么是拉斯變換的收斂區(qū)？7.有始信號（右邊信號），有終信號（左邊信號），雙邊信號

的拉斯變換收斂區(qū)是怎樣的？8.有始信號（右邊信號）收斂區(qū)滿足什么條件，該信號存在傅里葉變換？由，常為s的有理函數

一般形式：

（為實數，m、n為正整數）

如

R(s)的拉氏變換為沖激函數及其各階導數——理想情況

一般情況下：

求拉氏反變換有三種方法：

查表、部分分式展開法和圍線積分法（留數法）

(一）部分分式展開法

（）5.5拉普拉斯反變換要點：將分解，逐個求反變換，再疊加基本形式：

1．的根無重根[的極點為單階]極零點

極點：

使＝∞的s根值，如為的極點

零點：

使的s根值，

如，

為的零點

求求、

求系數的兩種方法

[方法一]（2）式兩邊乘以（）：

令

則

[方法二]用微分求（形式）

——羅必塔法則

（

)5.5拉普拉斯反變換inverselaplacetransform2、復數極點

若

D(s)有一對共軛復根,其根為

s1,2=j

F(s)可展開成由于F(s)是S的實系數有理函數，應有原函數的形式之一原函數的形式之二原函數的形式之三3．當＝0有重根的情況[有多重極點]設＝0共有n個根，其中一個根s1為p重根，其余為單根（異根），

即令異根項

其系數的求法如上所述

重根項的求取

（1）求：

式（2）乘以，再令得（2）求（系數）

引入

將式（4）對s取導一次：

將式（5）對s取導一次，再令得

一般情況：

總結：

二.圍線積分法（留數法）拉氏反變換：

1、留數定理

設G(s)在閉合區(qū)域D上，除了有限個極點外，處處解析，則上式左邊的積分是在s平面內沿一不通過被積函數極點的封閉曲線C進行的，右邊則是在此圍線C中被積函數各極點上留數之和。

2.在求拉氏反變換的積分路線上補足一條積分路線構成一個封閉曲線*沿此額外路線函數的積分值為零

為應用留數定理，在求拉氏反變換的積分線（）上應補足一條積分線以構成一個封閉曲線。

當然要求必須有

或或上式在滿足以下兩個條件（約當引理）時成立

①

時，

一致地趨近于零；

②

因子的指數st的實部應小于，

即

一般條件①都能滿足（除外），

當

或條件②滿足

即積分沿左半圓弧進行；積分沿右半圓弧進行。因此＝圍線中被積函數所有極點的留數之和

或4、留數的計算

[的極點即為的極點]

規(guī)則Ⅰ：

若為一階極點，則（Ⅰ）

規(guī)則Ⅱ：

若為p階極點，

則（Ⅱ）

5.6拉普拉斯變換的性質propertiesoflaplacetransform1、線性性質【方法一】

【方法二】

0Tt

E將鋸齒波分解為三個函數之和

=++E0Tt0Tt0Tt例2求單個半周正弦波解：

=+

EEE

0T/2t

0Tt0T/2T3T/2t

,例

求t=0時接入周期函數

0T2T

解：

定理：

設

則

4復頻率平移

設

則

推廣：證明：5、時域微分性質積分從－∞開始：由時域微分定理可知所以返回初值定理證明：所以終值定理證明根據初值定理證明時得到的公式返回常用拉斯變換對用拉氏變換法分析電路的步驟列s

域方程（可以從兩方面入手）列時域微分方程，用微積分性質求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數方程。求解s域方程得到時域解答5.7線性系統的拉普拉斯變換分析法復頻域阻抗3、舉例例2

CR2

-uC(0-)+

iL(0-)

+R12L

e(t)i1(t)i2(t)

-已知

e(t)=10ε(t)，R12=1/5Ω,R2=1Ω，L=1/2H,C=1F,iL(0-)=4A,uC(0-)=5V

求

i1(t)

解：1）作運算電路

+sL

E(s)I1(s)R12I2(s)

--

－

＋

R2

LiL(0-)

+

2)求I1(s)，用回路法解

代入數值求得：

3）求

可見，由于自動引入了初始條件，因此解題運算較簡單，但響應中沒有區(qū)分零狀態(tài)分量與零輸入分量。運算法中拉氏變換僅作為數學工具，解題過程中對信號與系統間的相互作用缺乏物理解釋。

二、用拉普拉斯變換法求解線性常系數微分方程設線性時不變系統的激勵為，響應為輸入輸出方程的一般形式：，描述n階系統的上式也可寫為（5.1）（5.2）及其各階導數均為零在時

（5.3）對式（5.1）取拉普拉斯變換解：由微分方程得舉例：所以5.8雙邊拉普拉斯變換在某些情況下，有時還要考慮雙邊時間函數，如周期信號、平穩(wěn)隨機過程等，或是不符合因果律的理想系統，這時就需要用雙邊拉普拉斯變換來分析。一、雙邊拉普拉斯變換1、雙邊拉普拉斯變換的定義

是一個雙邊函數，可將其分解為右邊函數和左邊函數之和，即將f(t)代入雙邊拉普拉斯變換的定義式，則有若、同時存在，且二者有公共收斂域，則的雙邊拉氏變換為右邊函數的拉氏變換和左邊函數拉氏變換之和。如與沒有公共收斂域，則的雙邊拉氏變換就不存在。2、如何求左邊函數的拉氏變換

令，則上式成為再令，則上式成為綜上所述求取左邊函數的拉氏變換可按下列三個步驟進行：（1）令，構成右邊函數；（2）對求單邊拉氏變換得；（3）對復變量取反，即，就求得。

例1.求雙邊指數函數，的雙邊拉普拉斯變換。解：首先求右邊函數的拉氏變換左邊函數的拉氏變換求取如下：（1）；（2）（3）因為，所以和有公共收斂域，故存在并為二.雙邊拉普拉斯反變換例2.求，的時間原函數。收斂域為解：（1）由極點分布和給定收斂域作下圖。可見，左側極點為，右側極點為。左側的極點對應于的右邊函數將展開成部分分式有

右側的極點對應于的左邊函數

對應于的是左邊函數，的求取如下①令，得；②對求單邊拉氏反變換，得③令，即最后得其解為三.雙邊信號作用下線性系統的響應例3.已知激勵信號，系統沖激響應為，求系統的響應。解：由雙邊拉氏變換有而可見，與有公共收斂域，故存在，則有由收斂域可知，為右側極點，對應的左邊時間函數為均為左側極點，對應的右邊時間函數為故系統的響應5.9線性系統的模擬①加法器:②乘法器:③初始條件為零的積分器初始條件不為零的積分器對一個n階系統，若其微分方程及系統函數為對應的系統函數表示為則其n階系統的復頻域模擬圖如圖所示。若系統的微分方程中含有輸入函數的導數項,如且，其系統函數…7、反饋系統整個反饋系統的系統函數為例二階連續(xù)反饋系統的仿真：開環(huán)傳遞函數在MATLAB中建立仿真模型如下：階躍響應的仿真結果：反饋系統的轉移函數：信號流圖：

是用有向的線圖來描述線性方程組變量間因果關系的一種圖。

本質：求解線性方程組的圖解法。

（一）信號流圖的表示法

1。由方程作流圖

例1

作圖規(guī)則：

（1）首先把方程式寫成因果關系式：果＝f（因）；

如選為果：

（2）方程式中的各個變量用“○”表示，稱作結點；

○

○

(3)變量之間的因果關系用線段來表示，稱作支路。

其特點：

?。┯邢颍?/p>

果（支路的方向表示信號流動的方向）ⅱ）支路旁邊標上因變量的系數（傳輸值）

a

ⅲ）每一個結點的變量等于流入它的變量與相應支路傳輸值的乘積的代數和。

如

1sY(s)1/sY(s)

X(s)

-a5.10、信號流圖分析法

例2求

的流圖

解：

1）

（1）選為果：

（2）選為果：

【注意】各方程的果變量不能相同

2）用結點表示變量（結點還兼有加法器的作用）

3）用支路表示因果關系并標注傳輸值

-a/b

-c/b

-d/f

-e/f

若由此可畫流圖：ab+1cdef+1一個方程組的流圖不是唯一的,但其解答是唯一的!例3求一階系統的流圖

解：

——時域模型

——復域模型

、、——復量

作流圖：結點3個——、、

1/s

1-a0

1若只有、兩個復量：

則流圖為：

H(s)

其中

流圖和框圖都用于描述系統方程，但流圖更簡潔，使用更方便。

2。由框圖作流圖

規(guī)則：

（1）用變量表示結點，

（2）方框用支路代替，且有向支路旁邊記上傳輸值

（3）加法器用“○”表示叫做和點

如由（1）式可得一階系統的框圖：

則由上述規(guī)則很容易得出其流圖3.

由電路圖作流圖

規(guī)則：

（1）選回路電流及節(jié)點電壓為信號變量，找出從輸入到輸出的流程

（2）列方程組

(3)作流圖

例

求無源網絡的流圖:

E(s)I1sLI2R2U(s)

R1U11/sC

＋－＋－

已知E(s)，求

U(s)

解：

1）信號流程：

E

I1

U1

I2

U2）列方程組

3)作流圖：5個結點

E

I1

U1

I2

U

1/R1

-1/R1

sL-sL

sC

-sC

R2

U

1對于有源網絡：只需將有源器件用包含有受控源的等效電路代替

支路傳輸值：支路因果變量間的轉移函數入支路：流向結點的支路出之路：流出結點的支路源結點：只有輸出，通常表示該信號為輸入激勵信號，如E匯結點：只有輸入，通常表示輸出響應信號，如―――→U和點：多輸入，單輸出分點：多輸出單輸入閉環(huán)（環(huán)）：順向閉合路徑，如I1→U1→I1自環(huán)：僅包含有一條支路的閉環(huán)（只與一個結點相接觸）開路徑：從某一結點連續(xù)經一些順向（有向線段的方向一致）路徑至另一結點前向路徑：從源結點至匯結點的開路徑（不包含有任何環(huán)路的信號流通路徑），(二）流圖的基本分析方法（通過流圖分析系統響應與激勵的關系）1。簡化求解

化簡的目的：

將流圖逐步簡化，最終在激勵與輸出間僅有一條支路，從而直接得出輸出與激勵的關系

簡化規(guī)則：

（1）支路串聯（順向的支路串聯可合并成一條支路，并消去中間結點）

H1H2H3

X1X2X3X4

X1X4

H1H2H3

（2）支路并聯（若干支路并聯可用一等效支路代替）

X1H2X2

H1H3

X1X2

H1+H2+H3

(3)結點的消除

X1X0

a1X2

a3a2

X3

X1

a1X2

a3a2

X3

a1X1X0

a1X2

a3a2X3

X1

a3X2

a3a2X3

a1規(guī)則：各條路徑的傳輸值等于流入X0和流出X0的傳輸值的乘積。

X1X3

X2X4

a1a3

a2a4

a2a3

a1a4X1X3

X2X4

a1a3

a2a4

X0

(4)自環(huán)的消除

X1X2

X0規(guī)則：消除自環(huán)后，該結點所有入支路的傳輸值應俱除以（1－t）因子，而出支路的傳輸值不變。

X1X3

X2

X0

t

a1a3

a2

X1X3

X2

X0

a1a2

t

X1X2

X0例1

反饋圖的簡化

X1

X2

X0

ab

c

消去X0

X1X2

ab

bc

消自環(huán)

X1X2

例2化簡流圖1ss11-1-s-sEI1U1I2UU解：(1)消去I1

s11

-s-sEU1I2UU(2)消自環(huán)

-ss11EU1I2UU

(3)消去U1s-s

11EI2UU-s(4)消自環(huán)

11EI2UU(5)消去I2E