江蘇省南通市通州區(qū)如皋市2023年高考適應(yīng)性考試（二） 數(shù)學(xué)含答案

江蘇省南通市通州區(qū)如皋市2023年高考適應(yīng)性考試(二)數(shù)學(xué)

2023年高考適應(yīng)性考試(二)

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一個是符合題目要求的.

1.已知集合4=Ml<log2X<2},集合8=1€2卜2一8%+124()},則408=()

A.[2,6]B.(2,4)C.{3}D.{2,3,45,6}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=iM3,其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為

3.為宣傳我國第三艘航空母艦“中國人民解放軍海軍福建艦”正式服役，增強學(xué)生的國防意識,

某校組織1000名學(xué)生參加了“逐夢深藍(lán)，山河榮耀”國防知識競賽，從中隨機抽取20名學(xué)

D.估計總體中成績落在［60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150

4.^a=(l+tan20°)(l+tan21°),6=(1+tan24°)(l+tan25°),則下列結(jié)論不正確的是()

A.a<bB.ab=4C.a+b>4D.a2+b2=9

5.已知圓C的方程為，+/=16,直線/為圓C的切線，記4-2,0)3(2,0)兩點到直線/

的距離分別為4,4,動點尸滿足|以|=4,I尸8|=4,則動點尸的軌跡方程為()

t+/=lc2

A.x2+y2=4B.D.y2=4x

1612

363-

6.已知a=4e*,6=5e；,c=2則()

A.c<a<bB?c<b<aC.a<c<bD?b<c<a

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7.已知圓臺兩個底面圓的半徑分別為1和2,圓臺的側(cè)面中存在兩條母線互相垂直，則圓臺

側(cè)面積的最大值為（）

A.4&兀B.3及兀C.2缶D.缶

8.若曲線/（x）=a、（a>l）與曲線g（x）=log°x（a>l）有且只有一個公共點，且在公共點處的切

線相同，則實數(shù)。的值為（）

1

A.eB.e2C.e°D.>/e

二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在每小題給出的選項中有多個

選項符合要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得。分.

9.已知平面向量Z=（2,1）,%=（。-3）,則（）

A.若f=6,則Z//B

B.若/>1,則［與3的夾角為銳角

C.若）為非零向量，則存在實數(shù)/,使得7工=兀"

一一3**7

D.若a在b上的投影向量為貝打=2或/=《

5z

10.如圖，透明塑料制成的長方體容器MCD-44GA內(nèi)灌進(jìn)一

些水，固定容器底面一邊8c于地面上，再將容器以5c為軸

順時針旋轉(zhuǎn)，則（）

A.有水的部分始終是棱柱

B.水面所在四邊形EFGH為矩形且面積不變

C.棱4功始終與水面平行

D.當(dāng)點“在棱C。上且點G在棱CG上（均不含端點）時，8m即是定值

11.函數(shù)V=2sin（2x+M）+2的圖象向右平移已個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)/（"）的圖象.若對于任意藥€0,；,都存在

*2?0』，使得/（再+8）+%=1,則。的可能值為（）

734

A?TtB?—71C?—7CD.-n

623

高三數(shù)學(xué)第2頁共6頁

口,如圖，已知圓錐P0的軸P0與母線所成的角為a,過4的平面與斷錐的物所成的角力

那＞心，該平面截這個圓錐所得的截面為橢圓，橢圓的長軸為44,短軸為及外，長鋪

長為a,短半軸長為b,橢圓的中心為N,再以用邑為弦且垂直于尸。的四截面，圮該郵

與直線Pd交于G，與直線尸4交于。2，則下列說法正確的是(

A.當(dāng)夕＜a時，平面截這個圓錐所得的截面也為橢圓

B.嶼.死2=、型0+叫他一。)

cos2a

C.平面截這個圓錐所得橢圓的離心率e=0

cosa

D.平面截這個圓錐所得橢圓的離心率3=陋

sin/?

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若的展開式中各項系數(shù)和為64,則該二項式展開式中所有有理項的系教之和為

22

14.已知點〃,N在雙曲線左-方=1上，且〃,N中點在直線工=-1上，直線的中垂線

與x軸交于點(-3,0),則雙曲線的離心率為_▲一?

15.若函數(shù)/(X)的定義域為(0,+?)),且＞'(x)+/3)=/3),/(4)=〃+/(：)，則

100

?(阿)=▲_?

/=!

16.在四棱錐P-ZBC。中，底面48C。為正方形，PA=AB=X,

M為空間中一動點，G為PC的中點，口，平面ZBCD-

若忘.詬＞0,-M的軌跡圍成封閉圖形的體積為▲；

若PC與平面尸切所成的角等于4MG,則平面尸3。與〃的

軌跡的交線長為

高三數(shù)學(xué)第3頁共6頁

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.(本小題滿分10分)

已知&4BC的內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為a),c,MBC的面積為少二支sinC.

4

(1)求證：sin4=3sinB;

(2)點。在邊8c上，若DC=D4=gBC,求ssN.

18.(本小題滿分12分)

已知s,為數(shù)列｛4｝的前〃項和，4=1,且虛;｝是公差為1的等差數(shù)列.正項等比數(shù)列

｛〃｝滿足仇=1,%=16.

(1)求數(shù)列｛1｝的通項；

(2)求數(shù)列｛?！竿撸那案巾椇涂?

19.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-"C。中，底面是等腰梯形，ABIICD,4450=120。,

AB=BC=2,PB=PC=A，〃為CD的中點,

PMA.CD,N為AP8C的重心.

(1)證明：PM_L平面Z5CD;

(2)求直線DN與平面PMB所成角的正弦值.

高三數(shù)學(xué)第4頁共6頁

20.（本小題滿分12分）

2023年3月110,丁俊暉在泰國巴吞他尼府舉行的2023斯諾克6紅球世錦賽決賽中以

8：6戰(zhàn)勝泰國球員塔猜亞?烏努，第二次奪得這項賽事冠軍.丁俊暉認(rèn)為“中式臺球更易在

職業(yè)和業(yè)余之間找到平衡，更容易讓臺球運動在全中國乃至全世界流行起來.”為了促進(jìn)

中國臺球運動的發(fā)展，某體育公司面向社會推出“臺球培訓(xùn)”活動，由以往培訓(xùn)經(jīng)驗測算這

項“臺球培訓(xùn)”成本為800元/人，為了確定其培訓(xùn)價格，調(diào)查了對這項“臺球培訓(xùn)”有意向

培訓(xùn)的人員預(yù)期價位，并將收集的100名有意向培訓(xùn)的人員預(yù)期價位整理如下：

有意向培訓(xùn)人員預(yù)期價位（元/人）900100011001200

人數(shù)10205020

假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這項“臺球培訓(xùn)”的培訓(xùn)價格小于或等于某位有意向培訓(xùn)人員的預(yù)期價位時，

該有意向培訓(xùn)的人員就會參加培訓(xùn).設(shè)這項“臺球培訓(xùn)I”價格為x（單位：元/人），

900<x<1200,且每位有意向培訓(xùn)的人員報名參加培訓(xùn)活動相互獨立.用樣本的頻率分

布估計總體的分布，頻率視為概率.

（1）若x=1000,已知某階段有4名有意向培訓(xùn)的人員詢價，X為這一時段該項“臺球培

訓(xùn)”的參加人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（x）；

（2）假設(shè)共有M名有意向培訓(xùn)的人員，設(shè)該公司組織“臺球培訓(xùn)I”活動所得總利潤為丫（單

位：元），當(dāng)這項培訓(xùn)活動的銷售價格X定為多少時，y的數(shù)學(xué)期望E（y）達(dá)到最大值？

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21.(本小題滿分12分)

已知動圓〃過點尸(1,0)且與直線x=-1相切，記動圓圓心〃的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程；

(2)若直線/：*="(加＜。)與％軸相交于點尸，點5為曲線C上異于頂點。的動點，直

線P8交曲線C于另一點。，直線BO和DO分別交直線/于點S和T.若O,F,S,T四

點共圓，求心的值.

22.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(%)=(辦—1)山(方_1)一6一%?

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若g(x)=/(x)-e'在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)°的

取值范圍.

高三數(shù)學(xué)第6頁共6頁

2023年高考適應(yīng)性訓(xùn)練（二）

一、單項選擇題

1.C2,A3.D4.D5.B6.B7.B8.C

二、多項選擇題

9.AD10.ACD11.BD12.BC

三、填空題

13.3214.V315.505016.叵；乒記瓜兀

166

四、解答題

17.解：（1）S=—?/?sinC=迎-sinC,貝!12ab=/-3/，

24

即/一2"-3狩=0,即（a+Z?）（a-3b）=0

故a=3b,由正弦定理得sinA=3sin3..........................................5'

（2）由。C=D4=,8C=L,由（1）可知4=38

33

貝！|r>C=D4=0=AC,可得AWC為等邊三角形，

貝!）NADC=60。，從而NADB=120。

/+爭）2一,2

在AA￡>B中，由余弦定理可得十

2b2a

3

又〃=3"所以。=例，故AABC為等腰三角形

〃+7方2-9必V7

所以cosA=..............................................10'

2xhxjlh~\A

18.解：（1）???4=1,醫(yī)｝是公差為1的等差數(shù)列,

:?厄=n‘即S"="2

當(dāng)"N2時，an=S?-Sn_}=2/z-l,

又。1=1，則=...................3'

是正項等比數(shù)列，設(shè)公比為“，貝h/>0

4

{/??}/.bai=Z>5=16=bxq,而4=1,故q=2,

,,_|

bn=2,即%=22"-2=4"T..........................................6

（2）va?J^7=（2n-l）.2,-1

A7],=lx2°+3x21+--+（2n-l）x2n-1

27；=lx2i+3x22+-+(2〃-l)x2"

-7；=lx2°+2x2i+…+2x2"T-(2〃-1)x2"

=1+2『(：,"-(2〃-1)x2"

=(3-2n)x2z,-3

7；,=(2/7-3)X2"+3........................12'

19.解：(1)記等腰梯形ABC。的高為8〃

在等腰梯形ABC。中，

AB//CD,ZABC=120°

：.NBCD=60°

,:BC=2,:.BH=6,HC=1

.?.8=4,為CO中點，

/.MC=2,：.AMBC為等邊三角形，貝!)MB=MC

在APMC和\PMB中，

[PM=PM

\PB=PC貝！JAPMC與APM8全等

\MB=MC

：.NPMB=NPMC

又PMLCD

PM1MB

而CDCMB=M,CD,MB=面ABCD

：.PM_L面ABCD........................6'

(2)在面A8CZ)內(nèi)，過M作MN_LC￡>,與AB交于點N,

以M為坐標(biāo)原點建系如圖,則。(0,-2,0),P(0,0,3),B(百,1,0),C(0,2,0),

從而，N(三,1,1),麗=(3-,3,1),

MB=(V3,I,0),而=(0,0,3)........................8'

設(shè)平面PMB的一個法向量為〃=(x,y,z)

n=(1-V3.0)10'

所以直線ON與平面PMB所成角的正弦值為粵

12'

20.解：(1)當(dāng)x=1000時，X~5(4,0.9)

X的分布列為:

X01234

p0.00010.00360.04860.29160.6561

..............................................3'

￡(X)=4xO.9=3.6

答：數(shù)學(xué)期望為3.6..............................................5，

(2)當(dāng)900Vx41000時,記參加的人數(shù)為X|,X|~B(M,0.9)

￡(X1)=0.9M,則E(y)=(x-80)E(X1)=M(0.9x-720)4180M

當(dāng)100<x<1100時，記參加的人數(shù)為X2，X2~B(M,0.7)

E(X2)=0.7M,則E(y)=(x-80)E(X2)=M(0.7x-560)4210M

當(dāng)1100<x<1200時，記參加的人數(shù)為X3,X3~fi(A7,0.2)

E(X3)=0.2M,則E(y)=(x-80)E(X3)=M(0.2x-160)<80M

.?.當(dāng)x=1100時，E(Y)達(dá)到最大值....................12，

21解：(1)設(shè)則J(x-1)2+)2=卜+1|，解得『=4x.................................................3,

(2)設(shè)直線BD的方程為x=/)，+nzQHO)代入,v2=4.v得

△=16(/+m)>0

2

y-4ty-4m=Q,設(shè)3(為,％)'D(x2,y2),貝!|.?+乃=4/

y\-yi=-^m

........................5'

4ni||4/"

又直線03的方程為丫="》，即y=—x,則為=一

同理：獷詈...........................7'

貝(JPTxPS=4s-yT\=四巳=-4m

MF

POxPF=|AW?(1—m)\=m{m—1)..............................................9'

???O,F,S,T四點共圓,

APTxPS=POxPF..........................................10'

BP=9又加v0,貝！)，〃=—3............................................12，

22解：(1)fr(x)=a\n(ax—l)—l

①當(dāng)”>o時，定義域為(：,+8),令八幻>0,則

②當(dāng)“<0時，定義域為1-8-］,令((x)>0,則"士

Iajaa

ci~~0ff(x)????????????????????3

(x(\\

綜上：當(dāng)心0時，增區(qū)間為-*+1,+oo;

3))

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pa?11

當(dāng)〃VO時，增區(qū)間為----.........................4f

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