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浙江省德清縣聯(lián)考2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1.如圖,△ABC的三邊的中線AD,BE,CF的公共點(diǎn)為G,且AG:GD=2:1,若S△ABC=12,則圖中陰影部分的面積是()A.3 B.4 C.5 D.62.點(diǎn)到軸的距離是()A. B. C. D.3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,則cosB的值為()A. B. C. D.4.如圖,所示的計(jì)算程序中,y與x之間的函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象所在的象限是()A.第一象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第一、四象限5.一元二次方程x2+px﹣2=0的一個(gè)根為2,則p的值為()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣26.完全相同的6個(gè)小矩形如圖所示放置,形成了一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為n、m的大矩形,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是()A.6(m﹣n) B.3(m+n) C.4n D.4m7.如圖所示,半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和C(0,2),B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上的一點(diǎn),則()A.2 B. C. D.8.如圖,在平行四邊形中,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且,交對(duì)角線于點(diǎn),則等于()A. B. C. D.9.如圖,數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測(cè)量教學(xué)樓前的一棵樹的樹高,下午課外活動(dòng)時(shí)她測(cè)得一根長(zhǎng)為1m的竹竿的影長(zhǎng)是0.8m,但當(dāng)她馬上測(cè)量樹高時(shí),發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上(如圖),他先測(cè)得留在墻壁上的影高為1.2m,又測(cè)得地面的影長(zhǎng)為2.6m,請(qǐng)你幫她算一下,樹高是()A.4.25m B.4.45m C.4.60m D.4.75m10.二次函數(shù)y=-2(x+1)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.-1 B.5 C.(1,5) D.(-1,5)二、填空題(每小題3分,共24分)11.計(jì)算:×=______.12.反比例函數(shù)與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,軸于點(diǎn),與兩個(gè)函數(shù)的圖象分別相交于兩點(diǎn),連接,則的面積為_________.13.如圖,的弦,半徑交于點(diǎn),是的中點(diǎn),且,則的長(zhǎng)為__________.14.若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則______.15.已知關(guān)于的方程的一個(gè)解為,則m=_______.16.反比例函數(shù)的圖象在第象限.17.如圖、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于(1,2),則在第一象限內(nèi)不等式的解集為_____________.18.如圖,矩形ABOC的頂點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸上,頂點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0),將線段OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段OD,若反比例函數(shù)(k≠0)的圖象進(jìn)過A、D兩點(diǎn),則k值為_____.三、解答題(共66分)19.(10分)解方程:x2﹣4x﹣12=1.20.(6分)如圖,中,,,平分,交軸于點(diǎn),點(diǎn)是軸上一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)、,與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為,的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn),(1)求證:為的切線;(2)求的半徑.21.(6分)如圖,在四邊形中,,.已知A(-2,0)、B(6,0)、D(0,3)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式;(2)將四邊形沿軸向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到四邊形,問點(diǎn)是否落在(1)中的反比例函數(shù)的圖象上?22.(8分)(1)解方程:.(2)已知:關(guān)于x的方程①求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;②若方程的一個(gè)根是,求另一個(gè)根及k值.23.(8分)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn),從點(diǎn)A開始沿AD向D運(yùn)動(dòng).以BE為邊,在BE的上方作正方形BEFG,EF交DC于點(diǎn)H,連接CG、BH.請(qǐng)?zhí)骄浚海?)線段AE與CG是否相等?請(qǐng)說明理由.(2)若設(shè)AE=x,DH=y,當(dāng)x取何值時(shí),y最大?最大值是多少?(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的何位置時(shí),△BEH∽△BAE?24.(8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線和拋物線W交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A是拋物線W的頂點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),拋物線W隨點(diǎn)A作平移運(yùn)動(dòng).在拋物線平移的過程中,線段AB的長(zhǎng)度保持不變.應(yīng)用上面的結(jié)論,解決下列問題:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線.點(diǎn)A是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.以A為頂點(diǎn)的拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B.(1)當(dāng)時(shí),求拋物線的解析式和AB的長(zhǎng);(2)當(dāng)點(diǎn)B到直線OA的距離達(dá)到最大時(shí),直接寫出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo);(3)過點(diǎn)A作垂直于軸的直線交直線于點(diǎn)C.以C為頂點(diǎn)的拋物線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D.①當(dāng)AC⊥BD時(shí),求的值;②若以A,B,C,D為頂點(diǎn)構(gòu)成的圖形是凸四邊形(各個(gè)內(nèi)角度數(shù)都小于180°)時(shí),直接寫出滿足條件的的取值范圍.25.(10分)先化簡(jiǎn),再求值:,其中.26.(10分)如圖,拋物線經(jīng)過,兩點(diǎn),且與軸交于點(diǎn),拋物線與直線交于,兩點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;(2)坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn),使得是以為底邊的等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.(3)點(diǎn)在軸上且位于點(diǎn)的左側(cè),若以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似,求點(diǎn)的坐標(biāo).
參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分,知△ABC的面積即為陰影部分的面積的3倍.【詳解】∵△ABC的三條中線AD、BE,CF交于點(diǎn)G,∴S△CGE=S△AGE=S△ACF,S△BGF=S△BGD=S△BCF,∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6,∴S△CGE=S△ACF=×6=2,S△BGF=S△BCF=×6=2,∴S陰影=S△CGE+S△BGF=1.故選:B.【點(diǎn)睛】此題主要考查根據(jù)三角形中線性質(zhì)求解面積,熟練掌握,即可解題.2、C【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)即可得.【詳解】由點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)得,點(diǎn)P到x軸的距離為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值則點(diǎn)到軸的距離是故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì),掌握理解點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3、B【詳解】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,由勾股定理,得:BC===1.cosB==,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義.4、C【分析】根據(jù)輸入程序,求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系是y=-,由其性質(zhì)判斷所在的象限.【詳解】解:x的倒數(shù)乘以-5為-,即y=-,則函數(shù)過第二、四象限,故選C.【點(diǎn)睛】對(duì)于反比例函數(shù)y=(k≠0),(1)k>0,反比例函數(shù)圖象在一、三象限;(2)k<0,反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi).5、C【解析】試題分析:∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一個(gè)根為2,∴22+2p﹣2=0,解得p=﹣1.故選C.考點(diǎn):一元二次方程的解6、D【詳解】解:設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為a,長(zhǎng)為b,則有b=n-3a,陰影部分的周長(zhǎng):2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m.故選D.7、C【分析】根據(jù)題意連接CD,根據(jù)勾股定理求出OD,根據(jù)正切的定義求出tan∠D,根據(jù)圓周角定理得到∠B=∠D,等量代換即可.【詳解】解:連接CD(圓周角定理CD過圓心A),在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,則OD=,tan∠D=,由圓周角定理得∠B=∠D,則tan∠B=,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義,掌握在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.8、A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)解答即可.【詳解】解:∵四邊形是平行四邊形,,∴AD∥BC,AD=BC=3ED,∴∠EDB=∠CBD,∠DEF=∠BCF,∴△DFE∽△BFC,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì),屬于??碱}型,熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9、B【分析】此題首先要知道在同一時(shí)刻任何物體的高與其影子的比值是相同的,所以竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同,利用這個(gè)結(jié)論可以求出樹高.【詳解】如圖,設(shè)BD是BC在地面的影子,樹高為x,
根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得而CB=1.2,
∴BD=0.96,
∴樹在地面的實(shí)際影子長(zhǎng)是0.96+2.6=3.56,
再竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得,
∴x=4.45,
∴樹高是4.45m.
故選B.【點(diǎn)睛】抓住竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同是關(guān)鍵.10、D【解析】直接利用頂點(diǎn)式的特點(diǎn)寫出頂點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閥=2(x+1)2-5是拋物線的頂點(diǎn)式,根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,5).故選:D.【點(diǎn)睛】主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法,熟練掌握頂點(diǎn)式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、1.【解析】×==1,故答案為1.12、【分析】設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C,那么.根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義,即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C.
∵AC⊥x軸,BC⊥x軸.
∵點(diǎn)A在雙曲線的圖象上,
∴,∵點(diǎn)B在雙曲線的圖象上,∴,∴.
故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義.反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系,即.13、2【分析】連接OA,先根據(jù)垂徑定理求出AO的長(zhǎng),再設(shè)ON=OA,則MN=ON-OM即可得到答案.【詳解】解:如圖所示,連接OA,∵半徑交于點(diǎn),是的中點(diǎn),∴AM=BM==4,∠AMO=90°,∴在Rt△AMO中OA==5.∵ON=OA,∴MN=ON-OM=5-3=2.故答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.14、1【解析】∵點(diǎn)P(m,﹣2)與點(diǎn)Q(3,n)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴m=﹣3,n=2,則(m+n)2018=(﹣3+2)2018=1,故答案為1.15、0【分析】把代入原方程得到關(guān)于的一元一次方程,解方程即可得到答案.【詳解】解:把代入原方程得:故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義,掌握方程的解的含義是解題的關(guān)鍵.16、二、四【解析】:∵k=-1<0,∴反比例函數(shù)y="-1/x"中,圖象在第二、四象限17、x>1【分析】在第一象限內(nèi)不等式k1x>的解集就是正比例函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方,即有y1>y2時(shí)x的取值范圍.【詳解】根據(jù)圖象可得:第一象限內(nèi)不等式k1x>
的解集為x>1.
故答案是:x>1.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,解題關(guān)鍵在于掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式.18、4【分析】過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H,四邊形ABOC是矩形,由性質(zhì)有AB=CO,∠COB=90°,將OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,OC=OD,∠COD=60°,可得∠DOH=30°,設(shè)DH=x,點(diǎn)D(x,x),點(diǎn)A(,2x),反比例函數(shù)(k≠0)的圖象經(jīng)過A、D兩點(diǎn),構(gòu)造方程求出即可.【詳解】解:如圖,過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H,∵四邊形ABOC是矩形,∴AB=CO,∠COB=90°,∵將線段OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段OD,∴OC=OD,∠COD=60°,∴∠DOH=30°,∴OD=2DH,OH=DH,設(shè)DH=x,∴點(diǎn)D(x,x),點(diǎn)A(,2x),∵反比例函數(shù)(k≠0)的圖象經(jīng)過A、D兩點(diǎn),∴x×x=×2x,∴x=2,∴點(diǎn)D(2,2),∴k=2×2=4,故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)解析式問題,關(guān)鍵利用矩形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)找到AB=CO=OD,∠DOH=30°,DH=x,會(huì)用x表示點(diǎn)D(x,x),點(diǎn)A(,2x),利用A、D在反比例函數(shù)(k≠0)的圖象上,構(gòu)造方程使問題得以解決.三、解答題(共66分)19、x1=6,x2=﹣2.【解析】試題分析:用因式分解法解方程即可.試題解析:或所以20、(1)證明見解析;(2)1.【分析】(1)連接CP,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAC=∠PCA,由角平分線的定義得到∠PAC=∠EAC,等量代換得到∠PCA=∠EAC,推出PC∥AE,于是得到結(jié)論;(2)連接PC,根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC=∠OAC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PCA=∠PAC,等量代換得到∠BAC=∠ACP,推出PC∥AB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】(1)證明:連接,∵,∴,∵平分,∴,∴,∴,∵,∴,即是的切線.(2)連接,∵平分,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∵,,∴,,∴,∴,∴,∴的半徑為1【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義,平行線的判定和性質(zhì),切線的判定,相似三角形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.21、(1);(1)點(diǎn)恰好落在雙曲線上【分析】(1)過C作CE⊥AB,由題意得到四邊形ABCD為等腰梯形,進(jìn)而得到三角形AOD與三角形BEC全等,得到CE=OD=3,OA=BE=1,可求出OE的長(zhǎng),確定出C坐標(biāo),代入反比例解析式求出k的值即可;(1)由平移規(guī)律確定出B′的坐標(biāo),代入反比例解析式檢驗(yàn)即可.【詳解】解:(1)過C作CE⊥AB.∵DC∥AB,AD=BC,∴四邊形ABCD為等腰梯形,∴∠A=∠B,DO=CE=3,CD=OE,∴△ADO≌△BCE,∴BE=OA=1.∵B(6,0)∴OB=6∴OE=OB﹣BE=6﹣1=4,∴C(4,3),把C(4,3)代入反比例函數(shù)解析式得:k=11,則反比例解析式為y;(1)由平移得:平移后B的坐標(biāo)為(6,1),把x=6代入反比例得:y=1,則平移后點(diǎn)落在該雙曲線上.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例解析式,反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,以及坐標(biāo)與圖形變化,熟練掌握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵.22、(1)x1=1,x1=1;(1)①見解析;②另一個(gè)根為1,【分析】(1)把方程x1﹣3x+1=0進(jìn)行因式分解,變?yōu)椋▁﹣1)(x﹣1)=0,再根據(jù)“兩式乘積為0,則至少一式的值為0”求出解;
(1)①由△=b1﹣4ac=k1+8>0,即可判定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
②首先將x=﹣1代入原方程,求得k的值,然后解此方程即可求得另一個(gè)根.【詳解】(1)解:x1﹣3x+1=0,(x﹣1)(x﹣1)=0,x1=1,x1=1;(1)①證明:∵a=1,b=k,c=﹣1,∴△=b1﹣4ac=k1﹣4×1×(﹣1)=k1+8>0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;②解:當(dāng)x=﹣1時(shí),(﹣1)1﹣k﹣1=0,解得:k=﹣1,則原方程為:x1﹣x﹣1=0,即(x﹣1)(x+1)=0,解得:x1=1,x1=﹣1,所以另一個(gè)根為1.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax1+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)且a≠0)的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系;根判別式△=b1?4ac:(1)當(dāng)△>0時(shí),一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(1)當(dāng)△=0時(shí),一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)當(dāng)△<0時(shí),一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根;若x1,x1為一元二次方程的兩根時(shí),x1+x1=,x1?x1=.23、(1)AE=CG,見解析;(2)當(dāng)x=1時(shí),y有最大值,為;(3)當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí),△BEH∽△BAE,見解析.【解析】(1)由正方形的性質(zhì)可得AB=BC,BE=BG,∠ABC=∠EBG=90°,由“SAS”可證△ABE≌△CBG,可得AE=CG;(2)由正方形的性質(zhì)可得∠A=∠D=∠FEB=90°,由余角的性質(zhì)可得∠ABE=∠DEH,可得△ABE∽△DEH,可得,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值;(3)當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí),可得AE=1,DH=,可得,且∠A=∠FEB=90°,即可證△BEH∽△BAE.【詳解】(1)AE=CG,理由如下:∵四邊形ABCD,四邊形BEFG是正方形,∴AB=BC,BE=BG,∠ABC=∠EBG=90°,∴∠ABE=∠CBG,且AB=BC,BE=BG,∴△ABE≌△CBG(SAS),∴AE=CG;(2)∵四邊形ABCD,四邊形BEFG是正方形,∴∠A=∠D=∠FEB=90°,∴∠AEB+∠ABE=90°,∠AEB+∠DEH=90°,∴∠ABE=∠DEH,又∵∠A=∠D,∴△ABE∽△DEH,∴,∴∴=,∴當(dāng)x=1時(shí),y有最大值為;(3)當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí),△BEH∽△BAE,理由如下:∵E是AD中點(diǎn),∴AE=1,∴又∵△ABE∽△DEH,∴,又∵,∴,且∠DAB=∠FEB=90°,∴△BEH∽△BAE.【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題,考查了相似三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.24、(1);(2);(3)①;②的取值范圍是或.【分析】(1)根據(jù)t=3時(shí),A的坐標(biāo)可以求得是(3,-2),利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式,則B的坐標(biāo)可以求得;
(2)△OAB的面積一定,當(dāng)OA最小時(shí),B到OA的距離即△OAB中OA邊上的高最大,此時(shí)OA⊥AB,據(jù)此即可求解;
(3)①方法一:設(shè)AC,BD交于點(diǎn)E,直線l1:y=x-2,與x軸、y軸交于點(diǎn)P和Q(如圖1).由點(diǎn)D在拋物線C2:y=[x-(2t-4)]2+(t-2)上,可得=[(t-1)-(2t-4)]2+(t-2),解方程即可得到t的值;
方法二:設(shè)直線l1:y=x-2與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作y軸的平行線,過點(diǎn)B作x軸的平行線,交于點(diǎn)N.(如圖2),根據(jù)BD⊥AC,可得t-1=2t-,解方程即可得到t的值;
②設(shè)直線l1與l2交于點(diǎn)M.隨著點(diǎn)A從左向右運(yùn)動(dòng),從點(diǎn)D與點(diǎn)M重合,到點(diǎn)B與點(diǎn)M重合的過程中,可得滿足條件的t的取值范圍.【詳解】解:(1)∵點(diǎn)A在直線l1:y=x-2上,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,-2),
∴拋物線C1的解析式為y=-x2-2,
∵點(diǎn)B在直線l1:y=x-2上,
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,x-2).
∵點(diǎn)B在拋物線C1:y=-x2-2上,
∴x-2=-x2-2,
解得x=3或x=-1.
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-3),
∴由勾股定理得AB=.
(2)當(dāng)OA⊥AB時(shí),點(diǎn)B到直線OA的距離達(dá)到最大,則OA的解析式是y=-x,則
,解得:,
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-1).(3)①方法一:設(shè),交于點(diǎn),直線,與軸、軸交于點(diǎn)和(如圖1).則點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,.∴.∵.∵軸,∴軸.∴.∵,,∴.∵點(diǎn)在直線上,且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵軸,∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.∵點(diǎn)在直線上,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∴拋物線的解析式為.∵,∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,∵點(diǎn)在直線上,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵點(diǎn)在拋物線上,∴.解得或.∵當(dāng)時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合,∴方法二:設(shè)直線l1:y=x-2與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作y軸的平行線,過點(diǎn)B作x軸的平行線,交于點(diǎn)N.(如圖2)
則∠ANB=93°,∠ABN=∠OPB.
在△ABN中,BN=ABcos∠ABN,AN=ABsin∠ABN.
∵在拋物線C1隨頂點(diǎn)A平移的過程中,
AB的長(zhǎng)度不變,∠ABN的大小不變,
∴BN和AN的長(zhǎng)度也不變,即點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差都保持不變.
同理,點(diǎn)C與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差也保持不變.
由(1)知當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,-2)時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-3),
∴當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t,t-2)時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t-1,t-3).
∵AC∥x軸,
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為t-2.
∵點(diǎn)C在直線l2:y=x上,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2t-4,t-2).
令t=2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3).
∴拋物線C2的解析式為y=x2.
∵點(diǎn)D在直線l2:y=x上,
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,).
∵點(diǎn)D在拋物線C2:y=x2上,
∴=x2.
解得x=或x=3.
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D不重合,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,).
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3
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