專題10 平面向量（精講）

第30頁（共30頁）專題10·平面向量命題規(guī)律高考中重點(diǎn)考查向量的基本概念及運(yùn)算、向量數(shù)量積運(yùn)算及其幾何表示，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過坐標(biāo)運(yùn)算可將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，進(jìn)行垂直、平行關(guān)系的判定及夾角的求解，側(cè)重于對(duì)學(xué)生運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合能力進(jìn)行考查。題型歸納題型1繞三角形【解題技巧】三角形法則→共線（拉長(zhǎng)或者縮短）→三角形法則→共線（拉長(zhǎng)或者縮短）...周期反復(fù)，一直到推導(dǎo)為基底.【例1】（2022?禪城區(qū)模擬）如圖所示，△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)，則BE→A．?56AB→+16AC→【分析】根據(jù)點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)即可得出答案．【解答】解：據(jù)題意得：BE→=AE→?AB→故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．【例2】（2023?長(zhǎng)安區(qū)一模）在平行四邊形ABCD中，AE→=13ADA．65AF→?95CE→ 【分析】設(shè)AB→=a→，AD→=b→，將BA→，AF→，CE→【解答】解：畫出圖形，如下圖：設(shè)AB→=a因?yàn)锳E→=1因?yàn)镃F→=1設(shè)BA→=mAF→+n解得m=65，n=9故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．題型2待定系數(shù)型【解題技巧】平面向量基本定理(平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系)：若、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使.1．選定基底，則λ12．處理技巧：可“繞三角形”，可待定系數(shù)，可建系．【例1】（2023?安康二模）如圖，在矩形ABCD中，M是CD的中點(diǎn)，若AC→=λAM→+μA．12 B．1 C．32【分析】由向量的平行四邊形法則以及三角形法則得出AC→=AM→+【解答】解：AC→∴λ＝1，μ=12，∴故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022春?泗陽縣期中）如圖，在△ABC中，AD→=λDC→，E是BD上一點(diǎn)，若A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由AD→=λDC→，得AC→=λ+1λAD【解答】解：因?yàn)锳D→=λDC因?yàn)锳E→=11因?yàn)镋，B，D三點(diǎn)共線，所以1116+λ+1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的基本定理，屬于中檔題．題型3均值不等式求最值【解題技巧】利用向量基底理論，求出“和定”或者“積定”，再用均值不等式技巧求出最值和范圍．【例1】（2022?河南模擬）在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，且滿足|BD|=14|BC|，點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足A．22 B．43 C．4+23【分析】先根據(jù)共線向量中三點(diǎn)共線的推論，可得x+4y＝1，再結(jié)合“乘1“法，即可求解．【解答】解：∵|BD|=14|BC|，由A，E，D三點(diǎn)共線可得，x+4y＝1，且x＞0，y＞0，∴1x+2當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的基本定理，以及不等式的“乘1”法，屬于中檔題．【例2】（2022春?昭陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，D是線段BC上的一點(diǎn)，且BC→=4BD→，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N．若AM→=λAB→，AN→【分析】先確定λ，μ的關(guān)系，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵BC→=4BD→，AM→=λAB∴AD→=AB→+∵M(jìn)，D，N三點(diǎn)共線，∴34λ+14μ=1，∴1μ=4?當(dāng)且僅當(dāng)λ=3時(shí)取等號(hào)，∴λ?1μ故答案為：23?【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的加法、減法運(yùn)算，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，基本不等式求最值，屬于中檔題．題型4等和線求最值【解題技巧】等和線原理：；．【例1】（2022?江西模擬）在△ABC中，點(diǎn)D在線段AC上，且滿足|AD|=13|AC|，點(diǎn)Q為線段BD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足A．4 B．43 C．8 D．【分析】由題意得AD→=13AC→，先設(shè)BP→=λ【解答】解：由題意得AD→=1則AP→=AB→+因?yàn)锳Q→=xAB→+yAC→，則x＝1﹣λ，y=13所以1x+1當(dāng)且僅當(dāng)3yx=xy且x+y＝1，即y=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的線性表示，平面向量基本定理，基本不等式求解最值，屬于中檔題．【例2】（2022秋?11月份月考）已知點(diǎn)G是△ABC的中線AF的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線交邊AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E．若AD→=λAB→(λ＞0)，AEA．12 B．1 C．2 【分析】由平面向量線性運(yùn)算和平面向量基本定理可求得14λ+1【解答】解：∵G是AF中點(diǎn)，∴AG→∵AD→=λAB→(λ＞0)又D，G，E三點(diǎn)共線，∴14λ∴λ+μ=(λ+μ)(14λ∴λ+μ的最小值為1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理，還考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．題型5三角換元求最值【解題技巧】利用向量幾何意義等知識(shí)轉(zhuǎn)化為圓的概念和方程，再用圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角代換，可達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目標(biāo)．【例1】（2023?成都模擬）在△ABC中，AC＝CB＝2，∠C=π2，P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則PA→【分析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB、CA所在直線為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得C（0，0），B（2，0），A（0，2），設(shè)P（x，y），利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出PA→【解答】解：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB、CA為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0，0），B（2，0），A（0，2），設(shè)P（x，y），可得x2+y2＝1，PA→=（﹣x，2﹣y），PB→=（2﹣則PA→?PB→=x2+y2﹣2x﹣2y＝1﹣2x﹣2y，令x＝cosθ，y＝sinθ可得PA→?PB→=1﹣2cosθ﹣2sinθ＝1﹣2∴PA→?PB→的取值范圍是[1﹣2故答案為：[1﹣22，1+22]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，訓(xùn)練了利用三角函數(shù)求最值，建系是關(guān)鍵，是中檔題．題型6重心【解題技巧】1．是重心．2．是平面內(nèi)任一點(diǎn)，是重心．【例1】（2022秋?諸暨市期末）邊長(zhǎng)為2的正△ABC中，G為重心，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，則AG→A．1 B．2 C．(BG→?【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正△ABC中，G為重心，由向量數(shù)量積的性質(zhì)可得，AG→?AP→=|AG→|×32|AG故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022秋?海安市期末）設(shè)G為△ABC的重心，則GA→A．0 B．AC→ C．BC→ 【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合重心的定義，以及向量的運(yùn)算，即可求解．【解答】解：G為△ABC重心，GA→則GA→故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查重心的定義，以及向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．題型7垂心【解題技巧】1．是垂心．2．若是垂心，則．【例1】（2022?杭州模擬）奔馳定理：已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若△BOC，△AOC，△AOB的面積分別記為S1，S2，S3，則S1?OA→+S2?OB→+A．31010 B．1010 C．2【分析】先證明S1：S2＝tanA：tanB，進(jìn)而得到S1：S2：S3＝tanA：tanB：tanC，結(jié)合奔馳定理可得tanA?OA→+tanB?OB→+tanC?OC→=0→，因此tanA：tanB：tanC＝1：2：3，不妨設(shè)tanA＝k，tanB＝2k，tanC＝2k，結(jié)合tanA＝tan[π?（B+C）]＝?tan（B+【解答】解：因?yàn)镺是△ABC的垂心，延長(zhǎng)CO交AB與點(diǎn)P，∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，則S1：S2＝（12OC?BP）：（12OC?AP）＝BP＝（OPtan∠POB）：（OPtan∠POA）＝tan∠POB：tan∠POA＝tan∠BOC：tan∠AOC＝tan（π﹣A）：tan（π﹣B）＝tanA：tanB，同理可得S1：S3＝tanA：tanC，所以S1：S2：S3＝tanA：tanB：tanC，又S1?OA→+S2?OB→+S3又OA→+2OB→+3OC→不妨設(shè)tanA＝k，tanB＝2k，tanC＝3k，其中k≠0，因?yàn)閠anA＝tan[π?（B+C）]＝?tan（B+C）=?tanB+tanC所以k=?2k+3k1?2k?3k，解得k＝1或當(dāng)k＝﹣1時(shí)，此時(shí)tanA＜0，tanB＜0，tanC＜0，則A，B，C都是鈍角，則A+B+C＞π，矛盾．故k＝1，則tnC＝3＞0，所以B是銳角，sinB＞0，cosB＞0，于是sinCcosC=3sin故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形垂心的性質(zhì)，考查平面向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．題型8內(nèi)心【解題技巧】1．是內(nèi)心．2．是內(nèi)心．3．是內(nèi)心．【例1】（2022秋?乾縣校級(jí)月考）已知O?是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C?是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P?滿足OP→=OA→+λ(A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【分析】根據(jù)題意，將OP→=OA→+λ(AB→【解答】解：根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)P?滿足OP→又由OP→=OA→+λ(ABAB→|AB→|和AC故點(diǎn)P?的軌跡一定通過△ABC?的內(nèi)心；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題向量的運(yùn)算，涉及向量模的定義，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022?寶山區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知I為△ABC的內(nèi)心，且5IA→=4（BI→+CI→），若△ABC的內(nèi)切圓的半徑r＝15，則△【分析】取BC的中點(diǎn)D，推導(dǎo)出5IA→=?4（IB→+IC→）＝﹣8ID→，從而A，I，D三點(diǎn)共線，作IE⊥AB于E，則IE【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)D，依題意，有5IA→=?4（IB→∴A，I，D三點(diǎn)共線，AB＝AC，由r＝ID＝15，∴IA＝24，作IE⊥AB于E，則IE＝ID＝15，sin∠BAD=1524=58∴BC＝2BD＝2AD?tan∠BAD＝2×39×539=∵sin∠BAC＝sin2∠BAD=2×58×398=∴△ABC的外接圓的半徑R的長(zhǎng)度為32．故答案為：32．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外接圓半徑、正弦定理、向量運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．題型9外心【解題技巧】1．是外心．2．若是外心，則．3．若是外心，則．【例1】（2022?南京模擬）在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，則BC→A．8 B．6 C．4 D．3【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：過點(diǎn)O分別作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)圓的性質(zhì)可得D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，AO→=|AC故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．【例2】（2022秋?汕頭期中）已知△ABC外心是O，且2AO→=AB→A．14BC→ B．34BC→【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合投影向量的運(yùn)算求解即可．【解答】解：由2AO→=AB→又O為△ABC的外心，且|OA→|＝|AB→|，則A=π2，B=不妨設(shè)|AB→|＝t，則|BC→|＝2則BA→在BC→上的投影向量為故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了投影向量的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．題型10奔馳定理【解題技巧】1．對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若、、的面積分別為、、，則：.即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.2．對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.3．對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若，則、、的面積之比為.即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.4．對(duì)于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為．【例1】（2022春?太原月考）若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足6AM→=3AB→+AC→，則S△MAB：S△A．1：2：3 B．1：2：4 C．2：3：4 D．2：4：5【分析】不妨設(shè)AB→，AC→分別為x軸，【解答】解：不妨設(shè)AB→，AC→分別為x軸，則AB→=（1，0），AC→=（0，1），所以6AM→=3AB→其中S△MAB=12×1×16=所以S△MCB＝S△ABC﹣S△MAB﹣S△MCB=1所以S△MAB：S△MCB：S△MAC=112：16故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量線性運(yùn)算性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，考查了特值法，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022春?臺(tái)州期中）奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA→+SB?OB→+SC?OC→=0→．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．設(shè)O為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OA→+2A．25 B．12 C．16【分析】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到3OA→+OB【解答】解：∵O為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OA→+2OB→+3OC→∴OA→+2OB→+3OC→=3（OB→?OA→）+2（∵SA?OA→+SB?OB→+SC?故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的基本運(yùn)算以及“奔馳定理”的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，是中檔題．最新模擬一．選擇題1．（2023?新鄉(xiāng)一模）在△ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，且CD與BE交于點(diǎn)G，記CD→=m→，A．?23m→?23n→【答案】A【題型】重心【解析】解：根據(jù)題意可得點(diǎn)G為△ABC的重心，所以AG→故選：A．2．（2023?西安一模）在平行四邊形ABCD中，則BA→A．12AC→+12BD→ 【答案】C【題型】繞三角形【解析】解：在平行四邊形ABCD中，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則O是對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)，∴BA→故選：C．3．（2022秋?秦皇島月考）在△ABC中點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，AE→=2EC→，BE與CF交于點(diǎn)PA．35 B．47 C．34【答案】C【題型】待定系數(shù)型【解析】解：在△ABC中，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，AE→=2EC→，BE與CF∵BE→=2∵C，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴23λ+2故選：C．4．（2022春?文峰區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD→=13DC→，P是線段BD上一點(diǎn)，若A．13 B．23 C．2 【答案】D【題型】待定系數(shù)型【解析】解：∵AD→=13DC→，AP→=m∵B，P，D三點(diǎn)共線，∴m+45=1，∴故選：D．5．（2022?南京模擬）如圖所示，在△ABC中，D是線段BC上一點(diǎn)，BC→=3BD→，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N，若AM→=λABA．1 B．2 C．43 D．【答案】D【題型】均值不等式求最值【解析】解：由條件可得AD→=AB→+BD→=AB→+∵M(jìn)，D，N三點(diǎn)共線，∴23λ∴λ+2u=(λ+2μ)(當(dāng)且僅當(dāng)λ3μ=4μ3λ即λ=43，μ=故選：D．6．（2022?龍鳳區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，D是線段BC上的一點(diǎn)，且BC→=4BD→，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N，若AM→=λAB→，AN→=μACA．23?2 B．23+4 C．23【答案】C【題型】均值不等式求最值【解析】解：AD→=AB→+由AM→=λAB→，AN→=μAC→得又因?yàn)镈、M、N三點(diǎn)共線，所以34λ+14μ=所以λ?1μ=λ+3λ當(dāng)且僅當(dāng)λ=3λ，即λ=3時(shí)等號(hào)成立，所以λ?故選：C．7．（2022?龍泉驛區(qū)模擬）在平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=2，∠A=135°，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點(diǎn)，且AE→=λAB→，AF→=μAD→，（其中λ，μ∈（0，1）），且3A．36 B．37 C．21 D．22【答案】D【題型】等和線求最值【解析】解：在平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=2，∠A=135°，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點(diǎn)，且則MC→=AC→?AM→=（又3λ+μ＝1，則MC→則MC→又AD→?AB→=2×則MC→顯然當(dāng)λ=125時(shí)，MC→此時(shí)μ=1?325=故選：D．8．（2022春?新吳區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，A=2π3，AB＝1，G為△ABC的重心，若AG→A．3 B．1 C．2 D．2【答案】B【題型】重心【解析】解：延長(zhǎng)AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD為△ABC中線．AG→?AB→=AG→?AC→?AG→即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且AB＝AC＝1，則△ABC外接圓圓心在AD上，設(shè)為O，則OA＝OC，∵∠OAC=π3，∴△OAC是等邊三角形，∴OA＝OC＝AC＝即△ABC外接圓半徑為1．故選：B．9．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，A=π3，G為△ABC的重心，若AGA．3 B．2 C．22 D．【答案】C【題型】重心【解析】解：在△ABC中，A=π3，G又AG→?AB即AG→?CB→=0，即AG→⊥又AG→?AB即AB→2+AC→設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，則2R=|BC→故選：C．10．（2022春?安陽月考）已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若△BOC，△AOC，△AOB的面積分別記為S1，S2，S3，則S1?OA→+S2?OB→+S3?OC→=0→．這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是△ABC的垂心，且OA→+2A．1：2：3 B．1：2：4 C．2：3：4 D．2：3：6【答案】A【題型】垂心【解析】解：O是△ABC的垂心，延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，則CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，因此，S1S2于是得tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB＝S1：S2：S3，又OA→+2OB由“奔馳定理”有S1?OA而OA→與OB→不共線，有S1S3=13，S所以tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB＝1：2：3．故選：A．二．填空題11．（2022?豐城市校級(jí)模擬）在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心作單位圓，分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是EF上一點(diǎn)，則PB→?PD【答案】[1?3【題型】三角換元求最值【解析】解：解法一：如右圖，∵PB→?PD→=(AB→?∴cosθ∈[22，1]，∴1?32cosθ∈[1?32，?2]解法二：如右圖以AD為x軸，AB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B（0，3），D（3，0），又P（cosθ，sinθ），θ∈[0，π∴PB→?PD→=(?cosθ，3?sinθ)?(3?cosθ，?sinθ)=cosθ（cosθ﹣3）+sinθ（sinθ﹣3）＝1﹣3（cosθ由θ∈[0，π2]，得θ+π4∈[π4，故答案為：[1?3212．（2022春?梁園區(qū)校級(jí)月考）設(shè)H是△ABC的垂心，且4HA→+5HB→【答案】?【題型】垂心【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)H是△ABC的垂心，則HA→?BC→=HA→?（HC→?HB→）=HA→同理：HA→?HC→=HC→?HB→，則有HA→設(shè)HA→?HC→=HA→?又由4HA→+5HB→+6HC→=0→，則有HB→?（4變形可得：|HB→|=?2t，（同理：HA→=?11t故答案為：?2213．（2022?泊頭市校級(jí)開學(xué)）已知點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，∠BAC=23π，AB＝1，AC＝2，若AP→=λAB→+μ【答案】9?3【題型】待定系數(shù)型【解析】解：在△ABC，由余弦定理得BC=A設(shè)O，Q，N分別是邊AB，BC，AC上的切點(diǎn)，設(shè)AN＝AO＝x，則NC＝QC＝2﹣x，BO＝BQ＝1﹣x，所以BC=BQ+QC=1?x+2?x=7由AP→=λAB即|AO→同理由AP→?聯(lián)立①②以及AN＝AO＝x，即可解得：λ+μ=3x=3×3?故答案為：9?3714．（2022?佛山模擬）已知O為△ABC的外接圓圓心，若AO→=12AB→+12AC→，|【答案】1【題型】外心【解析】解：如圖所示：因?yàn)锳O→=12AB→+12AC→所以|AB→|=|OA→所以BA→在BC→方向上的投影向量為因此λ=1故答案為：1415．（2022春?西昌市期中）在△ABC中，AB＝6，AC=35．點(diǎn)M滿足AM→=15AB→+14AC→．過點(diǎn)M的直線l分別與邊AB，AC交于點(diǎn)D，E且【答案】3【題型】外心【解析】解：∵D，M，E三點(diǎn)共線，∴可設(shè)AM→∴15AB→∴15t=1λ14(1?t)=1μ，即λ∴CG→∵G為△ABC的外心，∴|AG∴(40t?40t整理可得：10tAB∴AB→?AC→=∴AG＝﹣180t2﹣1260t+720＝﹣180（t2+7t﹣4）＝90，∴|AG故答案為：310真題在線一．選擇題1．（2022?北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則PA→?PBA．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]【答案】D【題型】三角換元求最值【解析】解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則A（3，0），B（0，4），C（0，0），設(shè)P（x，y），因?yàn)镻C＝1，所以x2+y2＝1，又PA→=（3﹣x，﹣y），PB→=（﹣所以PA→?PB→=?x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y設(shè)x＝cosθ，y＝sinθ，所以PA→?PB→=?（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+當(dāng)sin（θ+φ）＝1時(shí)，PA→當(dāng)sin（θ+φ）＝﹣1時(shí)，PA→?PB→故選：D．2．（2022?新高考Ⅰ）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記CA→=m→，A．3m→?2n→ B．﹣2m→+3n→ C．3m→【答案】B【題型】繞三角形【解析】解：如圖，CD→∴12CB→故選：B．3．（2020?全國(guó)）設(shè)點(diǎn)P1，P2，P3在⊙O上，若OP1→+OP2→A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【題型】重心【解析】解：設(shè)|OP1→∴OP1→∴r2+r2+2×r×r×cos∠P1OP2＝r2，解得cos∠P1OP2=?1∴∠P1OP2＝120°，同理可得，∠P1OP3＝120°，∠P2OP3＝120°，∴△P1P2P3是等邊三角形，∴∠P1P2P3＝60°．故選：C．4．（2020?海南）在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則CB→A．2CD→+CA→ B．CD→?2CA→ 【答案】C【題型】繞三角形【解析】解：在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則CB→=CD故選：C．5．（2020?山東）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP→?ABA．（﹣2，6） B．（﹣6，2） C．（﹣2，4） D．（﹣4，6）【答案】A【題型】三角換元求最值【解析】解：畫出圖形如圖，AP→?AB它的幾何意義是AB的長(zhǎng)度與AP→在AB顯然，P在C處時(shí)，取得最大值，|AC可得AP→?AB在F處取得最小值，AP→?AB→=P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，所以AP→?AB故選：A．6．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）在△ABC中，