新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 9.2《用樣本估計(jì)總體》教案(教師版)

用樣本估計(jì)總體1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征.理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.1.常用統(tǒng)計(jì)圖表(1)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).②決定組距與組數(shù).③將數(shù)據(jù)分組.④列頻率分布表.⑤畫頻率分布直方圖.(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個(gè)小矩形的面積表示樣本數(shù)據(jù)落在該組內(nèi)的頻率.各小矩形的面積和為1.(3)頻率分布折線圖和總體密度曲線①頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連接起來，就得到頻率分布折線圖.②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.(4)莖葉圖的畫法步驟：第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列；第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右(左)側(cè).2.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)稱為x1，x2，…，xn這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])；s2＝eq\f(1,n)[(x1﹣eq\x\to(x))2＋(x2﹣eq\x\to(x))2＋…＋(xn﹣eq\x\to(x))2].eq\O([常用結(jié)論])1.頻率分布直方圖中的常見結(jié)論(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高.()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只記一次.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×二、教材改編1.一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.25，則該組樣本的頻數(shù)為()A.4B.8C.12D.16答案為：B.解析：設(shè)頻數(shù)為n，則eq\f(n,32)＝0.25，∴n＝32×eq\f(1,4)＝8.]2.若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分分別為87,89,90,91,92,93,94,96，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A.91.5和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和92答案為：A.解析：∵這組數(shù)據(jù)為87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位數(shù)是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.]3.甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員在5場(chǎng)比賽的得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別為eq\o(x,\s\up8(－))甲，eq\o(x,\s\up8(－))乙，則下列判斷正確的是()A.eq\o(x,\s\up8(－))甲>eq\o(x,\s\up8(－))乙；甲比乙成績穩(wěn)定B.eq\o(x,\s\up8(－))甲>eq\o(x,\s\up8(－))乙；乙比甲成績穩(wěn)定C.eq\o(x,\s\up8(－))甲<eq\o(x,\s\up8(－))乙；甲比乙成績穩(wěn)定D.eq\o(x,\s\up8(－))甲<eq\o(x,\s\up8(－))乙；乙比甲成績穩(wěn)定答案為：D.解析：∵eq\o(x,\s\up8(－))甲＝eq\f(16＋17＋28＋30＋34,5)＝25，eq\o(x,\s\up8(－))乙＝eq\f(15＋28＋28＋26＋33,5)＝26，∴eq\o(x,\s\up8(－))甲<eq\o(x,\s\up8(－))乙，∴seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(16﹣25)2＋(17﹣25)2＋(28﹣25)2＋(30﹣25)2＋(34﹣25)2]＝52，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(15﹣26)2＋(28﹣26)2＋(26﹣26)2＋(28﹣26)2＋(33﹣26)2]＝35.6，∴seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙成績穩(wěn)定，故選D.]4.如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2,2.5)范圍內(nèi)的居民有________人.25[0.5×0.5×100＝25.]考點(diǎn)1樣本的數(shù)字特征的計(jì)算與應(yīng)用利用樣本的數(shù)字特征解決決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.1.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是()A.中位數(shù) B.平均數(shù)C.方差 D.極差答案為：A.解析：設(shè)9位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為x1<x2<x3<x4…<x8<x9，則原始中位數(shù)為x5，去掉最低分x1，最高分x9后剩余x2<x3<x4…<x8，中位數(shù)仍為x5，∴A正確.]2.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()甲乙A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差答案為：C.解析：根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知甲的中靶情況為4環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、7環(huán)、8環(huán)；乙的中靶情況為5環(huán)、5環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、9環(huán).eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,5)(4＋5＋6＋7＋8)＝6，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,5)(5×3＋6＋9)＝6，甲的成績的方差為eq\f(4－62＋5－62＋6－62＋7－62＋8－62,5)＝2，乙的成績的方差為eq\f(5－62×3＋6－62＋9－62,5)＝2.4；甲的成績的極差為4環(huán)，乙的成績的極差為4環(huán)；甲的成績的中位數(shù)為6環(huán)，乙的成績的中位數(shù)為5環(huán)，綜上可知C正確，故選C.]3.某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x﹣y|的值為()A.1B.2C.3D.4答案為：D.解析：由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x＋y＋10＋11＋9＝10，,\f(1,5)[x－102＋y－102＋1＋1]＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,x2＋y2＝208.))∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，即208＋2xy＝400，∴xy＝96.∴(x﹣y)2＝x2＋y2﹣2xy＝16，∴|x﹣y|＝4，故選D.]4.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[﹣0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80)企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)附：eq\r(74)≈8.602.[解](1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為eq\f(14＋7,100)＝0.21.產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)頻率為eq\f(2,100)＝0.02.用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%.(2)eq\o(y,\s\up8(－))＝eq\f(1,100)(﹣0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝eq\f(1,100)eq\i\su(i＝1,5,n)ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yi－\o(y,\s\up8(－))))2＝eq\f(1,100)[(﹣0.40)2×2＋(﹣0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝eq\r(0.0296)＝0.02×eq\r(74)≈0.17，所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為30%,17%.方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))﹣neq\x\to(x)2]，或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))﹣eq\x\to(x)2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.考點(diǎn)2莖葉圖莖葉圖中的2個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.(2)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一種優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.(1)作出品種A與B畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？(3)通過觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.[解](1)畫出莖葉圖如圖所示.(2)由于每個(gè)品種的數(shù)據(jù)都只有25個(gè)，樣本容量不大，畫莖葉圖很方便；此時(shí)莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒有任何信息損失，而且可以隨時(shí)記錄新的數(shù)據(jù).(3)通過觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)量的平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)量的穩(wěn)定性較差.莖葉圖中數(shù)字大小排列不一定從小到大排列，解題時(shí)一定要看清楚.1.胡蘿卜中含有大量的β-胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉(zhuǎn)化為維生素A，現(xiàn)從a，b兩個(gè)品種的胡蘿卜所含的β-胡蘿卜素(單位：mg)得到莖葉圖如圖所示，則下列說法不正確的是()A.eq\x\to(x)a<eq\x\to(x)bB.a的方差大于b的方差C.b品種的眾數(shù)為3.31D.a品種的中位數(shù)為3.27答案為：C.解析：由莖葉圖得：b品種所含β-胡蘿卜素普遍高于a品種，∴eq\x\to(x)a<eq\x\to(x)b，故A正確；a品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)比b品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，∴a的方差大于b的方差，故B正確；b品種的眾數(shù)為3.31與3.41，故C錯(cuò)誤；a品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：eq\f(3.23＋3.31,2)＝3.27，故D正確.故選C.]2.空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex，簡(jiǎn)稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染.從某地一環(huán)保人士某年的AQI記錄數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取10個(gè)，用莖葉圖記錄如圖.根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為________.(該年為365天)146[該樣本中AQI大于100的頻數(shù)是4，頻率為eq\f(2,5)，由此估計(jì)該地全年AQI大于100的頻率為eq\f(2,5)，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為365×eq\f(2,5)＝146.]考點(diǎn)3頻率分布直方圖頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率.(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù).(1)為了了解某校九年級(jí)1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測(cè)試1分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25B.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5C.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約為320D.該校九年級(jí)學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為32(2)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.①求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；②分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(1)答案為：D.解析：由頻率分布直方圖可知，中位數(shù)是頻率分布直方圖面積等分線對(duì)應(yīng)的數(shù)值，是26.25；眾數(shù)是最高矩形的中間值27.5；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為0.2，所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)為320；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.1，所以估計(jì)1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為160.故D錯(cuò)誤.](2)[解]①由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1﹣0.05﹣0.15﹣0.70＝0.10.②甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，而不是頻率，切莫與條形圖混淆.[備選例題]某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)頻數(shù)151310165(1)在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)[解](1)如圖所示：(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48.(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up8(－))1＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up8(－))2＝eq\f(1,50)(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水(0.48﹣0.35)×365＝47.45(m3).1.為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組頻數(shù)和為62，設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為()A.64 B.54C.48 D.27答案為：B.解析：前兩組中的頻數(shù)為100×(0.05＋0.11)＝16.因?yàn)楹笪褰M頻數(shù)和為62，所以前三組為38.所以第三組頻數(shù)為22.又最大頻率為0.32，對(duì)應(yīng)的最大頻數(shù)為0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.]2.某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時(shí))，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？[解](1)(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1，解得x＝0.0075.即直方圖中x的值為0.0075.(2)月平均用電量的眾數(shù)是eq\f(220＋240,2)＝230.∵(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45＜0.5，(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125)×20＝0.7＞0.5，∴月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為a，則0.45＋0.0125×(a﹣220)＝0.5，解得a＝224，即中位數(shù)為224.(3)月平均用電量在[220,240)的用戶有0.0125×20×100＝25(戶).同理可得月平均用電量在[240,260)的用戶有15戶，月平均用電量在[260,280)的用戶有10戶，月平均用電量在[280,300]的用戶有5戶，故抽取比例為eq\f(11,25＋15＋10＋5)＝eq\f(1,5).∴月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×eq\f(1,5)＝5(戶).用樣本估計(jì)總體一、選擇題1.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A.x1，x2，…，xn的平均數(shù)B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，…，xn的最大值D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案為：B.解析：因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.]2.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案為：C.解析：根據(jù)題意閱讀過《紅樓夢(mèng)》《西游記》的人數(shù)用韋恩圖表示如下：所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為eq\f(70,100)＝0.7.]3.科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力量.2007年至2018年，某企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100億元，我們將研發(fā)投入與經(jīng)營收入的比值記為研發(fā)投入占營收比.這12年間的研發(fā)投入(單位：十億元)用圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營收比用圖中的折線圖表示.根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.2012年至2013年研發(fā)投入占營收比增量相比2017年至2018年增量大B.2013年至2014年研發(fā)投入增量相比2015年至2016年增量小C.該企業(yè)連續(xù)12年來研發(fā)投入逐年增加D.該企業(yè)連續(xù)12年來研發(fā)投入占營收比逐年增加答案為：D.解析：由折線圖和條形圖可得2012年至2013年研發(fā)投入占營收比增量相比2017年至2018年增量大，2013年至2014年研發(fā)投入增量相比2015年至2016年增量小，該企業(yè)連續(xù)12年來研發(fā)投入逐年增加，該企業(yè)連續(xù)12年來研發(fā)投入占營收比，有增有減，故選D.]4.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A.3,5 B.5,5C.3,7 D.5,7答案為：A.解析：甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，得y＝5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，∴eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故選A.]5.在某次高中學(xué)科競(jìng)賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下列說法中有誤的是()A.成績?cè)赱70,80)分的考生人數(shù)最多B.不及格的考生人數(shù)為1000人C.考生競(jìng)賽成績的平均分約70.5分D.考生競(jìng)賽成績的中位數(shù)為75分答案為：D.解析：由頻率分布直方圖可得，成績?cè)赱70,80)的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；由頻率分布直方圖可得，成績?cè)赱40,60)的頻率為0.25，因此，不及格的人數(shù)為4000×0.25＝1000，故B正確；由頻率分布直方圖可得：平均分等于45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正確；因?yàn)槌煽冊(cè)赱40,70)的頻率為0.45，在[70,80)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67，故D錯(cuò)誤.故選D.]二、填空題6.已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq\x\to(x)＝5，則樣本數(shù)據(jù)2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均數(shù)為________.11[由x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq\x\to(x)＝5，得2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均數(shù)為2eq\x\to(x)＋1＝2×5＋1＝11.]7.已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________.eq\f(5,3)[由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(6＋7＋8＋8＋9＋10,6)＝8，所以該組數(shù)據(jù)的方差是eq\f(1,6)[(6﹣8)2＋(7﹣8)2＋(8﹣8)2＋(8﹣8)2＋(9﹣8)2＋(10﹣8)2]＝eq\f(5,3).]8.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為____________.0.98[經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.]三、解答題9.某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民.根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門的評(píng)分(評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高)，繪制莖葉圖如下：(1)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)分的中位數(shù)；(2)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)分高于90的概率；(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)價(jià).[解](1)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75.50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數(shù)為eq\f(66＋68,2)＝67，所以該市的市民對(duì)乙部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67.(2)由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的比率分別為eq\f(5,50)＝0.1，eq\f(8,50)＝0.16，故該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的概率的估計(jì)值分別為0.1,0.16.(3)由所給莖葉圖知，市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大.10.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱.某市為了了解人們對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度，對(duì)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分為100分(90分及以上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了x人，按年齡分成5組，第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有6人.(1)求x；(2)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1～5組，從這5個(gè)按年齡分的組和5個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識(shí)競(jìng)賽，分別代表相應(yīng)組的成績，年齡組中1～5組的成績分別為93,96,97,94,90，職業(yè)組中1～5組的成績分別為93,98,94,95,90.①分別求5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差；②以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià)5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組對(duì)“一帶一路”的認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢?[解](1)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組的頻率為0.01×5＝0.05，∴eq\f(6,x)＝0.05，∴x＝120.(2)設(shè)中位數(shù)為a，則0.01×5＋0.07×5＋(a﹣30)×0.06＝0.5，∴a＝eq\f(95,3)≈32，則中位數(shù)為32.(3)①5個(gè)年齡組成績的平均數(shù)為eq\x\to(x)1＝eq\f(1,5)×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差為seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)×[(﹣1)2＋22＋32＋02＋(﹣4)2]＝6.5個(gè)職業(yè)組成績的平均數(shù)為eq\x\to(x)2＝eq\f(1,5)×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差為seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)×[(﹣1)2＋42＋02＋12＋(﹣4)2]＝6.8.②從平均數(shù)來看兩組的認(rèn)知程度相同，從方差來看年齡組的認(rèn)知程度更穩(wěn)定(感想合理即可).1.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半答案為：A.解析：設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入的總量為x，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入的總量為2x.建設(shè)前種植收入為0.6x，建設(shè)后種植收入為0.74x，故A不正確；建設(shè)前其他收入為0.04x，建設(shè)后其他收入為0.1x，故B正確；建設(shè)前養(yǎng)殖收入為0.3x，建設(shè)后養(yǎng)殖收入為0.6x，故C正確；建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入總量的58%，故D正確.]2.為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖.但不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生人數(shù)為b，則a，b的值分別為()A.0.27,78 B.0.27,83C.2.7,78 D.2.7,83答案為：A.解析：由頻率分布直方圖知組距為0.1，視力在4.3到4.4之間的頻數(shù)為100×0.1×0.1＝1，視力在4.4到4.5之間的頻數(shù)為100×0.1×0.3＝3.∵前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，∴公比為3.從而視力在4.6到4.7之間的頻數(shù)最大，為1×33＝27，∴a＝0.27.根據(jù)后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，且頻數(shù)之和為100﹣13＝87，設(shè)公差為d，則6×27＋eq\f(6×5,2)d＝87，∴d＝﹣5，從而b＝4×27＋eq\f(4×3,2)×(﹣5)＝78.]3.某同學(xué)10次測(cè)評(píng)成績的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，總體的中位數(shù)為12，若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則4x＋2y的值是()A.12 B.14C.16 D.18答案為：A.解析：因?yàn)橹形粩?shù)為12，所以x＋y＝4，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,10)×(2＋2＋3＋4＋x＋y＋20＋19＋19＋20＋21)＝11.4，要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，即方差最小，所以(10＋x﹣11.4)2＋(10＋y﹣11.4)2＝(x﹣1.4)2＋(y﹣1.4)2≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y－2.8,2)))2＝0.72，當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1.4＝y(tǒng)﹣1.4，即x＝y(tǒng)＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)總體標(biāo)準(zhǔn)差最小，4x＋2y＝12，故選A.]4.某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲得的利潤為30元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損10元.該大學(xué)生通過查詢資料得到開學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.該大學(xué)生為這個(gè)開學(xué)季購進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以x(單位：盒，100≤x≤200)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量，y(單位：元)表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.(1)根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量x的眾數(shù)和平均數(shù)；(2)將y表示為x的函數(shù)；(3)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤y不少于4000元的概率.[解](1)由題中頻率分布直方圖得，這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量x的眾數(shù)是150盒，需求量在[100,120)內(nèi)的頻率為0.0050×20＝0.1，需求量在[120,140)內(nèi)的頻率為0.0100×20＝0.2，需求量在[140,160)內(nèi)的頻率為0.0150×20＝0.3，需求量在[160,180)內(nèi)的頻率為0.0125×20＝0.25，需求量在[180,200]內(nèi)的頻率為0.0075×20＝0.15.則平均數(shù)eq\x\to(x)＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒).(2)因?yàn)槊渴鄢?盒該產(chǎn)品獲得的利潤為30元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損