中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案詳解

中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案詳解

試題1、如圖，在△ABC中，N84C=90。，A。是邊上的高，E是

BC邊上的一個動點（不與BC重合），EF±AB,EG_LAC,垂足

分別為尸，G?

4TEGCG

(1)求證：=——；

ADCD

(2)ED與OG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理

由；

(3)當(dāng)AB=AC時，△EDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由。

略解：(I)可證.?.△ADCsAE'GC,.?.空=史

ADCD

（2）ED與。G垂直。先證四邊形AFEG為矩形，；.AF=￡G,由（1）知生=空AFCG

ADCDAD-CD

?.,△ABC為直角三角形,ADLBC,ZFAD=ZC,:.Z\AFD^/\CGD,:.ZADF=ZCDG.

又NCDG+NADG=90,：.ZADF+ZADG^90\：.FD±DG.

（3）當(dāng)AB=A。時，△EOG為等腰直角三角形。：AB=AC,ZBAC=90,：.AD^DC,由（2）

pnAH

知：^AFD^ACGD.——=——=1,:.FD=DG.又NFOG=9Q,.?.△FOG為等腰直角三角形。

GDDC

賞與析：（1）本題對幾何圖形的性質(zhì)作了比較有趣的研究，探究其中比較有意義的數(shù)

量關(guān)系、位置關(guān)系、形狀關(guān)系等，形成一類探索性試題的特點。（2）試題較有整體感,甲

小題設(shè)計之間、小題解法之間聯(lián)系均較緊密，對于探究性問題中研究主題不斷生成，

環(huán)環(huán)相扣，又不斷解決有一種流暢感。

試題2,按右圖所示的流程，輸入一個數(shù)據(jù)x,根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個數(shù)據(jù)y,

這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)，要使任意一組都在20~100（含20和

100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個要求：

（I）新數(shù)據(jù)都在60?100（含60和100）之間；

（II）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對應(yīng)

的新數(shù)據(jù)也較大。

（1）若y與x的關(guān)系是y=x+p（100—x）,請說明：當(dāng)p=；時，這種變換滿足上述

兩個要求；

（2）若按關(guān)系式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a>0）將數(shù)據(jù)進行變換，請寫出一個滿足上述要求的

這種關(guān)系式。（不要求對關(guān)系式符合題意作說明，但要寫出關(guān)系式得出的主要過程）

略解：(1)當(dāng)P=；時，y=x+g(100—x)^|Jy=gx+50。

.??y隨著x的增大而增大，即P=L時，滿足條件（II）。又當(dāng)x=20時，y=1x20+50=60,當(dāng)x=100時,

22

y=1xl00+50=100o而原數(shù)據(jù)都在20-100之間，所以新數(shù)據(jù)都在60~100之間，即滿足條件（I）,

綜上可知，當(dāng)P=L時，這種變換滿足要求；

2

(2)本題是開放性問題，答案不唯一。若所給出的關(guān)系式滿足：(a)hW20；(b)若x=20,100時，y的對

應(yīng)值m,n能落在60?100之間，則這樣的關(guān)系式都符合要求。如：^=—(x-20)2+60?

160V7

賞與析：(1)用流程圖的方法敘述函數(shù)關(guān)系，比較生動。同時這也是對函數(shù)的意義作了一個形象化的解釋。

其實函數(shù)的表達有多種方法，用解析式表示只是其中一種，而且不是所有函數(shù)都可以用解析式表示的。(2)

通過隱含的方法對函數(shù)的幾個有意思的性質(zhì)，比如值域、單調(diào)性等進行描述、探究，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)研

究的方法。(3)問題設(shè)計考慮到驗證性證明和構(gòu)造性證明等，試題比較注重數(shù)學(xué)思想方法的考查。

試題3、已知矩形48a?中，AB=2,AD=4,以48的垂直平分線為x軸，A8所在、

的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)。J'E

(1)寫出4、8、C、。及AO的中點E的坐標(biāo)；/、x

(2)求以E為頂點、對稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過點8、C的拋物線的解析式；

(3)求對角線BD與上述拋物線除點B以外的另一交點P的坐標(biāo)；/\

(4)APEB的面積SAPEB與APBC的面積S“BC具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論。

略解：(1)所求各點坐標(biāo)為A(0,1),B(0,-I).C(4,-1),D(4,I),E(2,1)。

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+l,由于拋物線經(jīng)過點B(0「l),可求得。=—g,所以拋物線的

解析式為y=—g(x-2『+1,經(jīng)驗證，該拋物線過C。

(3)直線BD的解析式為y=1,與拋物線解析式聯(lián)列，解得點P坐標(biāo)為P(3,；)。

(4)S4PEB=QS”BC。

試題4在平面直角坐標(biāo)系中，放置一個如圖所示的直角三角形紙片A0B,已知0A=2,

/A0B=30°」)、E兩點同時從原點0出發(fā)，D點以每秒百個單位長度的速度沿x軸

的正方向運動，E點以每秒1個單位長度的速度沿y軸的正方向運動，設(shè)D、E兩點

運動的時間為t秒。

(1)點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為。

(2)在點D、E運動的過程中，直線DE與直線0A垂直嗎？請說明理由

(3)當(dāng)t在什么范圍時，直線DE與線段0A有公共點？

(4)將直角三角形紙片A0B在直線DE下方的部分沿直線DE向上折疊，設(shè)折疊后重

疊部分的面積為s,請寫出s與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值。

略解：(1)A(l,V3),B(0,V3).(2)可求得O(VJr,0),E(0,f),這時可得NED0=30。，AEDIOA.(3)0^

⑷當(dāng)時，s=g/,當(dāng)省時，5=坐一烏2一堂(目一。2,

33o32o2

當(dāng)VJvt這時，S=￥(2—乎。2。S最大值略。

試題5、填空或解答：點8、C、E在同一直線上，點A、。在直線CE的同側(cè)，AB=AC,EC=ED,ABAC

=NCED,直線AE、8。交于點F。

（1）如圖①，若/BAC=60°,則；如圖②，若/BAC=90°,則；

（2）如圖③，若/8AC=a,則（用含a的式子表示）；

（3）將圖③中的AABC繞點C旋轉(zhuǎn)（點F不與點A、3重合），得圖④或圖⑤。在圖④中，/AFB與Na的數(shù)

量關(guān)系是.;在圖⑤中,NAFB與Na的數(shù)量關(guān)系是.。請你任選其中一個結(jié)論證明。

略解:(1)ZAFB=60a,ZAFB

1

=45°。(2)NAF8=90°~~a。

2

1

(3)ZAFB=90°~2a'Z

AFB=9Qa+~a.證明略。

D

賞與析：（1）“填空或解答”,這是一種試題類型，這種類

型試題的考查容量比較大，同時又讓學(xué)生可以避免重復(fù)書

寫類似解題過程。比如本題中的三角形全等、三角形相似

的書寫過程。試題類型視為考查服務(wù)的，不同的題型的產(chǎn)

B

生都是為了提高考查的有效性，所以試題類型值得我們一圖④圖⑤

起去研究。（2）容易看出這道試題并不是原創(chuàng)的，但是在一道傳統(tǒng)試題的基礎(chǔ)

上進行改編，挖掘出新意來，也會是一道有意思的試題，由此使我們體會到，

學(xué)生和教師在學(xué)習(xí)或教學(xué)中，經(jīng)常去改編、挖掘陳題，這是一項很有意義的勞

動，這是一種試題研究，也是一種數(shù)學(xué)研究和教學(xué)研究，但是要注意的是應(yīng)避

免原題對新題的負面干擾。

試題6、我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地，我們定

義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.

（1）請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；

（2）如圖，在△ABC中，點D,E分別在AB,AC上，

設(shè)CD,BE相交于點。，若NA=60°,NDCB=NEBC=工ZA.請你寫出圖中一個與NA相等的角,

2

并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；

（3）在△ABC中，如果44是不等于60°的銳角，點￡>,E分別在ABAC上，且

NDCB=NEBC=L/A.探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論.

2

略解：（1）答案不唯一，如平行四邊形，等腰梯形等。（2）ZBOD=ZA=猜想四邊形BCED是等對邊四

邊形。（3）作BbLCD于F,。6_18后于6,可先證△BCF04CBG,從而BF=CG。然后可證^

BED^ACGE,所以BD=CE。即四邊形BCED是等對邊四邊形。

賞與析：這是一道圍繞著鮮明主題的主題研究式學(xué)習(xí)試題，它可以引導(dǎo)學(xué)生步步深入地研究、解剖一個有

意義的數(shù)學(xué)主題。引導(dǎo)學(xué)生接受試題暗示的啟發(fā)，學(xué)會分析思考。而且第（2）小題只要猜想不要證明，

與第（3）小題的配合，設(shè)計比較合理巧妙，有錯落的層次感，而避免小題解答書寫時的雷同、重復(fù)。另

外，本題第（3）小題還可以在BE上截取F,使得BF=CD,進而證明CE=CF=BD。

試題7、如圖1,已知四邊形是菱形，G是線段CO上的任意一點時，連接8G交AC于尸，過尸

悴FH〃CD交BC千H,可以證明結(jié)論也=三成立（考生不必證明）.

ABBG

(1)探究：如圖2,上述條件中，若G在8的延長線上，其它條件不變時，其結(jié)論是否成立？若成立,

請給出證明；若不成立，請說明理由;

A

B

(2)計算：若菱形ABCO中AB=6,NADC=60’,

H

G在|［線CD上，且CG=16,連接8G交4c所在的H

直線于F,過產(chǎn)作FH〃C。交8C所在的直線于“，，G

DGD

求BG與FG的長.圖1圖2H

(3)發(fā)現(xiàn)：通過上述過程，你發(fā)現(xiàn)G在直線上時,

結(jié)論里=生還成立嗎？

ABBG

略解：(1)結(jié)論￡F巴H=￡F丫G成立。

ABBG

證明：由已知易得FHHAB,

FHHC

圖3圖4

ABBC

HCFGFHFG

■:FHHGC,——=——

BCBGABBG

(2)：G在直線CQ上,分兩種情況討論如下:

①G在CD的延長線上時，DG=10,如圖3,過8作8。_LCD于。,

由于ABC。是菱形，ZADC=60°,:.BC=AB=6,/8CQ=60",：.BQ=3y[3,CQ=3

r—,---rTr—ABFB62回一FG16「

出79T3府=2回,由AB〃CG,??.而=而，即1r阮

②G在OC的延長線上時，CG=16,如圖4,過B作8Q_LCG于。，由于A8CD是菱形，ZADC=60°,

ABFB

：.BC=AB=6,ZBC0=6OO,：.BQ=343,CQ=3,：.BG=yj\32+[343]2由AB//CG,=

CGFG

6FG-14112

即一,.\FG=—?

16FG

(3)G在OC的延長線上時，上乜=竺+6=§，-=--14Q

=-,所以

AB55BG55

色=變成立。

ABBG

結(jié)合上述過程，發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時，結(jié)論上FH巴=￡F、G還成立。

'-ABBG

試題8、如圖，拋物線^=奴2-5"+4經(jīng)過4至。的三個頂點，已知3C〃x

軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC=5C。

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)寫出AB,C三點的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；

(3)探究：若點P是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在△的是

等腰三角形.若存在，求出所有符合條件的點P坐標(biāo)；不存在，請說明理由.

-5a5

略解：(1)拋物線的對稱軸*=一——=-?

2a2

(2)A(—3,0),6(5,4),C(0,4)。把點A坐標(biāo)代入y-5av+4中，解得。=—,，

6

154

..y——x2H—x+4o

66

(3)存在符合條件的點P共有3個.以下分三類情形探索.

設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于N,與CB交于

過點8作BQ_Lx軸于0,易得5。=4,AQ=8,AN=5.5,BM

①以A8為腰且頂角為角A的△P4B有1個：.〔AB?=AQ?+802=82+42=80,

在中，RN=y/AP；_AM=JA4-AN?=j80-(5.5『=叵,。

122,

②以AB為腰且頂角為角3的△248有1個：gAB.

2228

在RtZSBM6中，MP2=^BP^-BM=>JAB-BM=^80-y=P2|,~^5^

③以AB為底，頂角為角P的有1個，即△AAB.

畫AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于A,此時平分線必過等腰△A3C的頂點C.

過點E作AK垂直y軸，垂足為K,顯然RtZkACKsRt^BAQ..?.42=絲=’.

CKAQ2

?;&K=2.5:.CK=5于是OK=1,鳥(2.5,—1)

試題9、如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xQy中，點A(m,6),B(n,1)為兩動點，其中0<m<3,連結(jié)OA,

OB,OAVOB.

(1)求證：mn=-6；

(2)當(dāng)S》OB=10時，拋物線經(jīng)過A,B兩點且以y軸為對稱軸，求拋物線

對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，設(shè)直線AB交y軸于點F,過點F作直線/交拋物線

于P,Q兩點，問是否存在直線/，使SAPOF:SAQOF=1:3?若存在，求出直

線/對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由。

略解：(1)作8C_Lx軸于C點，A￡)_Lx軸于D點。

,/A,B點坐標(biāo)分別為(m,6),(〃,1),BC=1,OC=-n,OD=m,AD=6,

又易證△CBOS^DOA,=—=-6O

DODAOAm6

（2）由（1）得，OA=mBO,又SOOB=1°，-OBOA=lO,即OBOA=20,二/您0?=20。

又OB?—BC2+OC2=〃2+1,二m（/22+1）=20,，/mn=-6,m-2,n=—3,

.?.A坐標(biāo)為（2,6）,B坐標(biāo)為（-3,1）,易得拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-V+if）。

（3）直線AB為y=x+4,且與y軸交于F（0,4）點，尸=4,

假設(shè)存在直線/交拋物線于P,Q,且使S.”：SMOF=1:3,如圖。

則有PF：FQ=1：3,作PMLy軸于M點，QN，y軸于N點，

P在拋物線y=-/+1o上，...設(shè)p坐標(biāo)為一產(chǎn)+]0）,

貝I]FM=-X2+10-4=-X2+6,易證APMFS^QNF,

PWMFPF1

——=——=——=—,:.QN=3PM=-3t,NF=3MF=-3r+l8,/.ON=-3r2+14,

QNFNQF3

Q點坐標(biāo)為（一3f,3產(chǎn)—14）,Q點在拋物線y=-/+10上，

—[4=—9/+10,解得，=一起,;.P坐標(biāo)為（一夜,8）,

Q坐標(biāo)為（3也,一8）,.?.易得直線PQ為y=-2+4。

根據(jù)拋物線的對稱性可得直線PQ另解為y=2瓜+4。

賞與析：（1）對于第（1）小題除了上述提供的幾何方法證明之外，還可以根據(jù)勾股定理逆定理進行計

算證明。如果學(xué)生今后學(xué)習(xí)了高中數(shù)學(xué)之后，可以運用平面解析幾何的方法去解。（2）第（2）小題除了

幾何方法之外，也可以運用代數(shù)方法直接得到;+36J〃2+i=io,與mn=-6聯(lián)列，求出m,n。（3）

借助二次函數(shù)圖像的對稱性，求出直線/的一解之后，立即得到與y軸對稱的另一解。而不是完全根據(jù)代

數(shù)方法再計算一遍。我們要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、觀察的敏銳性，而不是盲目的計算和數(shù)學(xué)的教條。

試題10、如圖，拋物線y=/-2x-3與X軸交A、B兩點(A點在B點

左側(cè))，直線/與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2。

(1)求A、B兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達式；

(2)P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E

點，求線段PE長度的最大值；

(3)點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F,使A、C、F、

G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足

條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

略解：(I)令y=0,解得無?=-1或乙=3,AA(-1,0)B(3,0)；

將C點的橫坐標(biāo)戶2代入y=f—2%-3得y=-3,；.C(2,-3)。

，直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1。

(2)設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x(TWxW2),則P、E的坐標(biāo)分別為：P(x,—x—1),E(x,%2—2x—3)o

,,19

；P點在E點的上方，PE=(-X-1)-(X2-2X-3)=-X2+X+2,.?.當(dāng)x=一時，PE的最大值=一。

24

(3)存在4個這樣的點F,分別是耳(1,0),6(一3,0),居(4+萬),K(4—近)

試題11

實驗與探究

(1)在圖1,2,3中，給出平行四邊形A3CD的頂點AB,。的坐標(biāo)(如圖所示)，寫出圖1,2,3中

(2)在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點AB,。的坐標(biāo)(如圖所示),

求出頂點。的坐標(biāo)(C點坐標(biāo)用含a,b,c,d,e,7的代數(shù)式表示);

歸納與發(fā)現(xiàn)

(3)通過對圖1,2,3,4的觀察和頂點C的坐標(biāo)的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形ABCD處于直角

坐標(biāo)系中哪個位置，當(dāng)其頂點坐標(biāo)為A(a,b),B(c,d),C(m9ri),￡>(e,于)(如圖4)時，則四個頂

點的橫坐標(biāo)a,c,m,e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)4d,n,/之間的等量關(guān)系為(不必證明);

運用與推廣

-(5c—3)x—c和三個點G1—5C,jc

(4)在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線y=x：，〃(2c,0)

(其中c>0