湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2023年秋季高二年級12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：新洲一中邾城校區(qū)命題人：盧有勇審題人：黃陂一中蔡勁松一、單項(xiàng)選擇題：（每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（）A． B．C．或 D．與的位置關(guān)系不能判斷3．已知拋物線（）上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則（）A．1 B．2 C．4 D．84．已知，，，的夾角為，則（）A．1 B． C．2 D．45．是圓上的動點(diǎn)，若到兩條直線：和：的距離之和與動點(diǎn)的位置無關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知，分別為雙曲線：（，）的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)為橢圓（）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則該橢圓的方程為（）A． B． C． D．8．如圖是四棱錐的平面展開圖，四邊形是矩形，，，，，，則在四棱錐中，與平面所成角的正切值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．若事件和事件互斥，則B．若事件和事件對立，則C．若，則事件和事件獨(dú)立D．若三個事件、、兩兩獨(dú)立，則10．設(shè)、分別是雙曲線：（）的左、右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與交于、兩點(diǎn)，若為正三角形，則下列說法正確的是（）A． B．C．雙曲線的焦距為 D．的內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)11．在邊長為2的正方體中，動點(diǎn)滿足（），則下列說法正確的是（）A．若，則直線與所成的角為B．三棱錐的體積為定值C．若，則直線與平面所成的角為D．若，則三棱錐的外接球的表面積為12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，，是拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若直線過點(diǎn)，則B．若直線過點(diǎn)，則的最小值為4C．若直線過點(diǎn)，則直線，的斜率之和D．若直線過點(diǎn)，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知平面向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______．14．已知樣本，，，，的平均數(shù)為5，若，，，，的平均數(shù)為34．則樣本，，，，的方差為______．15．已知圓臺上、下底而的圓的半徑分別為3和6，該圓臺的體積為，則該圓臺的側(cè)面積為______．16．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實(shí)上，很多代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問題解決，如與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題．依上思想，已知，，則的最小值為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）（1）已知拋物線（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求弦長；（2）已知雙曲線：（，）的實(shí)軸長為2，且它的漸近線與圓相切，求雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離．18．（本小題滿分12分）隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測得他們的身高（單位：），按照區(qū)間，，，，分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該100名學(xué)生身高的80%分位數(shù)：（2）將身高在，，區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為，，三個組，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這三個組中抽取6人，再從這6人中任選2人出來，求這2人來自不同小組的概率．19．（本小題滿分12分）如圖：平行六面體中，，且，，記，，．（1）將用，，表示出來，并求；（2）求異面直線與所成角的余弦值．20．（本小題滿分12分）圓過、兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線在軸上的截距是軸上的截距的2倍，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程．21．（本小題滿分12分）如圖，為圓柱底面的直徑，是圓柱底面的內(nèi)接正三角形，和為圓柱的兩條母線，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．22．（本小題滿分12分）已知橢圓：（）的離心率，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的弦、，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2023年秋季高二年級12月數(shù)學(xué)答案1．A2．C3．B4．C5．D6．C7．D8．D9．ABC10．BD11．BD13．14．915．16．17．（1）由拋物線（）的焦點(diǎn)為，得拋物線的方程為直線過點(diǎn)且傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立得：，則（2）雙曲線的實(shí)軸長為則雙曲線：，則漸近線方程為：，故，故雙曲線的漸近線方程為：，取右焦點(diǎn)為，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（若直接運(yùn)用結(jié)論：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為不扣分）18．（1）由頻率分布直方圖可知，解得．身高在的人數(shù)占比為，身高在的人數(shù)占比為，所以該100名學(xué)生身高的80%分位數(shù)落在內(nèi)，可知恰好為區(qū)間的中點(diǎn)，故該100名學(xué)生身高的80%分位數(shù)為177.5．（2）組人數(shù)為，組人數(shù)為，組人數(shù)為，由題意可知組抽取人數(shù)為，組抽取人數(shù)為，組抽取人數(shù)為．6人中任選2人的方法數(shù)為15，這2人來自不同小組方法數(shù)為，故這2人來自不同小組的概率．19．（1），，，，，．．（2），，，，．異面直線與所成角的余弦值為，20．解：（1）兩點(diǎn)，的中垂線方程為：，聯(lián)立，解得圓心，，故圓的方程為：（2）由直線且被圓截得的弦長為6，故圓心到直線的距離為，A．若直線過原點(diǎn)，可知直線的斜率存在，設(shè)直線為：，，此時直線的方程為：A．若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線為：，，此時直線的方程為：，故直線的方程為：，，21．（1）證明：因?yàn)闉閳A柱底面的直徑，所以．因?yàn)闉閳A柱的母線，故，又，故平面．由和為圓柱的兩條母線知四邊形為矩形，因此，故平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）由題意知，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，故，，，是圓柱底面的內(nèi)接正三角形，故，故，過作，垂足為，，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由平面，可設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，，即，令，則，設(shè)二面角的平面角為，故二面角的正弦值為．22．（1），，又，，故橢圓的方程為（2）法一：當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，，代入，得：（舍），此時：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)：，聯(lián)立得：，，，，，，代入整理得：，，當(dāng)