高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（33）第五章 數(shù)列 第一講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案33]第五章數(shù)列第一講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2020·廣東廣州模擬)數(shù)列{an}為eq\f(1,2)，3，eq\f(11,2)，8，eq\f(21,2)，…，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是(A)A．a(chǎn)n＝eq\f(5n－4,2) B．a(chǎn)n＝eq\f(3n－2,2)C．a(chǎn)n＝eq\f(6n－5,2) D．a(chǎn)n＝eq\f(10n－9,2)[解析]解法一：數(shù)列{an}為eq\f(1,2)，eq\f(6,2)，eq\f(11,2)，eq\f(16,2)，eq\f(21,2)，…，其分母為2，分子是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列，故其通項(xiàng)公式為an＝eq\f(5n－4,2).解法二：當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝3，而選項(xiàng)B、C、D，都不符合題意，故選A.2．已知數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…，則2eq\r(19)在這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是(C)A．16 B．24C．26 D．28[解析]因?yàn)閍1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令an＝eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，解得n＝26.3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，則a11的值為(A)A．31 B．32C．61 D．62[解析]因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，所以a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.4．(2020·蘭州市高三診斷考試)朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作．《算學(xué)啟蒙》中提到一些堆垛問(wèn)題，如“三角垛果子”，就是將一樣大小的果子堆垛成正三棱錐，每層皆堆成正三角形，從上向下數(shù)，每層果子數(shù)分別為1,3,6,10，….現(xiàn)有一個(gè)“三角垛果子”，其最底層每邊果子數(shù)為10，則該層果子數(shù)為(B)A．50 B．55C．100 D．110[解析]由題意可知三角垛從上向下，每層果子數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，其中a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，可變形為a1＝eq\f(1×1＋1,2)，a2＝eq\f(2×2＋1,2)，a3＝eq\f(3×3＋1,2)，a4＝eq\f(4×4＋1,2)，由此得數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝eq\f(nn＋1,2)，則a10＝eq\f(10×10＋1,2)＝55，故選B.5．(2020·遼寧沈陽(yáng)交聯(lián)體期中)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(C)A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝(eq\f(n＋1,n))n－1C．a(chǎn)n＝n D．a(chǎn)n＝n2[解析]由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))為常數(shù)列，即eq\f(an,n)＝eq\f(a1,1)＝1，所以an＝n.故選C.6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}為常數(shù)列，則an＝(B)A．eq\f(1,3n－1) B．eq\f(2,nn＋1)C.eq\f(6,n＋1n＋2) D．eq\f(5－2n,3)[解析]由題意知，Sn＋nan＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，∴(n＋1)an＝(n－1)an－1，從而eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,3)·eq\f(2,4)·…·eq\f(n－1,n＋1)，則an＝eq\f(2,nn＋1).當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(2,1×2)＝1成立，所以an＝eq\f(2,nn＋1)，故選B.二、多選題7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)(n∈N*)．則下列說(shuō)法正確的是(BC)A．這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為eq\f(27,31)B.eq\f(97,100)是該數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間[eq\f(1,4)，1)內(nèi)D．?dāng)?shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列[解析]an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq\f(3n－2,3n＋1).令n＝10，得a10＝eq\f(28,31)，故選項(xiàng)A不正確；令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(97,100)，得n＝33，故eq\f(97,100)是該數(shù)列中的第33項(xiàng)，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)閍n＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，又n∈N*，所以數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以eq\f(1,4)≤an<1，所以數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間[eq\f(1,4)，1)內(nèi)，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確．故選B、C.8．(2020·福建泉州一中檢測(cè)改編)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－an－3，n≤7，,an－6，n>7))(n∈N*)，若{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是(CD)A．(1，eq\f(3,2)) B．(eq\f(3,2)，2)C．(2，eq\f(5,2)) D．(eq\f(5,2)，3)[解析]∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列且an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－an－3，n≤7，,an－6，n>7))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a>0，,a>1，,73－a－3<a2，))解得2<a<3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)，故選C、D.三、填空題9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝__1__，S5＝__121__.[解析]解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，))解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3(Sn＋eq\f(1,2))，所以{Sn＋eq\f(1,2)}是以eq\f(3,2)為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以Sn＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)×3n－1，即Sn＝eq\f(3n－1,2)，所以S5＝121.解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4,a2＝2a1＋1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,a2＝3))，又an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，兩式相減得an＋2－an＋1＝2an＋1，即eq\f(an＋2,an＋1)＝3，又eq\f(a2,a1)＝3，∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴an＋1＝3n，∴Sn＝eq\f(3n－1,2)，∴S5＝121.10．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋eq\f(1,nn＋1)，則數(shù)列an＝3－eq\f(1,n).[解析]由題意，得an＋1－an＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))＋(eq\f(1,n－2)－eq\f(1,n－1))＋…＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋(1－eq\f(1,2))＋2＝3－eq\f(1,n).11．(2020·湖北武漢部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知an＝eq\f(n－7,n－5\r(2))(n∈N*)，設(shè)am為數(shù)列{an}的最大項(xiàng)，則m＝__8__.[解析]an＝eq\f(n－7,n－5\r(2))＝1＋eq\f(5\r(2)－7,n－5\r(2))(n∈N*)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)n≤7或n≥8時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)n≤7時(shí)，an<1，當(dāng)n≥8時(shí)，an>1，所以a8為最大項(xiàng)，可知m＝8.12．(2020·北京人大附中期中)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，則an＝__n__.[解析]∵2Sn＝(n＋1)an，∴n≥2時(shí)，2an＝(n＋1)an－nan－1，∴(n－1)an＝nan－1，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(n,n－1)(n≥2)，又a1＝1，∴an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a2,a1)＝eq\f(n,n－1)×eq\f(n－1,n－2)×…×eq\f(2,1)＝n.四、解答題13．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n＋2,3)an.(1)求a2，a3；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解析](1)因?yàn)镾n＝eq\f(n＋2,3)an，且a1＝1，所以S2＝eq\f(4,3)a2，即a1＋a2＝eq\f(4,3)a2，得a2＝3.由S3＝eq\f(5,3)a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.(2)由題意知a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，整理，得an＝eq\f(n＋1,n－1)an－1，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1).所以eq\f(a2,a1)＝3，eq\f(a3,a2)＝eq\f(4,2)，eq\f(a4,a3)＝eq\f(5,3)，…，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)，將以上n－1個(gè)式子的兩端分別相乘，得eq\f(an,a1)＝eq\f(nn＋1,2).所以an＝eq\f(nn＋1,2)(n≥2)．又a1＝1適合上式，故an＝eq\f(nn＋1,2)(n∈N*)．14．(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．[解析](1)由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝eq\f(1,2)(an＋bn)．又因?yàn)閍1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因?yàn)閍1－b1＝1，所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(2)由(1)知，an＋bn＝eq\f(1,2n－1)，an－bn＝2n－1.所以an＝eq\f(1,2)[(an＋bn)＋(an－bn)]＝eq\f(1,2n)＋n－eq\f(1,2)，bn＝eq\f(1,2)[(an＋bn)－(an－bn)]＝eq\f(1,2n)－n＋eq\f(1,2).B組能力提升1．(2020·湖北武漢武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們?cè)谏碁┥袭嫵鳇c(diǎn)或用小石子表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如下圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為5,9,14,20，…，這樣的一組數(shù)被稱為梯形數(shù)，記此數(shù)列為{an}，則(D)A．a(chǎn)n＋1＋an＝n＋2 B．a(chǎn)n＋1－an＝n＋2C．a(chǎn)n＋1＋an＝n＋3 D．a(chǎn)n＋1－an＝n＋3[解析]由已知可得a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6，…，由此可以得到an＋1－an＝n＋3.故選D.2．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝eq\f(3,2)(an－1)(n∈N*)，則an＝(C)A．3(3n－2n) B．3n＋2C．3n D．3·2n－1[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(3,2)(an－1)－eq\f(3,2)(an－1－1)，得到an＝3an－1，所以an＝3n.故選C.3．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an<\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)≤an<1，))若a1＝eq\f(2,5)，則a2021等于(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[解析]因?yàn)閍1＝eq\f(2,5)<eq\f(1,2)，所以a2＝eq\f(4,5)，a3＝eq\f(3,5)，a4＝eq\f(1,5)，a5＝eq\f(2,5)，所以數(shù)列具有周期性，周期為4，所以a2021＝a1＝eq\f(2,5).故選B.4．(2020·江西撫州七校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋log3(1－eq\f(2,2n＋1))，則a41＝(C)A．－1 B．－2C．－3