2024屆江蘇省南京市江浦高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆江蘇省南京市江浦高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是A．210B．336C．84D．3432．設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx的圖象與直線y＝2x+m相切，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e3．已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為A． B．2 C．或2 D．或4．由0,1,2,3組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中0與2不相鄰的四位數(shù)有A．6個(gè) B．8個(gè) C．10個(gè) D．12個(gè)5．若直線：(為參數(shù))經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率是A． B．C．1 D．26．已知命題，總有，則為（）A．使得 B．使得C．總有 D．,總有7．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿途中路線前進(jìn)，則從到不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．258．函數(shù)在處的切線方程是()A． B． C． D．9．將曲線按變換后的曲線的參數(shù)方程為（）A． B． C． D．10．設(shè)復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C．1 D．211．展開式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為A． B． C． D．212．已知?jiǎng)ta，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的焦點(diǎn)是，若雙曲線上存在點(diǎn)，使是有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形，則的離心率是______；14．用反證法證明命題：“定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸至多只有個(gè)交點(diǎn)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸__________”．15．用五種不同的顏色，給圖中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則涂色的方法共有種．16．假設(shè)每一架飛機(jī)的每一個(gè)引擎在飛行中出現(xiàn)故障概率均為，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎飛機(jī)正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；2引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可成功飛行.要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中,O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線過(guò)點(diǎn)且與垂直，垂足為P（1）當(dāng)時(shí)，求及的極坐標(biāo)方程（2）當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)且點(diǎn)P在線段上時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程18．（12分）已知過(guò)點(diǎn)的橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上的任意一點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)始終在以為直徑的圓外，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，平面，，交于點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知橢圓：的離心率為，焦距為．（1）求的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，均在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：直線，，的斜率依次成等比數(shù)列．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；曲線的極坐標(biāo)方程。(2)當(dāng)曲線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）梯形中，，矩形所在平面與平面垂直，且，.（1）求證：平面平面；（2）若P為線段上一點(diǎn)，且異面直線與所成角為45°，求平面與平面所成銳角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人，若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【題目詳解】由題意知本題需要分組解決，∵對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人有A73種；若有一個(gè)臺(tái)階有2人另一個(gè)是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故答案為：B．【題目點(diǎn)撥】分類要做到不重不漏，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到步驟完整﹣﹣完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．2、B【解題分析】

設(shè)切點(diǎn)為（s，t），求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得s，t，進(jìn)而求得m．【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)為（s，t），f（x）＝xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1+lnx，可得切線的斜率為1+lns＝2，解得s＝e，則t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查直線方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

由1，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，得到m=±1．當(dāng)m=1時(shí)，圓錐曲線是橢圓；當(dāng)m=﹣1時(shí)，圓錐曲線是雙曲線，(舍）由此即可求出離心率．【題目詳解】∵1，m，9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，∴m2=1×9，則m=±1．當(dāng)m=1時(shí)，圓錐曲線+y2=1是橢圓，它的離心率是=；當(dāng)m=﹣1時(shí)，圓錐曲線+y2=1是雙曲線，故舍去，則離心率為．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐曲線的離心率的求法，解題時(shí)要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．4、B【解題分析】分析：首先求由0,1,2,3組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)：先排千位數(shù)，有種排法，再排另外3個(gè)數(shù)，有種排法，利用乘法原理能求出組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)；然后求數(shù)字0，2相鄰的情況：，先把0，2捆綁成一個(gè)數(shù)字參與排列，再減去0在千位的情況，由此能求出其中數(shù)字0，2相鄰的四位數(shù)的個(gè)數(shù)．最后，求得0與2不相鄰的四位數(shù)詳解：由數(shù)字0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有：．

其中數(shù)字0，2相鄰的四位數(shù)有：則0與2不相鄰的四位數(shù)有。故選B點(diǎn)睛：本題考查排列數(shù)的求法，考查乘法原理、排列、捆綁法，間接法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

先由參數(shù)方程消去參數(shù)，再由直線過(guò)原點(diǎn)，即可得出結(jié)果.【題目詳解】直線方程消去參數(shù),得：，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，代入直線方程，解得：，所以，直線方程為：，斜率為2.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線的參數(shù)方程，熟記參數(shù)方程與普通方程的互化即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、B【解題分析】

利用全稱命題的否定解答即得解.【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可知，￢p為?x0＞0，使得（x0+1）≤1，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.7、C【解題分析】

向北走的路有5條，向東走的路有3條，走路時(shí)向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算得出答案【題目詳解】因?yàn)橹荒芟驏|或向北兩個(gè)方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時(shí)向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果，選C【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計(jì)數(shù)原理，本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，看出完成一件事共有兩個(gè)環(huán)節(jié)，每一步各有幾種方法，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

求導(dǎo)函數(shù)，切點(diǎn)切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到切線方程．【題目詳解】求曲線y＝exlnx導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）＝exlnx∴f′（1）＝e，∵f（1）＝0，∴切點(diǎn)（1，0）．∴函數(shù)f（x）＝exlnx在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基本知識(shí)的考查．9、D【解題分析】由變換：可得：,代入曲線可得：，即為：令(θ為參數(shù))即可得出參數(shù)方程．故選D.10、A【解題分析】

先對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后得出，即可算出【題目詳解】所以，所以故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查的是復(fù)數(shù)的運(yùn)算，較簡(jiǎn)單.11、B【解題分析】試題分析：由二項(xiàng)式定理知，展開式中最后一項(xiàng)含，其系數(shù)為1，令=1得，此二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為=1，故不含項(xiàng)的系數(shù)和為1-1=0，故選B.考點(diǎn)：二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和；二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)12、D【解題分析】

對(duì)于看成冪函數(shù)，對(duì)于與的大小和1比較即可【題目詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，由因?yàn)椋?，，所以，所以選擇D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)之間大小的比較，常用的方法：1、通常看成指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)比較．2、和0、1比較．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，等腰三角形的腰應(yīng)該為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【題目詳解】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，等腰三角形的兩個(gè)腰應(yīng)為與或與，不妨設(shè)等腰三角形的腰為與，且點(diǎn)在第一象限，故，等腰有一內(nèi)角為，即，由余弦定理可得，，由雙曲線的定義可得，，即，解得：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的定義、性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.14、至少有個(gè)交點(diǎn)【解題分析】分析：反證法證明命題，只否定結(jié)論，條件不變。詳解：命題：“定義在實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)的圖象與軸至多只有個(gè)交點(diǎn)”時(shí)，結(jié)論的反面為“與軸至少有個(gè)交點(diǎn)”。點(diǎn)睛：反證法證明命題，只否定結(jié)論，條件不變，至多只有個(gè)理解為，故否定為.15、240【解題分析】試題分析：先涂（3）有5種方法，再涂（2）有4種方法，再涂（1）有3種方法，最后涂（4）有4種方法，所以共有5×4×3×4=240種涂色方法．考點(diǎn)：排列、組合.16、【解題分析】分析：由題意知各引擎是否有故障是獨(dú)立的，4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，4引擎飛機(jī)可以正常工作的概C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飛機(jī)可以正常工作的概率是p2，根據(jù)題意列出不等式，解出p的值．詳解：每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障率為1﹣p，不出現(xiàn)故障的概率是p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；4引擎飛機(jī)可以正常工作的概率是C43p3（1﹣p）+p4，2引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)也可成功飛行，2引擎飛機(jī)可以正常工作的概率是p2要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全，依題意得到C43p3（1﹣p）+p4＞p2，化簡(jiǎn)得3p2﹣4p+1＜0，解得＜p＜1．故選：B．點(diǎn)睛：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一個(gè)綜合題，本題也是一個(gè)易錯(cuò)題，注意條件“4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行”的應(yīng)用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），極坐標(biāo)方程為（2）點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí)，，直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為，計(jì)算直線方程為化為極坐標(biāo)方程為（2）點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，坐標(biāo)方程為，再計(jì)算定義域得到答案.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，以為原點(diǎn)，極軸為軸建立直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中有，，，則直線的斜率由點(diǎn)斜式可得直線：，化成極坐標(biāo)方程為；(2)∵∴，則點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓此時(shí)圓的直角坐標(biāo)方程為化成極坐標(biāo)方程為，又在線段上，由可得，∴點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為）.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線的極坐標(biāo)方程，軌跡方程，忽略掉定義域是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.18、(1).(2)或.【解題分析】試題分析：（1）由題意，利用等差數(shù)列和橢圓的定義求出a、c的關(guān)系，再根據(jù)橢圓C過(guò)點(diǎn)A，求出a、b的值，即可寫出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），根據(jù)題意知x1=﹣2，y1=0；聯(lián)立方程消去y，由方程的根與系數(shù)關(guān)系求得x2、y2，由點(diǎn)A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角，?＞0；由此列不等式求出k的取值范圍．試題解析：（1）∵，，成等差數(shù)列，∴，由橢圓定義得，∴；又橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，∴；∴，解得，；∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，聯(lián)立方程，消去得：；依題意：恒過(guò)點(diǎn)，此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，∴，，①由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，；②可得；③由①②③，解得，；由點(diǎn)在以為直徑的圓外，得為銳角，即；由，，∴；即，整理得，，解得：或.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是或.點(diǎn)睛：在圓錐曲線中研究范圍，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)，常從以下方面考慮：①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)證明與進(jìn)而證明平面即可.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求解以及平面的法向量,再求解線與平面所成角【題目詳解】（1）證明1：在中,.因?yàn)榻挥邳c(diǎn),所以.因?yàn)槠矫?所以,所以.又因?yàn)槠矫?所以平面所以平面,所以.證明2：如圖,以為原點(diǎn),分別以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.在中,.因?yàn)榻挥邳c(diǎn),所以,所以,所以,所以（2）解：由（1）可知,,.設(shè)平面的法向量為,所以即令,則,所以.設(shè)直線與平面所成角為,則.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面垂直線線垂直的證明以及建立空間直角坐標(biāo)系求解線面角的問(wèn)題.屬于中檔題.20、(1).(2)見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)題中條件，得到，再由，求解，即可得出結(jié)果；（2）先設(shè)直線的方程為，，,聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合判別式、韋達(dá)定理等，表示出，只需和相等，即可證明結(jié)論成立.【題目詳解】（1）由題意可得，解得，又，所以橢圓方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，，,由，消去，得則，且，故即直線，，的斜率依次成等比數(shù)列.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的應(yīng)用，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.21、(1)見解析;(2).【解題分析】

（1）利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得到曲線的直角坐標(biāo)方程與曲線的極坐標(biāo)方程，注意