太奇GCT數(shù)學公式-電子版分享

第1部分算術數(shù)的概念與性質(zhì)自然數(shù)：0，1，2，……整數(shù)：……，-2，-1，0，1，2，……分數(shù)：將單位“1”分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù)，通常用“%”來表示。數(shù)的整除：當整數(shù)除以非零整數(shù)，商正好是整數(shù)而無非零余數(shù)是，則稱能被整除，或稱能被整除。倍數(shù)或約數(shù)：當能被整除時，稱是的倍數(shù)，或者是的約數(shù)。質(zhì)數(shù)（素數(shù)）：一個正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，叫做質(zhì)數(shù)（素數(shù)）。合數(shù)：一個正整數(shù)，除了1和它本身，還有其他約數(shù)，叫做合數(shù)。公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)。最小公倍數(shù)：所有公倍數(shù)中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。最大公約數(shù)：所有公約數(shù)中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)?；ベ|(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)，叫做互質(zhì)（素）數(shù)。數(shù)的四則運算定律與運算性質(zhì)運算定律加法交換律加法結(jié)合律乘法交換律乘法結(jié)合律乘法分配律運算性質(zhì)交換性質(zhì)結(jié)合性質(zhì)比和比例定義：兩個數(shù)相除又稱為兩個數(shù)的比，即。表示兩個比相等的式子叫做比例，記作。比的性質(zhì)：比的前項與后項同乘（除）以同一個非的數(shù)，其比值不變。比例的性質(zhì)：（外項積＝內(nèi)項積）或（互換外項或內(nèi)項）（合比定理）（分比定理）（合分比定理）第2部分初等代數(shù)絕對值實數(shù)的絕對值記為，并規(guī)定絕對值的性質(zhì)與運算法則（）當時，；。復數(shù)的基本概念以及代數(shù)運算基本概念：虛數(shù)單位：滿足。一般形式：，其中，是實數(shù)，是虛數(shù)單位。實部與虛部：，分別稱為復數(shù)的實部與虛部。共軛復數(shù)：稱為的共軛復數(shù)，記為。模：稱為復數(shù)的模輻角：復數(shù)的輻角滿足，基本形式一般形式（代數(shù)形式）：,三角形式：,指數(shù)形式：復數(shù)的代數(shù)運算設，加法運算：減法運算：乘法運算：除法運算：共軛復數(shù)的性質(zhì)，；（）復數(shù)的三角形式及運算復數(shù)的三角形式：假設復數(shù)（）的模為，幅角為，則稱為復數(shù)的三角形式，且有，，。復數(shù)的三角形式的運算法則如果，，則有：，（）。如果，則。③的次方根有個，為：（其中）整式乘法的幾個常用公式和的平方： 差的平方：和的立方：差的立方： 平方差：立方和：立方差：根式基本概念：設正整數(shù)，已知數(shù)，若有，則稱為的次方根，記為。正數(shù)的正方跟稱為算術根，規(guī)定零的算術根為零。由方根的定義，有，。根式的運算性質(zhì)：乘積的方根（對于，）分式的方根（對于，）③根式的乘方（對于）④根式的化簡（對于）集合概念：把某些確定的對象匯集成一個整體，稱為集合。集合中的各個對象稱為元素。不含有任何元素的集合稱為空集，記為。含有有限個元素的集合稱為有限集，含有無限個元素的集合稱為無限集。如果是集合的元素，記作，否則，記作。常用集合：自然數(shù)集（），整數(shù)集（），有理數(shù)集（），實數(shù)集（），復數(shù)集（）。集合的表示方法：包含關系子集：如果集合中任意一個元素都是集合的元素，記作或者，則稱是的一個子集。。②相等：如果且，則稱集合和集合相等，記作。③真子集：如果，集合和集合不相等，則稱是的真子集，記作。子集的個數(shù)如果集合中有個元素，那么集合的子集個數(shù)為；如果集合中有個元素，那么集合的非空子集個數(shù)為；如果集合中有個元素，那么集合的真子集個數(shù)為；如果集合中有個元素，那么集合的非空真子集個數(shù)為。運算概念：假設，是兩個集合。所有既屬于又屬于的元素構(gòu)成的集合，則稱為和的交集，記作。所有或者屬于，或者屬于的元素構(gòu)成的集合，則稱為和的并集，記作。假設是一個集合，。所有屬于但不屬于的元素構(gòu)成的集合，則稱為關于的補集，記作，在明確的條件下，也可記為。在有關補集的問題中，也常稱為全集。集合運算的性質(zhì)假設，，為任意三個集合，為全集，則：交換律：，；結(jié)合律：，；分配率：，；摩根定律：，；等冪律：，；吸收律：，；0―1律：，，，；互補律：，；重疊率：，。函數(shù)概念假設是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合A中的任意一個數(shù)在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：，其中叫做自變量，是函數(shù)值，。A稱為函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合叫作函數(shù)的值域，值域包含于集合B。反函數(shù)：，若在原函數(shù)的圖像上，則在它的反函數(shù)圖像上。簡單性質(zhì)：有界性：；奇偶性：若函數(shù)在其定義域內(nèi)任意一個，都有，則稱是奇函數(shù)；若函數(shù)在其定義域內(nèi)任意一個，都有，則稱是偶函數(shù)。周期性：如果存在一個非零常數(shù)，使得函數(shù)當取定其定義域內(nèi)任意一個值時，都有，則稱為周期函數(shù)，稱為函數(shù)的周期。一個關于周期函數(shù)的重要的變換：。冪函數(shù)冪函數(shù)的一般形式是，其中，常數(shù)，定義域是使得有意義的全體實數(shù)構(gòu)成的集合。當時，冪函數(shù)過點和點，在區(qū)間上是增函數(shù)。當時，冪函數(shù)過點，在區(qū)間上是減函數(shù)。指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的一般形式是(且)，定義域為，函數(shù)的圖像在的上方，過點。當時,(且)是上的增函數(shù)；當時，是上的減函數(shù)。圖像：指數(shù)函數(shù)圖像指數(shù)函數(shù)圖像對數(shù)的定義如果（且），那么叫做以為底的對數(shù)，記作。對數(shù)的運算法則：設，，且，則；；；；換底公式：，（且）；（，）；，。對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的一般形式是(且)，它是指數(shù)函數(shù)(且)的反函數(shù)，其定義域為，值域為。當時,(且)是上的增函數(shù)；當時，是上的減函數(shù)。圖像：一元一次方程、二元一次方程一元一次方程的形式是：，其中，它的根為.二元一次方程組的形式是：，如果，則方程組有唯一解。一元二次方程一元二次方程的形式是判別式：求根公式：根與系數(shù)的關系（韋達定理）：，二次函數(shù)的圖像其圖像是以為對稱軸，為頂點的拋物線。不等式的基本性質(zhì)若則；反之，若，則。若，，則。若，則。若，，則；若，，則。若，，則。若，，則。若，，、都是正數(shù)，則。若，、是符號相同的兩個數(shù)，則。若，，、都是正數(shù)，則。若，、都是正數(shù)，是自然數(shù)，則。若，、都是正數(shù)，是自然數(shù)，則。常用的基本不等式。且時，。時，。（以上4式在時等號成立）?？挛鞑坏仁剑?。。解一元一次不等式當時，其解為。當時，其解為。解含有絕對值的不等式。。一元二次不等式的圖像解法一元二次方程的根有兩個相異實根（取）有兩個相等實根沒有實根一元二次不等式的解集（或）（）（實數(shù)集）（）無解無解二次函數(shù)的圖像數(shù)列的概念數(shù)列的形式：，通項為，前n項和為，等差數(shù)列定義：數(shù)列是等差數(shù)列，稱為等差數(shù)列的公差。通項公式：。前n項和公式：或。簡單性質(zhì)：（中項公式），（平均值）。等比數(shù)列定義：數(shù)列（）是等比數(shù)列，稱為等比數(shù)列的公比。通項公式：。前n項和公式：當時，；當時，或。簡單性質(zhì)：中項公式：數(shù)學歸納法步驟：先驗證當取第一個值（如）時命題成立；假設當時，命題成立，證明當時命題也成立。排列與組合加法原理：如果完成一件事可以有n類辦法，在第i類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。乘法原理：如果完成一件事需要分成n個步驟，做第i步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。排列與排列數(shù)：從n個不同的元素中任取m個，按照一定的順序排成一列，稱為從n個元素中取出m個元素的一個排列；所有這些排列的個數(shù)，稱為排列數(shù)，記為。排列數(shù)公式：。注：階乘（全排列）組合與組合數(shù)：從n個不同的元素中任取m個并成一個組，稱為從n個元素中取出m個元素的一個組合；所有這些組合的個數(shù)，稱為組合數(shù)，記為。組合數(shù)公式：組合數(shù)的基本性質(zhì)：，，二項式定理：古典概率的基本概念樣本空間：某個隨機試驗所有可能的結(jié)果的集合稱為樣本空間，記為。樣本點：中的每個元素，及試驗的每個結(jié)果，稱為樣本點。隨機事件：的子集稱為隨機事件，簡稱事件。必然事件：是自身的一個子集，在每次試驗中，它是必然發(fā)生的，稱為必然事件。不可能事件：空集也是的一個子集，它在每次試驗中都不可能發(fā)生，稱為不可能事件。和事件：事件稱為事件與事件的和事件，當且僅當，至少有一個發(fā)生時，事件發(fā)生。有時也記為。積事件：事件稱為事件與事件的積事件，當且僅當，同時發(fā)生時，事件發(fā)生。有時也記為?；ゲ幌嗳菔录喝绻?，稱事件與事件互不相容，或互斥，即指事件與事件不能同時發(fā)生。對立事件：如果，且，稱事件與事件互為對立事件，即指對每次試驗，事件與事件必有一個且僅有一個發(fā)生。概率的概念與性質(zhì)定義：設是某隨機試驗的樣本空間，對于隨機試驗的每一事件賦予一個實數(shù)，滿足：①非負性：對于每一個事件，；②規(guī)范性：對于必然事件，；③可加性：設是兩兩互斥的事件，即：，，，有：，則稱為事件的概率。概率的性質(zhì)：，，。幾種特殊事件發(fā)生的概率等可能事件（古典概型）：互不相容事件：對立事件：相互獨立事件：獨立重復試驗如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為第3部分幾何與三角三角形三角形內(nèi)角之和：。三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和。三角形面積公式，其中是邊上的高，C是邊所夾的角，為三角形的半周長。三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊，即。幾種特殊三角形勾股定理：。等腰直角三角形的三邊之比：。三個內(nèi)角分別是的直角三角形，三個內(nèi)角對應的三邊之比為。四邊形矩形（正方形）：四內(nèi)角均為。矩形兩邊長為，，面積，周長，對角線長＝。注：時的矩形稱為正方形。平行四邊形（菱形）平行四邊形兩邊長是，，以為底邊的高為，面積為，周長。注：時的矩形稱為正方形。梯形上底為，下底為，高為，中位線＝，面積為。圓和扇形圓圓的圓心為O,半徑為r，直徑為d，則周長為，面積是。扇形扇形OAB中，圓心角為，則AB弧長，扇形面積。長方體假設長方體的3條相鄰的棱邊長是。體積：全面積：對角線長：圓柱體假設圓柱體的高為，底半徑為R.體積：側(cè)面積：全面積：.正圓錐體假設正圓錐體的高為，底半徑為R.體積：母線：側(cè)面積：，其側(cè)面展開圖為一扇形，該扇形的圓心角為全面積：.球假設球半徑為R。體積：。面積：三角函數(shù)定義假設為角的終邊上的任意一點，它與原點的距離.\則角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定義分別為：\特殊角的三角函數(shù)值01010-101不存在0不存在10不存在符號角的各個三角函數(shù)值的符號取決于它終邊上一點的坐標的符號，三角函數(shù)值在各象限的符號用圖概括如下__++__+++_+_+__+三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)圖像：性質(zhì)三角函數(shù)名稱定義域值域奇偶性單調(diào)性最小正周期正弦函數(shù)R奇函數(shù)在上增，在上減。余弦函數(shù)R偶函數(shù)在上增，在上減。正切函數(shù)R奇函數(shù)在上增余切函數(shù)R奇函數(shù)在上減三角函數(shù)的周期公式的最小周期為，的最小周期為。常用的三角函數(shù)恒等式同角三角函數(shù)間的關系誘導公式，，，，，，，，，，，。和角與差角公式倍角與半角公式積化和差公式和差化積公式反三角函數(shù)，；，；，；，正弦定理和余弦定理正弦定理（為外接圓的半徑）余弦定理，，。，，。三角形的面積公式平面向量定義：既有大小又有方向的量叫做向量。在平面直角坐標系里，對于起點為坐標原點，終點為的向量，稱為向量的坐標，記為。向量的加法①三角形法則：在中，。②平行四邊形法則：在以、為鄰邊的平行四邊形中，。向量的數(shù)乘設，為平面向量，則①②③向量運算的坐標表示設，，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦定比分點公式；設，、、的坐標分別為：、、，則有，。平面直線直線的斜率公式：直線方程的五種形式①點斜式：（直線過點，斜率為）。②斜截式：（直線斜率為，在軸上的截距為）。③兩點式：（）(（）為直線上兩點)。④截距式：（、分別為直線的橫、縱截距，）。⑤一般式：（其中不同時為0）。兩條直線的位置關系：；：平行：垂直：點到直線的距離直線：，點到直線的距離為。圓定義：到一定點距離相等的點的軌跡稱為圓。圓的標準方程：，其中為圓心，為半徑。圓的一般方程：（），其中圓心為，半徑圓的參數(shù)方程：圓心在半徑為的圓的參數(shù)方程為：，其中是參數(shù)。橢圓定義：若是兩定點，則滿足（為常數(shù)）的點的軌跡稱為橢圓。橢圓的標準方程：，其中。橢圓的參數(shù)方程：，其中，是參數(shù)。橢圓的離心率：，其中。橢圓的準線方程：橢圓的圖像：橢圓的性質(zhì)：①②范圍：橢圓上點的坐標滿足，。橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為。雙曲線定義：如果是兩個定點，則滿足（為常數(shù)）的點的軌跡稱為雙曲線。雙曲線的標準方程：，其中，。雙曲線的參數(shù)方程：，其中，，是參數(shù)。雙曲線的離心率：，其中。雙曲線的漸近線：，。雙曲線的準線方程：雙曲線的圖像：雙曲線的性質(zhì)：①②范圍：雙曲線上點的坐標滿足。雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為。焦半徑：，。拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，定點稱為拋物線的焦點，定直線稱為拋物線的準線。拋物線的方程：①②③④拋物線的離心率：拋物線的圖像：拋物線的焦點坐標：①②③④拋物線的準線②③④第4部分一元函數(shù)微積分函數(shù)極限的定義（趨于無窮大函數(shù)的極限）假設函數(shù)在區(qū)間上有定義，為常數(shù)。如果當時，函數(shù)的值無限趨于，則稱當時，以為極限，記作。假設函數(shù)在區(qū)間上有定義，為常數(shù)。如果當時，函數(shù)的值無限趨于，則稱當時，以為極限，記作。假設函數(shù)在區(qū)間上有定義，為常數(shù)。如果當無限增大時，函數(shù)的值無限趨于，則稱當時，以為極限，記作。（時函數(shù)的極限）設函數(shù)在的某鄰域（可除外）有定義。①當無限趨于時，函數(shù)的值無限趨于常數(shù)，則稱當趨于時，以為極限，記作。②當且趨向于時，函數(shù)的值無限趨于常數(shù)，則稱當趨于時，的左極限為，記作。③當且趨向于時，函數(shù)的值無限趨于常數(shù)，則稱當趨于時，的右極限為，記作。極限的運算法則設，，則：，特別的，。（）常用的重要極限，，，。無窮小量與無窮大量定義：如果函數(shù)當（或）時的極限為零，則稱函數(shù)為當當（或）時的無窮小量。如果函數(shù)當（或）時無限變大，則稱函數(shù)為當當（或）時的無窮大量，記作。無窮小量與極限的關系，其中，即。無窮小量與無窮大量的關系在同一個極限過程中，為無窮小量，為無窮大量；為無窮大量，為無窮小量。無窮小量的運算性質(zhì)：①有限個無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。②無窮小量乘有界變量仍為無窮小量。③有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量常見的無窮小量當時，，，，，，，，，。函數(shù)的連續(xù)性設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義。在點連續(xù)：如果，則稱在點連續(xù)。注：函數(shù)在點連續(xù)左連續(xù)與右連續(xù)如果，則稱在點左連續(xù)；如果，則稱在點右連續(xù)。注：函數(shù)在點連續(xù)的充要條件是在點左連續(xù)且右連續(xù)。在內(nèi)連續(xù)如果在內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)。在在上連續(xù)如果在內(nèi)的每一點都連續(xù)，且在點右連續(xù)，在點左連續(xù)，則稱在上連續(xù)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設在閉區(qū)間上連續(xù)，那么有界性：在上有界。介值定理：若是介于與（）之間的任何一個數(shù)，則至少存在一點，使得。最值定理：在閉區(qū)間上有最大值和最小值，并且能夠娶到最大值和最小值之間的任何一個值。零點存在定理：若，則至少存在一點，使得。導數(shù)切線的斜率：導數(shù)的定義：（用于判定抽象函數(shù)是否可導）（用于表達式給定的具體函數(shù)，求導數(shù)值）可導、連續(xù)、極限之間的關系：在點處可導在處連續(xù)在處的極限存在。左右導數(shù)：左導數(shù)：右導數(shù)：結(jié)論：導數(shù)的幾何意義：導數(shù)的幾何意義為在點處的切線斜率。①切線方程：②法線方程：初等函數(shù)的求導公式函數(shù)名稱導數(shù)函數(shù)名稱導數(shù)導數(shù)的四則運算法則①(“數(shù)乘”)對任意常數(shù)，。②（“加減法”）對任意常數(shù)、，。③（“乘積”）。④（“除法”），（）。復合函數(shù)的求導法則已知則微分的四則運算法則①(“數(shù)乘”)對任意常數(shù)，。②（“加減法”）對任意常數(shù),。③（“乘積”）。④（“除法”），（）。中值定理與導數(shù)應用羅爾中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且，則至少存在一點，使得。拉格郎日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，則至少存在一點，使得。也可變?yōu)?。推?：如果函數(shù)在閉區(qū)間上導數(shù)恒為零，則在區(qū)間上是一個常數(shù)。推論2：如果函數(shù)和在閉區(qū)間上每一點的導數(shù)都相等，則這兩個函數(shù)在區(qū)間上至多相差一個常數(shù)?？挛髦兄刀ɡ砣绻瘮?shù)和在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且在每一點處均不為零，則至少存在一點，使得。洛必達法則設函數(shù)和滿足：（或）；和在的空心鄰域內(nèi)可導且；則，其中可以是有限數(shù)，也可以是。函數(shù)的增減性、凸凹性與極值函數(shù)增減性的判定法如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，則：①在上單增的充要條件是。②在上單減的充要條件是。函數(shù)凸凹性的判定法如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，則：①若在內(nèi)，，則在上的圖形是凹的。②若在內(nèi)，，則在上的圖形是凸的。函數(shù)極值的定義：設。若（為某一常數(shù)）均有，則稱為的極大值點，為的極大值；若（為某一常數(shù)）均有，則稱為的極小值點，為的極小值。極值的必要條件若函數(shù)在點可導，且取得極值，則。極值的判別法法一：假設函數(shù)在點處連續(xù)，在的某個空心鄰域內(nèi)可導，①若當時，；當時，，則在點取得極大值。②若當時，；當時，，則在點取得極小值。法二：函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有二階導數(shù)，且，，①若，則在點取得極大值。②若，則在點取得極小值。函數(shù)拐點①定義：設函數(shù)在上連續(xù)，，若為凸凹部分的分界點，則稱點為曲線的拐點。②求法：設在內(nèi)二階可導，，。如果在點的左右鄰域內(nèi)異號，則為曲線的一個拐點；如果在點的左右鄰域內(nèi)同號，則不是曲線的拐點。曲線的漸近線垂直漸近線：若，則為的一條垂直漸近線。水平漸近線：若，則為的一條水平漸近線。斜漸近線：若，，則為曲線的一條斜漸近線。不定積分與導數(shù)（微分）的關系求函數(shù)的不定積分是求導數(shù)（微分）的逆運算，他們的關系如下：常用的不定積分(k是常數(shù))，，，=arctanx+C，，，，。不定積分的運算法則數(shù)乘：對任意常數(shù)，。加減法：對任意常數(shù)、，。不定積分的計算方法第一換元積分法：若，，則，稱之為第一換元積分法。第二換元積分法：“反過來”，又若，則，稱之為第二換元積分法。分布積分公式：。注：對于定積分有類似于上面的公式。定積分的幾何意義++_定積分在幾何上表示由曲線（）與直線，及軸所圍平面曲邊梯形的面積，如圖。若在上變號，則表示曲線++_與直線，及軸所圍平面圖形面積的代數(shù)和，即軸上方的圖形面積減去軸下方的 圖形面積就是定積分的值。如圖。定積分的性質(zhì)（即積分值與積分變量的記號無關）；（為常數(shù)）若，，則。若，，則。但若，在上連續(xù)，且不恒為零，則如果有，必有。若有，必有。（）估值定理：若對，有，則（）積分中值定理：設在上連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點，使得，通常稱為在區(qū)間上的平均值。變上限的定積分設在上連續(xù)，為區(qū)間上任一點，在在上的定積分是上限的函數(shù)，記為，。定理：設函數(shù)在上連續(xù)，則。定積分的計算牛頓-萊布尼茨公式如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則變量替換法設在上連續(xù)，函數(shù)滿足下列條件：①函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的導數(shù)。②，，且當在區(qū)間上變化時，關系式所確定的值不超過，則有：分部積分法設函數(shù)與在區(qū)間上具有連續(xù)的導數(shù)，，則有：注：在化簡定積分的計算中，常常會用到下面的公式：定積分的應用——平面圖形的面積函數(shù)和，其中，與兩條直線，所圍圖形的面積為：。第5部分線性代數(shù)行列式的定義：一階行列式定：二階行列式：＝代數(shù)余子式：在n階行列式中，劃去元素所在的第行和第列，剩余元素構(gòu)成n-1階行列式，成為元素的余子式，記做。令，則稱為的代數(shù)余子式。n階行列式：＝+行列式的性質(zhì)：行列式中行列互換，其值不變，如＝行列式中兩行（列）對換，其值變號，如＝－行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以將公因子提到行列式外，如＝行列式中如果有一行（列）每個元素都由兩個數(shù)之和組成，行列式可以拆成兩個行列式的和，如＝＋行列式中如果有兩行（列）元素對應相等，則行列式的值為0。行列式中如果有兩行（列）元素對應成比例，則行列式為0。行列式中如果有一行（列）元素全為0，則行列式值為0。行列式中某行（列）元素的倍加到另一行（列），則其值不變，如＝n階行列式的展開性質(zhì)：=等于它的任意一行或列的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積和，即按行展開：＝+按列展開：＝+n階行列式的某一行（列）的各元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式的乘積和等與零，即+＝0+＝0幾個特殊行列式對角行列式（主對角線以外的元素全為零的行列式）＝；上三角行列式（主對角線以下的元素全為零的行列式）下三角行列式（主對角線以上的元素全為零的行列式）＝矩陣定義：由個數(shù)排成的行列的表稱為矩陣，記為，或幾類特殊矩陣單位矩陣：主對角元上元素全是1，其余元素全為零的階方陣，稱為階單位矩陣，記為或。對角矩陣：對角線上元素為任意常數(shù)，而非主對角線上元素都是零的方陣稱為對角矩陣，若主對角線上元素相等，則稱為數(shù)量矩陣。三角矩陣：主對角線下方元素全為零的方陣稱為上上三角矩陣；主對角線上方元素全為零的方陣稱為下三角矩陣；上、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣。對稱矩陣：方陣滿足，則稱為對稱矩陣。矩陣的運算運算及規(guī)則性質(zhì)與說明相等設，，（，）同型矩陣才有可能相等，兩矩陣相等是指各對應位置元素分別相等。加減，其中（，）同型矩陣才能相加減數(shù)乘數(shù)乘矩陣式，將數(shù)與矩陣的每一個元素相乘，，，，為任意常數(shù)乘法若，，則，其中（，）只有左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，兩矩陣才能相乘。轉(zhuǎn)置若，則，，，（為任意實數(shù)），（為方陣，為任意正整數(shù)）逆若，則（其中，為階方陣，為階單位矩陣），，，（）可逆伴隨矩陣定義：＝基本關系式：與逆矩陣的關系：行列式：伴隨矩陣的性質(zhì)①（）②③④，⑤若為正交矩陣，則也是正交矩陣⑥若是正定矩陣，則也是正定矩陣⑦矩陣方程設A是n階方陣，B是矩陣，若A可逆，則矩陣方程有解，其解為。設A是n階方陣，B是矩陣，若A可逆，則矩陣方程有解，其解為。矩陣的初等變換定義：交換變換：互換矩陣中的某兩行（列）。倍加變換：把某一行（列）的倍加到另一行（列）上。倍乘交換：用一個非零常數(shù)乘矩陣的某一行（列）。應用：求矩陣的逆矩陣矩陣的秩階子式：在矩陣A中，任取行列，位于這行列交叉處的個元素按其原來的次序組成一個階行列式，稱為A的一個階子式。矩陣的秩：若矩陣A中有一個階子式不為零，而所有階子式全為零，則稱矩陣A的秩為，記作。矩陣的秩的求法：將矩陣通過初等行變換化作階梯形矩陣，階梯形矩陣的主元的個數(shù)即為矩陣的秩。矩陣的秩的常用性質(zhì)：①，。②A中有一個r階子式不為零。③A中所有r＋1階子式全為零。對于n階方陣A，。對于n階方陣A，若，則稱A是滿秩方陣。⑤,，（）。⑥。⑦，。⑧，其中n為矩陣A的列數(shù)。若，則。⑨若A可逆，則；若B可逆，則。⑩向量的線性組合與線性表示設是n維向量，是數(shù)，則稱為向量的一個線性組合。若，則稱可由線性表出。線性相關與線性無關定義：設是n維向量，若存在不全為零的數(shù)，使得＝0，則稱線性相關，否則稱為線性無關。定理：若線性無關，而，線性相關，則可由線性表出，且表示法唯一。線性相關的判斷：設是n維向量，線性相關存在某個向量可被其余s－1個向量線性表出。n個n維向量線性相關。n＋1個n維向量必線性相關。增加向量組向量的個數(shù)，不改變向量組的線性相關性；減少向量組向量的個數(shù)，不改變向量組的線性無關性。增加向量組向量的維數(shù)，不改變向量組的線性無關性；減少向量組向量的維數(shù)，不改變向量組的線性相關性。含有零向量的向量組必線性相關。含有兩個相同向量的向量組必線性相關。向量組的秩和極大線性無關組定義：設向量組是向量組的一個部分組，滿足①線性無關；②向量組的每一個向量都可以由向量組線性表示出，則稱是向量組的一個極大線性無關組。向量組的極大線性無關組中所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩。求極大線性無關組的步驟：將向量依次按列寫成矩陣；對矩陣施行行初等變換，化作階梯形；主元所在的列標對應到原向量構(gòu)成一個極大線性無關組。例如：求，，，，的秩。（行初等變換）階梯形矩陣中主元所在的列的列表為1，2，4，故對應的向量為向量組的一個極大線性無關組，且。向量組的秩與矩陣的秩的關系設A是矩陣，將矩陣的每個行看作行向量，矩陣個行向量構(gòu)成一個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩。將矩陣的每個列看作列向量，矩陣的個列向量構(gòu)成一個向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩。矩陣的行秩＝矩陣的列秩＝矩陣的秩。（三秩相等）齊次線性方程組有非零解的判定條件元齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的列向量組線性相關。設，齊次線性方程組有非零解；只有零解，即系數(shù)矩陣滿秩。設A是n階方陣，齊次方程組有非零解；只有零解。設，當時，齊次線性方程組必有非零解。齊次方程組解的性質(zhì)若是齊次線性方程組的解，則和仍是的解；若是齊次線性方程組的解，則的任意常數(shù)倍仍是的解。齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)基礎解系：設元齊次線性方程組有非零解（即）。若是的一組線性無關的解，并且的任意一個解均可由他們線性表出，則