太奇GCT數(shù)學(xué)公式-電子版分享

第1部分算術(shù)數(shù)的概念與性質(zhì)自然數(shù)：0，1，2，……整數(shù)：……，-2，-1，0，1，2，……分?jǐn)?shù)：將單位“1”分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，通常用“%”來(lái)表示。數(shù)的整除：當(dāng)整數(shù)除以非零整數(shù)，商正好是整數(shù)而無(wú)非零余數(shù)是，則稱能被整除，或稱能被整除。倍數(shù)或約數(shù)：當(dāng)能被整除時(shí)，稱是的倍數(shù)，或者是的約數(shù)。質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：一個(gè)正整數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，叫做質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）。合數(shù)：一個(gè)正整數(shù)，除了1和它本身，還有其他約數(shù)，叫做合數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。最小公倍數(shù)：所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)。最大公約數(shù)：所有公約數(shù)中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)?；ベ|(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)，叫做互質(zhì)（素）數(shù)。數(shù)的四則運(yùn)算定律與運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算定律加法交換律加法結(jié)合律乘法交換律乘法結(jié)合律乘法分配律運(yùn)算性質(zhì)交換性質(zhì)結(jié)合性質(zhì)比和比例定義：兩個(gè)數(shù)相除又稱為兩個(gè)數(shù)的比，即。表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例，記作。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同乘（除）以同一個(gè)非的數(shù)，其比值不變。比例的性質(zhì)：（外項(xiàng)積＝內(nèi)項(xiàng)積）或（互換外項(xiàng)或內(nèi)項(xiàng)）（合比定理）（分比定理）（合分比定理）第2部分初等代數(shù)絕對(duì)值實(shí)數(shù)的絕對(duì)值記為，并規(guī)定絕對(duì)值的性質(zhì)與運(yùn)算法則（）當(dāng)時(shí)，；。復(fù)數(shù)的基本概念以及代數(shù)運(yùn)算基本概念：虛數(shù)單位：滿足。一般形式：，其中，是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位。實(shí)部與虛部：，分別稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。共軛復(fù)數(shù)：稱為的共軛復(fù)數(shù)，記為。模：稱為復(fù)數(shù)的模輻角：復(fù)數(shù)的輻角滿足，基本形式一般形式（代數(shù)形式）：,三角形式：,指數(shù)形式：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算設(shè)，加法運(yùn)算：減法運(yùn)算：乘法運(yùn)算：除法運(yùn)算：共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，；（）復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算復(fù)數(shù)的三角形式：假設(shè)復(fù)數(shù)（）的模為，幅角為，則稱為復(fù)數(shù)的三角形式，且有，，。復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算法則如果，，則有：，（）。如果，則。③的次方根有個(gè)，為：（其中）整式乘法的幾個(gè)常用公式和的平方： 差的平方：和的立方：差的立方： 平方差：立方和：立方差：根式基本概念：設(shè)正整數(shù)，已知數(shù)，若有，則稱為的次方根，記為。正數(shù)的正方跟稱為算術(shù)根，規(guī)定零的算術(shù)根為零。由方根的定義，有，。根式的運(yùn)算性質(zhì)：乘積的方根（對(duì)于，）分式的方根（對(duì)于，）③根式的乘方（對(duì)于）④根式的化簡(jiǎn)（對(duì)于）集合概念：把某些確定的對(duì)象匯集成一個(gè)整體，稱為集合。集合中的各個(gè)對(duì)象稱為元素。不含有任何元素的集合稱為空集，記為。含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集。如果是集合的元素，記作，否則，記作。常用集合：自然數(shù)集（），整數(shù)集（），有理數(shù)集（），實(shí)數(shù)集（），復(fù)數(shù)集（）。集合的表示方法：包含關(guān)系子集：如果集合中任意一個(gè)元素都是集合的元素，記作或者，則稱是的一個(gè)子集。。②相等：如果且，則稱集合和集合相等，記作。③真子集：如果，集合和集合不相等，則稱是的真子集，記作。子集的個(gè)數(shù)如果集合中有個(gè)元素，那么集合的子集個(gè)數(shù)為；如果集合中有個(gè)元素，那么集合的非空子集個(gè)數(shù)為；如果集合中有個(gè)元素，那么集合的真子集個(gè)數(shù)為；如果集合中有個(gè)元素，那么集合的非空真子集個(gè)數(shù)為。運(yùn)算概念：假設(shè)，是兩個(gè)集合。所有既屬于又屬于的元素構(gòu)成的集合，則稱為和的交集，記作。所有或者屬于，或者屬于的元素構(gòu)成的集合，則稱為和的并集，記作。假設(shè)是一個(gè)集合，。所有屬于但不屬于的元素構(gòu)成的集合，則稱為關(guān)于的補(bǔ)集，記作，在明確的條件下，也可記為。在有關(guān)補(bǔ)集的問(wèn)題中，也常稱為全集。集合運(yùn)算的性質(zhì)假設(shè)，，為任意三個(gè)集合，為全集，則：交換律：，；結(jié)合律：，；分配率：，；摩根定律：，；等冪律：，；吸收律：，；0―1律：，，，；互補(bǔ)律：，；重疊率：，。函數(shù)概念假設(shè)是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：，其中叫做自變量，是函數(shù)值，。A稱為函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合叫作函數(shù)的值域，值域包含于集合B。反函數(shù)：，若在原函數(shù)的圖像上，則在它的反函數(shù)圖像上。簡(jiǎn)單性質(zhì)：有界性：；奇偶性：若函數(shù)在其定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，則稱是奇函數(shù)；若函數(shù)在其定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，則稱是偶函數(shù)。周期性：如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得函數(shù)當(dāng)取定其定義域內(nèi)任意一個(gè)值時(shí)，都有，則稱為周期函數(shù)，稱為函數(shù)的周期。一個(gè)關(guān)于周期函數(shù)的重要的變換：。冪函數(shù)冪函數(shù)的一般形式是，其中，常數(shù)，定義域是使得有意義的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合。當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，在區(qū)間上是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，在區(qū)間上是減函數(shù)。指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的一般形式是(且)，定義域?yàn)?，函?shù)的圖像在的上方，過(guò)點(diǎn)。當(dāng)時(shí),(且)是上的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是上的減函數(shù)。圖像：指數(shù)函數(shù)圖像指數(shù)函數(shù)圖像對(duì)數(shù)的定義如果（且），那么叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作。對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：設(shè)，，且，則；；；；換底公式：，（且）；（，）；，。對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式是(且)，它是指數(shù)函數(shù)(且)的反函數(shù)，其定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?。?dāng)時(shí),(且)是上的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是上的減函數(shù)。圖像：一元一次方程、二元一次方程一元一次方程的形式是：，其中，它的根為.二元一次方程組的形式是：，如果，則方程組有唯一解。一元二次方程一元二次方程的形式是判別式：求根公式：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：，二次函數(shù)的圖像其圖像是以為對(duì)稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線。不等式的基本性質(zhì)若則；反之，若，則。若，，則。若，則。若，，則；若，，則。若，，則。若，，則。若，，、都是正數(shù)，則。若，、是符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)，則。若，，、都是正數(shù)，則。若，、都是正數(shù)，是自然數(shù)，則。若，、都是正數(shù)，是自然數(shù)，則。常用的基本不等式。且時(shí)，。時(shí)，。（以上4式在時(shí)等號(hào)成立）?？挛鞑坏仁?，。。解一元一次不等式當(dāng)時(shí)，其解為。當(dāng)時(shí)，其解為。解含有絕對(duì)值的不等式。。一元二次不等式的圖像解法一元二次方程的根有兩個(gè)相異實(shí)根（?。┯袃蓚€(gè)相等實(shí)根沒(méi)有實(shí)根一元二次不等式的解集（或）（）（實(shí)數(shù)集）（）無(wú)解無(wú)解二次函數(shù)的圖像數(shù)列的概念數(shù)列的形式：，通項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，等差數(shù)列定義：數(shù)列是等差數(shù)列，稱為等差數(shù)列的公差。通項(xiàng)公式：。前n項(xiàng)和公式：或。簡(jiǎn)單性質(zhì)：（中項(xiàng)公式），（平均值）。等比數(shù)列定義：數(shù)列（）是等比數(shù)列，稱為等比數(shù)列的公比。通項(xiàng)公式：。前n項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或。簡(jiǎn)單性質(zhì)：中項(xiàng)公式：數(shù)學(xué)歸納法步驟：先驗(yàn)證當(dāng)取第一個(gè)值（如）時(shí)命題成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。排列與組合加法原理：如果完成一件事可以有n類辦法，在第i類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。乘法原理：如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，做第i步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。排列與排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；所有這些排列的個(gè)數(shù)，稱為排列數(shù)，記為。排列數(shù)公式：。注：階乘（全排列）組合與組合數(shù)：從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)并成一個(gè)組，稱為從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；所有這些組合的個(gè)數(shù)，稱為組合數(shù)，記為。組合數(shù)公式：組合數(shù)的基本性質(zhì)：，，二項(xiàng)式定理：古典概率的基本概念樣本空間：某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果的集合稱為樣本空間，記為。樣本點(diǎn)：中的每個(gè)元素，及試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。隨機(jī)事件：的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。必然事件：是自身的一個(gè)子集，在每次試驗(yàn)中，它是必然發(fā)生的，稱為必然事件。不可能事件：空集也是的一個(gè)子集，它在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，稱為不可能事件。和事件：事件稱為事件與事件的和事件，當(dāng)且僅當(dāng)，至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生。有時(shí)也記為。積事件：事件稱為事件與事件的積事件，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生。有時(shí)也記為?；ゲ幌嗳菔录喝绻?，稱事件與事件互不相容，或互斥，即指事件與事件不能同時(shí)發(fā)生。對(duì)立事件：如果，且，稱事件與事件互為對(duì)立事件，即指對(duì)每次試驗(yàn)，事件與事件必有一個(gè)且僅有一個(gè)發(fā)生。概率的概念與性質(zhì)定義：設(shè)是某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)的每一事件賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，滿足：①非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件，；②規(guī)范性：對(duì)于必然事件，；③可加性：設(shè)是兩兩互斥的事件，即：，，，有：，則稱為事件的概率。概率的性質(zhì)：，，。幾種特殊事件發(fā)生的概率等可能事件（古典概型）：互不相容事件：對(duì)立事件：相互獨(dú)立事件：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為第3部分幾何與三角三角形三角形內(nèi)角之和：。三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。三角形面積公式，其中是邊上的高，C是邊所夾的角，為三角形的半周長(zhǎng)。三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，即。幾種特殊三角形勾股定理：。等腰直角三角形的三邊之比：。三個(gè)內(nèi)角分別是的直角三角形，三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三邊之比為。四邊形矩形（正方形）：四內(nèi)角均為。矩形兩邊長(zhǎng)為，，面積，周長(zhǎng)，對(duì)角線長(zhǎng)＝。注：時(shí)的矩形稱為正方形。平行四邊形（菱形）平行四邊形兩邊長(zhǎng)是，，以為底邊的高為，面積為，周長(zhǎng)。注：時(shí)的矩形稱為正方形。梯形上底為，下底為，高為，中位線＝，面積為。圓和扇形圓圓的圓心為O,半徑為r，直徑為d，則周長(zhǎng)為，面積是。扇形扇形OAB中，圓心角為，則AB弧長(zhǎng)，扇形面積。長(zhǎng)方體假設(shè)長(zhǎng)方體的3條相鄰的棱邊長(zhǎng)是。體積：全面積：對(duì)角線長(zhǎng)：圓柱體假設(shè)圓柱體的高為，底半徑為R.體積：側(cè)面積：全面積：.正圓錐體假設(shè)正圓錐體的高為，底半徑為R.體積：母線：側(cè)面積：，其側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，該扇形的圓心角為全面積：.球假設(shè)球半徑為R。體積：。面積：三角函數(shù)定義假設(shè)為角的終邊上的任意一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離.\則角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定義分別為：\特殊角的三角函數(shù)值01010-101不存在0不存在10不存在符號(hào)角的各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)取決于它終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)用圖概括如下__++__+++_+_+__+三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)圖像：性質(zhì)三角函數(shù)名稱定義域值域奇偶性單調(diào)性最小正周期正弦函數(shù)R奇函數(shù)在上增，在上減。余弦函數(shù)R偶函數(shù)在上增，在上減。正切函數(shù)R奇函數(shù)在上增余切函數(shù)R奇函數(shù)在上減三角函數(shù)的周期公式的最小周期為，的最小周期為。常用的三角函數(shù)恒等式同角三角函數(shù)間的關(guān)系誘導(dǎo)公式，，，，，，，，，，，。和角與差角公式倍角與半角公式積化和差公式和差化積公式反三角函數(shù)，；，；，；，正弦定理和余弦定理正弦定理（為外接圓的半徑）余弦定理，，。，，。三角形的面積公式平面向量定義：既有大小又有方向的量叫做向量。在平面直角坐標(biāo)系里，對(duì)于起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)為的向量，稱為向量的坐標(biāo)，記為。向量的加法①三角形法則：在中，。②平行四邊形法則：在以、為鄰邊的平行四邊形中，。向量的數(shù)乘設(shè)，為平面向量，則①②③向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)，，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦定比分點(diǎn)公式；設(shè)，、、的坐標(biāo)分別為：、、，則有，。平面直線直線的斜率公式：直線方程的五種形式①點(diǎn)斜式：（直線過(guò)點(diǎn)，斜率為）。②斜截式：（直線斜率為，在軸上的截距為）。③兩點(diǎn)式：（）(（）為直線上兩點(diǎn))。④截距式：（、分別為直線的橫、縱截距，）。⑤一般式：（其中不同時(shí)為0）。兩條直線的位置關(guān)系：；：平行：垂直：點(diǎn)到直線的距離直線：，點(diǎn)到直線的距離為。圓定義：到一定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為圓。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中為圓心，為半徑。圓的一般方程：（），其中圓心為，半徑圓的參數(shù)方程：圓心在半徑為的圓的參數(shù)方程為：，其中是參數(shù)。橢圓定義：若是兩定點(diǎn)，則滿足（為常數(shù)）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中。橢圓的參數(shù)方程：，其中，是參數(shù)。橢圓的離心率：，其中。橢圓的準(zhǔn)線方程：橢圓的圖像：橢圓的性質(zhì)：①②范圍：橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為。雙曲線定義：如果是兩個(gè)定點(diǎn)，則滿足（為常數(shù)）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中，。雙曲線的參數(shù)方程：，其中，，是參數(shù)。雙曲線的離心率：，其中。雙曲線的漸近線：，。雙曲線的準(zhǔn)線方程：雙曲線的圖像：雙曲線的性質(zhì)：①②范圍：雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足。雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為。焦半徑：，。拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線，定點(diǎn)稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線稱為拋物線的準(zhǔn)線。拋物線的方程：①②③④拋物線的離心率：拋物線的圖像：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)：①②③④拋物線的準(zhǔn)線②③④第4部分一元函數(shù)微積分函數(shù)極限的定義（趨于無(wú)窮大函數(shù)的極限）假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，為常數(shù)。如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨于，則稱當(dāng)時(shí)，以為極限，記作。假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，為常數(shù)。如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨于，則稱當(dāng)時(shí)，以為極限，記作。假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，為常數(shù)。如果當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨于，則稱當(dāng)時(shí)，以為極限，記作。（時(shí)函數(shù)的極限）設(shè)函數(shù)在的某鄰域（可除外）有定義。①當(dāng)無(wú)限趨于時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨于常數(shù)，則稱當(dāng)趨于時(shí)，以為極限，記作。②當(dāng)且趨向于時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨于常數(shù)，則稱當(dāng)趨于時(shí)，的左極限為，記作。③當(dāng)且趨向于時(shí)，函數(shù)的值無(wú)限趨于常數(shù)，則稱當(dāng)趨于時(shí)，的右極限為，記作。極限的運(yùn)算法則設(shè)，，則：，特別的，。（）常用的重要極限，，，。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量定義：如果函數(shù)當(dāng)（或）時(shí)的極限為零，則稱函數(shù)為當(dāng)當(dāng)（或）時(shí)的無(wú)窮小量。如果函數(shù)當(dāng)（或）時(shí)無(wú)限變大，則稱函數(shù)為當(dāng)當(dāng)（或）時(shí)的無(wú)窮大量，記作。無(wú)窮小量與極限的關(guān)系，其中，即。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系在同一個(gè)極限過(guò)程中，為無(wú)窮小量，為無(wú)窮大量；為無(wú)窮大量，為無(wú)窮小量。無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)：①有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍為無(wú)窮小量。②無(wú)窮小量乘有界變量仍為無(wú)窮小量。③有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量常見(jiàn)的無(wú)窮小量當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，。函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義。在點(diǎn)連續(xù)：如果，則稱在點(diǎn)連續(xù)。注：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)左連續(xù)與右連續(xù)如果，則稱在點(diǎn)左連續(xù)；如果，則稱在點(diǎn)右連續(xù)。注：函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是在點(diǎn)左連續(xù)且右連續(xù)。在內(nèi)連續(xù)如果在內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)。在在上連續(xù)如果在內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，且在點(diǎn)右連續(xù)，在點(diǎn)左連續(xù)，則稱在上連續(xù)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么有界性：在上有界。介值定理：若是介于與（）之間的任何一個(gè)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)，使得。最值定理：在閉區(qū)間上有最大值和最小值，并且能夠娶到最大值和最小值之間的任何一個(gè)值。零點(diǎn)存在定理：若，則至少存在一點(diǎn)，使得。導(dǎo)數(shù)切線的斜率：導(dǎo)數(shù)的定義：（用于判定抽象函數(shù)是否可導(dǎo)）（用于表達(dá)式給定的具體函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)值）可導(dǎo)、連續(xù)、極限之間的關(guān)系：在點(diǎn)處可導(dǎo)在處連續(xù)在處的極限存在。左右導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：結(jié)論：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)的幾何意義為在點(diǎn)處的切線斜率。①切線方程：②法線方程：初等函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)名稱導(dǎo)數(shù)函數(shù)名稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則①(“數(shù)乘”)對(duì)任意常數(shù)，。②（“加減法”）對(duì)任意常數(shù)、，。③（“乘積”）。④（“除法”），（）。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則已知?jiǎng)t微分的四則運(yùn)算法則①(“數(shù)乘”)對(duì)任意常數(shù)，。②（“加減法”）對(duì)任意常數(shù),。③（“乘積”）。④（“除法”），（）。中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用羅爾中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使得。拉格郎日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)，使得。也可變?yōu)?。推?：如果函數(shù)在閉區(qū)間上導(dǎo)數(shù)恒為零，則在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)。推論2：如果函數(shù)和在閉區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都相等，則這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上至多相差一個(gè)常數(shù)。柯西中值定理如果函數(shù)和在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在每一點(diǎn)處均不為零，則至少存在一點(diǎn)，使得。洛必達(dá)法則設(shè)函數(shù)和滿足：（或）；和在的空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)且；則，其中可以是有限數(shù)，也可以是。函數(shù)的增減性、凸凹性與極值函數(shù)增減性的判定法如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則：①在上單增的充要條件是。②在上單減的充要條件是。函數(shù)凸凹性的判定法如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則：①若在內(nèi)，，則在上的圖形是凹的。②若在內(nèi)，，則在上的圖形是凸的。函數(shù)極值的定義：設(shè)。若（為某一常數(shù)）均有，則稱為的極大值點(diǎn)，為的極大值；若（為某一常數(shù)）均有，則稱為的極小值點(diǎn)，為的極小值。極值的必要條件若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且取得極值，則。極值的判別法法一：假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，①若當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在點(diǎn)取得極大值。②若當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在點(diǎn)取得極小值。法二：函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，，①若，則在點(diǎn)取得極大值。②若，則在點(diǎn)取得極小值。函數(shù)拐點(diǎn)①定義：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，，若為凸凹部分的分界點(diǎn)，則稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)。②求法：設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，，。如果在點(diǎn)的左右鄰域內(nèi)異號(hào)，則為曲線的一個(gè)拐點(diǎn)；如果在點(diǎn)的左右鄰域內(nèi)同號(hào)，則不是曲線的拐點(diǎn)。曲線的漸近線垂直漸近線：若，則為的一條垂直漸近線。水平漸近線：若，則為的一條水平漸近線。斜漸近線：若，，則為曲線的一條斜漸近線。不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分）的關(guān)系求函數(shù)的不定積分是求導(dǎo)數(shù)（微分）的逆運(yùn)算，他們的關(guān)系如下：常用的不定積分(k是常數(shù))，，，=arctanx+C，，，，。不定積分的運(yùn)算法則數(shù)乘：對(duì)任意常數(shù)，。加減法：對(duì)任意常數(shù)、，。不定積分的計(jì)算方法第一換元積分法：若，，則，稱之為第一換元積分法。第二換元積分法：“反過(guò)來(lái)”，又若，則，稱之為第二換元積分法。分布積分公式：。注：對(duì)于定積分有類似于上面的公式。定積分的幾何意義++_定積分在幾何上表示由曲線（）與直線，及軸所圍平面曲邊梯形的面積，如圖。若在上變號(hào)，則表示曲線++_與直線，及軸所圍平面圖形面積的代數(shù)和，即軸上方的圖形面積減去軸下方的 圖形面積就是定積分的值。如圖。定積分的性質(zhì)（即積分值與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)）；（為常數(shù)）若，，則。若，，則。但若，在上連續(xù)，且不恒為零，則如果有，必有。若有，必有。（）估值定理：若對(duì)，有，則（）積分中值定理：設(shè)在上連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，通常稱為在區(qū)間上的平均值。變上限的定積分設(shè)在上連續(xù)，為區(qū)間上任一點(diǎn)，在在上的定積分是上限的函數(shù)，記為，。定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則。定積分的計(jì)算牛頓-萊布尼茨公式如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則變量替換法設(shè)在上連續(xù)，函數(shù)滿足下列條件：①函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。②，，且當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，關(guān)系式所確定的值不超過(guò)，則有：分部積分法設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，，則有：注：在化簡(jiǎn)定積分的計(jì)算中，常常會(huì)用到下面的公式：定積分的應(yīng)用——平面圖形的面積函數(shù)和，其中，與兩條直線，所圍圖形的面積為：。第5部分線性代數(shù)行列式的定義：一階行列式定：二階行列式：＝代數(shù)余子式：在n階行列式中，劃去元素所在的第行和第列，剩余元素構(gòu)成n-1階行列式，成為元素的余子式，記做。令，則稱為的代數(shù)余子式。n階行列式：＝+行列式的性質(zhì)：行列式中行列互換，其值不變，如＝行列式中兩行（列）對(duì)換，其值變號(hào)，如＝－行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以將公因子提到行列式外，如＝行列式中如果有一行（列）每個(gè)元素都由兩個(gè)數(shù)之和組成，行列式可以拆成兩個(gè)行列式的和，如＝＋行列式中如果有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等，則行列式的值為0。行列式中如果有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式為0。行列式中如果有一行（列）元素全為0，則行列式值為0。行列式中某行（列）元素的倍加到另一行（列），則其值不變，如＝n階行列式的展開(kāi)性質(zhì)：=等于它的任意一行或列的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積和，即按行展開(kāi)：＝+按列展開(kāi)：＝+n階行列式的某一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積和等與零，即+＝0+＝0幾個(gè)特殊行列式對(duì)角行列式（主對(duì)角線以外的元素全為零的行列式）＝；上三角行列式（主對(duì)角線以下的元素全為零的行列式）下三角行列式（主對(duì)角線以上的元素全為零的行列式）＝矩陣定義：由個(gè)數(shù)排成的行列的表稱為矩陣，記為，或幾類特殊矩陣單位矩陣：主對(duì)角元上元素全是1，其余元素全為零的階方陣，稱為階單位矩陣，記為或。對(duì)角矩陣：對(duì)角線上元素為任意常數(shù)，而非主對(duì)角線上元素都是零的方陣稱為對(duì)角矩陣，若主對(duì)角線上元素相等，則稱為數(shù)量矩陣。三角矩陣：主對(duì)角線下方元素全為零的方陣稱為上上三角矩陣；主對(duì)角線上方元素全為零的方陣稱為下三角矩陣；上、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣。對(duì)稱矩陣：方陣滿足，則稱為對(duì)稱矩陣。矩陣的運(yùn)算運(yùn)算及規(guī)則性質(zhì)與說(shuō)明相等設(shè)，，（，）同型矩陣才有可能相等，兩矩陣相等是指各對(duì)應(yīng)位置元素分別相等。加減，其中（，）同型矩陣才能相加減數(shù)乘數(shù)乘矩陣式，將數(shù)與矩陣的每一個(gè)元素相乘，，，，為任意常數(shù)乘法若，，則，其中（，）只有左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時(shí)，兩矩陣才能相乘。轉(zhuǎn)置若，則，，，（為任意實(shí)數(shù)），（為方陣，為任意正整數(shù)）逆若，則（其中，為階方陣，為階單位矩陣），，，（）可逆伴隨矩陣定義：＝基本關(guān)系式：與逆矩陣的關(guān)系：行列式：伴隨矩陣的性質(zhì)①（）②③④，⑤若為正交矩陣，則也是正交矩陣⑥若是正定矩陣，則也是正定矩陣⑦矩陣方程設(shè)A是n階方陣，B是矩陣，若A可逆，則矩陣方程有解，其解為。設(shè)A是n階方陣，B是矩陣，若A可逆，則矩陣方程有解，其解為。矩陣的初等變換定義：交換變換：互換矩陣中的某兩行（列）。倍加變換：把某一行（列）的倍加到另一行（列）上。倍乘交換：用一個(gè)非零常數(shù)乘矩陣的某一行（列）。應(yīng)用：求矩陣的逆矩陣矩陣的秩階子式：在矩陣A中，任取行列，位于這行列交叉處的個(gè)元素按其原來(lái)的次序組成一個(gè)階行列式，稱為A的一個(gè)階子式。矩陣的秩：若矩陣A中有一個(gè)階子式不為零，而所有階子式全為零，則稱矩陣A的秩為，記作。矩陣的秩的求法：將矩陣通過(guò)初等行變換化作階梯形矩陣，階梯形矩陣的主元的個(gè)數(shù)即為矩陣的秩。矩陣的秩的常用性質(zhì)：①，。②A中有一個(gè)r階子式不為零。③A中所有r＋1階子式全為零。對(duì)于n階方陣A，。對(duì)于n階方陣A，若，則稱A是滿秩方陣。⑤,，（）。⑥。⑦，。⑧，其中n為矩陣A的列數(shù)。若，則。⑨若A可逆，則；若B可逆，則。⑩向量的線性組合與線性表示設(shè)是n維向量，是數(shù)，則稱為向量的一個(gè)線性組合。若，則稱可由線性表出。線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)定義：設(shè)是n維向量，若存在不全為零的數(shù)，使得＝0，則稱線性相關(guān)，否則稱為線性無(wú)關(guān)。定理：若線性無(wú)關(guān)，而，線性相關(guān)，則可由線性表出，且表示法唯一。線性相關(guān)的判斷：設(shè)是n維向量，線性相關(guān)存在某個(gè)向量可被其余s－1個(gè)向量線性表出。n個(gè)n維向量線性相關(guān)。n＋1個(gè)n維向量必線性相關(guān)。增加向量組向量的個(gè)數(shù)，不改變向量組的線性相關(guān)性；減少向量組向量的個(gè)數(shù)，不改變向量組的線性無(wú)關(guān)性。增加向量組向量的維數(shù)，不改變向量組的線性無(wú)關(guān)性；減少向量組向量的維數(shù)，不改變向量組的線性相關(guān)性。含有零向量的向量組必線性相關(guān)。含有兩個(gè)相同向量的向量組必線性相關(guān)。向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組定義：設(shè)向量組是向量組的一個(gè)部分組，滿足①線性無(wú)關(guān)；②向量組的每一個(gè)向量都可以由向量組線性表示出，則稱是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩。求極大線性無(wú)關(guān)組的步驟：將向量依次按列寫成矩陣；對(duì)矩陣施行行初等變換，化作階梯形；主元所在的列標(biāo)對(duì)應(yīng)到原向量構(gòu)成一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。例如：求，，，，的秩。（行初等變換）階梯形矩陣中主元所在的列的列表為1，2，4，故對(duì)應(yīng)的向量為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且。向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系設(shè)A是矩陣，將矩陣的每個(gè)行看作行向量，矩陣個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩。將矩陣的每個(gè)列看作列向量，矩陣的個(gè)列向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩。矩陣的行秩＝矩陣的列秩＝矩陣的秩。（三秩相等）齊次線性方程組有非零解的判定條件元齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的列向量組線性相關(guān)。設(shè)，齊次線性方程組有非零解；只有零解，即系數(shù)矩陣滿秩。設(shè)A是n階方陣，齊次方程組有非零解；只有零解。設(shè)，當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組必有非零解。齊次方程組解的性質(zhì)若是齊次線性方程組的解，則和仍是的解；若是齊次線性方程組的解，則的任意常數(shù)倍仍是的解。齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)解系：設(shè)元齊次線性方程組有非零解（即）。若是的一組線性無(wú)關(guān)的解，并且的任意一個(gè)解均可由他們線性表出，則