蘇教版九年級(jí)圓周角定理

圓1、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①；②；③；④弧弧

2、圓周角定理（1）、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：∵和是弧所對(duì)的圓心角和圓周角∴（2）、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等?。患矗涸凇阎?，∵、都是、所對(duì)的圓周角∴推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在⊙中，∵是直徑或∵∴∴是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。3、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙中，∵四邊形是內(nèi)接四邊形∴4．過已知點(diǎn)作圓(1)經(jīng)過一點(diǎn)的圓（以這個(gè)點(diǎn)以外任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與已知點(diǎn)的距離為半徑就可以作出，這樣的圓有無數(shù)個(gè)）(2)經(jīng)過兩點(diǎn)的圓(以連接這兩點(diǎn)的垂直平分線上任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)和已知兩點(diǎn)中任意一點(diǎn)的距離為半徑就可以作出，這樣的圓也有無數(shù)個(gè))(3)經(jīng)過三點(diǎn)的圓①經(jīng)過在同一直線上三點(diǎn)不能作圓．②過不在同一直線上三個(gè)點(diǎn)可以作且只可以作一個(gè)圓．作法是：連接任意兩點(diǎn)并作中垂線，再連接另外兩點(diǎn)并作中垂線，以這兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)和已知三點(diǎn)中任意一點(diǎn)的距離為半徑作圓，這樣的圓只有一個(gè)．5．三角形的外接圓(1)定理：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓(2)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓．任意一個(gè)三角形都有外接圓，而且只有一個(gè)外接圓．這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形．三角形外接圓、三角形的外心，圓的內(nèi)接三角形的概念。三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這圓的內(nèi)接三角形。如圖，⊙O為△ABC的外接圓，O為△ABC的外心，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形。說明：1、銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部2、“接”說明三角形的頂點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，“內(nèi)”“外”是相對(duì)的位置關(guān)系。以三角形為準(zhǔn)，那么圓在其外，并且三個(gè)頂點(diǎn)都在圓上，就說圓是三角形的外接圓。6．三角形的“四心”在三角形中：三邊垂直平分線的交點(diǎn)叫外心；三角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心；三邊中線的交點(diǎn)叫重心；三邊上高的交點(diǎn)叫垂心7．經(jīng)過四點(diǎn)的圓(1)四點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不在同一條直線上，用三條線段將這4個(gè)點(diǎn)連接起來，分別作這三條線段的垂直平分線，如果這三條垂直平分線交于一點(diǎn)，則有經(jīng)過4點(diǎn)的圓，否則沒有．(2)要判定4點(diǎn)是否共圓，只要看能否找到一點(diǎn)到這4點(diǎn)的距離相等．三、典型例題1、如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點(diǎn)C，則圖中與∠BCE相等的角有（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)2．如圖2，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，∠ABC=30°過圓心O作OD⊥BC交弧BC于點(diǎn)D，連接DC，則∠DCB=°．3．如圖，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為.4、在△ABC內(nèi)，AB=20，AC=15，高AD=10,求能完全覆蓋△ABC的圓的最小半徑長5.如圖，△內(nèi)接于⊙，D為BC上一點(diǎn),且AD=5,CD=3,AC=7,AB=10求△的外接圓的面積6.已知AD是△ABC的外接圓直徑，CE⊥AD交AD于F，交AB于E，求證AC2＝AB·AE7、如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）求證：四邊形AOBC是菱形．8、如圖，AB是⊙O的直徑，QUOTE=QUOTE，∠COD=60°．（1）△AOC是等邊三角形嗎？請說明理由；（2）求證：OC∥BD．9、如圖，已知：P為⊙O外一點(diǎn)，過P作⊙O的兩條割線，分別交⊙O于A、B和C，D，且AB是⊙O的直徑，弧AC=弧DC，連結(jié)BD，AC，OC。（1）求證：OC∥BD；（2）如果PA=AO＝4，延長AC與BD的延長線交于E，求DE的長。四、隨堂鞏固練習(xí)1.下列條件,可以畫出圓的是()A.已知圓心B.已知半徑;C.已知不在同一直線上的三點(diǎn)D.已知直徑2.三角形的外心是()A.三條中線的交點(diǎn);B.三條邊的中垂線的交點(diǎn);C.三條高的交點(diǎn);D.三條角平分線的交點(diǎn)3.下列命題不正確的是()A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.三角形的外接圓有且只有一個(gè)C.經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)圓D.經(jīng)過兩點(diǎn)有無數(shù)個(gè)圓4.一個(gè)三角形的外心在它的內(nèi)部,則這個(gè)三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形;C.銳角三角形D.等邊三角形5.等腰直角三角形的外接圓半徑等于()A.腰長B.腰長的倍;C.底邊的倍D.腰上的高6.平面上不共線的四點(diǎn),可以確定圓的個(gè)數(shù)為()A.1個(gè)或3個(gè)B.3個(gè)或4個(gè)C.1個(gè)或3個(gè)或4個(gè)D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)或4個(gè)7.如圖、○O的直徑AB長為10，弦AC長為6，的平分線角○與，則的長為（）A.7B.7C.8D.98.若等邊三角形的邊長為12，則他的外接圓的面積為.9.在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距離為6cm，求△ABC的外接圓半徑．10.如圖，點(diǎn)A、B、C表示三個(gè)村莊，現(xiàn)要建一座深水井泵站，向三個(gè)村莊分別送水，為使三條輸水管線長度相同，水泵站應(yīng)建在何處？請畫出圖，并說明理由．11.如圖，○O是△ABC的外接圓，∠BAC的平分線與∠ABC的平分線相較于點(diǎn)I，延長AI交圓O與點(diǎn)D,連接BD,DC.試說明BD=DC=DI若○O的半徑為10厘米，∠BAC=120°，求△BDC的面積12.已知BC為半圓O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，過點(diǎn)B作弦BF交AD于E，交半圓O于點(diǎn)F，弦AC與BF交于點(diǎn)H，且AE＝BE，求證：①弧AB＝弧AF②AH·BC＝2AF·BE易錯(cuò)題1.在△ABC中，∠A=90，AB=3，AC=4，O為外心，以O(shè)為圓心，2為半徑作圓O，則A點(diǎn)與圓O的位置關(guān)系是；直線AB與圓O的位置關(guān)系是；若以A為圓心，r為半徑的圓A與線段BC只有一個(gè)交點(diǎn)，r的范圍2.在直徑為10m的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，如果油面寬度為8m，那么油的深度是3.在圓O中，圓O的半徑為6厘米，弦AB的長為6厘米，則弦AB所對(duì)的圓周角是4.在同圓中，弧AB=2弧CD，那么弦AB和CD的關(guān)系是5.已知圓O的半徑為13cm,弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm,則AB、CD之間的距離是轉(zhuǎn)換法在垂徑定理中的應(yīng)用如圖，已知在⊙O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在⊙O及半徑OM、OP上，并且∠POM=45°，則AB的長為．變式：如圖，在半徑為1米，圓心角為60°的扇形中有一內(nèi)接正方形CDEF，則正方形CDEF面積是FF2.如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的圓O交于點(diǎn)G、B、F、E，AD=1，DE=3，AG=2，那么OG=變式：如圖，為了測量一圓形工件的直徑，一同學(xué)想利用一寬為1cm的矩形紙條放在這個(gè)圓形工件上，量得AB＝BC＝6cm，DE＝5cm，請你幫助分求得該工件的直徑的長度。圓中動(dòng)點(diǎn)問題的探究1.如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，∠AMN=30°，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為2.如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn)．若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為垂徑定理在坐標(biāo)系中應(yīng)用1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（10，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C、D在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．2.如圖，已知直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)B、C把半圓ABC三等分，連接PC并延長PC交y軸于點(diǎn)D（0，3）．

（1）求證：△POD≌△ABO；

（3）若直線l：y=kx+b經(jīng)過圓心P和D，求直線l的解析式．垂徑定理在計(jì)算題中應(yīng)用1.如圖，在△ABC中，以AB邊為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，CE⊥AB分別交⊙O于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，連接BE、DE．（1）求證：∠BED=∠BCE；（2）若∠ACB=45°，AB=，CD=2，求BE及EF的長．垂徑定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用1.一工廠的廠門是由一個(gè)半圓與矩形組成的。如圖所示，AD＝2.3米，CD＝2米，現(xiàn)有一輛集裝箱卡車要開進(jìn)工廠，卡車高2.5米，寬1.6米，請你通過計(jì)算說明這輛卡車能否通過廠門？變式：某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度為7.2米，拱頂高出水面2.4米?，F(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？DD補(bǔ)充：相交弦定理C如圖所示，P為弦AB上一點(diǎn)，CP⊥OP交⊙O于點(diǎn)C，AB＝8，AP:PB＝1:3