ZDLX一個自由度系統(tǒng)的振動

第三章一個自由度系統(tǒng)的振動1第三章單自由度系統(tǒng)的振動§3—1單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動§3—3單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動

§3—2求固有頻率的能量法§3—4

單自由度系統(tǒng)有阻尼的強迫振動§3—5基礎(chǔ)振動——第二類振動問題

§3—6振動的隔離§3—7單自由度系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)§3—8本章習(xí)題2引言關(guān)于自由度的概念，前邊已經(jīng)講述，就是決定系統(tǒng)瞬時幾何位置獨立坐標(biāo)（或參數(shù)）。如果一個機械系統(tǒng)的幾何位置在任何瞬時都能只用一個獨立的參數(shù)來表達，那么該系統(tǒng)叫做具有一個自由度的系統(tǒng)。

一個自由度系統(tǒng)的振動3例：這里不計梁的質(zhì)量，它只做為提供彈性恢復(fù)力的元件（獨立參數(shù)x）軸的質(zhì)量不計（獨立參數(shù)θ）彈簧質(zhì)量不計（獨立參數(shù)x）這些都屬于一個自由度系統(tǒng)的振動。我們看到，力學(xué)模型是從實際結(jié)構(gòu)簡化來的，如果不做這種簡化，這些屬于彈性體振動問題（即無限自由度），以后會講到。做這些簡化也是有根據(jù)的，那就是梁、軸、彈簧等的質(zhì)量比我們目前研究的振動質(zhì)點的質(zhì)量小得多，以至于可以忽略。一個自由度系統(tǒng)的振動mxθImx0平衡位置4§3—1單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動我們前邊研究振動的運動學(xué)時，只研究振動形態(tài)隨時間t變化的規(guī)律而不考慮發(fā)生振動的原因。振動質(zhì)體提供恢復(fù)力元件干擾（力，初位移，初速度等）實際上，發(fā)生振動必須有三個基本條件：

一個自由度系統(tǒng)的振動xxF＝＋kx05我們現(xiàn)在研究圖示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在光滑平面上的振動。彈簧質(zhì)量不計；質(zhì)體m當(dāng)作剛體（或一個質(zhì)點）；并假設(shè)彈簧的恢復(fù)力與變形成正比，即：F＝－kx〔注：k的單位N/cm〕其中k——剛性系數(shù)（產(chǎn)生單位位移所需的力）。加負號是因為：彈性恢復(fù)力永遠與位移x方向相反。（始終指向靜平衡位置）我們來建立單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程。首先回顧一下，什么叫自由振動？自由振動過程中不受外力作用，但振動的起因還是由于外來干擾。例如，我們把小車m拉到偏離平衡位置后放開手，它就作自由振動。這時m受到的力只有彈性恢復(fù)力F=－kx，由牛頓第二定律：一個自由度系統(tǒng)的振動6或?qū)懗桑簒=c1sinωnt+c2cosωnt——我們以后再解釋為什么這樣設(shè)。其中常數(shù)c1，c2由初始條件確定。這里令上式即一個自由度系統(tǒng)自由振動微分方程。這是個二階齊次線性常微分方程。它的通解是：〔注：這是型微分方程，其解法在高等數(shù)學(xué)中講過，忘了的同學(xué)可以復(fù)習(xí)一下〕一個自由度系統(tǒng)的振動7設(shè)：當(dāng)t＝0時∴

〔注：這正是前邊講過的圓頻率相同的兩個簡諧振動，一個用正弦，一個為余弦合成情況〕把初始條件代入上式，可得一個自由度系統(tǒng)的振動其中8討論：

1、單自由度系統(tǒng)的自由振動是個簡諧振動，其振幅A和初相位φ由初始條件決定。從這里可以看到自由振動最初發(fā)生的原因，必須有初位移x0或初速度v0或兩者都有才有振動x＝Asin(ωnt＋φ)，否則x＝0——無振動（弧度/秒）

2、自由振動的圓頻率就是說是否發(fā)生自由振動——由xo，uo決定

振動頻率——系統(tǒng)固有頻率

一個自由度系統(tǒng)的振動9它取決于系統(tǒng)的質(zhì)量及彈簧剛度，因此是系統(tǒng)所固有的，與運動的初始條件無關(guān)（也解釋說，與系統(tǒng)是否發(fā)生振動無關(guān)）故把ωn稱為固有頻率。一座建筑物，一臺機器，一架飛機等等，一旦制造出來，其m，k就都是確定的了，于是固有頻率也就確定了。固有頻率是本課程最重要的概念，在以后的學(xué)習(xí)及工作中經(jīng)常要用到（例如防止共振）。

求法：

a、

b、

其中

——靜伸長（cm）

g——重力加速度（cm/s2）

一個自由度系統(tǒng)的振動Pδc

k

10固有自然頻率及周期為

一個自由度系統(tǒng)的振動11例（一）兩彈簧剛性系數(shù)分別為k1，k2，串聯(lián)，下掛重物P，求：系統(tǒng)的等效剛性系數(shù)及固有頻率？

解：兩彈簧受力相同，都是重力P，總的靜位移

固有頻率

又

∴

（等效剛度）

〔注：可見k比k1或k2都小，因分母中，去掉k1：k＝k1；去掉k2：k＝k2〕

一個自由度系統(tǒng)的振動Pk1

k2

12例（二）兩彈簧并聯(lián)，剛性系數(shù)分別為k1，k2，下掛重物P，且兩彈簧伸長相同。求系統(tǒng)的剛性等效系數(shù)及固有頻率？

解：重量P分配在兩個彈簧上，分別為P1，P2，則

P=P1+P2=k1δ+k2δ=(k1+k2)δ

又P=kδ，∴k=k1+k2；（等效剛度）

（注意：串聯(lián)特點：兩彈簧受力相同；并聯(lián)特點：兩彈簧變形相同。）同學(xué)們自己可以推出n個彈簧串聯(lián)，并聯(lián)時的剛度系數(shù)。

一個自由度系統(tǒng)的振動Pk1

k2

13例（三）桿AB是無質(zhì)量剛性桿，又知k0及尺寸a，l，質(zhì)量m，求系統(tǒng)的固有頻率。

解法（1）：設(shè)剛性桿，向下轉(zhuǎn)為正，則質(zhì)點m的轉(zhuǎn)動慣量為I=ml2

方程：

角振動微分方程為：

即

〔注：由小位移假設(shè)，彈簧伸長l、αtgφ＝αφ；2、方程左端為轉(zhuǎn)動慣量乘角加速度，右端為力矩〕

比較

一個自由度系統(tǒng)的振動mBk0alφ14質(zhì)量m是物體平動時慣性的度量；而轉(zhuǎn)動慣量I則是物體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。

解法（2）設(shè)自由度x，向下為正。

由公式我們可以看到，當(dāng)取轉(zhuǎn)角φ為自坐標(biāo)微分方程時，與公式中質(zhì)量m對應(yīng)的是轉(zhuǎn)動慣量，與k對應(yīng)的是——單位轉(zhuǎn)角所需的力矩。一個自由度系統(tǒng)的振動F=kxF0mxk0alΔ

15指作用在質(zhì)量m上的彈性恢復(fù)力F，它與彈簧力F0的關(guān)系是：

彈簧伸長

方程為：

〔注：

〕

一個自由度系統(tǒng)的振動16這與前一解法的結(jié)論是相同的，只不過前者為角位移，這里是線位移。

〔注：位移為線位移，則單位位移——力；位移為角位移動，則單位轉(zhuǎn)角——力矩〕由解算過程可見，中的剛度系數(shù)指要在我們所設(shè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要沿坐標(biāo)方向所施加的力。一個自由度系統(tǒng)的振動17例（四）軸質(zhì)量不計，兩段長各為l1，l2，直徑相同為d，圓盤轉(zhuǎn)動慣量為I；求：扭振固有頻率。

這里兩段軸為并聯(lián)形式，故有

解：設(shè)圓盤轉(zhuǎn)角θ為坐標(biāo)，則

現(xiàn)在分別求之

由公式

〔注：這里Mk1，Mk2——兩段分別提供的彈性扭矩〕

（扭轉(zhuǎn)等效剛度）

同樣

其中

——極慣性矩一個自由度系統(tǒng)的振動〔注：實際轉(zhuǎn)角很小〕

dθ

l1l218例（五）懸臂梁長l＝60cm，截面b×h＝1×2cm2,E=2×106kg/cm2，重物P＝10kg；求：不計梁質(zhì)量時，求系統(tǒng)的固有頻率及振動頻率？

解：懸臂梁端受力P時撓度為：

〔懸臂梁等效剛度（彎曲）〕

其中慣性矩

，故

弧度/秒一個自由度系統(tǒng)的振動Pl赫茲19本節(jié)小結(jié)

單自由度系統(tǒng)的自由振動位移其振幅：初相位：取決于初始條件，也就是說，正是由于有了初位移x0或初速度v0才會有自由振動（即外力停止后的振動），振動的三個基本條件。一個自由度系統(tǒng)的振動振動質(zhì)體提供恢復(fù)力元件始出干擾20我們這里忽略了阻尼，實際上是存在的，所以自由振動將隨著時間很快衰減而停止，它對結(jié)構(gòu)的破壞不大。我們研究自由振動的主要目的是為了了解固有頻率

，它是結(jié)構(gòu)固有的性質(zhì)。關(guān)于固有頻率的計算要特別注意公式中k和m的含義。

k——要在我們所設(shè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在這個坐標(biāo)上加的力

m——對于線位移就是質(zhì)量，

對于角位移則是轉(zhuǎn)動慣量。

線位移——力

角位移——扭矩

一個自由度系統(tǒng)的振動21

我們?nèi)匀挥懻摕o阻尼自由轉(zhuǎn)動的問題。由于沒有阻尼，系統(tǒng)就沒有能量損失，根據(jù)機械能守恒定律，在整個振動過程中任一瞬時機械能保持為常數(shù)，即：

§3—2求固有頻率的能量法U——系統(tǒng)由于彈性變形而儲存勢能，或由于重力作功而產(chǎn)生的重力勢能。

T+U=C〔注：此式含義：在任何瞬時，系統(tǒng)動能與勢能之和為常數(shù)，由此可見（1）、（2）兩式〕或

（1）其中T——系統(tǒng)中運動質(zhì)量所具有的動能

一個自由度系統(tǒng)的振動

我們選取靜平衡位置為第一瞬時位置，這時勢能為零，而動能達到最大值Tmax；當(dāng)質(zhì)點離開平衡位置最遠點時，速度減為零，即動能為零，但勢能達到最大值Umax，我們?nèi)≈疄榈诙矔r位置。由上式：〔Tmax＋0＝0＋Umax〕

Tmax＝Umax

(2)對較復(fù)雜系統(tǒng)用能量法建立微分方程和求固有頻率有時更為方便。22達到最大位移時

例（一）彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，已知k，m；求固有頻率。

解：因是簡諧振動，設(shè)

因此

當(dāng)質(zhì)體經(jīng)過靜平衡位置時

（因彈簧變形由0增大到最大，故為

）

由Tmax＝Umax得

一個自由度系統(tǒng)的振動xAkm023例（二）圖示傳動器的一個元件——無定向擺示應(yīng)圖，整個系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸o的轉(zhuǎn)動慣量是I0＝1.76×10-2kg·cm·s2，a＝3.54cm，k＝0.03kg/cm，w＝0.0856kg，l＝4cm；求：系統(tǒng)的固有振動頻率。

解：設(shè)θ為參數(shù)，并設(shè)

則

在靜平衡位置

當(dāng)擺桿擺到最大角位移θmax處時，系統(tǒng)的最大勢能包括兩部分。

一個自由度系統(tǒng)的振動0kalθ

0kw24彈簧變形后儲存的彈性勢能為：

質(zhì)體w的重心下彈后質(zhì)量勢能為：（以平衡位置勢能為零）

得：

（彈簧為并聯(lián)）

〔注：〕

由

Tmax=Umax

（Hz）

一個自由度系統(tǒng)的振動25例（三）一半徑r重w的圓柱體在一個半徑為R的圓柱面內(nèi)作無滑動滾動。在圓柱面最低處o左右微幅擺動；求：擺動的微分方程及固有頻率。

轉(zhuǎn)動時，圓柱體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，由于無滑動，角速度為：

〔注：解：設(shè)θ坐標(biāo)，圓柱體同時作兩種運動——平動和轉(zhuǎn)動。平動時，圓柱體質(zhì)心線位移為（R-r）θ，線速度為

一個自由度系統(tǒng)的振動0θ0′φrR(R-r)26任一瞬時位置，圓柱體動能為：

由

〔注：

為圓柱體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量〕圓柱體的勢能以最低位置o為零，在轉(zhuǎn)角為θ的瞬時圓柱體質(zhì)心升高為（R－r）（1-cosθ）,則U＝w（R-r）（1-cosθ）

得：

對于任一瞬時若

，則對應(yīng)無擺動，不是我們所求的。于是必有括號內(nèi)部分為零，又因微擺動，sinθ≈θ，一個自由度系統(tǒng)的振動故有27解法（2）若已知圓柱體的擺動為簡諧，只要求固有頻率ωn，則設(shè)

在最低點o處勢能為零，動能最大

則

在擺動到θmax位置時動能為零，勢能最大

由Tmax＝Umax有：

一個自由度系統(tǒng)的振動于是

則

28從以上例題的解算過程可以看到：

一個自由度系統(tǒng)的振動討論

1、對應(yīng)較復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)自由振動問題，用能量法有其便利之處，只要寫出系統(tǒng)的動能及勢能以所選坐標(biāo)的表達式，下邊就可照章辦事了。

2、若已知是簡諧振動，只要求固有頻率，可先設(shè)位移方程x=Asin(ωnt+φ)，分別寫出靜平衡位置Tmax及最大位移瞬時的Umax，由公式Tmax＝Umax解出ωn。

3、若要求列出微分方程，則須按某一瞬時寫出U、T以所選坐標(biāo)的表達式，利用公式

，即可得到微分方程，然后可得ωn。

29前邊研究的無阻尼自由振動是一種理想狀態(tài)，按照那里阻尼為零的假設(shè)，遵循機械能守恒定律，振動中設(shè)有能量消耗，因而可以無休止地振動下去。但事實上阻尼總是存在的，它使振動能量不斷減少，于是自由振動逐漸衰減直至停止。我們首先研究阻尼的類型。

一、阻尼的分類

§3—3單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動一個自由度系統(tǒng)的振動1、粘性阻尼

2、材料阻尼

3、干摩擦阻尼

301、粘性阻尼

其中r——粘性阻尼系數(shù)

當(dāng)質(zhì)量在介質(zhì)中振動時，阻尼力一般表現(xiàn)速度的函數(shù)：

若物體以較大速度在空氣或液體中運動，阻尼與速度平方成正比。但當(dāng)物體以低速度在粘性介質(zhì)中運動（包括兩接觸面之間有潤滑劑時）可以認為阻尼與速度成正比，即：

這種阻尼(由于阻尼力與速度成正比)又稱為線性阻尼（這種阻尼與介質(zhì)的粘性有關(guān)，故稱為粘性阻尼）。它使計算大為簡化,我們將著重研究這種情況，對于非粘性阻尼也得引進等效粘性阻尼系數(shù)計算。

0δε加載卸載一個自由度系統(tǒng)的振動312、材料阻尼

又稱為結(jié)構(gòu)阻尼。在振動過程中物體結(jié)構(gòu)材料本身的內(nèi)摩擦而引起的阻力。在完成彈性材料內(nèi)，應(yīng)變與應(yīng)力的相位相同，所以在反復(fù)受力過程中沒有能量損失。而粘彈性材料內(nèi)，應(yīng)變滯后于應(yīng)力，在反復(fù)受力過程中形成滯后回線，因此要耗散能量，而成為振動的阻尼。事實上材料阻尼是存在的，但我們在以后的討論中忽略它。

這就是通常說的摩擦力，出現(xiàn)在干摩擦之間。按庫侖摩擦定律：R＝μN其中μ——摩擦系數(shù)，由接觸面的材料和粗糙程度決定。3、干摩擦阻尼

本課程討論中只引進粘性阻尼即線性阻尼情況。一個自由度系統(tǒng)的振動32二、振動微分方程

令

按牛頓第二定律：

則得標(biāo)準型單自由度阻尼自由振動的微分方程

（1）

α——衰減系數(shù)（α＝r/2m）（單位：1/s）

其中r——阻尼系數(shù)（單位：kg·s/cm）

xkr0mkx一個自由度系統(tǒng)的振動33現(xiàn)在求解方程（1），這是一個二階常系數(shù)齊次微分方程。該方程的主要特點是：不用積分只用代數(shù)方法就能求出方程的通解。

我們先設(shè)x=ept

（p——常數(shù)）

那么，

代入方程（1）得：

ept(p2+2αp+ωn2)=0

但ept≠0，故有：p2+2αp+ωn2=0（2）——特征方程

可見，若p是二次代數(shù)方程（2）的一個根，則ept能使微分方程（1）滿足，也就是說，是它的一個特解。代數(shù)方程（2）叫做微分方程（1）的特征方程。

一個自由度系統(tǒng)的振動34特征方程（2）的兩個根是：

這是一個單調(diào)衰減運動（隨著t增大，x越來越小，直到零），而不是振動。

可能有三種情況，我們分別討論之。

1、當(dāng)

(臨界阻尼狀態(tài))，得兩個相同的實根：p1=p2=-α，即方程之解為：

一個自由度系統(tǒng)的振動0tx35式中e的指數(shù)分別為

它們都是負數(shù)

2、當(dāng)

（強阻尼狀態(tài)），得兩個不同負根，方程解為：

因此這里x＝x(t)也是一個單調(diào)衰減運動而不是振動。

一個自由度系統(tǒng)的振動36也就是說，微分方程（1）的兩個特解是

由線性齊次微分方程的性質(zhì)，x1與x2的線性組合也是方程（1）的解，故

3、當(dāng)（弱阻尼狀態(tài)），得兩個復(fù)數(shù)根：

一個自由度系統(tǒng)的振動37〔注：做此變換的目的是把微分方程的解寫成實數(shù)形式〕

一個自由度系統(tǒng)的振動這里，我們利用了尤拉公式

38很容易看出x1′與x2′線性無關(guān)，由齊次線性微分方程通解定律，x1′與x2′的線性組合即方程（1）的通解，故：

（3）

其中

——E，G為待定常數(shù)，由初始條件定出

——該衰減振動的圓頻率

（3）式即但自由度系統(tǒng)有阻尼振動的位移方程。

一個自由度系統(tǒng)的振動39討論顯然，發(fā)生振動的條件又可表示為ξ<1。

引進無因次的阻尼比（振阻因數(shù)）

1、只有在小阻尼,即αc<ωn時,才不發(fā)生振動。臨界阻尼系數(shù)，，αc對應(yīng)的rc——臨界阻尼系數(shù)臨界的

，故

這說明，一個彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)是確定的，只有當(dāng)阻尼r<rc時才能發(fā)生振動。

一個自由度系統(tǒng)的振動40

2、由于阻尼的存在使系統(tǒng)的園頻率比無阻尼固有頻率ωn略有下降。由于小阻尼，α值又可略去不計，認為ωr≈ωn。

一個自由度系統(tǒng)的振動3、其振幅隨著時間t的增長而衰減。為了表示振幅衰減的快慢，取任意兩個相鄰振幅之比

A0A1A2Trωt

x41式中Tr——周期

總之，阻尼的存在，使自由振動的振幅隨時間的增長而衰減，阻尼越大，衰減越快，直到最后停止振動。因此自由振動并不危害結(jié)構(gòu)的強度。

取對數(shù)：

——對數(shù)衰減

它與衰減系數(shù)α成正比，就是說與阻尼系數(shù)r成正比，阻尼越大，振幅衰減越快。通過變換還可找到對數(shù)減縮與阻尼比ξ的關(guān)系（正比）：

一個自由度系統(tǒng)的振動424、阻尼的測量

振動曲線可由示波器得到。測量阻尼有以下兩種方法。

最后得到阻尼系數(shù)

a、測量A0及第n個振幅An，則

于是

（阻尼比）

進而

一個自由度系統(tǒng)的振動43把系統(tǒng)在外界干擾下產(chǎn)生的位移、應(yīng)變、應(yīng)力通常稱為系統(tǒng)對此干擾的響應(yīng)。

r。

〔注：靜力學(xué)——靜響應(yīng)；動力學(xué)——動響應(yīng)〕

〔注：自由振動——對初始條件響應(yīng)；受迫振動——對激振力響應(yīng)〕

b、定某一振幅為A0，找到，數(shù)一下由A0到An經(jīng)n個波幅（即周期），設(shè)為n個，于是

一個自由度系統(tǒng)的振動441、激振力

激振力包括：

§3—4單自由度系統(tǒng)有阻尼的強迫振動

簡諧激振力

非簡諧的周期激振力

沖擊激振力

前幾節(jié)討論了在外界初始干擾下依靠系統(tǒng)本身的彈性恢復(fù)力維持的自由振動。本節(jié)討論系統(tǒng)由外界激振所引起的振動，稱為強迫振動。外界激振所引起的系統(tǒng)的振動狀態(tài)稱為響應(yīng)。對于不同的外界激振，系統(tǒng)將具有不同的響應(yīng)。

隨機激振力，等等

我們將重點討論系統(tǒng)對簡諧激振力的響應(yīng)，因為這是最基本的，是研究其他響應(yīng)的基礎(chǔ)。最后要討論系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)。

一個自由度系統(tǒng)的振動452、運動微分方程：

按達朗伯原理（動靜法）：

（1）

〔注1：達朗伯原理：當(dāng)一個力學(xué)系統(tǒng)運動時，它的任何位置都可以看作是平衡位置，只要我們在原動力上再加上慣性力。這樣就可以把任何動力學(xué)問題按相當(dāng)?shù)撵o力學(xué)問題來處理?！?/p>

按牛頓第二定律：

最后都得到：

我們現(xiàn)在解這個微分方程，它比有阻尼自由振動微分方程多了右端激振力，是一個非齊次線性微分方程。它的解包含兩部分：（關(guān)于x2，由方程（1）的非齊次P0sinωt可得特解，也是簡諧函數(shù)，其頻率與激振力一致。）

一個自由度系統(tǒng)的振動P=P0sinωtxrkmPkx〔注2：簡單說明一下各力方向，我們設(shè)位移x向下為正，取所有與x一致的力、速度和加速度為正。則P＝P0sinωt（為正），－kx（因彈性恢復(fù)力與位移反向），（因阻尼力與速度反向），（因慣性力與加速度反向）〕

46其中

其中B和φ是特定常數(shù)，可以把x2代回微分方程（1）求出?！沧ⅲ簠⒄铡稒C械振動學(xué)》上.No.52〕

——齊次方程解

我們這里利用矢量平衡關(guān)系定常數(shù)B、φ。

——非齊次方程（1）之特解

〔注3：為什么這里“-φ”，只要系統(tǒng)有阻尼，振動位移肯定滯后于干擾力〕

〔注4：非齊次方程（1）的特解一般用參數(shù)變換法求出，但須積分。當(dāng)（1）的右端具有某些特殊形式時，可直接用代數(shù)方法求出，叫待定系數(shù)法?！?/p>

一個自由度系統(tǒng)的振動47這樣，我們看到激振力P超前位移x2為φ；速度超前位移90°；加速度超前位移180°，又知，彈性力與位移x2反向；阻尼力與速度反向；慣性力與加速度反向。

由方程（1）——它是個力的平衡方程可見，慣性力、阻尼力、彈性力及干擾力在任何瞬時都是“平衡的”，我們?nèi)〖次灰苮2達到最大值——振幅B這一瞬時，此時各力相位如圖，便于確定常數(shù)B、φ。作旋轉(zhuǎn)矢量圖。

一個自由度系統(tǒng)的振動48由矢量平衡必有：

即

〔注：0≤φ≤π/2，因當(dāng)有阻尼時，振動位移必滯后于激振力，見‘相——頻’曲線〕這樣，我們就完全確定了特解x2。

〔注：x全解的第一項實際包含兩項，1.由初始攏動引起的自由衰減振動，2.由干擾力引起的自由衰減振動，與初始條件無關(guān)。見《機械學(xué)》上.No.63。但它們總稱為瞬態(tài)振動?！?/p>

一個自由度系統(tǒng)的振動P0Ф

49我們知道，x的前一項代表有阻尼自由振動，隨時間t增加而衰減至消失，稱為瞬態(tài)振動。而第二項則代表有阻尼強迫穩(wěn)態(tài)振動。在簡諧激振力下，它是簡諧振動，它與激振力有相同頻率，其振幅B，相位差φ只與系統(tǒng)本身性質(zhì)、激振力大小、頻率有關(guān)，與初始條件無關(guān)。初始條件只影響瞬態(tài)振動。

一個自由度系統(tǒng)的振動x1x2ttxt瞬態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程50討論

我們主要感興趣的是強迫穩(wěn)態(tài)振動，即，經(jīng)過一段時間后，有：

一個自由度系統(tǒng)的振動511、幅—頻特性

——頻率比（激振力頻率與固有頻率之比）

我們設(shè)：

把振幅寫成

〔注：，〕

這就是用頻率比和阻尼比所表示的動力放大系數(shù)。

再引進兩個參數(shù)：

——振幅放大系數(shù)或動力放大系數(shù)（由于動加載而使位移加大的程度）。

于是得到：

一個自由度系統(tǒng)的振動52b、當(dāng)λ接近1時β達最大值，即振幅達B＝Bmax，稱為共振，這時系統(tǒng)的動應(yīng)力最大，對系統(tǒng)（或結(jié)構(gòu)）的破壞最大。

a、當(dāng)λ由零開始從小到大時，動力放大系數(shù)β從小到大，再從大到小。

我們做出幅——頻特性曲線，可見：

λ＝0時，β＝1（靜態(tài)）

λ＞＞1時，β→0（當(dāng)激振頻率遠大固有頻率時，系統(tǒng)不響應(yīng)）

注意到，位移共振時λ≠1，就是說，這時激振動的頻率并不等于系統(tǒng)的固有頻率，所以不能用這種方法測定系統(tǒng)的固有頻率。

但是，當(dāng)阻尼很小時（一般

）λ≈1。

c、阻尼越大（即ξ接近1），共振峰越低（即β?。?/p>

一個自由度系統(tǒng)的振動01234β

0.51λ

10.70.40.30.253a、當(dāng)λ有φ（靜）0→10→π/21→∞

π/2→π

位移滯后于激振力的相位角。

2、相——頻特征

〔注：〕

該式顯示了相位差隨λ、ξ變化的規(guī)律。作相——頻特性曲線，可見：

b、阻尼不同時φ——λ特征曲線不同，但當(dāng)時，無論阻尼ξ如何，位移落后于激振力的相位差總是π/2。我們可以利用這一特點測定系統(tǒng)的固有頻率ωn，這種方法叫相位共振法。一個自由度系統(tǒng)的振動012310.70.50.20.154由公式及圖可見：3、速度幅——頻特性

作速度幅——頻特征曲線

類似于位移振幅放大系數(shù)（動力放大系數(shù)），可定義速度幅放大系數(shù)：

當(dāng)λ＝0時，βv＝1（無振動，靜態(tài)）

當(dāng)λ＝1時，βv＝（βv）max發(fā)生共振。

當(dāng)λ→∞時，βv→0。

一個自由度系統(tǒng)的振動0123βv

21λ

10.70.40.30.2554、加速度幅——頻特性作加速度幅——頻特性曲線

定義加速度幅放大系數(shù)：

當(dāng)λ＝0時，βg＝0（靜態(tài)）

當(dāng)λ稍>1處，βg＝（βg）max

當(dāng)λ→∞時，βg→1前邊，我們由曲線說明了發(fā)生位移共振、速度幅共振及加速度幅共振時的大小，實際上，我們有β、βv、βg的解析函數(shù)，用求函數(shù)極值的方法可以解析地確定共振時頻率比的大小。

一個自由度系統(tǒng)的振動0124βg21λ

10.70.40.30.2356只有速度共振發(fā)生在λ＝1處，即當(dāng)激振力頻率等于系統(tǒng)固有頻率時發(fā)生速度共振，我們可利用這一特點測定系統(tǒng)的固有頻率ωn。

令，得，可見位移共振發(fā)生在λ<1處；

令，得λ＝1，可見速度共振發(fā)生在λ＝1處；

令，得，可見加速度共振發(fā)生在λ>1處。

一個自由度系統(tǒng)的振動575、共振現(xiàn)象的實質(zhì)a、共振點我們在確定x2=Bsin(ωt-φ)中常數(shù)B、φ時曾畫過矢量平衡圖，那時沒有發(fā)生共振，激振力幅P0超前位移φ角。

當(dāng)λ＝1，即ω＝ωn時，發(fā)生速度共振，這時φ＝π/2，力的平衡圖如右。特點是：

彈性力與慣性力平衡，即kB＝mωn2B

外加激振力僅用于克服阻尼力，即p0＝rωnB一般系統(tǒng)阻尼很小，要平衡激振力，只有靠振幅B的不斷增大，直到產(chǎn)生的阻尼力rωnB足以平衡激振力p0為止。

從能量觀點看，功率N=Fvcosθ，共振時激振力與速度同向，即θ＝0°，此時激振力以最有效方式對系統(tǒng)做功，使系統(tǒng)能量增加，表現(xiàn)在振幅B加大。

一個自由度系統(tǒng)的振動P0Ф

未共振P0共振時力矢量平行圖58b、共振區(qū)所謂共振區(qū)，就是共振點（λ＝1）附近振幅相對比較大的區(qū)域。共振區(qū)一般指相——頻特性曲線上φ＝45°和φ＝135°相對應(yīng)的頻率上的λ1和λ2之間的區(qū)域。

由公式

當(dāng)φ＝45°時，

當(dāng)φ＝135°時，

〔注：由tg45°＝1，則2ξλ＝1－λ2，λ2＋2ξλ－1＝0→λ〕

所以共振區(qū)寬度：λ1－λ2＝2ξ

可見，阻尼越大，共振區(qū)越寬。

一個自由度系統(tǒng)的振動59由速度幅放大系數(shù)公式為求λ1，λ2時的βv值，把公式變化為：

共振時λ＝1，（βv）max＝1/2ξ

當(dāng)λ＝λ2時，φ＝135°，

〔注：

〕

當(dāng)λ＝λ1時，φ1＝45°，

在共振區(qū)內(nèi)，。

一個自由度系統(tǒng)的振動606、避免與利用共振共振時系統(tǒng)的振動特別強烈，動應(yīng)力很大，對結(jié)構(gòu)強度及儀表使用造成威脅。因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，避免發(fā)生共振是很重要的問題。

例如直升飛機的螺旋槳就是一個振源，而整個飛機通過起落架與地面接觸，這有一定的固有頻率，如果兩者頻率相等，就會在直升飛機著陸的一瞬間發(fā)生地面共振，可能在幾秒鐘內(nèi)造成機毀人亡的嚴重后果，其速度之快使飛行員來不及或無法采取措施。因此，不但在飛機設(shè)計過程中要盡量避免，而且在造出這樣的飛機后還須作地面試驗以檢驗是否滿足要求。

一個自由度系統(tǒng)的振動61防止共振總的來說有兩方面：

a、消除振源。例如做動平衡試驗，發(fā)現(xiàn)有慣性力偶作用時用加配重方法調(diào)整。

b、若振源無法完全消除，則要使激振力頻率與系統(tǒng)固有頻率之比λ遠離共振區(qū)范圍工作。這又分為兩種情況：若ω已定，則要調(diào)整設(shè)計使ωn遠離ω；若ωn已定，則設(shè)法使ω遠離ωn。

這里要說明一點，若一系統(tǒng)須穩(wěn)定在λ＝1以右較遠處工作時，這樣就必須越過共振區(qū)。從實踐和理論上都表現(xiàn)：在短時間內(nèi)越過共振區(qū)沒有什么危險，因為共振是一個能量積累的過程，振幅增大需要一定的時間。

另外，認識了共振，人們可以利用共振，例如用共振法測系統(tǒng)的固有頻率。

一個自由度系統(tǒng)的振動62我們知道，共振區(qū)寬度與阻尼比ξ有關(guān)即

解：圖中Bv為速度幅，即ωB，該圖是速度幅隨激振力頻率ω變化的曲線，當(dāng)ω＝ωn時Bv＝Bvmax即共振點。

例一、用圖示共振試驗得到的速度幅——頻特性曲線，求系統(tǒng)的阻尼比ξ。

其中λ2、λ1對應(yīng)著速度幅放大系數(shù)

由定義：

與ω2，ω1對應(yīng)的速度幅

可見，

一個自由度系統(tǒng)的振動63這就是說，用速度共振方法可測定系統(tǒng)的阻尼。

在曲線上量取

于是得到ω1，ω2，則

（或）

〔注：，，〕

一個自由度系統(tǒng)的振動64例二、電機轉(zhuǎn)速1760轉(zhuǎn)/分，由于未很好平衡，產(chǎn)生不平衡力70公斤使支座振動，支座彈簧常數(shù)11000公斤/厘米，配有阻尼裝置，其r＝35公斤/厘米，電機重300公斤。求：振幅，無阻尼時的振幅，固有頻率fn。

可見，由于阻尼的存在使振幅下降為原來的1/10。

它與激振力頻率1760轉(zhuǎn)/分很接近。

解：激振力頻率弧度/秒

于是

厘米

當(dāng)r＝0時

厘米

周/分

一個自由度系統(tǒng)的振動65前面我們討論的振動問題都是把振動系統(tǒng)（彈簧、阻尼、質(zhì)量系統(tǒng)）固定在基礎(chǔ)上，激振力作用在質(zhì)量上，而基礎(chǔ)是固定不動的，這類振動稱為第一類振動問題。

§3—5基礎(chǔ)振動——第二類振動問題

工程中，經(jīng)常遇到另一種情況，激振力不直接作用在質(zhì)量上，而是由于基礎(chǔ)本身振動使與基礎(chǔ)相聯(lián)的彈簧—阻尼—質(zhì)量系統(tǒng)發(fā)生振動，這類振動稱為第二類振動問題。

例如，裝在機器上的儀器，儀表等等，由于儀器振動，儀器，儀表發(fā)生第二類振動。另外，振動試驗臺就是典型的作基礎(chǔ)振動的機械，在振動臺上做試驗的試件的振動就屬于第二類振動。

一個自由度系統(tǒng)的振動66一、計算模型和振動微分方程

基礎(chǔ)作簡諧振動，取坐標(biāo)x1向下為正，運動方程是：x1=bsinωt

那么，作用在m上的力有

彈性力：

——彈簧伸長即相對位移。

阻尼力：

——阻尼器加在基礎(chǔ)與m之間，故阻尼力與相對速度成正比?！獞T性力與前兩者不同，它與絕對加速度成正比，右端是按

慣性力：

算出。

一個自由度系統(tǒng)的振動mxrkmk(x-x1)0取坐標(biāo)x為質(zhì)量m離開平衡位置的絕對位移，向下為正，取為質(zhì)量m對于基礎(chǔ)的相對位移，則有：

67應(yīng)用動靜法原理，可寫出微分方程。

1、表示質(zhì)量相對于基礎(chǔ)運動形式

即

（1）

2、表示質(zhì)量絕對運動形式

即

（2）

一個自由度系統(tǒng)的振動68（3）

二、相對振動

用P0＝mbω2代入（1）式，則相對振動微分方程為：

這與前邊討論的第一類有阻尼強迫的形式完全相同。就是說，相當(dāng)于在質(zhì)量m上直接作用一個簡諧力，其力幅P0＝mbω2，其方向與基礎(chǔ)振動的加速度方向相反。

應(yīng)用前邊的結(jié)果，可以直接寫出方程（3）的解：

其中相對位移振幅：

一個自由度系統(tǒng)的振動m69質(zhì)量m滯后于基礎(chǔ)相位差：

引進參數(shù)

——相對位移傳遞系數(shù)（質(zhì)量m相對于基礎(chǔ)的振幅與基礎(chǔ)自身振幅之比）

作相系統(tǒng)對振動的幅——頻特征曲線

～λ曲線?？梢姡?/p>

1、當(dāng)λ<<1時

≈0，就是說，當(dāng)基礎(chǔ)振動頻率ω遠比系統(tǒng)固有頻率為低時，系統(tǒng)的相對振動幅，這表明，系統(tǒng)幾乎完全隨著基礎(chǔ)一起振動。（λ＝0即剛性連接，

）

一個自由度系統(tǒng)的振動012421λ

10.70.40.30.2370把幅——頻，相——頻特性結(jié)合起來即得到結(jié)論：當(dāng)λ>>1時，即基礎(chǔ)頻率ω高時，質(zhì)量m相對于基礎(chǔ)的振幅接近等于基礎(chǔ)本身的振幅，而且兩者相位相反，這說明質(zhì)量m實際上幾乎在空間靜止不動（絕對位移為零）。

系統(tǒng)的相頻特性與第一類振動相同，請大家回憶一下：

2、當(dāng)λ>2時

→1，當(dāng)λ>3以后≈1，就是說，系統(tǒng)相對于基礎(chǔ)的振幅接近等于基礎(chǔ)的振幅（

）。

當(dāng)λ

有0→10→π/21→∞π/2→π一個自由度系統(tǒng)的振動012371x＝Bsin（ωt－φ）

三、絕對振動

（2）

其中

把右端合成，得

（4）

把紅線部分看成力幅，同樣可利用第一類振動的結(jié)論，得微分方程（4）的解，即絕對位移為：

〔注：x＝Bsin[(ωt＋α)－ψ]＝Bsin(ωt－φ)其中φ＝－α＋ψ〕一個自由度系統(tǒng)的振動72引進參數(shù)

式中

整理后得

〔注：;〕

——絕對位移傳遞系數(shù)或位移傳遞系數(shù)。

一個自由度系統(tǒng)的振動73作幅——頻特性曲線（TD～λ），可見：

1、當(dāng)λ<<時，TD≈1，即當(dāng)基礎(chǔ)振動頻率ω遠比系統(tǒng)固有頻率ωn為低時，質(zhì)量m的振幅接近基礎(chǔ)振幅，這就是說，兩者同時運動，相對振幅接近于零。

2、當(dāng)λ接近于1時，TD達最大值，系統(tǒng)產(chǎn)生共振。

3、當(dāng)時，TD<1，即系統(tǒng)的振幅小于基礎(chǔ)振動的振幅。而λ越大，TD（系統(tǒng)振幅）越接近于零。人們利用這一點來隔振。

從上述分析可以看到，我們由相對振動和絕對振動得到的結(jié)論實質(zhì)是一樣的。

一個自由度系統(tǒng)的振動0123βv

21λ

0.7070.40.30.274再看相對速度傳遞系數(shù)：

四、系統(tǒng)固有頻率的測定

在第一類振動中，我們介紹過，用速度振幅共振及相位共振都可測定系統(tǒng)的固有頻率。

在第二類振動中，由的表達式及有關(guān)曲線可以看到，最大相對位移傳遞系數(shù)及最大絕對位移傳遞系數(shù)都不發(fā)生在λ＝1處，因此不能用位移共振法測出系統(tǒng)的固有頻率。

一個自由度系統(tǒng)的振動75此外，絕對速度傳遞系數(shù)、絕對加速度傳遞系數(shù)的表達式也同其絕對位移傳遞系數(shù)相同，即：

這就是說，用相對、絕對位移、速度、加速度共振都無法測定相同的固有頻率。唯有利用相對振動的相——頻特性可測得相同的固有頻率，即：

可以看到，和的表達式是一樣的。

一個自由度系統(tǒng)的振動76因此，在振動試驗中，同時測出物體相對于振動臺的運動及振動臺本身運動，比較二者相位，當(dāng)前者滯后于后者π/2時，振動臺的振頻就等于系統(tǒng)的固有頻率。

由式可見，當(dāng)λ＝1時，，這時產(chǎn)生相繼共振。就是說，當(dāng)基礎(chǔ)振頻ω等于系統(tǒng)固有頻率ωn時無論阻尼如何，質(zhì)量m相對于基礎(chǔ)的運動落后于基礎(chǔ)運動的相位角是π/2。

一個自由度系統(tǒng)的振動77五、慣性式拾振器

第二類振動物體也是強迫振動，與第一類振動不同之點在于，第一類振動的激振力直接作用在質(zhì)量m上，而第二類振動是以基礎(chǔ)位移形式進行激振的，所以又稱為位移激振。利用上述位移激振的理論，人們設(shè)計了慣性式拾振器。

拾振器的殼體帶有磁鋼，它與振動物體剛性連接著，線圈由彈性與殼體連接。這樣，當(dāng)物體振動時，殼體隨振動物體一起振動，而線圈發(fā)生第二類振動，使線圈彈簧系統(tǒng)的固有頻率ωn遠低于物體在頻率ω（一般

），則

，也就是說，線圈實際停留在空中不動。于是，不動的線圈與運動著的帶磁鋼殼體間有相對運動，其相對運動速度等于振動速度v，線圈切割磁力線產(chǎn)生電動勢，由電磁感應(yīng)定律：E=BLV×10-4

一個自由度系統(tǒng)的振動78這就是說，用速度共振方法可測定系統(tǒng)的阻尼。這種拾振器轉(zhuǎn)換的電壓信號E與物體振動速度成正比，又稱為速度型拾振器。若增設(shè)積分電路則可測位移，微分電路可測加速度。按預(yù)先標(biāo)定可直接讀出位移、速度、加速度之?dāng)?shù)值。式中：

E——線圈感應(yīng)電動勢（伏）

B——空氣中的磁感應(yīng)強度（高斯）

L——線圈的繞線長度（米）

V——相對運動速度（米/秒）

一個自由度系統(tǒng)的振動79振動會損壞機器設(shè)備，影響儀器、儀表的工作，振動產(chǎn)生的噪音對人體也有害，因此有必要進行隔振。隔振的原理就是前邊講過的關(guān)于第一類及第二類振動的理論。

§3—6振動的隔離

按激振方式不同可以把隔振分為兩類：

第一類隔振——又稱為主動隔振。機器本身是振源，把它與地基隔離開來，以減少其對周圍的影響。

第二類隔振——又稱為被動隔振。當(dāng)基礎(chǔ)發(fā)生振動時，為保護安裝在此基礎(chǔ)上的設(shè)備而把二者隔離開來。

隔振的方法是在我們希望隔開的兩者之間加上由彈性、阻尼元件組成的減振器。例如，橡膠隔振器，對減振器的要求后面將詳細討論。我們先講第二隔振。

一個自由度系統(tǒng)的振動80一、第二類隔振

設(shè)基礎(chǔ)以x1=bsinωt規(guī)律振動，若質(zhì)量為m的設(shè)備剛性固定基礎(chǔ)上（不加隔振器），則基礎(chǔ)的振動將不折不扣地傳到設(shè)備上去，即x＝x1＝bsinωt。設(shè)備振動的振幅、相位與基礎(chǔ)相同。

今將設(shè)備和基礎(chǔ)之間裝上減振器，其彈簧系數(shù)k，阻尼r。按第二類振動理論，設(shè)備m的振動為

一個自由度系統(tǒng)的振動mrkmx=x1081第二類隔振的目的，就是要求通過減振器使設(shè)備m的振幅小于地基的振幅，即TD<1，所以第二類隔振的實質(zhì)就是隔幅。（同時也起到了隔力作用）

我們比較一下經(jīng)過隔振后m的振幅與未經(jīng)隔振時設(shè)備m的振幅（即地基振幅）：

就是前邊講過的位移傳遞系數(shù)。

我們現(xiàn)在從隔振角度對第二類振動的幅——頻特性曲線（TD～λ曲線）作進一步討論，必須找出有效的隔振措施。

一個自由度系統(tǒng)的振動82ω——基礎(chǔ)振動頻率

ωn——由設(shè)備m與減振器組成的系統(tǒng)之固有頻率。

1、不論阻尼大小，只有當(dāng)時才有隔振效果。其中：2、在以后，隨λ增加，TD逐漸減小，即隔振效果越來越高。但當(dāng)λ>5之后，TD曲線接近水平，就是說，再加大λ隔振效果提高甚微，因此，一般取λ＝2～5即可。

3、為提高λ，須降低設(shè)備與減振器組成系統(tǒng)之固有頻率ωn，又，也就是說使減振器的彈性元件逾軟逾好。但彈性元件太軟抵抗外界沖擊力能力變差。所以,對λ不能一味提高。有時基礎(chǔ)振頻ω很低，難以達到的要求，寧可使用剛體固定方法，使TD＝1。

一個自由度系統(tǒng)的振動83以上四點就是設(shè)計減振器的理論依據(jù)。

為了說明隔振效果，引進參數(shù)η＝（1-TD）×100％，η——隔振效率。表示減振器所隔離掉的振動的百分率。

4、以后，位移傳遞系統(tǒng)TD隨阻尼增加而提高?？梢娫谶@種情況下阻尼增加對隔振不利；但也不能因此而盲目減少阻尼，因為

意味要越過共振區(qū)工作，阻尼太小將提高共振峰。因此要全面考慮。一個自由度系統(tǒng)的振動84二、第一類隔振

機器質(zhì)量為m，它是振源，我們設(shè)法把它與基礎(chǔ)隔離開，以減少其對周圍的影響。設(shè)機器的激振力為P＝P0sinωt。若把機器剛性固定在基礎(chǔ)上，則激振力將不折不扣地傳到基礎(chǔ)上。

今把機器與基礎(chǔ)間裝上減振器，如圖。

按第一類振動理論，可寫出m—k—r系統(tǒng)在P＝P0sinωt作用下的位移方程：x＝Bsin（ωt－φ）

一個自由度系統(tǒng)的振動rkm85振源（機器）通過減振器傳給基礎(chǔ)的力應(yīng)為彈性力與阻尼力的矢量和。其中：

所以，傳給基礎(chǔ)的振動力幅值為：

一個自由度系統(tǒng)的振動86〔注：

〕

用TF表示經(jīng)減振器傳給基礎(chǔ)的振動力幅值與振源激振力幅值之比：

（＝TD）TF——力傳遞系數(shù)。

一個自由度系統(tǒng)的振動87第一類隔振的目的，就是使經(jīng)過減振器傳給基礎(chǔ)的力小于振源（機器）的激振力，即TF<1，所以第一類隔振實質(zhì)就是隔力。

因為TF=TD，所以力傳遞系數(shù)TF隨頻率比λ的變化規(guī)律也是按上圖。也就是說，前述第二類隔振的全部結(jié)論也適用于第一類隔振。

一個自由度系統(tǒng)的振動88應(yīng)當(dāng)注意的是：在第一類隔振中，在設(shè)計減振器時，除了滿足TF的要求外，還應(yīng)考慮機器本身的振幅B和靜位移是否會影響機器的正常工作。通常，一臺機器（動力源）的正常工作，對振幅有嚴格的限制。如果其激振力頻率ω很低,為了達到隔振目的使，勢必把減振器的剛度設(shè)計得很低，雖然達到隔力目的使機器振幅加大到不允許的程度。在這種情況下，我們不得犧牲隔力，而采用剛度固定方法，以滿足對振幅的限制。此時TF＝1，即激振力百分之百傳到基礎(chǔ)上。為了表示隔振效果，這里是用隔力效率：

ηF=(1-TF)×100％

它表示由減振器隔離掉的激振力的百分率。（η與ηF可以統(tǒng)稱為隔振效率）

一個自由度系統(tǒng)的振動89求TD用λ，

例：橡皮金屬減振器在額定重量下靜位移為1.6mm，用作航空儀表隔振。飛機振動范圍20～200Hz；求：1、最低隔振效率？2、當(dāng)隔振效率為50％時，對應(yīng)的頻率是多少？

解：這是第二類隔振問題

儀表隔振系統(tǒng)的固有頻率為：

由TD～λ曲線可見，當(dāng)λ>1以后λ越大（即激振頻率越高），隔振效率提高，因此，最低隔振效率發(fā)生在f＝20Hz處。(λ)min＝20/12.5。

一個自由度系統(tǒng)的振動90則TD＝0.5

忽略阻尼

ηmin＝（1-0.63）×100％＝37％；

若η＝（1－TD）×100％＝50％

則

由

則得：

一個自由度系統(tǒng)的振動91這一章講述的內(nèi)容都只涉及到單自由度系統(tǒng)。前幾節(jié)已經(jīng)介紹了系統(tǒng)的自由振動和對簡諧激振力的響應(yīng)，同學(xué)們很自然會想到，在實際工程問題中，激振力并不都是簡諧函數(shù)，對于一般的周期力和任意激振力如何處理呢？這正是本節(jié)課要解決的問題。

§3—7單自由度系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)我們不打算介紹系統(tǒng)對周期力的響應(yīng)問題，因為：1、一般周期函數(shù)都可以用富里葉級數(shù)展開成若干簡諧函數(shù)的迭加；2、這里介紹的任意激振力也包括了周期激振力。

我們在前邊講系統(tǒng)對簡諧激振的響應(yīng)時，先講系統(tǒng)對簡諧激振力的響應(yīng)，然后講系統(tǒng)對基礎(chǔ)作簡諧振動的響應(yīng)，現(xiàn)在仍按這個順序。

一個自由度系統(tǒng)的振動92（1）

1、系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)（任意干擾力）

圖示彈簧、阻尼、質(zhì)量系統(tǒng)，受任意激振力F（t）作用。

現(xiàn)在問題是求t瞬時質(zhì)量m的位移x(t)。

取流動坐標(biāo)0≤τ≤t，那么在τ瞬時m的振動微分方程是：

我們用杜哈梅積分（Duhamel）求方程（1）的解。

一個自由度系統(tǒng)的振動mrkF(t)xt0tF93mdv＝F(τ)dτ

基本思路是：把任意激振力F(τ)的作用分解為一系列元沖量的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對每個元沖量的響應(yīng)，再根據(jù)線彈性系統(tǒng)的迭加原理，把這些響應(yīng)迭加起來，就得到系統(tǒng)對F(τ)的響應(yīng)。

設(shè)τ＝0瞬時，系統(tǒng)的初位移、初速度為零，有一元沖量F(τ)dτ，由動量定理，系統(tǒng)動量增量對于沖量：

按碰撞理論，在極短的dτ時間后，質(zhì)量m只有速度增量而來不及發(fā)生位移。于是問題變成：在τ＝0瞬時初始條件為x0＝0，的有阻尼自由振動，求質(zhì)量m在t瞬時的位移dx。一個自由度系統(tǒng)的振動0tF94自由振動前邊已經(jīng)講過，公式是：

其中

〔注：前邊給出，把初始條件代入后即得：E=x0，〕——這是在坐標(biāo)原點（τ＝0）有一元沖量時，在t瞬時產(chǎn)生的位移（注意，dx表示上式的微分，而是用dx代表x——由元沖量引起的，因此用dx表示）。

把上邊的初始條件代入，得

φ＝0，，所以：

一個自由度系統(tǒng)的振動95如果元沖量不在坐標(biāo)原點，即τ≠0（見圖1），則上式中的t應(yīng)改為（t－τ），即：

把τ＝0～t所有元沖量的作用迭加起來，就得到系統(tǒng)對任意激振力F（t）的響應(yīng)：

這就是杜哈梅積分，又稱為卷積分或迭加積分。它是微分方程（1）的全解，包括穩(wěn)態(tài)振動和瞬態(tài)振動。

現(xiàn)在我們把杜哈梅積分的整個過程復(fù)述一下：把F(τ)的作用分解為一系列元沖量F(τ)dτ的連續(xù)作用，分別求出系統(tǒng)對每個元沖量的響應(yīng)dx，再把這些響應(yīng)迭加起來，即

，這就是系統(tǒng)對F(τ)的響應(yīng)。顯然，能作這樣迭加的前提是線性系統(tǒng)的迭加原理。一個自由度系統(tǒng)的振動96如果忽略阻尼，那么：

前邊我們假定τ＝0時，系統(tǒng)的初速度、初位移為零，若τ＝0時x0≠0、v0≠0，那么應(yīng)當(dāng)加上有關(guān)的自由振動項，即

一個自由度系統(tǒng)的振動972、對基礎(chǔ)任意位移的響應(yīng)（任意支承運動）圖示k，r，m已知，又知基礎(chǔ)位移函數(shù)xs(t)，求質(zhì)量m的振動。

前邊已講過單自由度系統(tǒng)對基礎(chǔ)振動的響應(yīng)微分方程是（絕對位置方程）：

和方程（1）相比

代入前邊得到的杜哈梅積分公式（設(shè)