高考數學二輪復習 專題過關檢測（二十）直線與圓 文-人教版高三全冊數學試題

專題過關檢測（二十）直線與圓A級——“12＋4”提速練1．與直線l：x－2y＋1＝0垂直且過點(－1,0)的直線m在y軸上的截距為()A．2 B．－2C．1 D．－1解析：選B直線l：x－2y＋1＝0的斜率是eq\f(1,2)，由題意可知所求直線的斜率k＝－2，故所求直線方程是y＝－2(x＋1)，即2x＋y＋2＝0，令x＝0，解得y＝－2.故選B.2．“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C因為兩直線平行，所以斜率相等，即－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)，可得ab＝4，又當a＝1，b＝4時，滿足ab＝4，但是兩直線重合，故選C.3．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關系是()A．相離B．相交C．外切 D．內切解析：選B圓O1：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圓心是O1(1,0)，半徑是r1＝1，圓O2：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心是O2(0,2)，半徑是r2＝2，因為|O1O2|＝eq\r(5)，故|r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2|所以兩圓的位置關系是相交．4．直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)，則直線的傾斜角為()A.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)C．－eq\f(π,6)或eq\f(π,6) D.eq\f(π,6)解析：選A圓(x－2)2＋(y－3)2＝4的圓心為(2,3)，半徑r＝2，圓心(2,3)到直線y＝kx＋3的距離d＝eq\f(|2k|,\r(k2＋1))，因為直線y＝kx＋3被圓(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦長為2eq\r(3)，所以由勾股定理得r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2，即4＝eq\f(4k2,k2＋1)＋3，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，故直線的傾斜角為eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).5．圓x2＋y2＋4x－2y－1＝0上存在兩點關于直線ax－2by＋1＝0(a>0，b>0)對稱，則eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值為()A．3＋2eq\r(2) B．9C．16 D．18解析：選D由圓的對稱性可得，直線ax－2by＋1＝0必過圓心(－2,1)，所以a＋b＝eq\f(1,2).所以eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))(a＋b)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥2(5＋4)＝18，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即2a＝b時取等號．6．(2019·重慶七校聯(lián)合考試)兩圓x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于兩點M，N，則線段MN的長為()A.eq\f(3\r(5),5) B．4C.eq\f(6\r(5),5) D.eq\f(12\r(5),5)解析：選D兩圓方程相減，得直線MN的方程為x－2y＋4＝0，圓x2＋y2＋2x－8＝0的標準形式為(x＋1)2＋y2＝9，所以圓x2＋y2＋2x－8＝0的圓心為(－1,0)，半徑為3，圓心(－1,0)到直線MN的距離d＝eq\f(3,\r(5))，所以線段MN的長為2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(5))))2)＝eq\f(12\r(5),5).故選D.7．(2019·廣東七校聯(lián)考)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A(8,0)，以OA為直徑的圓與直線y＝2x在第一象限的交點為B，則直線AB的方程為()A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0解析：選A如圖，由題意知OB⊥AB，因為直線OB的方程為y＝2x，所以直線AB的斜率為－eq\f(1,2)，因為A(8,0)，所以直線AB的方程為y－0＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故選A.8．已知圓O：x2＋y2＝r2，點P(a，b)(ab≠0)是圓O內一點，過點P的圓O的最短弦所在的直線為l1，直線l2的方程為ax＋by－r2＝0，那么()A．l1∥l2，且l2與圓O相離B．l1⊥l2，且l2與圓O相切C．l1∥l2，且l2與圓O相交D．l1⊥l2，且l2與圓O相離解析：選A由題意可得a2＋b2<r2，OP⊥l1.因為kOP＝eq\f(b,a)，所以l1的斜率k1＝－eq\f(a,b).故直線l1的方程為y－b＝－eq\f(a,b)(x－a)，即ax＋by－(a2＋b2)＝0.又直線l2的方程為ax＋by－r2＝0，故l1∥l2，圓心到直線l2的距離為eq\f(|0＋0－r2|,\r(a2＋b2))>eq\f(r2,r)＝r，故圓和直線l2相離．9．(2019·石家莊模擬)已知圓C截兩坐標軸所得弦長相等，且圓C過點(－1,0)和(2,3)，則圓C的半徑為()A．8 B．2eq\r(2)C．5 D.eq\r(5)解析：選D設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵圓C經過點(－1,0)和(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋12＋b2＝r2，,a－22＋b－32＝r2，))∴a＋b－2＝0①，又圓C截兩坐標軸所得弦長相等，∴|a|＝|b|②，由①②得a＝b＝1，∴圓C的半徑為eq\r(5)，故選D.10．設直線x－y＋m＝0(m∈R)與圓(x－2)2＋y2＝4交于A，B兩點，過A，B分別作x軸的垂線與x軸交于C，D兩點．若線段CD的長度為eq\r(7)，則m＝()A．1或3 B．1或－3C．－1或3 D．－1或－3解析：選D聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,x－22＋y2＝4，))得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0，得Δ＝－4(m2＋4m－4)．設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＋x2＝2－m，x1x2＝eq\f(m2,2)，所以|CD|＝|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(－m2－4m＋4)＝eq\r(7)，解得m＝－3或m＝－1，此時Δ>0成立．11．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則實數a的取值范圍為()A．(－3eq\r(2)，3eq\r(2))B．(－∞，－3eq\r(2))∪(3eq\r(2)，＋∞)C．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))D．[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]解析：選A由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因為圓O上到直線l的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離d<r＋1＝2＋1，即d＝eq\f(|－a|,\r(12＋12))＝eq\f(|a|,\r(2))<3，解得a∈(－3eq\r(2)，3eq\r(2))．12．已知P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B分別是切點，若四邊形PACB的面積的最小值是2，則k的值為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：選D由題意知，圓C的圓心為C(0,1)，半徑r＝1，四邊形PACB的面積S＝2S△PBC，若四邊形PACB的面積的最小值是2，則S△PBC的最小值為1.而S△PBC＝eq\f(1,2)r|PB|＝eq\f(1,2)|PB|，則|PB|的最小值為2，此時|PC|取得最小值，而|PC|的最小值為圓心到直線的距離，所以eq\f(|5|,\r(k2＋1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，即k2＝4，由k>0，解得k＝2.13．已知直線l：x＋my－3＝0與圓C：x2＋y2＝4相切，則m＝________.解析：因為圓C：x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑為2，直線l：x＋my－3＝0與圓C：x2＋y2＝4相切，所以2＝eq\f(3,\r(1＋m2))，解得m＝±eq\f(\r(5),2).答案：±eq\f(\r(5),2)14．(2019·浙江高考)已知圓C的圓心坐標是(0，m)，半徑長是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點A(－2，－1)，則m＝________，r＝________.解析：由題意得，圓心C(0，m)到直線2x－y＋3＝0的距離d＝eq\f(|－m＋3|,\r(5))＝r，又r＝|AC|＝eq\r(4＋m＋12)，所以eq\f(|－m＋3|,\r(5))＝eq\r(4＋m＋12)，解得m＝－2，所以r＝eq\r(5).答案：－2eq\r(5)15．已知直線l：mx－y＝1，若直線l與直線x＋m(m－1)y＝2垂直，則m的值為________；動直線l：mx－y＝1被圓C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦長為________．解析：因為直線mx－y＝1與直線x＋m(m－1)y＝2垂直，所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝2.動直線l：mx－y＝1過定點(0，－1)，圓C：x2－2x＋y2－8＝0化為標準方程為(x－1)2＋y2＝9，圓心(1,0)到直線mx－y－1＝0的距離的最大值為eq\r(0－12＋－1－02)＝eq\r(2)，所以動直線l被圓C截得的最短弦長為2eq\r(9－\r(2)2)＝2eq\r(7).答案：0或22eq\r(7)16．在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內的點，B(5,0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，則點A的橫坐標為________．解析：因為AB為直徑，所以AD⊥BD，所以BD即B到直線l的距離，BD＝eq\f(|0－2×5|,\r(12＋22))＝2eq\r(5).因為CD＝AC＝BC＝r，又CD⊥AB，所以AB＝2BC＝2eq\r(10)，設A(a,2a)，AB＝eq\r(a－52＋4a2)＝2eq\r(10)?a＝－1或3(a＝－1舍去)．答案：3B級——拔高小題提能練1．在平面直角坐標系xOy中，以(－2,0)為圓心且與直線(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0(m∈R)相切的所有圓中，面積最大的圓的標準方程是()A．(x＋2)2＋y2＝16 B．(x＋2)2＋y2＝20C．(x＋2)2＋y2＝25 D．(x＋2)2＋y2＝36解析：選C根據題意，設圓心為P，則點P的坐標為(－2，0)．對于直線(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0，變形可得m(3x－2y)＋(x＋y－5)＝0，即直線過定點M(2,3)，在以點(－2,0)為圓心且與直線(3m＋1)x＋(1－2m)y－5＝0相切的圓中，面積最大的圓的半徑r長為MP，則r2＝MP2＝25，則其標準方程為(x＋2)2＋y2＝25.2．(2020屆高三·廣東七校聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B，C分別在x軸和y軸的非負半軸上，點A在第一象限，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，則()A．OA的最大值是4eq\r(2)，最小值是4B．OA的最大值是8，最小值是4C．OA的最大值是4eq\r(2)，最小值是2D．OA的最大值是8，最小值是2解析：選A因為∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，所以O，B，A，C四點共圓，且在以BC為直徑的圓上．又AB＝AC＝4，所以BC＝4eq\r(2).因此當OA為圓的直徑時，OA取得最大值，為4eq\r(2)，如圖①所示；當點B(或點C)與原點O重合時，OA取得最小值，為4，如圖②所示．故選A.3．已知圓O：x2＋y2＝5，A，B為圓O上的兩個動點，且|AB|＝2，M為弦AB的中點，C(2eq\r(2)，a)，D(2eq\r(2)，a＋2)．當A，B在圓O上運動時，始終有∠CMD為銳角，則實數a的取值范圍為()A．(－∞，－2)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－2，＋∞)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：選B連接OM，由題意得|OM|＝eq\r(5－1)＝2，∴點M在以O為圓心，半徑為2的圓上．設CD的中點為N，則N(2eq\r(2)，a＋1)，且|CD|＝2.∵當A，B在圓O上運動時，始終有∠CMD為銳角，∴以O為圓心，半徑為2的圓與以N(2eq\r(2)，a＋1)為圓心，半徑為1的圓外離，∴eq\r(2\r(2)2＋a＋12)>3，整理得(a＋1)2>1，解得a<－2或a>0.∴實數a的取值范圍為(－∞，－2)∪(0，＋∞)．4．(2019·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，P是曲線y＝x＋eq\f(4,x)(x>0)上的一個動點，則點P到直線x＋y＝0的距離的最小值是________．解析：法一：由題意可設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，x0＋\f(4,x0)))(x0>0)，則點P到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋x0＋\f(4,x0))),\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(4,x0))),\r(2))≥eq\f(2\r(2x0·\f(4,x0)),\r(2))＝4，當且僅當2x0＝eq\f(4,x0)，即x0＝eq\r(2)時取等號．故所求最小值是4.法二：設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\