數(shù)學(xué)-專題28 一次函數(shù)與等腰直角三角形結(jié)合（帶答案）

專題28一次函數(shù)與等腰直角三角形結(jié)合1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)易得到，取的中點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)求出直線的解析式，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線與分別過(guò)點(diǎn)A，作x軸的垂線，交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)E，MN與y軸交于點(diǎn)C，如下圖．∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，∴，∴(AAS)，

∴，，∴，，∴，取的中點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把B、K坐標(biāo)代入得，解得，∴直線的解析式為，將直線與直線聯(lián)立組成方程組，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題．2．如圖，已知點(diǎn)在直線：上，和：的圖像交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)直接寫(xiě)出、的值；(2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)題意，把點(diǎn)代入，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為代入，即可求解；（2）過(guò)作交于，過(guò)作軸，過(guò)作于，過(guò)作于，可證是等腰直角三角形，從而證明，設(shè)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，得，∴，∴直線的解析式為，將代入中，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，則，解得：，綜上所述：，．（2）解：過(guò)作交于，過(guò)作軸，過(guò)作于，過(guò)作于，

∵，∴，，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，在和中，，∴，∴，，設(shè)，∵，∴，，，，∴點(diǎn)坐標(biāo)，把代入中，得，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖形的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的圖形在平面直角坐標(biāo)系中的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：過(guò)點(diǎn)和，與互相垂直，且相交于點(diǎn)，D為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求直線與直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，當(dāng)D在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若的面積為8，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖3，直線上有一動(dòng)點(diǎn)P．若，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)直線的函數(shù)表達(dá)式為：；直線的函數(shù)表達(dá)式為：(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)在上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求直線的函數(shù)表達(dá)式即可；（2）設(shè)，根據(jù)，即可求出答案；（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件可知為等腰直角三角形，根據(jù)，列出方程解出即可．【詳解】（1）解：直線與過(guò)點(diǎn)和，，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式為：，與互相垂直，且相交于點(diǎn)，，，

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：設(shè)，、，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，等腰直角三角形，，即，，，，，，，解得或，或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形面積，等腰三角形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且，連接，已知．

(1)求直線的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在線段上分別取點(diǎn)M，N，使得軸，在x軸上取一點(diǎn)P，連接是否存在點(diǎn)M，使得為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)線段的表達(dá)式(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線的解析式；（2）根據(jù)三角形面積公式得到D到的距離等于B點(diǎn)到的距離的2倍，即D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，然后利用直線的解析式計(jì)算函數(shù)值為4所對(duì)應(yīng)的自變量的值，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)．（3）先求出直線的表達(dá)式,再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為，分情況討論即可.【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，得解得線段的表達(dá)式（2）已知，且點(diǎn)C在x軸正半軸上，∴點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，如解圖①，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H，則

即，解得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，設(shè)直線的表達(dá)式為將點(diǎn)代入，得，解得直線的表達(dá)式．已知點(diǎn)M在線段上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，軸，且點(diǎn)N在上∴將代入，得，，解得．點(diǎn)N的坐標(biāo)為分三種情況討論：①如解圖②，當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，解得：，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為②如解圖③，當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)與①中情況相同；③如解圖④，當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)P作軸，交MN于點(diǎn)Q，易得點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn)，且，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，，解得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：求一次函數(shù),則需要兩組x,y的值．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是分情況進(jìn)行討論．5．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)．過(guò)作于點(diǎn)，則，我們稱這種全等模型為“型全等”．（不需要證明）【遷移應(yīng)用】已知：直線的圖象與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)．(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，在第一象限構(gòu)造等腰直角，；

①直接寫(xiě)出______，______；②點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)如圖3，當(dāng)?shù)娜≈底兓?，點(diǎn)隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軸左側(cè)過(guò)點(diǎn)作，并且，連接，問(wèn)的面積是否發(fā)生變化?（填“變”或“不變”），若不變，其值為_(kāi)_____；若變，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)【拓展應(yīng)用】如圖4，當(dāng)時(shí)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是直線和直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)為，當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】(1)①，；②(2)不變，的面積為定值，理由見(jiàn)解析(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【分析】（1）)①若，則直線與軸，軸分別交于，，，兩點(diǎn)，即可求解；②作于，則．由全等三角形的性質(zhì)得，，即可求解；（2）由點(diǎn)隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可知，過(guò)點(diǎn)作于，則．由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作于，證明．分兩種情況，由全等三角形的性質(zhì)得，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得的值，即可求解．【詳解】（1）解：①若，則直線為直線，當(dāng)時(shí)，，,，當(dāng)時(shí)，，,，，，故答案為：，；②作于，，，又是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，，，，，，，

，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)變化時(shí)，的面積是定值，，理由如下：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)隨之在軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，又，．，，變化時(shí)，的面積是定值，；（3）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作于，

，，，，，又，．，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，直線，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)點(diǎn)作于，

，，，，，又，．，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形解題是關(guān)鍵．

二、解答題(共0分)6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線交y軸于點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)B．直線交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，設(shè)．(1)求直線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)找一點(diǎn)C，使為等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入直線的解析式，即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作，垂足為M，求得的長(zhǎng)，再由和可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后分三種情況討論：若，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N；若，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F；若，即可求解．【詳解】（1）解：∵經(jīng)過(guò)，∴，∴直線的解析式是；（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)．∴，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為M，則有，

∵時(shí)，，P在點(diǎn)D的上方，∴，∴；∵，∴，解得，∴點(diǎn)．根據(jù)題意得：，，∴，∴．若，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)N，如圖，∵，∴．又∵，∴，∴，∴，∴；若，如圖，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F．

∵，∴．又∵，∴．∴，∴，∴；若，如圖，∴，∵∴，∴，∴；∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，且a，p滿足．

(1)求直線的解析式；(2)如圖1，直線與x軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)M在x軸上方且在直線上，若的面積等于6，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，已知點(diǎn)，若點(diǎn)B為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使是以為底邊，點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)直線AP的解析式為(2)(3)Q的坐標(biāo)為或或，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，得到，由待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（2）過(guò)作交x軸于D，連接，由三角形面積關(guān)系得到，進(jìn)而得到，待定系數(shù)法求出直線的解析式，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)，分三種情況分別求解點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，

∴，解得，∴直線AP的解析式為；（2）過(guò)作交x軸于D，連接，∵，的面積等于6，∴的面積等于6，∴，即，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，令，得，∴；（3）Q的坐標(biāo)為或或．理由如下：設(shè)，①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸時(shí)，過(guò)B作軸于E，如圖，

∴，∵是以為底邊的等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴；②當(dāng)Q在y軸正半軸上時(shí)，過(guò)C作軸于F，過(guò)B作軸于G，如圖，∴，，∵是以為底邊的等腰直角三角形，∴，

∴，又∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴；③當(dāng)Q在y軸正半軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作軸于F，過(guò)B作軸于T，如圖，∴，，同②可證，∴，，∴，即，∴，∴，∴；綜上，Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)和幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，直線過(guò)點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)M，點(diǎn)N分別為x軸，y軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖3，在（2）問(wèn)的條件下，過(guò)點(diǎn)B作垂直于y軸，點(diǎn)P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)，若是以為腰的等腰直角三角形，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)，，【分析】（1）利用待定系數(shù)法將代入求解即可；（2）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取最小值，然后根據(jù)勾股定理求解即可；（3）根據(jù)就，分情況討論，分別令，，然后利用三角形全等，和點(diǎn)Ｐ在直線上，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）將代入直線AB解析式得：解得：，∴；（2）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接∴當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取最小值，

最小值，∵∴直線解析式為，令，解得∴，∴的最小值為，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P坐軸于點(diǎn)C，作軸于點(diǎn)D，如圖所示，在和中，∴∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，代入直線的解析式，∴點(diǎn)，∴點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在x軸下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，如圖所示，同理可證，∴，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為5，代入直線的解析式，∴，∴點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，如圖所示，同理可證，∴，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線的解析式．，解得，

∴點(diǎn)．綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，，．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)和三角形結(jié)合綜合題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線為與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)D處．(1)點(diǎn)A坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是．的長(zhǎng)是．(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若，直接寫(xiě)出點(diǎn)M坐標(biāo)．(4)在第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使為等腰直角三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)，5(2)(3)或(4)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或【分析】（1）利用一次函數(shù)解析式直接求出其圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為A，B的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式即可求出的長(zhǎng)；（2）由折疊知，從而可求出．設(shè)，則．在中，利用勾股定理可列出關(guān)于x的等式，解出x，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由三角形面積公式可求出．設(shè)，則，從而得出關(guān)于t

的方程，解出t即可得出M點(diǎn)坐標(biāo)；（4）分類(lèi)討論：①當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G．易證，得出，，從而得出；②當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H．由①同理可求出；③當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N．易證，得出，．即可設(shè)，得出，解出a，即得出P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）對(duì)于，令，則，解得：，∴．令，則，∴，∴．故答案為：，5；（2）由折疊知：，∴．設(shè)，則．∵在中，,∴，解得：，∴，∴；（3）∵，，∴．設(shè)，∴，∴，∴，

解得：或20，∴或；（4）分類(lèi)討論：①當(dāng)，時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G．∴，，∴．即在和中，，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)，時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H．由①同理可證，∴，

∴，∴；③當(dāng)，時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N．∵，∴．∵，∴．又∵，，∴，∴，．∴可設(shè)，∴，，∴，解得：．∴；綜上可知，存在一點(diǎn)P，使為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，較難．利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵．10．如圖，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求k的值．(2)連結(jié)PB，當(dāng)時(shí)，求OP的長(zhǎng)．(3)過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，交y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)Q在直線上．是否存在點(diǎn)Q，使得是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)OP=1；(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為：或或．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法得出解析式解答即可；（2）設(shè)P（m，0），根據(jù)勾股定理得出方程解答即可；（3）設(shè)Q（2，t），分下列情況：①當(dāng)△PMQ是等腰直角三角形，∠MPQ=90°時(shí)，如圖1；②當(dāng)△PMQ是等腰直角三角形，∠PMQ=90°時(shí)，如圖2；③當(dāng)△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°時(shí)，如圖3；④當(dāng)△PMQ是等腰直角三角形，∠PQM=90°時(shí)，如圖4；分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)列出方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）將，代入得：，解得：，的值是；（2）設(shè)，，，，，，，，即，

解得，；；（3）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為：或或．過(guò)點(diǎn)Q作平行于軸的直線，點(diǎn)在直線上，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，設(shè)，，，直線的解析式為：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交軸于點(diǎn)，直線的解析式為：，，，，①當(dāng)是等腰直角三角形，時(shí)，如圖1，則，，，，，，，，，，

，聯(lián)立方程組得，解得：，；②當(dāng)是等腰直角三角形，時(shí)，如圖2，則，①，過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為，則，，，，，，，，

，，，，，，，

；③當(dāng)是等腰直角三角形，時(shí)，如圖3，則，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，軸，，，，，，

，；④當(dāng)是等腰直角三角形，時(shí)，如圖4，則，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，

，，，，，，，

，；綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間距離公式，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握方程的思想方法及分類(lèi)討論思想是解本題的關(guān)鍵．11．如圖，直線l1：y＝2x﹣4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，直線l2與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)C，BC＝6，OD＝3OC．(1)求直線CD的解析式；(2)點(diǎn)Q為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，若有S△QCD＝2S△OCD，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為直線x軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)M，N，C為頂點(diǎn)且以MN為直角邊的三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫(xiě)出其中一個(gè)點(diǎn)M求解過(guò)程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或(3)M（2，0）或（4，4）或（，），過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)直線的解析式分別求出C、D坐標(biāo)即可求CD的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)Q作交CD于點(diǎn)F，設(shè)Q（m，2m-4），則F（m，），E（m，0）；得，由S△QCD＝2S△OCD，即可求解；（3）假設(shè)以點(diǎn)M，N，C為頂點(diǎn)且以MN為直角邊的三角形是等腰直角三角形，設(shè)M（a，2a-4），N（t，0），①若∠MNC=90°，過(guò)點(diǎn)N作平行于y軸的直線與點(diǎn)C與x軸的平行線交于點(diǎn)I，與點(diǎn)M與x軸的平行線交于點(diǎn)H，證，由，即可求點(diǎn)M；②若∠CMN=90°，過(guò)點(diǎn)M作平行于x軸的直線分別交y軸于點(diǎn)J，與過(guò)點(diǎn)N平行于y軸的直線交于點(diǎn)K，證，解，即可；【詳解】（1）解：將x=0代入y=2x-4中得，y=-4，∴B（0，-4），∵BC=6，∴OC=2∴C（0，2）∵OD=3OC，∴OD=6，∴D（6，0），設(shè)CD的解析式為，將C、D代入得，，解得：，∴CD的解析式為：．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作交CD于點(diǎn)F，由題意可設(shè)Q（m，2m-4），則F（m，），E（m，0）；

∴∴∵S△QCD＝2S△OCD，∴，∴，∴或，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）假設(shè)以點(diǎn)M，N，C為頂點(diǎn)且以MN為直角邊的三角形是等腰直角三角形，設(shè)M（a，2a-4），N（t，0），①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，∠CNM=90°，CN=MN=2時(shí)，此時(shí)M（2，0）；②若∠CMN=90°，過(guò)點(diǎn)M作平行于x軸的直線分別交y軸于點(diǎn)J，與過(guò)點(diǎn)N平行于y軸的直線交于點(diǎn)K，∵∠CMN=90°，∴∠CMJ+∠NMK=90°，∵∠CMJ+∠MCJ=90°，∴∠NMK=∠MCJ，∵∠NMK+∠MNK=90°，∴∠MNK=∠CMJ，∵CM=MN，∴，∴CJ=MK，JM=NK，∴，解得：a=或4，∴M（4，4）或（，）．

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，三角形的全等證明，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作于D，過(guò)B作于E．(1)求證：；(2)模型應(yīng)用：①已知直線：y＝﹣x﹣4與y軸交于A點(diǎn)，將直線繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至，如圖2，求的函數(shù)解析式；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（8，﹣6），A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC＝m，已知點(diǎn)D在第四象限，且是直線y＝上的一點(diǎn)，若△APD是不以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①y＝﹣x﹣4；②（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣）【分析】（1）先根據(jù)△ABC為等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；（2）①過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB于點(diǎn)B，交于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥x軸于D，根據(jù)∠BAC＝45°可知△ABC為等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性質(zhì)得出C

點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式即可；②分三種情況考慮：如圖3所示，當(dāng)∠ADP＝90°時(shí)，AD＝PD，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，2x+6），利用三角形全等得到，得D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖4所示，當(dāng)∠APD＝90°時(shí)，AP＝PD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，m），表示出D點(diǎn)坐標(biāo)為（14m，m8），列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖5所示，當(dāng)∠ADP＝90°時(shí)，AD＝PD時(shí)，同理求出D的坐標(biāo)．【詳解】（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD與△CBE中，，∴△ACD≌△EBC（AAS）；（2）解：①過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB于點(diǎn)B，交于點(diǎn)C，過(guò)C作CD⊥x軸于D，如圖2，∵∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直線：y＝x4，∴A（0，4），B（3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，

∴OD＝4+3＝7，∴C（7，3）設(shè)的解析式為y＝kx+b（k≠0），∴∴，∴的解析式：；②如圖3，當(dāng)∠ADP＝90°時(shí)，AD＝PD，∵，∴，∴∵點(diǎn)D在第四象限，且是直線y＝上的一點(diǎn)，∴設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，2x6），∵B的坐標(biāo)為（8，﹣6），∴∴，即解得，∴D點(diǎn)坐標(biāo)（4，2）；如圖4，當(dāng)∠APD＝90°時(shí)，AP＝PD，同理可得，

過(guò)D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，m），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（14m，m8），由m8＝2（14m）+6，得m＝，∴D點(diǎn)坐標(biāo)（，）；如圖5，當(dāng)∠ADP＝90°時(shí)，AD＝PD時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)（，），綜上可知滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為（4，2）或（，）或（，），【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，需要考慮的多種情況，解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx與x軸交于點(diǎn)A，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，a），在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，直線BC上有一動(dòng)點(diǎn)M，已知C（3，0）．

（1）a＝_____；（2）若△APM是以線段AM為斜邊的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是_____．【答案】

3

，或，或，或，【分析】（1）令x=2即可求得a的值；（2）先求得直線BC的解析式為y=-3x+9，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），過(guò)點(diǎn)M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，證明△MPH≌△PAO，然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-3x+9），然后求得AO、PO、PH、MH的長(zhǎng)，進(jìn)而由全等三角形的性質(zhì)列出方程求得x的值，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．