2022全國(guó)乙卷高考真題數(shù)學(xué)（文）（教師版）

2022全國(guó)乙卷高考真題

數(shù)學(xué)（文）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.集合用={2,4,6,8,10},N={x|—lvx<6},則Mp|N=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.(2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

2.設(shè)(l+2i)a+〃=2i,其中匕為實(shí)數(shù),則（)

A.a=1,b=-\B.a=l9b=1C.。=-1,b=lD.。=-1,b=—\

3.已知向量M=（2,l）,6=(—2,4),則再一］|=()

A.2B.3C.4D.5

4.分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：〃），得如圖莖葉圖:

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

J..2,

5.若x,y滿(mǎn)足約束條件<x+2y”4,則z=2x-y的最大值是()

y..0,

A.B.4C.8D.12

6.設(shè)方為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在。上,點(diǎn)8(3,0),若|AF|=|8尸|,貝U|A8|=()

A.2B.2夜C.3D.372

7.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的〃=（)

CW)

/輸入a=l,b=l,n=1/

（結(jié)束一）

A.3B.4C.5D.6

8.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（）

nX，-X

B-

2xcosx八2sinx

C.y=2T~D-y=^—

/+1X+1

9.在正方體A3C?！猘4G〃中，E,產(chǎn)分別為AB,8c的中點(diǎn)，貝lj（）

A.平面平面B.平面烏石尸，平面43。

C.平面4石尸//平面AACD.平面耳印//平面4G。

10.已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,4一6=42,則4=（）

A.14B.12C.6D.3

11.函數(shù)/(x)=cosx+(%+l)sinx+l在區(qū)間(0,2列的最小值、最大值分別為（）

7171用，工c2，畀

A.一,—B.--rrD.T2

2222

12.己知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),

其高為（）

A.\B.-

2-4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.記S“為等差數(shù)列｛凡｝的前“項(xiàng)和.若2s3=3邑+6,則公差d=.

14.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

15.過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須

作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。

17.(12分)記A48c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sin3sin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)證明：2/=加+C2.

18.(12分)如圖，四面體A8CZ)中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ABDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面組＞1.平面ACD;

(2)設(shè)舫=8。=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在班)匕當(dāng)AAFC的面積最小時(shí)，求三棱錐尸-ABC的體積.

A

19.(12分)某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選

取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積(單位：機(jī)b和材積量(單位：M),得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積X；0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量》0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得=0,038,=1.6158,￡.r,.y;=0.2474.

；=l/=1；=1

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為186,7.已知樹(shù)

木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.

附：相關(guān)系數(shù)廠=/J“，71.896?1.377.

JZu-^)2Z(x-y)2

V/=li=l

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=ax-----(a+V)lnx.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的最大值；

(2)若/(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

21.(12分)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)A(0,-2),8(；,-1)兩點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)尸(1,-2)的直線交E于歷，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段43交于點(diǎn)7,點(diǎn)〃滿(mǎn)足

Mf=TH.證明：直線"N過(guò)定點(diǎn).

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。［選修4-4：

坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為卜=6cos",?為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，》軸正半軸

［j=2sinf

為極軸建立極坐標(biāo)系，己知直線I的極坐標(biāo)方程為psinS+g)+加=0.

(1)寫(xiě)出/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若/與C有公共點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

333

23.己知a,b,C都是正數(shù)，且/+及+府=1,證明：

(1)abc,,g;

,八abc1

(2)+----+----,,—=.

b+ca+ca+b2J1abc

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1?【分析】直接利用交集運(yùn)算求解即可.

【解答】解：?.?M={2,4,6,8,10},N={x[—l<x<6},

.-.MQ?/={2,4}.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

【解答】解：：(1+2i)a+人=2i,

[a+b=0

:.a+b+2ai=2i,n即n《，

[2a=2

解得]

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

3.【分析】先計(jì)算處的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)模長(zhǎng)公式即可.

【解答】解:a-b=(4,-3),

故卜_,=次+㈠y=5,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【分析】根據(jù)莖葉圖逐項(xiàng)分析即可得出答案.

【解答】解：由莖葉圖可知，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為9至=7.4,選項(xiàng)A說(shuō)法正確;

2

由莖葉圖可知，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8,選項(xiàng)8說(shuō)法正確；

甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值為色=?<0.4,選項(xiàng)C說(shuō)法錯(cuò)誤；

168

乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值為U=Q8125>Q6,選項(xiàng)。說(shuō)法正確.

16

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查莖葉圖，考查對(duì)數(shù)據(jù)的分析處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【分析】作出可行域，根據(jù)圖象即可得解.

【解答】解：作出可行域如下圖陰影部分所示，

由圖可知，當(dāng)(x,y)取點(diǎn)C(4,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y取得最大值，且最大為8.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

6.【分析】利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解A的坐標(biāo)，然后求解即可.

【解答】解：尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)(1,0),點(diǎn)A在C上，點(diǎn)仇3,0),|AFR8F|=2,

由拋物線的定義可知A(1,2)(A不妨在第一象限)，所以|AB|=J(3-+(-2)2=24.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

7.【分析】模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過(guò)程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的”值.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過(guò)程，如下：

輸入a=l,b=\，〃=1,

計(jì)算〃=1+2=3，a=3—1=2,〃=2,

321

判斷|一一2|=上=0.25..0.01,

2-4

計(jì)算。=3+4=7,<2=7—2=5,〃=3，

721

判斷If-2|=五=0.04..0.01；

計(jì)算6=7+10=17,a=17-5=12,77=4,

判斷I二一2|=」-<0.01；

122144

輸出〃=4.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序的運(yùn)行與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

8.【分析】首先分析函數(shù)奇偶性，然后觀察函數(shù)圖像在(1,3)存在零點(diǎn)，可排除8,3選項(xiàng)，再利用cosx在(0,.)

的周期性可判斷C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【解答】解：首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù)，

其次觀察函數(shù)在(1,3)存在零點(diǎn)，

r3_r

而對(duì)于5選項(xiàng)：令y=0,即5」=0,解得x=0,或x=l或x=-l,故排除5選項(xiàng)；

x2+\

對(duì)于。選項(xiàng)，令y=0,即當(dāng)竺=0,解得》=左萬(wàn)，keZ,故排除。選項(xiàng)；

X+1

C選項(xiàng)：當(dāng)x>0時(shí)，2x>0,x2+l>0,因?yàn)閏osxe-1,1],故坐旦,，之=：,且當(dāng)x>0時(shí)，

22

X+1%+1v+l

X

I2

XH—..2?故---1，

xI

x+-

X

而觀察圖像可知當(dāng)x>0時(shí)，/(%)_..1,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.

9.【分析】對(duì)于A,易知EFUAC,AC_L平面從而判斷選項(xiàng)A正確；對(duì)于5,由選項(xiàng)A及平面8￡>RC

平面ABQ=8?？膳袛噙x項(xiàng)3錯(cuò)誤；對(duì)于C,由于照與5E必相交，容易判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于。，易知平面

ABC//平面AG。，而平面ABC與平面4EF有公共點(diǎn)用，由此可判斷選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

【解答】解：對(duì)于A,由于E,尸分別為8c的中點(diǎn)，則防//AC,

又AC_LBD,AC1DD,,BD^\DDt=D,且DRu平面BDR,

ACJ_平面BDDt,則_L平面BDDt,

又EFu平面B]EF,

平面B,￡FJ■平面BDDt,選項(xiàng)A正確；

對(duì)于3,由選項(xiàng)A可知，平面平面5￡)q,而平面BDRC平面=8。，在該正方體中，試想R運(yùn)動(dòng)至

A時(shí)，平面gEF不可能與平面4,8。垂直，選項(xiàng)5錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在平面AB4A上，易知44,與&E必相交，故平面與平面A4c不平行，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,易知平面ABC//平面ACQ,而平面AB。與平面區(qū)七戶(hù)有公共點(diǎn)用，故平面耳族與平面4G。不可能

平行，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

10.【分析】由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，求得在的值.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4，4=0,由題意，q^\.

?前3項(xiàng)和為％+%+%=~—=168,a-a=a-q-a-q4=-q(l-q3)=42,

1-q25t｝

1“

:.q=3,q=96,

則4=4,4'=96x*=3,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)=(x+l)cosx,令cosx=0得，x='或稱(chēng)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)尸(x)的正負(fù)得到函數(shù)

〃x)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)〃力的極值，再與端點(diǎn)值比較即可.

【解答】解：/(x)=cosx+(x+l)sinx+l,XG[O,2/r],

則fr(x)=-sinx+sinx-F(x+1)cosx=(x+1)cosx,

令cosx=0得，x=2或—,

22

.?.當(dāng)xe[0,至?xí)r，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x嗎,4)時(shí)，f\x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe亨，2劃

時(shí)，f'(x)>0，/(x)單調(diào)遞增，

.?"(X)在區(qū)間[0,2加上的極大值為f(9=^+2,極小值為/(當(dāng))=-當(dāng)，

又?.?/(())=2,〃2%)=2,

二.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2詞的最小值為-網(wǎng)，最大值為出+2,

22

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題.

12?【分析】由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，由勾股定理可知該四棱錐的高

/?=6^,所以該四棱錐的體積Y=再利用基本不等式即可求出丫的最大值，以及此時(shí)。的值，進(jìn)

而求出h的值.

【解答】解：由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，底面所在圓的半徑為八

則r-^^a,

2

二.該四棱錐的高〃=4-￡,

該四棱錐的體積丫=

22A

當(dāng)且僅當(dāng)t=1-6，即時(shí)，等號(hào)成立,

423

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.【分析】根據(jù)已知條件，可得2（4+/+%）=3（4+%）+6,再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：?.,2邑=3邑+6,

2（4+。2+4）=3（4+%）+6,

???{4}為等差數(shù)列,

6a2=3%+3%+6,

r.3（4—q）=3"=6,解得d=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

14?【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的

個(gè)數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率.

【解答】解：方法一：設(shè)5人為甲、乙、丙、丁、戊，

從5人中選3人有以下10個(gè)基本事件：

甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；

甲、乙被選中的基本事件有3個(gè)：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；

故甲、乙被選中的概率為3.

10

方法二：

由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，基本事件總數(shù)C；=10,

甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個(gè)數(shù)C；=3,

根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率尸=4=2.

C：10

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題.

15?【分析】選其中的三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程.

【解答】解：設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,0),(4,0),(―1,1)的圓的方程為丁+V+以+砂+尸=0,

尸=0

即“6+4。+/=0,解得F=0,D=-4,E=-6,

2-D+E+F=0

所以過(guò)點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1)圓的方程為/+9-4*-6)，=0.

同理可得，過(guò)點(diǎn)(0,0),(4,0),(4,2)圓的方程為x2+y2-4x-2y=0.

過(guò)點(diǎn)(0,0),(-1,1),(4,2)圓的方程為f+y2Hx-竺y=0.

33

過(guò)點(diǎn)(4,0),(-1.1),(4,2)圓的方程為Y+y2一￡x_2y—￡=o.

故答案為：x2+y2-4x-6y=0(^x2+y2-4x-2y=0^x2+y2=+/--yX-2y-^=0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)求圓的方程應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

16?【分析】顯然axO,根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得，xxl且XX1+2，所以1進(jìn)而求出。的值，代入函

aa

數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)/(0)=0即可求出。的值.

【解答】解：/(x)=In|a+—-—\+b,

1-x

若。=0,則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧x|xwl},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不具有奇偶性，

aw0，

由函數(shù)解析式有意義可得，XW1且0+」一。0,

1-X

X￥I且元工1H---,

???函數(shù)fM為奇函數(shù)，定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

/.1+—=—1,角軍得a=--,

a2

/.f(x)=In|1+A|+b,定義域?yàn)閧x|xwl且xw-l},

2(1-x)

由/(0)=0得，加g+b=。，

:.h=bi2，

故答案為：；ln2.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須

作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。

17,【分析】(1)由sinCsin(A-3)=sin3sin(C-A),結(jié)合A=28,可得sinC=sin(C-A),即C+C—A=萬(wàn),再由

三角形內(nèi)角和定理列式求解C;

(2)把已知等式展開(kāi)兩角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角為邊即可證明結(jié)論.

【解答】解：(1)由sinCsin(A-_B)=sinBsin(C-A),

又A=2區(qū)，/.sinCsinB=sin8sin(C-A),

???sin8wO,/.sinC=sin(C-A),BPC=C-A(舍去)或C+C-A=;r,

A=23

聯(lián)立<2C—A=/r，角軍得C=—7T；

8

A+8+C=7i

證明:(2)由sinCsin(A—B)=sinBsin(C-A),

得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB=sinBsinCeosA-sinBcosCsinA,

由正弦定理可得accosB-becosA=bccosA-abcosC,

a2+c2-rb~2c,bC~+c2-a"2.ar2+b~12-c"2

由余弦定理可得:=2bcab

2ac--------------2bc------------------2ab

整理可得：2/=6+C2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.【分析】(1)易證=所以AC_L8E,又AC上DE,由線面垂直的判定定理可得ACJ■平面

BED,再由面面垂直的判定定理即可證得平面平面ACD；

(2)由題意可知AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，進(jìn)而求出8E=6，AC=2,AD=CD=叵,DE=\,由勾

股定理可得Z)E_LBE,進(jìn)而證得￡)EJ_平面A8C,連接斯，因?yàn)锳F=C/，則EF_LAC,所以當(dāng)￡FJ_8Z)時(shí)，

EF最短,此時(shí)AAFC的面積最小，求出此時(shí)點(diǎn)F到平面ABC的距離，從而求得此時(shí)三棱錐尸-ABC的體積.

【解答】證明：(1)-.AD=CD,ZADB=ABDC,BD=BD,

:.^ADB=\CDB,

.-.AB=BC,又「E為AC的中點(diǎn).

:.AC±BE,

-.-AD=CD,E為AC的中點(diǎn).

ACIDE,又?.?84］。片=￡；,

AC_L平面BED,

又「ACu平面ACD,

.??平面班D_L平面ACD；

解：(2)由(1)可知=

:.AB=BC^=2,ZACB=60。，；.AABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2,

:.BE=>j3,AC=2,AD=CD=42,DE=i,

DE2+BE2=BEr,;.DEYBE,

又ACp\BE=E,

.,.DEJ"平面ABC,

由(1)知=AAF=CF,連接EF,則所'_LAC,

x

.?S^FC=g*A。EF=EF,

.,.當(dāng)￡F_LB￡>時(shí)，防最短，此時(shí)AZIFC的面積最小，

過(guò)點(diǎn)F作FGLBE于點(diǎn)G,則FG//￡>￡,，F(xiàn)G_L平面ABC,

DExBEV3

,/EF=-------=——，

BD2

22EFxBF

:.BF=^BE-EF=-,:.FG=.=l,

2BE4

三棱錐F-ABC的體積V=-xSxFG=

3MBHC3444

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱錐的體積公式，同時(shí)考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算

能力，是中檔題.

19.【分析】根據(jù)題意結(jié)合線性回歸方程求平均數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)，并估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的值即可.

【解答】解：(1)設(shè)這棵樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為元，平均一棵的材積量為了，

則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：元=竺=0.06機(jī)2,y=—=0.39w3;

1010

1()1()

(2)由題可知，一"”)Zw%一時(shí)

0.0134_0.0134_0.0134

i=lx0.97

fioio-r^ioioV0.002x0.0948~0.01xJ1.896-0.01377

助X-庭2疙城-南2)

V/=1i=l/=1i=\

(3)設(shè)總根部面積和X,總材積量為y,則工=土，故y=2理X186=12O9(1).

Yy0.06

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題.

20.【分析】(1)將“=0代入，對(duì)函數(shù)〃幻求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，由此可得最大值；

(2)對(duì)函數(shù),f(x)求導(dǎo)，分a=0,a<0,Ovavl,a=1及a>1討論即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=—lnx(x>0),則f\x)==

Xx~XX

易知函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

.?./(X)在x=l處取得極大值，同時(shí)也是最大值,

二.函數(shù)/(幻的最大值為/(1)=-1;

/八￡，/、1a+1ax1-(a+l)x+1(x-l)(at-l)

(2)j(x)=a+------=-------；------=------------

x

①當(dāng)4=0時(shí)，由（1）可知，函數(shù)/（X）無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)4<0時(shí)，易知函數(shù)/（X）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（l,y）上單調(diào)遞減,

又/（1）=4-1<0,故此時(shí)函數(shù)/（X）無(wú)零點(diǎn)；

③當(dāng)0<”1時(shí)，易知函數(shù)/(x)在(0,l),d,+oo)上單調(diào)遞增，在(1一)單調(diào)遞減，

aa

且.f(1)=a-l<0,/(l)=l-a+(a+l)/n?<0.

a

又由(1)可得，—+Inx..1,BPIn-.A-x,則/nrvx,ln\[x<4x,則歷￥<26，

XX

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)=ax---(a+\)bvc>ax---2(。+1)?\[x>ax-(2a+3)?，

xx

41

故存在m=(二+2)2>—,使得

aa

二.此時(shí)f(x)在(0,+oo)上存在唯一零點(diǎn)；

④當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x-,D-..O,函數(shù)f(x)在(0,”)上單調(diào)遞增，

x~

又/(1)=0,故此時(shí)函數(shù)/(X)有唯一零點(diǎn)；

⑤當(dāng)4>1時(shí)，易知函數(shù)/（X）在（0,3,（1,+8）上單調(diào)遞增，在（L1）上單調(diào)遞減,

aa

且/（1）=。一1>0,

又由（1）可得，當(dāng)Ovxvl時(shí)，lnx>\~—,則/小6>1——二，則/.>2（1-

Xy/x

此時(shí)f(x)=ax---2(i+1)(1——^=)<---+"C"，

XyjxXyjx

故存在n=-7<L使得fW<。，

4（a+l）~a

故函數(shù)f（x）在（0,+oo）上存在唯一零點(diǎn)；

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為（0,+oo）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查里利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想及運(yùn)算求

解能力，屬于難題.

21?【分析】（1）設(shè)￡的方程為32+町;2=］（機(jī)，〃>0且將A,8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；（2）由

4。,-2）反1）可得直線,尸*2'①若過(guò)尸（卜2）的宜線的斜率不存在‘直線為X”代入橢圓方程，根

據(jù)說(shuō)^而即可求解；②若過(guò)P（l,-2）的直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)-y-（2+2）=0,M（M，yj,N（w，y2）,聯(lián)立

kx-y-(k-i-2)=0

,W(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,結(jié)合韋達(dá)定理和已知條件即可求解.

------1------=1

34

【解答】解：（1）設(shè)￡的方程為"V+〃），=1（機(jī)>0,〃>0且加工〃），

[4,?=1

將A(O,-2),B(3,-1)兩點(diǎn)代入得，9

2—/n+n=l

14

解得m=-9n=-f

34

22

故￡的方程為三+匕=1；

34

39

(2)由40,—2),8(一,一1)可得直線48:丁二一工一2

23

22

(1)若過(guò)點(diǎn)尸(1,-2)的直線斜率不存在，直線x=l.代入工+二=1,

34

可得M(l,-半)W(l,半)，代入AB方程y=|x-2,可得T-亞+3,-孚)，由麗5=閑，得到

”(-2#+5,-半).求得“N方程：y=(2+半)x-2,過(guò)點(diǎn)(0,-2).

②若過(guò)PQ-2)的直線的斜率存在，設(shè)Ax-y-(Z+2)=0,M(x，y),N(x2,y2),

kx-y-(k+2)=0

2

聯(lián)立fy2得(35+4)x-6kQ+k)x+3k(k+4)=0,

-----1-----=1

_6/(2+外一8(2+6

￥,+￥,=---z----

故有-■女一+4,,且”+.=3(*)

3%(4+左)4(4+4"2/)12-'3二+4

x,x^=——：----

1-3公+4X"3"+4

y=y

聯(lián)立2可得7(管+3,%),"(3%+6fM,

y=-x-2

I3

可求得此時(shí)”