高中數(shù)學(xué)北師大版練習(xí)第七章1-4隨機(jī)事件的運(yùn)算

1．4隨機(jī)事件的運(yùn)算水平11．若兩個(gè)事件是互斥事件，則這兩個(gè)事件是對立事件．()2．若事件A和B是互斥事件，則A∩B是不可能事件．()3．事件A∪B是必然事件，則事件A和B是對立事件．()【解析】1.提示：×.有可能不是對立事件．2．√.3．提示：×.有可能A與B有交集．·題組一互斥事件與對立事件1．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的兩件事是()A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”【解析】選C.A選項(xiàng)兩個(gè)可以同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件．B選項(xiàng)兩個(gè)可以同時(shí)發(fā)生，比如兩個(gè)球一個(gè)是黑球一個(gè)是紅球，故不是互斥事件．C選項(xiàng)恰有一個(gè)黑球，為一個(gè)黑球一個(gè)紅球，與兩個(gè)黑球互斥，但不是對立事件，因?yàn)檫€有兩個(gè)都是紅球的可能．D選項(xiàng)為對立事件．2．抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“至少有2件次品”，則事件A的對立事件為()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品【解析】選B.至少有n個(gè)的反面是至多有n－1個(gè)，事件A為至少有2件次品，故對立事件為至多有1件次品．3．從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)．判斷下列事件是否為互斥事件，是否為對立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．【解析】根據(jù)互斥事件的定義，即事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們是互斥事件，又因?yàn)樗鼈兊暮褪录皇侨臻g，故不是對立事件．(2)比如2件產(chǎn)品都是次品滿足兩個(gè)事件，不是互斥事件，故不是對立事件．(3)比如1件次品1件正品滿足兩個(gè)事件，不是互斥事件，故不是對立事件．·題組二事件關(guān)系的運(yùn)算與含義1．一批產(chǎn)品共100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件．現(xiàn)給出以下四個(gè)事件：事件A：恰有1件次品；事件B：至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件D：至多有1件次品；并給出以下結(jié)論：①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∩B＝C；④A∩D＝C，其中正確結(jié)論的序號(hào)有()A．①②B．③④C．①③D．②③【解析】選A.事件A∪B表示的事件：至少有1件次品，即為事件C，所以①正確；事件D∪B表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情況，所以②正確；事件A∩B＝?，③不正確；事件A∩D表示的事件：恰有1件次品，即事件A，所以④不正確．2．甲、乙兩人破譯同一個(gè)密碼，令甲、乙破譯出密碼分別為事件A，B，則eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)表示的含義是什么．事件“密碼被破譯”用字母應(yīng)如何表示．【解析】eq\x\to(A)B表示只有乙破譯密碼，Aeq\x\to(B)表示只有甲破譯密碼，所以eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)表示的含義是只有一人破譯密碼．“密碼被破譯”為至少一人破譯密碼，所以是eq\x\to(A)B∪Aeq\x\to(B)∪AB.易錯(cuò)點(diǎn)對立事件與互斥事件區(qū)分從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋中任取2個(gè)球，那么下列事件中，是對立事件的是()A．至少有1個(gè)白球；都是紅球B．至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C．恰好有1個(gè)白球；恰好有2個(gè)白球D．至少有1個(gè)白球；都是白球【解析】選A.從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，在A中，“至少有1個(gè)白球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)事件會(huì)發(fā)生，是對立事件．在B中，“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件．在C中，“恰好有1個(gè)白球”與“恰好有2個(gè)白球”是互斥事件，但不是對立事件．在D中，“至少有1個(gè)白球”與“都是白球”不是互斥事件．

水平1、2限時(shí)30分鐘分值50分戰(zhàn)報(bào)得分______一、選擇題(每小題5分，共20分)1．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“三件產(chǎn)品全不是次品”，事件B為“三件產(chǎn)品全是次品”，事件C為“三件產(chǎn)品至少有一件是次品”，則下列結(jié)論正確的是()A．B與C互斥B．任何兩個(gè)均互斥C．A與C互斥D．任何兩個(gè)均不互斥【解析】選C.事件C包含事件B，故A，B錯(cuò)誤；事件A與事件C沒有相同的事件，故C正確，D錯(cuò)誤．2．拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則()A．A?BB．A＝BC．A＋B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．AB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【解析】選C.由題意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，則A∩B＝{1}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.3．某學(xué)校計(jì)劃從3名男生和2名女生中任選3人參加“抗疫”英雄事跡演講比賽，記事件M為“恰有1名男生參加演講”，則下列事件中與事件M對立的是()A．恰有2名男生參加演講B．恰有2名女生參加演講C．至少有2名男生參加演講D．至多有2名男生參加演講【解析】選C.選3人，總共只有2名女生，因此3人中最多只有2名女生，因此可分為恰有1名男生，恰有2名男生，恰有3名男生，從而事件M的對立事件是“至少有2名男生參加演講”．4．(多選題)拋擲一枚骰子1次，記“向上的點(diǎn)數(shù)是4，5，6”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2”為事件B，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3”為事件C，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4”為事件D，則下列關(guān)于事件A，B，C，D判斷正確的有()A．A與B是互斥事件但不是對立事件B．A與C是互斥事件也是對立事件C．A與D是互斥事件D．C與D不是對立事件也不是互斥事件【解析】選ABD.拋擲一枚骰子1次，記“向上的點(diǎn)數(shù)是4，5，6”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2”為事件B，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3”為事件C，“向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4”為事件D，在A中，A與B不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥事件但不是對立事件，故A正確；在B中，A與C是互斥事件也是對立事件，故B正確；在C中，A與D能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；在D中，C與D能同時(shí)發(fā)生，不是對立事件也不是互斥事件，故D正確．二、填空題(每小題5分，共20分)5．將標(biāo)有數(shù)字3，4，5的三張撲克牌隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人一張，事件A：“甲得到的撲克牌數(shù)字小于乙得到的撲克牌數(shù)字”與事件B：“乙得到的撲克牌數(shù)字為3”是什么事件________．【解析】將標(biāo)有數(shù)字3，4，5的三張撲克牌隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人一張，事件A：“甲得到的撲克牌數(shù)字小于乙得到的撲克牌數(shù)字”，事件B：“乙得到的撲克牌數(shù)字為3”，事件A為：(3，4)，(3，5)，(4，5)，事件B為：(4，3)，(5，3)，事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，所以事件A與事件B是互斥但不對立事件．答案：互斥但不對立事件6．袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則①恰有1個(gè)白球和全是白球；②至少有1個(gè)白球和全是黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球．在上述事件中，是對立事件的為________．【解析】有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球：①是互斥事件，但不是對立事件；②是互斥事件，同時(shí)也是對立事件；③既不是互斥事件，也不是對立事件；④既不是互斥事件，也不是對立事件．答案：②7．某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對事件中是互斥事件的有________．①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生．【解析】由互斥事件的概念可知，①④中的兩個(gè)事件是互斥事件，②③兩個(gè)事件不是互斥事件．答案：①④8．從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)：①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)．上述事件中，是對立事件的是________．【解析】①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)不是互斥事件，也不是對立事件；②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)不是互斥事件，也不是對立事件；③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)是互斥事件，也是對立事件；④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)不是互斥事件，也不是對立事件．答案：③三、解答題9．(10分)如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴ВO(shè)事件A＝“甲元件正?！?，B＝“乙元件正常”．(1)寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)，并說明它們的含義及關(guān)系．【解析】(1)用x1，x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可以用(x1，x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài)．以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．(2)根據(jù)題意，可得A＝{(1，0)，(1，1)}，B＝{(0，1)，(1，1)}，eq\x\to(A)＝{(0，0)，(0，1)}，eq\x\to(B)＝{(0，0)，(1，0)}．(3)A∪B＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)＝{(0，0)}；A∪B表示電路工作正常，eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)表示電路工作不正常；A∪B和eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)互為對立事件．5個(gè)相同的小球，分別標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，5，依次有放回地抽取兩個(gè)小球．記事件A為“第一次抽取的小球上的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B為“抽取的兩個(gè)小球上的數(shù)字至少有一個(gè)是偶數(shù)”，事件C為“兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，試用集合的形式表示A，B，C，A∩B，eq\x\to(A)∩eq\x\to(C)，eq\x\to(B)∩C.【解析】樣本空間為Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，B＝{(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，2)，(5，4)}，C＝{(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2