高三二輪復習專題16統(tǒng)計案例

2024屆高三二輪復習第16講：統(tǒng)計案例解析版2023年考情考題示例考點關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第9題用樣本估計總體無2023年天津卷，第7題回歸方程相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)無2023年乙卷文科，第17題樣本估計總體無2023年甲卷理科，第19題獨立性檢驗無2023年乙卷理科，第17題樣本估計總體無2023年甲卷文科，第19題獨立性檢驗無題型一：隨機抽樣【典例例題】例1.（2024春·廣東省中山市高三模擬）（2023·上海閔行·統(tǒng)考一模）某校讀書節(jié)期間，共120名同學獲獎（分金、銀、銅三個等級），從中隨機抽取24名同學參加交流會，若按高一、高二、高三分層隨機抽樣，則高一年級需抽取6人；若按獲獎等級分層隨機抽樣，則金獎獲得者需抽取4人．下列說法正確的是（

）A．高二和高三年級獲獎同學共80人 B．獲獎同學中金獎所占比例一定最低C．獲獎同學中金獎所占比例可能最高 D．獲金獎的同學可能都在高一年級【答案】D【分析】直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系計算得到答案.【詳解】對選項A：高二和高三年級獲獎同學共，錯誤；對選項B：不能確定銀獎和銅獎的人數(shù)，錯誤；對選項C：金獎人數(shù)為，銀獎和銅獎的人數(shù)和為人，故獲獎同學中金獎所占比例不可能最高，錯誤；對選項D：高一年級人數(shù)為，金獎人數(shù)為，故獲金獎的同學可能都在高一年級，正確；故選：D【變式訓練】1.（2024春·全國·模擬預測）已知某中學初二年級共有學生668人，為了了解該年級學生的近視情況，學校決定利用隨機數(shù)法從中抽取80人進行成績抽樣統(tǒng)計，先將這668名學生按001，002，003，…，668進行編號．（下面摘取了隨機數(shù)表的第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954如果從第7行第1列的數(shù)開始向右讀，則第6個被抽取的號碼是（

）A．633 B．502 C．217 D．506【答案】A【分析】根據(jù)隨機數(shù)表即可逐一讀取.【詳解】由題意知，編號的范圍為．結(jié)合初始位置，知第一個抽取的號碼為217，接下來依次抽取的號碼為，所以第6個被抽取的號碼為633．故選:A．2．（2024春·廣東·東莞五校聯(lián)考）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用分層隨機抽樣的方法抽取人，若抽取的老年人與青年人共21名，則的值為（

）A．15 B．30 C．32 D．36【答案】D【分析】利用分層抽樣的定義即可得到答案.【詳解】由題可知，解得.故選：D.3．（2024春·廣東深圳·校聯(lián)考一模）某社區(qū)有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名兒童居民．為了解該社區(qū)居民對社區(qū)工作的滿意度，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些居民中抽取一個容量為n的樣本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，則（

）A．120 B．150 C．180 D．210【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的方法計算即可.【詳解】由題可知，解得．故選：C題型二：用樣本估計總體【典例例題】例1.（2023春·廣東省梅州市高三一模）為了了解小學生的體能情況，抽取了某小學四年級100名學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制如下頻率分布直方圖.根據(jù)此圖，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.B.估計該小學四年級學生的一分鐘跳繩的平均次數(shù)超過125C.估計該小學四年級學生的一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)約為119D.四年級學生一分鐘跳繩超過125次以上優(yōu)秀，則估計該小學四年級優(yōu)秀率為35%【答案】B【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和等于1可得，經(jīng)計算可得平均數(shù)為，中位數(shù)約為119，優(yōu)秀率為35%即可得出正確選項.【詳解】根據(jù)題意可得，可得，故A正確；根據(jù)頻率分布直方圖可得其平均數(shù)為，所以B錯誤；由頻率分布直方圖可知，，而，所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設中位數(shù)為，則，可得，所以C正確；由圖可知，超過125次以上的頻率為，所以優(yōu)秀率為35%，即D正確.故選：B【變式訓練】1.（2023春·廣東省茂名市高三二模）（多選）小愛同學在一周內(nèi)自測體溫（單位：℃）依次為36.1，36.2，36.1，36.5，36.3，36.6，36.3，則該組數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為36.3 B.方差為0.04C.中位數(shù)為36.3 D.第80百分位數(shù)為36.55【答案】AC【解析】【分析】分別求出平均數(shù)，方差，中位數(shù)和第80百分位數(shù)，即可判斷.【詳解】把數(shù)據(jù)從小到大排列后：36.1，36.1，36.2，36.3，36.3，36.5，36.6.所以平均數(shù)為.故A正確；方差為.故B錯誤.中位數(shù)為36.3.故C正確；因為，所以第80百分位數(shù)為第6個數(shù)字36.5.故D錯誤.故選：AC2.（2023春·廣東省潮州市高三二模）（多選）根據(jù)氣象學上的標準，如果連續(xù)5天的日平均氣溫都低于10℃即為入冬.現(xiàn)將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，則下列樣本中一定符合入冬指標的有（）A.平均數(shù)小于4 B.平均數(shù)小于4且極差小于或等于3C.平均數(shù)小于4且標準差小于或等于4 D.眾數(shù)等于5且極差小于或等于4【答案】BD【解析】【分析】分析每個選項數(shù)據(jù)是否有可能大于10，選出符合題意選項.【詳解】對于A，舉反例：0，0，0，0，15平均數(shù)為3小于4，但不符合入冬標準，A錯誤；對于B，假設有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3知，此組數(shù)據(jù)最小值為大于或等于7，與平均值小于4矛盾，故假設不成立，B項正確；對于C，舉反例：1，1，1，1，11平均數(shù)為3，且標準差為4，但不符合入冬標準，C錯誤；對于D，眾數(shù)等于5且極差小于或等于4時，最大數(shù)不超過9，D項正確；故選：BD.3.（2023春·廣東省廣州市高三一模）（多選）某校隨機抽取了100名學生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學生的體重數(shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.07B.這100名學生中體重低于60kg的人數(shù)為60C.據(jù)此可以估計該校學生體重的第78百分位數(shù)約為62D.據(jù)此可以估計該校學生體重的平均數(shù)約為62.5【答案】AC【解析】【分析】運用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1及頻數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)計算公式計算即可.【詳解】對于A項，因為，解得：，故A項正確；對于B項，人，故B項錯誤；對于C項，因為，，，所以第78百分位數(shù)位于之間，設第78百分位數(shù)為x，則，解得：，故C項正確；對于D項，因為，即：估計該校學生體重的平均數(shù)約為，故D項錯誤.故選：AC.4.（2023春·廣東省高三二模）（多選）現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運動員連續(xù)5場籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已知三位球員得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件：甲球員：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26，眾數(shù)是24；乙球員；5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29，平均數(shù)是26；丙球員：5個數(shù)據(jù)有1個是32，平均數(shù)是26，方差是9.6；根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計結(jié)論一定正確的是（）A.甲球員連續(xù)5場比賽得分都不低于24分B.乙球員連續(xù)5場比賽得分都不低于24分C.丙球員連續(xù)5場比賽得分都不低于24分D.丙球員連續(xù)5場比賽得分的第60百分位數(shù)大于24【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)的定義判斷A，結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)的定義舉反例判斷B，根據(jù)平均數(shù)和方差的定義，百分位數(shù)的定義，分析丙球員的得分判斷CD.【詳解】設甲球員的5場籃球比賽得分按從小到大排列為，則，，且至少出現(xiàn)次，故，A正確；設乙球員的5場籃球比賽得分按從小到大排列為，則，，取，可得其滿足條件，但有2場得分低于24，B錯誤；設丙球員的5場籃球比賽得分按從小到大排列為，由已知，所以，若，則，所以，矛盾，所以，，因為的平均數(shù)為，所以，取，滿足要求，但有一場得分低于24分，C錯誤；因為，所以丙球員連續(xù)5場比賽得分的第60百分位數(shù)為，若，則，故，矛盾，所以，所以丙球員連續(xù)5場比賽得分的第60百分位數(shù)大于24，D正確；故選：AD.題型三：回歸方程【典例例題】例1.（2023春·廣東省江門市高三一模）某高科技公司對其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表和散點圖.x123456y0.511.536120.700.41.11.82.5（1）該公司科研團隊通過分析散點圖的特征后，計劃分別用①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年投資額x的回歸分析模型，請根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗回歸方程；（注：系數(shù)b，a，d，c按四舍五入保留一位小數(shù)）（2）根據(jù)下表中數(shù)據(jù)，用相關(guān)指數(shù)（不必計算，只比較大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪個更好，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測當研發(fā)年投資額為8百萬元時，產(chǎn)品的年銷售量是多少？經(jīng)驗回歸方程殘差平方和18.290.65參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，.【答案】（1），（2）30（千件）【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)公式計算出得線性回歸方程；求出，再求得系數(shù)，，代入得非線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）回歸方程分別求得相關(guān)指數(shù)，比較可得，然后估算銷售量即可．【小問1詳解】由題可得，，，，所以，，方案①回歸方程，對兩邊取對數(shù)得：，令，是一元線性回歸方程.，，，方案②回歸方程；【小問2詳解】方案①相關(guān)指數(shù)；方案②相關(guān)指數(shù)，（有此結(jié)論即給分），故模型②的擬合效果更好，精度更高.當研發(fā)年投資額為8百萬元時，產(chǎn)品的年銷售量（千件）.【變式訓練】1.（2023春·廣東省梅州市高三二模）云計算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計算市場規(guī)模持續(xù)增長.已知某科技公司2018年至2022年云計算市場規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場規(guī)模y與年份代碼x的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合，設，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼x12345云計算市場規(guī)模y/千萬元7.4112036.666.722.433.64由上表可得經(jīng)驗回歸方程，則2025年該科技公司云計算市場規(guī)模y估計值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可得線性回歸方程，再由回歸方程求出2025年的預測值，代入即可得解.【詳解】因為，所以，即經(jīng)驗回歸方程，當時，，所以，即2025年該科技公司云計算市場規(guī)模y的估計值為，故選：B黨二十大報告提出全面推進鄉(xiāng)村振興．為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，某市一知名電商平臺決定為鄉(xiāng)村的特色產(chǎn)品開設直播帶貨專場．該特色產(chǎn)品的熱賣黃金時段為2023年2月1至4月1日，為了解直播的效果和關(guān)注度，2.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）該電商平臺統(tǒng)計了已直播的2023年2月1日至2月5日時段的相關(guān)數(shù)據(jù)，這5天的第天到該電商平臺專營店購物人數(shù)（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：日期2月1日2月2日2月3日2月4日2月5日第x天12345人數(shù)y（單位：萬人）75849398100依據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，該電商平臺直播黃金時間的天數(shù)與到該電商平臺專營店購物的人數(shù)（單位：萬人）具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)計算得，到該電商平臺專營店購物人數(shù)與直播天數(shù)的線性回歸方程為．請預測從2023年2月1日起的第38天到該專營店購物的人數(shù)（單位：萬人）為（）A.312 B.313 C.314 D.315【答案】C【解析】【分析】根據(jù)回歸直線過樣本中心，建立方程，可得參數(shù)，即可得答案.【詳解】由題意，，，將代入，可得，解得，線性回歸直線方程為，將代入上式，.故選：C.3.（2023春·廣東省廣州市高三二模）2023年3月5日，國務院總理李克強在政府工作報告中指出“著力擴大消費和有效投資．面對需求不足甚至出現(xiàn)收縮，推動消費盡快恢復．幫扶旅游業(yè)發(fā)展．圍繞補短板、調(diào)結(jié)構(gòu)、增后勁擴大有效投資．”某旅游公司為確定接下來五年的發(fā)展規(guī)劃，對2013~2022這十年的國內(nèi)旅客人數(shù)作了初步處理，用和分別表示第年的年份代號和國內(nèi)游客人數(shù)（單位：百萬人次），得到下面的表格與散點圖．年份2013201420152016201720182019202020212022年份代碼x12345678910國內(nèi)游客數(shù)y3262361139904432500055426006287932462530（1）2020年~2022年疫情特殊時期，旅游業(yè)受到重挫，現(xiàn)剔除這三年的數(shù)據(jù)，再根據(jù)剩余樣本數(shù)據(jù)（，2，3，…，7）建立國內(nèi)游客人數(shù)關(guān)于年份代號的一元線性回歸模型；（2）2023年春節(jié)期間旅游市場繁榮火爆，預計2023年國內(nèi)旅游人數(shù)約4550百萬人次，假若2024年～2027年能延續(xù)2013年～2019年的增長勢頭，請結(jié)合以上信息預測2027年國內(nèi)游客人數(shù)．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）；（2）6422百萬人次.【解析】【分析】（1）利用最小二乘法結(jié)合條件可得回歸方程；（2）根據(jù)線性回歸方程，結(jié)合條件即得.【小問1詳解】由題可得，，，所以，，所以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)（，2，3，…，7）建立一元線性回歸模型為；【小問2詳解】由可知，年份每增加1年國內(nèi)旅游人數(shù)將增加468百萬人次，所以預測2027年國內(nèi)游客人數(shù)百萬人次.一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入（單位：千萬元）對每件產(chǎn)品成本（單位：元）的影響，對近年的年技術(shù)創(chuàng)新投入和每件產(chǎn)品成本的數(shù)據(jù)進行分析，得到如下散點圖，并計算得：，，，，.（1）根據(jù)散點圖可知，可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程；（2）已知該產(chǎn)品的年銷售額（單位：千萬元）與每件產(chǎn)品成本的關(guān)系為.4.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某實驗室通過試驗測得行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)如下：行駛里程/萬km0.000.641291.932.573.223.864.515.15輪胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行駛里程為橫坐標、輪胎凹槽深度為縱坐標作散點圖，如圖所示.（1）根據(jù)散點圖，可認為散點集中在直線附近，由此判斷行駛里程與輪胎凹槽深度線性相關(guān)，并計算得如下數(shù)據(jù)，請求出行駛里程與輪胎凹槽深度的相關(guān)系數(shù)（保留兩位有效數(shù)字），并推斷它們線性相關(guān)程度的強弱；2.576.20115.1029.46附：相關(guān)系數(shù)（2）通過散點圖，也可認為散點集中在曲線附近，考慮使用對數(shù)回歸模型，并求得經(jīng)驗回歸方程及該模型的決定系數(shù).已知（1）中的線性回歸模型為，在同一坐標系作出這兩個模型，據(jù)圖直觀回答：哪個模型的擬合效果更好？并用決定系數(shù)驗證你的觀察所得.附：線性回歸模型中，決定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即.【答案】（1），相關(guān)性較強（2）答案見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計算公式求得，從而可判斷相關(guān)性較強；（2）由圖像可直觀判斷，再求出線性回歸模型的決定系數(shù)，從而可判斷對數(shù)回歸模型的擬合度更高.【小問1詳解】由題意，，∵，∴，∴行駛里程與輪胎凹楳深度成負相關(guān)，且相關(guān)性較強【小問2詳解】由圖像可知，車胎凹槽深度與對數(shù)回歸預報值殘差、偏離更小，擬合度更高，線性回歸預報值偏美較大.由題（1）得線性回歸模型的相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，由題意，對數(shù)回歸模型的決定系數(shù)，∵，∴對數(shù)回歸模型的擬合度更高.題型四：獨立性檢驗【典例例題】例1.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）2023年1月14日，翹首以盼的汕頭鎮(zhèn)邦美食街開街啦！近年來，汕頭多措并舉，提升汕頭美食品牌，推動潮汕菜產(chǎn)業(yè)做大做強，鎮(zhèn)邦美食街的建成開街，是汕頭美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑，同時“舌尖汕頭”——汕頭美食地圖同步上線，以微信小程序的形式面向游客，并通過意見反饋功能收集游客滿意度調(diào)查問卷．（1）現(xiàn)將游客按年齡段分為老中青三個群體，通過問卷數(shù)據(jù)分析顯示，老年群體中有的游客給予好評，中年群體有的游客給予好評，青年群體中有的游客給予好評，且老中青三個群體游客人數(shù)之比為，從這三個群體中隨機抽取1名游客，求該游客給予好評的概率．（2）鎮(zhèn)邦美食街共有多家餐飲單位進駐，為維護市場價格秩序，營造公平競爭良好環(huán)境，汕頭市監(jiān)管部門到鎮(zhèn)邦美食街舉辦餐飲明碼標價現(xiàn)場指導會，現(xiàn)針對明碼標價指導會前、會后游客滿意度進行問卷回訪調(diào)查，統(tǒng)計了名游客的數(shù)據(jù)，列出如下列聯(lián)表：對鎮(zhèn)邦美食街餐飲價格否滿意明碼標價指導會前明碼標價指導會后合計滿意285785不滿意12315合計4060100請根據(jù)小概率值的獨立性檢驗判斷游客對汕頭鎮(zhèn)邦美食街餐飲價格滿意度與監(jiān)管部門舉辦明碼標價現(xiàn)場指導會是否有關(guān)聯(lián)．▲參考公式：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）（2）有關(guān)聯(lián)【解析】【分析】（1）設游客總?cè)藬?shù)為，分別求出老、中、青年人的人數(shù)，即可得到給予好評的人數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；（2）根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)求出卡方，即可判斷.【小問1詳解】解：設游客總?cè)藬?shù)為，則老年人有（人），中年人有（人），青年人有（人），所以給予好評的人數(shù)為，所以從這三個群體中隨機抽取1名游客，該游客給予好評的概率.【小問2詳解】解：零假設為：游客對汕頭鎮(zhèn)邦美食街餐飲價格滿意度與監(jiān)管部門舉辦明碼標價現(xiàn)場指導會之間無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為游客對汕頭鎮(zhèn)邦美食街餐飲價格滿意度與監(jiān)管部門舉辦明碼標價現(xiàn)場指導會之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.檢驗：明碼標價指導會前滿意的頻率為，指導會后滿意的頻率為，所以明碼標價指導會后滿意的頻率會增加.【變式訓練】1.（2023春·廣東省中山市高三二模）（多選）某研究機構(gòu)為了探究吸煙與肺氣腫是否有關(guān)，調(diào)查了200人.統(tǒng)計過程中發(fā)現(xiàn)隨機從這200人中抽取一人，此人為肺氣腫患者的概率為0.1.在制定列聯(lián)表時，由于某些因素缺失了部分數(shù)據(jù)，而獲得如圖所示的列聯(lián)表，下列結(jié)論正確的是（）患肺氣腫不患肺氣腫合計吸煙15不吸煙120合計200參考公式與臨界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A.不吸煙患肺氣腫的人數(shù)為5人B.200人中患肺氣腫的人數(shù)為10人C.的觀測值D.按99.9%的可靠性要求，可以認為“吸煙與肺氣腫有關(guān)系”【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意求出肺氣腫患者人數(shù)，結(jié)合表格中數(shù)據(jù)得到不吸煙患肺氣腫的人數(shù)為5人，判斷AB選項，補充列聯(lián)表，計算出卡方，并判斷出相應結(jié)論，得到C錯誤，D正確.【詳解】A選項，200人中抽取一人，此人為肺氣腫患者的概率為0.1，故肺氣腫患者共有人，由于吸煙患肺氣腫的人數(shù)為15人，故不吸煙患肺氣腫的人數(shù)為5人，A正確，B錯誤；C選項，列聯(lián)表如下：患肺氣腫不患肺氣腫合計吸煙156075不吸煙5120125合計20180200則的觀測值，C錯誤；D選項，由于，故按99.9%的可靠性要求，可以認為“吸煙與肺氣腫有關(guān)系”，D正確.故選：AD2.（2023春·廣東省佛山市高三一模）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我國企業(yè)依靠自身強大的科研能力，果斷轉(zhuǎn)產(chǎn)自行研制新型全自動高速口罩生產(chǎn)機，“爭分奪秒、保質(zhì)保量”成為口罩生產(chǎn)線上的重要標語．（1）在試產(chǎn)初期，某新型全自動高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測工序，包括紅外線自動檢測與人工抽檢．已知批次的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，．①求批次I成品口罩的次品率．②第四道工序中紅外線自動檢測為次品的口罩會被自動淘汰，合格的口罩進入流水線并由工人進行抽查檢驗.已知批次I的成品口罩紅外線自動檢測顯示合格率為92%，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個口罩恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次成品口罩的次品率為，設100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率為，記的最大值點為，改進生產(chǎn)線后批次的口罩的次品率．某醫(yī)院獲得批次，的口罩捐贈并分發(fā)給該院醫(yī)務人員使用．經(jīng)統(tǒng)計，正常佩戴使用這兩個批次的口罩期間，該院醫(yī)務人員核酸檢測情況如下面條形圖所示，求，并判斷是否有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風險有關(guān)？附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）①，②；（2），有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風險有關(guān)．【解析】【分析】（1）①利用概率乘法公式求概率即可；②設批次Ⅰ的成品口罩紅外線自動檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，分別求出，，利用條件概率直接計算（2）先求出100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率，利用導數(shù)求出的最大值點，即可求出，根據(jù)題意完成列聯(lián)表，計算出，對照參數(shù)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①批次Ⅰ成品口罩的次品率為．②設批次Ⅰ的成品口罩紅外線自動檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，由已知，得，，則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個口罩恰為合格品為事件，．（2）100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率．因此．令，得．當時，；當時，．所以最大值點為．由（1）可知，，，故批次口罩的次品率低于批次Ⅰ，故批次的口罩質(zhì)量優(yōu)于批次Ⅰ．由條形圖可建立列聯(lián)表如下：單位：人核酸檢測結(jié)果口罩批次合計呈陽性12315呈陰性285785合計4060100．因此，有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風險有關(guān)．3.（2023春·廣東省梅州市高三二模）元宵佳節(jié)，是民間最重要的民俗節(jié)日之一，我們梅州多地都會舉行各種各樣的民俗活動，如五華縣河東鎮(zhèn)的“迎燈”、豐順縣埔寨鎮(zhèn)的“火龍”、大埔縣百侯鎮(zhèn)的“迎龍珠燈”等系列活動.在某慶祝活動現(xiàn)場，為了解觀眾對該活動的觀感情況（“一般”或“激動”），現(xiàn)從該活動現(xiàn)場的觀眾中隨機抽取200名，得到下表：一般激動總計男性90120女性25總計200（1）填補上面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別與對該活動的觀感程度有關(guān)？（2）該活動現(xiàn)場還舉行了有獎促銷活動，凡當天消費每滿300元，可抽獎一次．抽獎方案是：從裝有3個紅球和3個白球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎箱里一次性摸出2個球，若摸出2個紅球，則可獲得100元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若摸出1個紅球，則可獲得50元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若沒摸出紅球，則不能獲得任何現(xiàn)金返現(xiàn)．若某觀眾當天消費600元，記該觀眾參加抽獎獲得的返現(xiàn)金額為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．附：，其中．0.1000.05000100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）2×2列聯(lián)表見解析，該場活動活動的觀感程度與性別無關(guān)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）寫出零假設，補全2×2列聯(lián)表，計算的值，并與臨界值比較，得出結(jié)論；（2）分別求出一次摸球摸出0，1，2個紅球的概率，寫出X的所有可能取值及對應取值的概率，寫出X的分布列并計算其數(shù)學期望.【小問1詳解】補全的2×2列聯(lián)表如下：一般激動總計男性3090120女性255580總計55145200零假設為：性別與對活動的觀感程度相互獨立.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此我們可以認為,成立，即認為對該場活動活動的觀感程度與性別無關(guān).【小問2詳解】設一次摸球摸出2個紅球的事件為A，摸出1個紅球的事件為B，沒摸出紅球的事件為C，則，，，由題意，X可?。?，，，，所以X的分布列為：X200150100500P.1.（新課標全國Ⅰ卷）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標準差不小于的標準差D．的極差不大于的極差【答案】BD【詳解】對于選項A：設的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因為沒有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標準差不大于的標準差，例如：，則平均數(shù)，標準差，，則平均數(shù)，標準差，顯然，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：BD.2.（新高考天津卷）調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（

）A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關(guān)C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是【答案】C【詳解】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，C選項正確；由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分數(shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項錯誤故選：C3.（全國乙卷數(shù)學（文）（理））7．某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】(1)，；(2)認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【詳解】（1），，，的值分別為:，故（2）由（1）知:，，故有,所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.4.（全國甲卷數(shù)學（文）（理））一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5(1)計算試驗組的樣本平均數(shù)；(2)（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表對照組試驗組（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【詳解】（1）試驗組樣本平均數(shù)為：（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420試驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.1.（2024春·廣東省河源市高三聯(lián)考）為了進一步學習貫徹黨的二十大精神，推進科普宣傳教育，激發(fā)學生的學習熱情，營造良好的學習氛圍，不斷提高學生對科學?法律?健康等知識的了解，某學校組織全校班級開展“紅色百年路?科普萬里行”知識競賽.現(xiàn)抽取10個班級的平均成績：，據(jù)此估計該校各個班級平均成績的第40百分位數(shù)為（）A.77 B.78 C.76 D.80【答案】A【解析】【分析】由第p百分位數(shù)計算公式可得答案.【詳解】因共10個數(shù)據(jù)，則，故該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為從小到大排列第4個數(shù)據(jù)與第5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：A2.（2024春·廣東省梅州市高三聯(lián)考）（多選）一組數(shù)據(jù)：0，1，5，6，7，11，12，則（）A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6 B.這組數(shù)據(jù)的方差為16C.這組數(shù)據(jù)的極差為11 D.這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7【答案】AD【解析】【分析】由已知的這組數(shù)據(jù)，利用公式分別計算平均數(shù)、方差、極差、第70百分位數(shù)即可.【詳解】對A，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故A選項正確；對B，這組數(shù)據(jù)的方差為：，故B選項錯誤；對C，這組數(shù)據(jù)的極差為：，故C選項錯誤；對D，由，則第70百分位數(shù)是第5個數(shù)7，故D選項正確.故選：AD.3.（2024春·廣東省深圳市高三模擬）（多選）8名學生參加跑成績（單位：s）分別為13.10，12.99，13.01，13.20，13.01，13.20，12.91，13.01，則（）A.極差為0.29 B.眾數(shù)為13.01C.平均數(shù)近似為13.05 D.第75百分位數(shù)為13.10【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)極差，眾數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)的概念逐項分析．【詳解】將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：12.91，12.99，13.01，13.01，13.01，13.10，13.20，13.20.對于A：極差為，故A正確；對于B：這組數(shù)據(jù)中13.01出現(xiàn)3次，眾數(shù)為13.01，故B正確；對于C：平均數(shù)為，故C正確；對于D：因為共有8個數(shù)據(jù)，所以，則第75百分位數(shù)為．所以D錯誤．故選:ABC．4.（2024春·廣東省大灣區(qū)高三聯(lián)考）（多選）某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運動時長（單位：分鐘）：.若這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)與第20百分位數(shù)的差為3，則的值可能為（）A.47 B.45 C.53 D.60【答案】AC【解析】【分析】先對已知的6個數(shù)據(jù)從小到大排序，分，，三種情況討論，舍去不合要求的情況，列出方程，求出答案.【詳解】將已知的6個數(shù)按照從小到大的順序排列為.又，，若，則這組數(shù)據(jù)的第20百分位數(shù)與第40百分位數(shù)分別是46和，；若，則這組數(shù)據(jù)的第20百分位數(shù)與第40百分位數(shù)分別是50和，.所以，則這組數(shù)據(jù)的第20百分位數(shù)與第40百分位數(shù)分別是和50，或50和，則，解得或53.故選：AC.5.（2024春·廣東省大灣區(qū)高三聯(lián)考）（多選）2023年10月3日第19屆杭州亞運會跳水女子10米跳臺迎來決賽，中國“夢之隊”包攬了該項目的冠亞軍.已知某次跳水比賽中運動員五輪的成績互不相等，記為，平均數(shù)為，若隨機刪去其任一輪的成績，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，下面說法正確的是（）A.新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差B.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)C.若，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差D.若，則新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的概念，以及百分位數(shù)的概念及計算方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，若隨機刪去任一輪的成績，恰好不是最高成績和最低成績，此時新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差，所以A正確；對于B中，不妨假設，當時，若隨機刪去的成績是，此時新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以B正確；對于C中，若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，根據(jù)方差的計算公式，分子不變，分母變小，所以方差會變大，所以C正確；對于D中，若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，在按從小到大的順序排列的5個數(shù)據(jù)中，因為，此時原數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二數(shù)和第三個數(shù)的平均數(shù)；刪去一個數(shù)據(jù)后的4個數(shù)據(jù)，從小到大的順序排列，可得，此時新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二個數(shù)，顯然新數(shù)據(jù)的分位數(shù)小于原數(shù)據(jù)的分位數(shù)，所以D錯誤.故選：ABC.6.（2024春·廣東廣州·統(tǒng)考）（多選）下列說法正確的是（

）A．殘差圖中若樣本數(shù)據(jù)對應的點分布的帶狀區(qū)域越狹窄，說明該模型的擬合精度越高B．在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于各組的頻數(shù)C．數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為9D．某校共有男女學生1500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為100人的樣本，若樣本中男生有55人，則該校女生人數(shù)是675人【答案】AD【分析】根據(jù)殘差的定義即可判斷A,根據(jù)頻率分布直方圖的特征即可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)的定義即可判斷C，根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解D.【詳解】對于A，由殘差定義，如果樣本數(shù)據(jù)點分布的帶狀區(qū)域越狹窄，說明該模型的擬合精度越高，故A正確；對于B，在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應各組的頻率，故B錯誤；對于C，因為，故該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)10，故C錯誤；對于D，設該校女生人數(shù)為n，由已知可得，解得n＝675，故D正確.故選:AD.7.（2024春·廣東省河源市高三模擬）（多選）袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取5次，每次取一個球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（）A.可能取到數(shù)字4 B.中位數(shù)可能是2C.極差可能是4 D.眾數(shù)可能是2【答案】BD【解析】【分析】對于AC：根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差和極差的定義分析判斷；對于BD：舉例說明即可.【詳解】設這5個數(shù)字為，對于A：若取到數(shù)字4，不妨設為，則，可得，可知這4個數(shù)中至少有2個1，不妨設為，則這5個數(shù)字的方差，不合題意，故A錯誤；對于C：因為這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，這5個數(shù)字至少有1個1，不妨設為，若極差是4，這最大數(shù)為5，不妨設為，則這5個數(shù)字的平均數(shù)，則，可知這3個數(shù)有2個1，1個2，此時這5個數(shù)字的方差，不合題意，故C錯誤；對于BD：例如2，2，2，2，2，可知這5個數(shù)字的平均數(shù)為2，方差為0，符合題意，且中位數(shù)是2，眾數(shù)是2，故BD正確；故選：BD.8.（2024春·廣東省廣州市高三模擬）（多選）某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機調(diào)查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h），將數(shù)據(jù)進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.圖中a的值為0.015B.樣本的第25百分位數(shù)約為217C.樣本平均數(shù)約為198.4D.在被調(diào)查的用戶中，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為108【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)頻率直方圖，結(jié)合各個統(tǒng)計量的含義，逐項分析判斷即可.【詳解】對A，，所以，故A正確；對B設樣本的第25百分位數(shù)約為，，則，所以，故B錯誤；對C，樣本平均數(shù)為：，故C正確；對D，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為：，故D錯誤.故選：AC9.（2023春·廣東省深圳市高三二模）（多選）為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(見下表)：x12345y0.50.811.21.5假設經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.B.當時，y的預測值為2.2C.樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8D.去掉樣本點后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項：根據(jù)回歸直線必過點解得;對于B選項：結(jié)合經(jīng)驗回歸方程的性質(zhì)即可求解；對于C選項：結(jié)合百分位數(shù)的定義即可求解；對于D選項：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；【詳解】對于A選項：線性回歸方程必過點，，，解得，所以選項A正確；對于B選項：當時，可以的出y的預測值為2.2,所以B選項正確；對于C選項：從小到大排列共有5個數(shù)據(jù)，則是整數(shù)，則第40百分位數(shù)為從小到大排列的第2、3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即第40百分位數(shù)為0.9，所以C選項錯誤；對于D選項：因為相關(guān)系數(shù)為,5組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為：

，

去掉樣本中心點后相關(guān)系數(shù)為，所以相關(guān)系數(shù)r不變,所以D選項正確；故選：ABD.10.（2024春·廣東省東莞市東莞中學高三模擬）（多選）給出下列說法，其中正確的是（）A.若數(shù)據(jù)，，…，的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一B.已知一組數(shù)據(jù)2，3，5，7，8，9，9，11，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為6C.一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是單峰的且形狀是對稱的，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)近似相等D.經(jīng)驗回歸直線恒過樣本點的中心（），且在回歸直線上的樣本點越多，擬合效果一定越好【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)方差定義及眾數(shù)定義去判斷選項A；求得第40百分位數(shù)去判斷選項B；依據(jù)中位數(shù)定義和平均數(shù)定義去判斷選項C；依據(jù)回歸直線擬合效果判斷標準去判斷選項D.【詳解】對于選項A：由方差可得，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一，A正確；對于選項B：數(shù)據(jù)2，3，5，7，8，9，9，11.共有8個數(shù)，由可知，該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第4個數(shù)7，B錯誤；對于選項C：依據(jù)中位數(shù)定義和平均數(shù)定義，一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是單峰的且形狀是對稱的，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)近似相等，C正確；對于選項D：回歸直線的擬合效果看殘差平方和，殘差平方和越小，擬合效果越好，不是回歸直線上的樣本點多，擬合效果就越好，D錯誤.故選：AC11.（2024春·廣東省中山市高三模擬）（多選）下列說法正確的是（）A.一組數(shù)的第75百分位數(shù)為15.5B.在經(jīng)驗回歸方程中，當解釋變量每增加1個單位時，相應變量增加0.6個單位C.數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為D.一個容量為50的樣本方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于100【答案】CD【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義，即可判斷A，由回歸方程的性質(zhì)即可判斷B，由方差的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對于A，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第8個數(shù)，即為16，故A錯誤；對于B，由回歸方程可知，當解釋變量每增加1個單位時，相應變量減少0.6個單位，故B錯誤；對于C，由數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為，故C正確；對于D，由，得，所以這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于，故D正確.故選：CD.12.（2024春·廣東省韶關(guān)市高三模擬）（多選）下列說法正確的是（）A.展開式中項的系數(shù)為B.樣本相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量線性相關(guān)性越強；反之，線性相關(guān)性越弱C.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷零假設不成立，即可認為與獨立D.在回歸分析中，用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零【答案】ACD【解析】【分析】選項A，利用二項式定理的通項公式求解即可；選項B，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷即可；選項C，根據(jù)獨立性檢驗的思想判斷；選項D，根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義判斷即可.【詳解】對于A，設展開式通項為，令可得展開式中項的系數(shù)為，A正確；對于B，樣本相關(guān)系數(shù)的范圍在到之間，有正有負，相關(guān)性有正相關(guān)和負相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值的大小越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)性越強；反之．線性相關(guān)性越弱，B錯誤；對于C，由獨立性檢驗可知，沒有充分證據(jù)推斷零假設不成立，即認為與獨立，C正確；對于D，在回歸分析中，殘差和為：，用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸直線使所有數(shù)據(jù)的殘差和為零，D正確．故選：ACD．13.（2024春·廣東省梅州市高三模擬）（多選）根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速如圖所示，則（）A.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速最高為B.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的中位數(shù)為C.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總?同比增速的分位數(shù)為D.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的平均值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖形中給定數(shù)據(jù)從小到大排列，結(jié)合中位數(shù)，百分位數(shù)，平均數(shù)的定義計算即可.【詳解】我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速從小到大依次為2.5%，3.1%，4.6%，5.5%，7.6%，10.6%，12.7%，18.4%.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速最高為18.4%，A正確.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的中位數(shù)為，B正確.，我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的分位數(shù)為，C錯誤.我國今年3月份至10月份社會消費品零售總額同比增速的平均值為，D正確.故選：ABD14.（2024春·廣東省梅州市高三模擬）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到與的線性回歸方程為，則表中的值為（）2345620406070A. B.20 C. D.25【答案】B【解析】【分析】先求出樣本中心點，然后代入回歸方程計算即可.【詳解】由表中數(shù)據(jù)，計算可得，，因為回歸直線過樣本中心點，所以有，解得．故選：B.15.（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）現(xiàn)利用隨機數(shù)表法從編號為00，01，02，…，18，19的20支水筆中隨機選取6支，選取方法是從下列隨機數(shù)表第1行的第9個數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6支水筆的編號為．95226000

49840128

66175168

39682927

43772366

2709662392580956

43890890

06482834

59741458

29778149

64608925【答案】14【分析】根據(jù)隨機數(shù)表法的讀取規(guī)則，即可求解.【詳解】由題意可知，第一支為01，以后依次為17，09，08，06，14，所以第6支水筆的編號為14.故答案為：1416.（2023·上海黃浦·上海市大同中學?？既＃┍本r間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，某中學為此舉行了“講好航天故事”演講比賽．現(xiàn)從報名的40位學生中利用下面的隨機數(shù)表抽取10位同學參加演講比賽，將40位學生按01、02、、40進行編號，假設從隨機數(shù)表第1行第3個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，重復的跳過，則選出來的第7個號碼所對應的學生編號為．0627

4313

2636

1547

0941

2512

6317

6323

2616

8045

60111410

9577

7424

6762

4281

1457

2042

5332

3732

2707

36075124

5179

3014

2310

2118

2191

3726

3890

0140

0523

2617【答案】25【分析】利用隨機數(shù)表法，按照給定條件依次選取符合要求的號碼作答.【詳解】從隨機數(shù)表第1行第3個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，去掉超過40和重復的號碼，選取的號碼依次為：27，13，26，36，15，09，25，12，17，23，所以選出來的第7個號碼所對應的學生編號為25.故答案為：2517.（2024春·廣東省汕頭市高三模擬）以下4幅散點圖所對應的樣本相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)散點圖及相關(guān)系數(shù)的概念判斷即可；【詳解】根據(jù)散點圖可知，圖①③成正相關(guān)，圖②④成負相關(guān)，所以，又圖①②的散點圖近似在一條直線上，所以圖①②兩變量的線性相關(guān)程度比較高，圖③④的散點圖比較分散，故圖③④兩變量的線性相關(guān)程度比較低，即與比較大，與比較小，所以.故答案為：18.（2024春·廣東省佛山市順德區(qū)高三模擬）數(shù)據(jù)2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：共有10個數(shù)據(jù)，由，所以第70百分位數(shù)為.故答案為；14.19.（2024春·廣東省東莞市高三模擬）為考查某種流感疫苗的效果，某實驗室隨機抽取100只健康小鼠進行試驗，得到如下列聯(lián)表：感染未感染注射1040未注射20300.050.0250.0103.8415.0246.635則在犯錯誤的概率最多不超過__________的前提下，可認為“注射疫苗”與“感染流感”有關(guān)系.參考公式：.【答案】0.05【解析】【分析】補充列聯(lián)表，計算可得，即可得出答案.詳解】補充列聯(lián)表可得，感染未感染合計注射104050未注冊203050合計3070100所以，.所以，在犯錯誤的概率最多不超過的前提下，可認為“注射疫苗”與“感染流感”有關(guān)系.故答案為：0.05.20.（2023·四川成都·四川省成都列五中學?？既＃┤珖袑W生生物學競賽隆重舉行.為做好考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計這名學生成績的中位數(shù)；(2)在這名學生中用分層抽樣的方法從成績在的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取2人，求這2人成績都不在的概率.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為求出參數(shù)的值，再根據(jù)中位數(shù)計算規(guī)則計算可得；（2）首先求出各組抽取的人數(shù)，將這人按所在的組編號分別為：，，，求出基本事件總數(shù)，再找出符合題意的事件，最后利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，設中位數(shù)為，因為，，所以，解得；（2）的三組頻率之比為，從中分別抽取人，人，人，將這人按所在的組編號分別為：，，，從中任取人，所有的取法有，共種取法，其中人成績都不在的取法有：，共種情況，所以這人成績都不在的概率.21.（2024春·廣東省肇慶市高三模擬）某學校研究性學習小組在學習生物遺傳學的過程中，為驗證高爾頓提出的關(guān)于兒子成年后身高（單位：）與父親身高（單位：）之間的關(guān)系及存在的遺傳規(guī)律，隨機抽取了5對父子的身高數(shù)據(jù)，如下表：父親身高160170175185190兒子身高170174175180186參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并利用回歸直線方程分別確定兒子比父親高和兒子比父親矮的條件，由此可得到怎樣的遺傳規(guī)律？（2）記，，其中為觀測值，為預測值，為對應的殘差．求（1）中兒子身高的殘差的和、并探究這個結(jié)果是否對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量都成立？若成立加以證明；若不成立說明理由．【答案】（1），規(guī)律見解析（2）殘差和為0；成立，證明見解析【解析】【分析】（1）計算，，根據(jù)公式計算，，得到回歸方程，再根據(jù)不等式，，得到規(guī)律；（2）依次計算殘差得到殘差和，確定對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，再根據(jù)證明即可.【小問1詳解】，，，，故回歸方程為：，取，解得，即時，兒子比父親高；取，解得，即時，兒子比父親矮；父親較高時，兒子平均身高要矮于父親，父親較矮時，兒子平均身高要高于父親，即兒子身高有一個回歸，回歸到全種群平均高度的趨勢.【小問2詳解】，；，；，；，；，；故殘差的和為.對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量.證明如下：.22.（2024春·廣東省東莞市高三模擬）一座城市的夜間經(jīng)濟不僅有助于拉動本地居民內(nèi)需，還能延長外地游客、商務辦公者等的留存時間，帶動當?shù)亟?jīng)濟發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標．數(shù)據(jù)顯示，近年來中國各地政府對夜間經(jīng)濟的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長，下表為2017—2022年中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模（單位：萬億元），其中2017—2022年對應的年份代碼依次為1~6．年份代碼123456中國夜間經(jīng)濟的市場發(fā)展規(guī)模萬億元20.522.926.430.936.442.4（1）已知可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請建立關(guān)于的回歸方程（的值精確到0.01）；（2）某傳媒公司預測2023年中國夜間經(jīng)濟的市場規(guī)模將達到48.1萬億元，現(xiàn)用（1）中求得的回歸方程預測2023年中國夜間經(jīng)濟的市場規(guī)模，若兩個預測規(guī)模誤差不超過1萬億元，則認為（1）中求得的回歸方程是理想的，否則是不理想的，判斷（1）中求得的回歸方程是否理想．參考數(shù)據(jù)：3.36673.28217.251.162.83其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．【答案】（1）；（2）是理想的【解析】【分析】（1）通過對所給的的函數(shù)模型取對數(shù)，轉(zhuǎn)換為求回歸直線方程即可，再結(jié)合題中所給的直線方程與數(shù)據(jù)即可得解.（2）利用（1）中求得的函數(shù)模型進行預測，結(jié)合回歸方程理想的定義判斷即可.【小問1詳解】將的等號左右兩邊同時取自然對數(shù)得，所以．，而，所以，．所以，即，所以．【小問2詳解】2023年對應的年份代碼為7，當時，，，所以（1）中求得的回歸方程是理想的．23.（2024春·廣東省廣州市高三模擬）比亞迪,這個在中國乘用車市場嶡露頭角的中國品牌,如今已經(jīng)在全球汽車品牌銷量前十中占據(jù)一席之地．這一成就不僅是比亞迪的里程硨，更是中國新能源汽車行業(yè)的里程碑，標志著中國已經(jīng)在全球范圍內(nèi)成為了新能源汽車領(lǐng)域的強國．比亞迪旗下的宋plus自2020年9月上市以來，在SUV車型中的月銷量遙遙領(lǐng)先，現(xiàn)統(tǒng)計了自上市以來截止到2023年8月的宋plus的月銷量數(shù)據(jù)．（1）通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，其他新能源汽車的崛起、購置稅減免政策的頒布等，影響了汽車的月銷量，現(xiàn)將殘差過大的數(shù)據(jù)剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月銷量（單位：萬輛）和月份編號的成對樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計．月份2022.82022.92022.122023.12023.22023.32023.4202362023.7202.8月份編號12345678910月銷量（單位：萬輛）4.254.594.993.563.723.012.462.723.023.28請用樣本相關(guān)系數(shù)說明與之間的關(guān)系可否用一元線性回歸模型擬合？若能，求出關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；若不能，請說明理由．（運算過程及結(jié)果均精確到0.01）（若，則線性相關(guān)程度很高，可用一元線性回歸模型擬合）（2）為慶祝2023年“雙節(jié)”（中秋節(jié)和國慶節(jié)），某地店特推出抽獎優(yōu)惠活動，獎項共設一、二、三等獎三個獎項，其中一等獎、二等獎、三等獎分別獎勵1萬元、5千元、2千元，抽中一等獎、二等獎、三等獎的概率分別為．現(xiàn)有甲、乙兩人參加了抽獎活動（每人只有一次抽獎機會），假設他們是否中獎相互獨立，求兩人所獲獎金總額超過1萬元的概率．參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)，．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）能，（2）【解析】【分析】（1）利用公式計算出相關(guān)系數(shù)，從而得解；（2）分析所求概率甲、乙兩人的獲獎情況，從而得解.【小問1詳解】依題意，，因為，所以，因為，，所以，則，故y與t的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合，此時，則，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為.【小問2詳解】依題意，甲、乙兩人所獲獎金總額超過1萬元必須兩人中至少有一人獲得一等獎，所以甲、乙兩人所獲獎金總額超過1萬元的概率為.24.（2023春·廣東省梅州市高三一模）甲?乙?丙?丁四支球隊進行單循環(huán)小組賽（每兩支隊比賽一場），比賽分三輪，每輪兩場比賽，第一輪第一場甲乙比賽，第二場丙丁比賽；第二輪第一場甲丙比賽，第二場乙丁比賽；第三輪甲對丁和乙對丙兩場比賽同一時間開賽，規(guī)定：比賽無平局，獲勝的球隊記3分，輸?shù)那蜿犛?分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少進行排名，積分相同的隊伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊伍小組出線.假設四支球隊每場比賽獲勝概率以近10場球隊相互之間的勝場比為參考.隊伍近10場勝場比隊伍甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙?。?）三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為，求；（2）若前二輪比賽結(jié)束后，甲?乙?丙?丁四支球隊積分分別為3?3?0?6，求甲隊能小組出線的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知，代表甲獲勝一場比賽，按比賽場次分情況討論即可求得結(jié)果；（2）對第三局比賽結(jié)果進行分類討論，對每種情況對應的積分再分別判斷是否需要抽簽，利用條件概率公式和概率加法公式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】（1）設甲的第場比賽獲勝記為（，2，3），根據(jù)表格可知甲對乙、丙、丁比賽獲勝的概率分別為，則有.【小問2詳解】分以下三種情況：（i）若第三輪甲勝丁，另一場比賽乙勝丙，則甲?乙?丙?丁四個球隊積分變?yōu)??6?0?6，此時甲?乙?丁三支球隊積分相同，要抽簽決定排名，甲抽中前兩名的概率為，所以這種情況下，甲出線的概率為；（ii）若第三輪甲勝丁，另一場比賽乙輸丙，則甲?乙?丙?丁積分變?yōu)??3?3?6，此時甲一定出線，甲出線的概率為；（iii）若第三輪甲輸丁，另一場比賽乙輸丙.則甲?乙?丙?丁積分變?yōu)??3?3?9，此時甲?乙?丙三支球隊要抽簽決定排名，甲抽到第二名的概率為，所以這種情況下，甲出線的概率為.綜上，甲出線的概率為.25.（2023春·廣東省汕頭市潮陽區(qū)高三聯(lián)考）某學校號召學生參加“每天鍛煉1小時”活動，為了了解學生參與活動的情況，隨機調(diào)查了100名學生一個月（30天）完成鍛煉活動的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表：天數(shù)[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人數(shù)4153331116（1）由頻數(shù)分布表可以認為，學生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值），且，若全校有3000名學生，求參加“每天鍛煉1小時”活動超過21天的人數(shù)（精確到1）；（2）調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在（15，30]的學生中有30名男生，天數(shù)在[0，15]的學生中有20名男生，學校對當月參加“每天鍛煉1小時”活動超過15天的學生授予“運動達人”稱號.請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表：性別活動天數(shù)合計[0，15]（15，30]男生女生合計并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為學生性別與獲得“運動達人”稱號有關(guān)聯(lián).如果結(jié)論是有關(guān)聯(lián)，請解釋它們之間如何相互影響.附：參考數(shù)據(jù)：；；.α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）476人（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用頻數(shù)分布表，求得樣本的平均數(shù)，從而寫出X近似服從正態(tài)分布，利用參考數(shù)據(jù)求得參加“每天鍛煉1小時”活動超過21天的人數(shù)；（2）根據(jù)頻數(shù)分布表和已知條件，完善列聯(lián)表，根據(jù)獨立性檢驗的公式，求出學生性別與獲得“運動達人”稱號是否有關(guān)聯(lián)和它們之間如何相互影響.【小問1詳解】由頻數(shù)分布表知，則，，，，參加“每天鍛煉1小時”活動超過21天的人數(shù)約為476人.【小問2詳解】由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動的天數(shù)在的人數(shù)為：，參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在[0，15]的學生中有20名男生，參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在[0，15]的學生中有女生人數(shù)：由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動的天數(shù)在的人數(shù)為，參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在（15，30]的學生中有30名男生，參加“每天鍛煉1小時”活動的天數(shù)在[0，15]的學生中有女生人數(shù)：列聯(lián)表如下：性別活動天數(shù)合計男生203050女生321850合計5248100零假設為：學生性別與獲得“運動達人”稱號無關(guān)依據(jù)的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即：可以認為學生性別與獲得“運動達人”稱號有關(guān)；而且此推斷犯錯誤的概率不大于，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到，男生、女生中活動天數(shù)超過15天的頻率分別為：和，可見男生中獲得“運動達人”稱號的頻率是女生中獲得“運動達人”的稱號頻率的倍，于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以認為男生獲得“運動達人”的概率大于女生，即男生更容易獲得運動達人稱號.26.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）研究表明，如果溫差本大，人們不注意保暖，可能會導致自身受到風寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對于幾童以及年老體弱的人群，要多加防范某中學數(shù)學建模社團成員研究了晝夜溫差大小與某小學學生患感冒就診人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學生新增感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x（）47891412新增感就診人數(shù)y（位）參考數(shù)據(jù)：，（1）已知第一天新增感冒就的學生中有4位男生，從第一天多增的感冒就診的學生中隨機取2位，其中男生人數(shù)記為X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率為，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；（2）已知兩個變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，據(jù)此估計晝夜溫差為15時，該校新增感冒就診的學