第18講 直線與圓?？?種題型總結(jié)（解析板）-2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型

第18講直線與圓?？?種題型總結(jié)【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：圓的定義：在平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓考點(diǎn)二：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)圓心的坐標(biāo)，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：考點(diǎn)三：圓的一般方程圓的一般方程為，圓心坐標(biāo)：，半徑：注意：=1\*GB3①對(duì)于的取值要求：當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解．它表示一個(gè)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．=2\*GB3②二元二次方程，表示圓的充要條件是考點(diǎn)四：以為直徑端點(diǎn)的圓的方程為考點(diǎn)五：阿波羅尼斯圓設(shè)為平面上相異兩定點(diǎn)，且，為平面上異于一動(dòng)點(diǎn)且（且）則點(diǎn)軌跡為圓.考點(diǎn)六：直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓心到直線的距離，圓的半徑為，則直線與圓的位置關(guān)系幾何意義代數(shù)意義公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)①直線與圓相交兩個(gè)②直線與圓相切一個(gè)③直線與圓相離0個(gè)注：代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程考點(diǎn)七：直線與圓相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題法一：設(shè)圓心到直線的距離，圓的半徑為，則弦長(zhǎng)法二：聯(lián)立直線方程與圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式即可【題型目錄】題型一：圓的方程題型二：直線與圓的位置關(guān)系題型三：直線與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題題型四：圓中的切線切線長(zhǎng)和切點(diǎn)弦問(wèn)題題型五：圓中最值問(wèn)題題型六：圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題【典型例題】題型一：圓的方程【例1】頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，所以解得則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：【例2】已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】求出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出a，b的關(guān)系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.【詳解】圓的圓心為，依題意，點(diǎn)在直線上，因此，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“=”，所以的最小值為.故選：B【例3】過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為_(kāi)______．【答案】【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上，則有，解得，所以所求圓的方程為．故答案為：.【例4】設(shè)甲：實(shí)數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由方程表示圓可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)推出關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】若方程表示圓，則，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.【例5】蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測(cè)得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時(shí)每隔米需用一根支柱支撐，則與相距米的支柱的高度是（

）米.（注意：≈）A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48【答案】A【解析】以O(shè)為原點(diǎn),以AB所在直線為x軸,以O(shè)P所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，a），則P(0,10),A(-50,0).可設(shè)圓拱所在圓的方程為,由題意可得：解得：.所以所求圓的方程為.將x=-30代入圓方程,得:,因?yàn)閥>0,所以.故選：A.【例6】阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.則，．設(shè)，∵，∴，兩邊平方并整理得，即．要使的面積最大，只需點(diǎn)P到AB（x軸）的距離最大時(shí)，此時(shí)面積為．故選：C.【題型專練】1．設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為_(kāi)_____________．【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】解：∵點(diǎn)M在直線上，∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，∴，，解得，∴，，的方程為.故答案為：2.經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三點(diǎn)在坐標(biāo)系的位置，確定出是直角三角形，其中是斜邊，則有過(guò)三點(diǎn)的圓的半徑為的一半，圓心坐標(biāo)為的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】由已知得，分別在原點(diǎn)、軸、軸上，，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為的中點(diǎn)，即，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.3.過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)___________．【答案】或或或（答案不唯一，填其中一個(gè)即可）【解析】設(shè)圓的方程為若圓過(guò)，，三點(diǎn)，則，解得，故圓的方程為；若圓過(guò)，，三點(diǎn)，則，解得，故圓的方程為；若圓過(guò)，，三點(diǎn)，則，解得，故圓的方程為；若圓過(guò)，，三點(diǎn)，則，解得，故圓的方程為.4.已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出表示圓的充要條件，然后可判斷出答案.【詳解】若表示圓，則，解得.“”是“”表示圓的必要不充分條件，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B5.若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，再確定軌跡即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)，依題意，，化簡(jiǎn)整理得：，因此，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故選：D6.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿足＝.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（）A．軌跡C的方程為（x＋4）2＋y2＝9B．在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使得＝C．當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是∠APB的平分線D．在C上存在點(diǎn)M，使得【答案】BC【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式逐一判斷即可.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿足，設(shè)P（x，y），則，化簡(jiǎn)得（x＋4）2＋y2＝16，所以A錯(cuò)誤；假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使得，設(shè)D（m，0），E（n，0），則，化簡(jiǎn)得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由軌跡C的方程為x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使，所以B正確；當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，，可得射線PO是∠APB的平分線，所以C正確；若在C上存在點(diǎn)M，使得，可設(shè)M（x，y），則有＝2，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋x＋＝0，與x2＋y2＋8x＝0聯(lián)立，方程組無(wú)解，故不存在點(diǎn)M，所以D錯(cuò)誤．故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式是解題的關(guān)鍵.7．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離滿足，則在O，A，M三點(diǎn)所能構(gòu)成的三角形中面積的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)，求出點(diǎn)軌跡方程得其軌跡，由面積公式轉(zhuǎn)化為，由三角形面積公式易得最大值．【詳解】設(shè)，則得，化簡(jiǎn)整理得，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，如圖，，，易知時(shí)，取得最大值3．故選：C．題型二：直線與圓的位置關(guān)系【例1】直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離C．相切 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】直線l過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)確定l與圓的位置關(guān)系.【詳解】由得：，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，由知：點(diǎn)A在圓內(nèi)，所以直線l與圓相交；故選：A.【例2】（黑龍江哈爾濱市）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，即，圓心為，半徑為，所以圓心到直線得距離，解得【例3】直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定直線恒過(guò)定點(diǎn)，確定曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點(diǎn)，由直線與圓位置關(guān)系解決即可.【詳解】由題知，直線恒過(guò)定點(diǎn)，曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，不滿足題意，直線記為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，滿足題意，直線記為，如圖，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，由，解得，直線記為，由圖知，當(dāng)或，與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，故選：C【例4】已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)在圓上，則直線與圓相切B．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交C．若點(diǎn)在圓外，則直線與圓相離D．若點(diǎn)在直線上，則直線與圓相切【答案】AD【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系相應(yīng)條件判斷即可．【詳解】解：圓心到直線的距離，若點(diǎn)在圓上，則，所以，則直線與圓相切，故A正確；若點(diǎn)在圓內(nèi)，則，所以，則直線與圓相離，故B錯(cuò)誤；若點(diǎn)在圓外，則，所以，則直線與圓相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線上，則，即，所以，直線與圓相切，故D正確．故選：AD．【題型專練】1.直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)或個(gè)【答案】D【解析】將直線變形為，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，所以直線與圓相切或者相交2.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的范圍______.【答案】【分析】畫(huà)出和的圖像，數(shù)形結(jié)合得出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】設(shè)，，圖像如圖所示，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離，即，解得：（舍），或當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，可求得直線的斜率，則利用圖像得：實(shí)數(shù)的范圍為故答案為：3.（2022全國(guó)新高考2卷）設(shè)點(diǎn)A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱的直線與圓C：EQ(x＋3)\S(2)＋EQ(y＋2)\S(2)＝1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【解析】關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：題型三：直線與圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題【例1】已知圓C：與直線l：x-y-1=0相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABC的面積為2，則圓C的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由圓C方程可知圓心，半徑為a，由點(diǎn)到直線的距離公式可知圓心C到直線l的距離，又△ABC的面積為，解得，由勾股定理可得，則a=2，即圓C的半徑為2.則圓C的面積為.故選：C.【例2】已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線，，…，被該圓M截得的弦長(zhǎng)依次為，，…，，若，，…，是公差為的等差數(shù)列，則n的最大值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】求出弦長(zhǎng)的最小和最大值，根據(jù)等差數(shù)列的關(guān)系即可求出n的最大值【詳解】解：由題意在圓中∴圓心，半徑為3，過(guò)點(diǎn)的直線，，…，被該圓M截得的弦長(zhǎng)依次為，，…，過(guò)圓心作弦的垂線，交圓于兩點(diǎn)，如下圖所示：由幾何知識(shí)得，當(dāng)時(shí)，為最短弦長(zhǎng)；為最長(zhǎng)弦長(zhǎng)，為6.此時(shí)，直線的解析式為：直線的解析式為：圓心到弦BC所在直線的距離：連接,由勾股定理得，∴，∴最短弦長(zhǎng)，∵，，…，是公差為的等差數(shù)列∴設(shè)∵最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為6∴解得：故選：D.【例3】已知直線與圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】首先求出直線過(guò)定點(diǎn)，即可求出弦的最小值，求出直線的傾斜角的傾斜角，再利用銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】解：直線過(guò)定點(diǎn)，最小時(shí)，，圓心到直線的距離，，因?yàn)?，所以此時(shí)，所以直線的傾斜角為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，在中，所以.故選：D【例4】（多選題）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則l的方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由弦長(zhǎng)公式得出圓心到直線距離，考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，根據(jù)距離公式得出所求方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意圓心到直線l的距離①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離，符合題意，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，解得，則直線方程為，綜上，直線l的方程為或．故選：AC．【題型專練】1.直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令圓的圓心到直線l的距離為d，而圓半徑為，弦AB長(zhǎng)滿足，則有，又，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：B2.在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓化簡(jiǎn)為可得圓心為易知過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，即而最短弦為過(guò)與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D.3.若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且(其中為原點(diǎn))，則的值為（

）A．或? B．? C．或? D．?【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由可知，圓心到直線的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得故選：A4.直線：與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】分別取，則，得，即直線過(guò)定點(diǎn)，將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心為，半徑.如圖，因?yàn)?，所以?dāng)圓心到直線距離最大時(shí)最小.當(dāng)CP不垂直直線時(shí)，總有，故當(dāng)時(shí)最小，因?yàn)?，所以的最小值?故選：D題型四：圓中的切線切線長(zhǎng)和切點(diǎn)弦問(wèn)題【例1】直線l過(guò)點(diǎn)且與圓相切，則直線l的方程為_(kāi)_____________．【答案】或.【分析】先求出圓的圓心和半徑，然后分直線的斜率不存在和存在兩種情況求解即可.【詳解】由，得圓心為，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線恰好與圓相切，符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，，解得，所以直線的方程為，即，綜上，直線l的方程為或，故答案為：或.【例2】已知圓：，且圓外有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，且切點(diǎn)分別為，，則______.【答案】【分析】畫(huà)出圖象，利用等面積法求得【詳解】圓：，即，圓的圓心為，半徑.畫(huà)出圖象如下圖所示，，四邊形的面積為，解得.故答案為：【例3】點(diǎn)在圓：上，，，則最大時(shí)，___________.【答案】3【分析】根據(jù)題意最大時(shí)，直線與圓相切從而可得出答案.【詳解】點(diǎn)在圓：上，即圓心為，已知，，如圖將繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)剛好與圓相切時(shí)，最小.當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與圓相切于點(diǎn)時(shí)，最大.所以最大時(shí)，直線與圓相切，故答案為：3【例4】過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．四邊形的外接圓方程為C．直線方程為D．三角形的面積為【答案】BCD【分析】求出，由勾股定理求解，即可判斷選項(xiàng)；利用為所求圓的直徑，求出圓心和半徑，即可判斷選項(xiàng)；利用，求出直線的斜率，即可判斷選項(xiàng)；求出直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式求解，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，由題意可得：，由勾股定理可得，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，由題意知，，則為所求圓的直徑，所以線段的中點(diǎn)為，半徑為，則所求圓的方程為，化為一般方程為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，由題意，其中一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，不妨設(shè)為點(diǎn)，則，又，所以，所以直線的方程為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)?，且直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，故的面積為，所以的面積為，故選項(xiàng)正確，故選：.【題型專練】1.過(guò)點(diǎn)作與圓相切的直線l，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再分斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.【詳解】解：圓，即，則圓心為，半徑為1，易知點(diǎn)在圓外，顯然是其中一條切線.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，解得，所以切線方程為.綜上，切線方程為或.故選：BC.2.直線平分圓的周長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€平分圓的周長(zhǎng)，所以直線經(jīng)過(guò)，所以，故，由已知，，，圓的半徑為3，所以，故選：B.3.過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為_(kāi)______．【答案】【分析】由題知、，進(jìn)而求解方程即可.【詳解】解：方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設(shè)，，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：題型五：圓中最值問(wèn)題【例1】已知：，分別交，軸于，兩點(diǎn)，在圓：上運(yùn)動(dòng)，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，以為底邊，則面積最大等價(jià)于點(diǎn)到距離最大，而點(diǎn)到距離最大值等于到的距離加半徑看，到的距離，又圓的半徑，，，則，所以面積的最大值為故選：C【例2】已知點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓心，記點(diǎn)，作圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓，計(jì)算出圓心到直線的距離，結(jié)合對(duì)稱性可得出的最小值為，即可得解.【詳解】設(shè)圓心，記點(diǎn)，作圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)到直線的距離為，故當(dāng)與直線垂直時(shí)，且當(dāng)為與直線的交點(diǎn)以及點(diǎn)為圓與線段的交點(diǎn)(靠近直線)時(shí)，取得最小值，且.故選：B.【例3】已知直線與、軸的交點(diǎn)分別為、，且直線與直線相交于點(diǎn)，則面積的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出的值，求出直線、所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可求得點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可求得點(diǎn)在直線距離的最大值，再利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】在直線的方程中，令可得，令可得，即點(diǎn)、，故，將直線的方程變形可得，由可得，所以，直線過(guò)定點(diǎn)，將直線的方程變形為，由可得，所以，直線過(guò)定點(diǎn)，，則，設(shè)點(diǎn).①若點(diǎn)不與或重合，則，且，，，整理可得；②當(dāng)點(diǎn)與或重合，則點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程.所以，點(diǎn)的軌跡方程為.圓圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的最大距離為，因此，面積的最大值是.故選：A.【例4】已知圓的圓心為，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，結(jié)合向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算定義可求得，則當(dāng)為圓心到直線的距離時(shí)，取得最小值，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由圓的方程可知：圓心為，半徑；；，，，則當(dāng)為圓心到直線的距離時(shí)，取得最小值，，.故選：B.【例5】已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】令，x，，則，即，表示點(diǎn)與點(diǎn)距離為1的點(diǎn)集，此時(shí)，表示圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離，所以的最大值，即為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值，而圓心到原點(diǎn)距離為，且半徑為1，所以圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為．故選：B．【例6】若，則的取值范圍為【答案】【解析】因?yàn)?，所以所以如圖，此方程表示的是圓心在原點(diǎn)，半徑為1的半圓,的幾何意義是點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率如圖，，，所以的取值范圍為故選：D【例】AB為⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一條弦，，若點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]【答案】D【解析】【分析】取AB中點(diǎn)為Q,利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，再利用圓的性質(zhì)可得取值范圍，即求.【詳解】取AB中點(diǎn)為Q，連接PQ，，又，，∵點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，∴的取值范圍[－8，72].故選：D.【題型專練】1．直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及兩點(diǎn)的距離公式，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓上的點(diǎn)到直線的最值問(wèn)題及三角形的面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，所以令，得，所以，令，得，所以，所以，因?yàn)閳A的方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心到直線的距離為,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，即，于是有，所以，故面積的取值范圍為.故選:A.2.（多選題）已知點(diǎn)P在圓O:上,直線:分別與軸,軸交于兩點(diǎn),則（

）A．過(guò)點(diǎn)作圓O的切線,則切線長(zhǎng)為 B．滿足的點(diǎn)有3個(gè)C．點(diǎn)到直線距離的最大值為 D．的最小值是【答案】ACD【分析】對(duì)于A,根據(jù)勾股定理求解即可;對(duì)于B,即,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上,設(shè)的中點(diǎn)為,寫(xiě)出圓的方程,根據(jù)兩個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷正誤;對(duì)于C,根據(jù)圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑進(jìn)行判斷;對(duì)于D,,求解的最小值即可判斷正誤.【詳解】對(duì)于A,點(diǎn),點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓O的切線,則切線長(zhǎng)為,A正確;對(duì)于B,,點(diǎn)在以為直徑的圓上,設(shè)的中點(diǎn)為,圓的方程:,則圓與圓的圓心距為:,,圓與圓O相交,有兩個(gè)交點(diǎn),即滿足的點(diǎn)有2個(gè),B不正確;對(duì)于C,點(diǎn),則圓心到直線的距離,所以點(diǎn)到該直線距離的最大值為,C正確;對(duì)于D,的中點(diǎn),,因?yàn)?的最小值是,D正確.故選:ACD.3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)，分別在圓：和圓：上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值是_______【答案】##【分析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為,進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性得，再結(jié)合題意得【詳解】解：由題知圓：的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，，解得，即，所以，所以，，即的最小值是.故答案為：4．過(guò)直線上的一點(diǎn)P向圓作兩條切線．設(shè)與的夾角為θ，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】##【分析】由題可得圓心為，半徑為2，設(shè)與圓切于，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】由，可得圓心為，半徑為2，設(shè)與圓切于，則，在中，，，又到直線的距離為，所以，，所以的最大值為，即的最大值為.故答案為：.5．已知圓是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)________；的最小值為_(kāi)___________．【答案】

##0.5

【分析】把變成代入圓方程，利用判別式不小于0求出最值即可，利用原點(diǎn)到圓心的距離即可求得最小值．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，，半徑為，由得代入圓的方程整理得，，，所以的最大值是；表示點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方,，，所以的最小值是．故答案為:;6.世紀(jì)末，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓；的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，.故選：C.題型六：圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題【例1】已知圓與圓，則圓與的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．相離【答案】D【分析】根據(jù)兩圓心距離與兩半徑關(guān)系確定兩圓位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，所以兩圓相離，故選：D.【例2】已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)，，滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【分析】設(shè)，軌跡可得點(diǎn)P的軌跡方程，即可判斷該軌跡與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，且，由，得，即，故點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓心為、半徑為的圓，則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點(diǎn)P有2個(gè).故選：B.【例3】圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】?jī)蓤A的一般方程相減得到公共弦所在直線的方程，求出圓的圓心到公共弦的距離，再由公共弦長(zhǎng)公式求出答案即可.【詳解】聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，兩式相減可得公共弦方程，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到公共弦的距離為，公共弦長(zhǎng)為.故選：A.【例4】已知圓C：和兩點(diǎn)，，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則m的最大值為（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【解析】【分析】由題意得點(diǎn)軌跡，轉(zhuǎn)化為有交點(diǎn)問(wèn)題【詳解】，記中點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，又P在圓C上，所以兩圓有交點(diǎn)，則，而，得．故選：B【題型專練】1．寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條直線的方程