第04講 5.3誘導(dǎo)公式（解析版）

第04講5.3誘導(dǎo)公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握誘導(dǎo)公式的內(nèi)容、規(guī)律適用范圍。②了解誘導(dǎo)公式的作用。③會(huì)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式理解與掌握誘導(dǎo)公式的內(nèi)容，會(huì)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：公式二知識(shí)點(diǎn)二：公式三知識(shí)點(diǎn)三：公式四知識(shí)點(diǎn)四：公式五知識(shí)點(diǎn)五：公式六知識(shí)點(diǎn)六：公式七知識(shí)點(diǎn)七：題型01給角求值問(wèn)題【典例1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知的終邊上有一點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榈慕K邊上有一點(diǎn)，所以，，故選：C【典例2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.（2）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.（3）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.（4）解：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得.【典例3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）利用公式求下列三角函數(shù)值：(1)：(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.【變式1】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高三衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）．【答案】【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得：．故答案為：.【變式2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求下列各三角函數(shù)值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)1(4)【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【變式3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求值：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【【詳解】（1）.（2）.（3）.題型02給值(式)求值問(wèn)題【典例1】（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以故選：D【典例2】（2023春·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）已知，則.【答案】/【詳解】因?yàn)?，所以原式故答案為?【典例3】（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與射線(xiàn)（）重合，則.【答案】【詳解】由題意，，且，，則由，解得，則.故答案為：.【變式1】（2023秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若，則.【答案】/【詳解】由，得，解得，而，則，所以.故答案為：【變式2】（2023春·湖南株洲·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知，，則.【答案】/【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，故答案?【變式3】（2023秋·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，則．【答案】/【詳解】由，又，故.故答案為：題型03三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題【典例1】（2023秋·安徽·高二安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，所以原式.故選：B.【典例2】（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知.(1)化簡(jiǎn)；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，所以;（2）由誘導(dǎo)公式可知，即，又是第三象限角，所以，所以.【典例3】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，鈍角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與半徑為的圓相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，．

(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由三角函數(shù)定義知：，又為第二象限角，.（2）.【典例4】（2023秋·江西撫州·高二江西省樂(lè)安縣第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），由，得，所以；（2）由，得，則.【變式1】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是第三象限角，且，則．【答案】2【詳解】由得，解得或，又是第三象限角，所以，故．故答案為：2【變式2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）化簡(jiǎn)：．【答案】【詳解】原式．【變式3】（2023秋·北京·高三北京市第六十六中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，，求的值.【答案】/【詳解】因?yàn)榍?，且為第二象限角，所以，可得，又?【變式4】（2023春·四川眉山·高一校聯(lián)考期中）（1）已知方程，求的值．（2）已知，求的值；【答案】（1）；（2）【詳解】（1）∵，∴，可知，所以.（2）由可得，，所，因?yàn)?，所以，，則.題型04利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）求證：＝．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】左邊.右邊.∴左邊＝右邊，故原等式成立．【典例2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè).求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：左邊把代入，得原式右邊，故原等式成立.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求證：．【答案】證明見(jiàn)解析.【詳解】左邊==–tanα=右邊，∴等式成立．【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：若為偶數(shù)，則左邊；若為奇數(shù)，則左邊；左邊=右邊，所以原式成立.題型05誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）中，若，則形狀為．【答案】直角三角形【詳解】解：，，，即，又，即，則為直角三角形．故答案為：直角三角形.【典例2】（2023春·四川廣安·高一廣安二中?？茧A段練習(xí)）已知角A為銳角，，(1)求角A的大??；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，可得，由角A為銳角，則，所以，故．（2）∵，由（1）可得，即．【變式1】（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若的內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足，則A與B的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，且A，B，C為的內(nèi)角，因?yàn)樗运曰颍簦瑒t，此時(shí)不存在，故舍去；∴.故選：A.【變式2】（多選）（2023春·福建南平·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知銳角三角形中，設(shè)，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】解：因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，則，所以，A選項(xiàng)正確；同理，則，，因此，，B，C選項(xiàng)正確；由于，所以在是增函數(shù)，又，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC．題型06誘導(dǎo)公式與同角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用【典例1】（2023春·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎?，則．【答案】/－0.6【詳解】因?yàn)?，所以．故答案為：．【典?】（2023春·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)函數(shù)（且）的定點(diǎn)M.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵函數(shù)（且）的定點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，∴.（2），，，.【典例3】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）給出下列三個(gè)條件：①角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②；③．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問(wèn)題：(1)若為第四象限角，求的值；(2)求的值．【答案】(1)-2(2)【詳解】（1）選①，方法一：角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因?yàn)闉榈谒南笙藿?，故，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，所以，故方法二：角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得，又為第四象限角，所以故選②，由得，，所以所以故選③，由得，因?yàn)?，，所以，故，所以解得，又為第四象限角，所以，，故．?）方法一：由（1）得，方法二：由（1）得，所以為第二或第四象限角選①②③都可得，若為第二象限角，則，．為第四象限角，則，．所以*式,或*式【變式1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）（1）求的值.（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所?【變式2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)化簡(jiǎn)(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得.（2）由（1）知．∵，∴，∴.又，∴，∴.∴.【變式3】（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）已知.(1)化簡(jiǎn)；(2)若，且為第四象限角，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）由題知，因?yàn)榈谒南笙藿?，，則.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·新疆阿克蘇·高一?？计谥校┑扔冢?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】.故選：A.2．（2023春·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正切的誘導(dǎo)公式計(jì)算．【詳解】．故選：C．3．（2023春·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算.【詳解】.故選：B．4．（2023·甘肅張掖·甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角和角的頂點(diǎn)均與原點(diǎn)O重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由角的終邊得出兩角的關(guān)系，然后由誘導(dǎo)公式求值．【詳解】角和角的終邊關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，．=故選：B．5．（2023秋·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】.故選：A6．（2023秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由誘導(dǎo)公式可得，可求的值.【詳解】∵，∴，∴．故選：C7．（2023秋·江西·高三贛州市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖像過(guò)定點(diǎn)，且角的始邊與軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)所要求的式子，又由于，所以過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)一步結(jié)合題意可以求出與有關(guān)的三角函數(shù)值，最終代入求值即可.【詳解】

又因?yàn)椋?，，故原?;又過(guò)定點(diǎn),所以，代入原式得原式=.故選：.8．（2023秋·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是第四象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知條件化簡(jiǎn)求出的值，然后利用誘導(dǎo)公式及弦化切，計(jì)算即可.【詳解】由，解得或．因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所以，故．故選：D.二、多選題9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）以下各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的同角基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式逐一判斷即可.【詳解】，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤；故選：ABC10．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市翔宇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)，角的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，將OP繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，由三角函數(shù)的定義得到；B選項(xiàng)，由位置關(guān)系得到，；C選項(xiàng)，利用誘導(dǎo)公式得到答案；D選項(xiàng)，先求出，由誘導(dǎo)公式得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，A正確；B選項(xiàng)，角的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故，，故，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由B可知，故，C正確；D選項(xiàng)，，故，故，D正確.故選：ACD三、填空題11．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）若，則．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可；【詳解】由，即，而，故.故答案為：12．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B是單位圓O上的點(diǎn)，且B在第二象限，C是圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則.

【答案】【分析】利用三角函數(shù)的定義結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，又因?yàn)?，所以?故答案為：四、解答題13．（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知.(1)化簡(jiǎn)；(2)若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；（2）利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，所以;（2）由誘導(dǎo)公式可知，即，又是第三象限角，所以，所以.14．（2023秋·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn).(1)若，求及的值；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式直接計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化求得進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）若角以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)，若，則，則，可得（2）由題意知，又，①兩邊平方，可得，可得，可得，②聯(lián)立①②，可得所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為15．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，鈍角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與半徑為的圓相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，．

(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由三角函數(shù)定義知：，又為第二象限角，.（2）.16．（2023秋·北京·高三北京市第六十六中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，，求的值.【答案】/【詳解】因?yàn)榍遥覟榈诙笙藿?，所以，可得，又?B能力提升1．（2023秋·江西·高三贛州市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖像過(guò)定點(diǎn)，且角的始邊與軸的正半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】

又因?yàn)?，，，故原?;又過(guò)定點(diǎn),所以，代入原式得原式=.故選：.2．（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若的內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足，則A與B的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋褹，B，C為的內(nèi)角，因?yàn)樗运曰?，若，則，此時(shí)不存在，故舍去；∴.故選：A.3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知為第二象限角，且，則的值是（

）A． B． C