2022-2023學(xué)年湖南省邵陽市順潮學(xué)校高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省邵陽市順潮學(xué)校高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先根據(jù)f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可確定[f（x）g（x）]'＞0，進(jìn)而可得到f（x）g（x）在x＜0時遞增，結(jié)合函數(shù)f（x）與g（x）的奇偶性可確定f（x）g（x）在x＞0時也是增函數(shù)，最后根據(jù)g（﹣3）=0可求得答案．【解答】解：設(shè)F（x）=f（x）g（x），當(dāng)x＜0時，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．∴F（x）在當(dāng)x＜0時為增函數(shù)．∵F（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）?g（x）=﹣F（x）．故F（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)．∴F（x）在（0，+∞）上亦為增函數(shù)．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，可知F（x）＜0的解集為x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故選D2.等差數(shù)列各項都是負(fù)數(shù)，且則它的前10項和（） A．－11 B．－9 C．－15 D．－13參考答案：C略3.右圖實線是函數(shù)的圖象，它關(guān)于點對稱.如

果它是一條總體密度曲線，則正數(shù)的值為（

）A． B．

C． D．參考答案：B略4.兩平行直線：，：的距離為,則m=A.-42

B.18或-34

C.5或21

D.10或-42參考答案：D略5.甲、乙兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中，成績統(tǒng)計用莖葉圖表示如圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別用甲、乙表示，則下列結(jié)論正確的是()A.甲>乙，且甲比乙成績穩(wěn)定

B.甲>乙，且乙比甲成績穩(wěn)定C.甲<乙，且甲比乙成績穩(wěn)定

D.甲<乙，且乙比甲成績穩(wěn)定參考答案：A6.拋物線y2=4x的焦點為F，點A（3，2），P為拋物線上一點，且P不在直線AF上，則△PAF周長的最小值為（

）A.4 B.5 C. D.參考答案：C【分析】求周長的最小值，即求的最小值，設(shè)點在準(zhǔn)線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當(dāng)、、三點共線時，最小，即可求出的最小值，得到答案?！驹斀狻坑蓲佄锞€為可得焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為：，由題可知求周長的最小值，即求的最小值，設(shè)點在準(zhǔn)線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此求的最小值即求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當(dāng)、、三點共線時，最小，所以又因為，所以周長的最小值為，故答案選C【點睛】本題考查拋物線的定義，簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷出、、三點共線時最小，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。7.某校共有高中學(xué)生1000人，其中高一年級400人，高二年級340人，高三年級260人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為50的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取人數(shù)分別為（

）

A．20、17、13 B．20、15、15

C．40、34、26 D．20、20、10參考答案：A略8.按流程圖的程序計算，若開始輸入的值為，則輸出的的值是

(

)Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

參考答案：D略9.某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(°C)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫x(°C)181310－1用電量y(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程＝bx＋a中b≈－2，預(yù)測當(dāng)氣溫為－4°C時，用電量的度數(shù)約為()A、58

B、66

C、68

D、70參考答案：C略10.設(shè)x＞0，y＞0，xy=4，則s=取最小值時x的值為（）A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：B【考點】基本不等式．【分析】先根據(jù)基本不等式得到s=≥2=2再利用條件xy為定值得出s=4，最后結(jié)合不等式等號成立的條件即可得到答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0，xy=4，∴s=≥2=2=4，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立由，xy=4，得x=y=2．則s=取最小值時x的值為2．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果對任何實數(shù)k，直線（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都過一個定點A，那么點A的坐標(biāo)是．參考答案：（﹣1，2）【考點】恒過定點的直線．【分析】由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0，進(jìn)而有x﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到結(jié)論．【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0∴x=﹣1，y=2∴對任何實數(shù)k，直線（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都過一個定點A（﹣1，2）故答案為：（﹣1，2）12.對于集合,定義，設(shè)，則

參考答案：略13.已知等差數(shù)列{an}的前三項依次為a﹣1，2a+1，a+4，則a=

．參考答案：【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】a﹣1，2a+1，a+4是等差數(shù)列{an}的前三項，直接利用等差中項的概念列式計算a的值．【解答】解：因為a﹣1，2a+1，a+4是等差數(shù)列{an}的前三項，所以有2（2a+1）=（a﹣1）+（a﹣4），解得：a=．故答案為．14.如圖，正方形O/A/B/C/的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積是

．參考答案：15.已知點M（a，b）在直線3x+4y﹣15=0上，則的最小值是．參考答案：4【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)的幾何意義：表示點（1，﹣2）與點（a，b）的距離，可得的最小值為點（1，﹣2）到直線3x+4y﹣15=0的距離．【解答】解：的幾何意義：表示點（1，﹣2）與點（a，b）的距離．∵點P（a，b）在直線3x+4y﹣15=0上，∴的最小值為點（1，﹣2）到直線3x+4y﹣15=0的距離，∵點（1，﹣2）到直線3x+4y﹣15=0的距離為d==4，∴的最小值為4．故答案為：4．16.有下列四個命題：①“若，則或”是假命題；②“”的否定是“”③“”是“”的充分不必要條件；④“全等三角形相似”的否命題是“全等三角形不相似”，其中正確命題的序號是

.(寫出你認(rèn)為正確的所有命題序號)參考答案：②17.將二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)，結(jié)果為__________參考答案：45三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為y=0．（1）求證：當(dāng)x≥1時，f（x）≥（x﹣1）2；

（2）若當(dāng)x≥1時，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）由題意求得a=1，得到函數(shù)解析式，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在[1，+∞）上為增函數(shù)，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；

（2）設(shè)h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合（1）放縮可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后對m分類討論求解．【解答】（1）證明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax﹣1．∵曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為y=0，∴a﹣1=0，得a=1．則f（x）=x2lnx﹣x+1．設(shè)g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，∴g′（x）≥g′（1）=0，則g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；

（2）解：設(shè)h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，則h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①當(dāng)3﹣2m≥0，即m時，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②當(dāng)3﹣2m＜0，即m＞時，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴當(dāng)x∈[1，x0）時，h′（x）＜h′（1）=0，∴h（x）在[1，x0）上單調(diào)遞減，則h（x）＜h（1）=0，不合題意．綜上，m．19.如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直．，，．（）求證：平面．（）求證：平面．（）在直線上是否存在點，使得平面？并說明理由．參考答案：見解析（）設(shè)與交于點，∵，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，不在平面內(nèi)，∴平面．（）連接，∵，，，∴平行四邊形為菱形，∴，∵四邊形為正方形，∴，又∵平面平面且平面平面，∴平面，∴，又∵點，∴平面．（）不存在，以為原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，∵，，，，，，設(shè)平面一個法向量，，，∴，設(shè)，，∵平面，∴，但即與不會平行，∴不存在點使平面．

20.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點．（I）證明：平面AED∥平面B1FC1；（II）在AE上求一點M，使得A1M⊥平面DAE．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；平面與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以點A為原點，以AB、AD、AA1為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，求出平面AED和平面B1FC1的法向量，利用向量共線證明兩平面平行；（Ⅱ）設(shè)=λ，利用A1M⊥平面DAE，得出⊥，由數(shù)量積為0求出λ的值即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則A（0，0，0），E（2，0，1），D（0，2，0），F(xiàn)（0，2，1），B1（2，0，2），C1（2，2，2）；設(shè)平面AED的法向量為=（x1，y1，z1），則∴令x1=1，得=（1，0，2），同理可得平面B1FC1的法向量=（1，0，2）；∴平面AED∥平面B1FC1；（Ⅱ）由于點M在AE上，∴可設(shè)=λ=λ（2，0，1）=（2λ，0，λ），可得M（2λ，0，λ），于是=（2λ，0，λ﹣2）；要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，∴?=（2λ，0，λ﹣2）?（2，0，1）=5λ﹣2=0，解得λ=；故當(dāng)AM=AE時，A1M⊥平面DAE．【點評】本題考查了空間中的平行于垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，解題時利用空間向量進(jìn)行解答，是綜合性題目．21.某商場為了促銷，采用購物打折的優(yōu)惠辦法：每位顧客一次購物：①在1000元以上者按九五折優(yōu)惠；②在2000元以上者按九折優(yōu)惠；③在5000元以上者按八折優(yōu)惠。(1）寫出實際付款y（元）與購物原價款x（元）的函數(shù)關(guān)系式；(2）寫出表示優(yōu)惠付款的算法；參考答案：（1）設(shè)購物原價款數(shù)為元，實際付款為元，則實際付款方式可用分段函數(shù)表示為：(2）用條件語句表示表示為：22.（本題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓．（Ⅰ）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程；（Ⅱ）圓是以1為半徑，圓心在圓：上移動的動圓，若圓上任意一點分別作圓

的兩條切線，切點為，求的取值范圍；（Ⅲ）若動圓同時平分圓的周長、圓的周長，如圖8所示，則動圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由．參考答案：（Ⅰ