專題14解析幾何中的軌跡與方程（解密講義）

專題14解析幾何中的軌跡與方程（解密講義）【知識梳理】【考點1】直線與圓1.直線的方程及應(yīng)用（1）直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點式過兩點eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線（2）兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．（3）求直線方程要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線．（4）兩個距離公式兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).點(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).2.圓的方程及應(yīng)用（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2.（2）圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．（3）點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).3.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點線距離法和判別式法．點線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d<r?直線與圓相交，d＝r?直線與圓相切，d>r?直線與圓相離．判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消去y，得關(guān)于x的一元二次方程根的判別式Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.（2）圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．設(shè)圓C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)，圓C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下：d>r1＋r2?兩圓外離；d＝r1＋r2?兩圓外切；|r1－r2|<d<r1＋r2?兩圓相交；d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切；0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含．方法技巧：1、求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況；2、對解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究．3、解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．【考點2】曲線方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b23．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b24．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點O(0，0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下方法技巧：1、準(zhǔn)確把握圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，注意焦點在不同坐標(biāo)軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式．2、求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定．3、在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．考點命題點考題直線與圓=1\*GB3①直線的方程=2\*GB3②圓的方程2023北京卷T15，2023新課標(biāo)I卷T62022新高考II卷T15，2022全國甲卷（文）T142022新高考II卷T3，2022新高考II卷T10曲線方程=1\*GB3①橢圓、雙曲線和拋物線的方程=2\*GB3②求軌跡方程2023北京卷T12，2023北京卷T62023全國甲卷（文）T7，2023全國甲卷（理）T8，2023全國甲卷（理）T12，2023全國乙卷（理）T11，考點一直線與圓命題點1直線的方程典例01（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+1的距離為2，則p=（A．1 B．2 C．22 D．【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標(biāo)，然后結(jié)合點到直線距離公式可得p的值.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為p2其到直線x-y+1=0的距離：d=p解得：p=2(p=-6舍去).故選：B.典例02（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA',BB',CC',DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中DD1,CC1,BB1A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設(shè)OD1=DC【詳解】設(shè)OD1=D依題意，有k3-0.2=k所以0.5+3k3-0.3故選：D典例03（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知直線l:y=xsinθ+cosθ的圖像如圖所示，則角A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出sinθ<0、cosθ>0【詳解】結(jié)合圖像易知，sinθ<0，cos則角θ是第四象限角，故選：D.命題點2圓的方程典例01（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0A．1+322 B．4 C．1+3【答案】C【分析】法一：令x-y=k，利用判別式法即可；法二：通過整理得x-22+y-12【詳解】法一：令x-y=k，則x=k+y，代入原式化簡得2y因為存在實數(shù)y，則Δ≥0，即2k-6化簡得k2-2k-17≤0，解得故x-y的最大值是32法二：x2+y令x=3cosθ+2，y=3sin則x-y=3cos∵θ∈0,2π，所以θ+π4∈π4,9π法三：由x2+y設(shè)x-y=k，則圓心到直線x-y=k的距離d=|2-1-k|解得1-3故選：C.典例02（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l:x-my+1=0與⊙C:x-12+y2=4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為8【答案】2（2,-2,1【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長AB，以及點C到直線AB的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得AB=2所以S△ABC=12×d×2由d=1+11+m2=21+m2故答案為：2（2,-2,1典例03（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線x-y+m=0m>0與圓x-12+y-12=3【答案】2【分析】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于m的等式，即可解得m的值.【詳解】圓x-12+y-12=3圓心到直線x-y+m=0m>0的距離為1-1+m由勾股定理可得m22+m2故答案為：2.1．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A1,0，B2,0，動點C在直線y=x上，若圓M過A，B，C三點，則圓M面積的最小值為（A．π2 B．π4 C．π D【答案】A【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)設(shè)圓心M32,a，利用幾何知識得圓M與直線y=x【詳解】由圓的幾何性質(zhì)知，圓心在A,B中垂線上，故可設(shè)圓心M坐標(biāo)32當(dāng)圓M與直線y=x相切即圓心到y(tǒng)=x的距離等于到A點距離時，圓M的面積最小，可得：32-a12+當(dāng)a=12時，M32,12，圓M當(dāng)a=-72時，M32,-72，圓M所以圓M面積的最小值為π2故選：A2．已知圓C：x2+y2-4y+3=0，一條光線從點PA．圓C關(guān)于x軸的對稱圓的方程為xB．若反射光線平分圓C的周長，則入射光線所在直線方程為3x-2y-4=0C．若反射光線與圓C相切于A，與x軸相交于點B，則PBD．若反射光線與圓C交于M，N兩點，則△CNM面積的最大值為1【答案】C【分析】對于A，由對稱的性質(zhì)直接求解即可，對于B，由題意可知入射光線所在的直線過點P2,1和(0,-2)，從而可求出直線方程，對于C，由題意可知反射光線所在的直線過點P'(2,-1)，則PB+BA=P'B+BA=P【詳解】對于A，由圓C方程可得x2+y-22=1，故圓∴圓C關(guān)于x軸對稱的圓的圓心為C'0,-2，半徑為∴所求圓的方程為：x2+y+22=1對于B，∵反射光線平分圓C的周長，∴反射光線經(jīng)過圓心C0,2∴入射光線所在直線經(jīng)過點C'0,-2，∴入射光線所在直線方程為：y+2=32x，即3x-2y-4=0對于C，∵反射光線經(jīng)過點P2,1關(guān)于x軸的對稱點P∴PB∴P'A=P對于D，設(shè)∠CMN=θ0<θ<則圓心C0,2到直線y+1=kx-2的距離∴M∴S則當(dāng)θ=π4時，S△CNMmax故選：C.3．（多選）設(shè)動直線l:mx-y-2m+3=0(m∈R)交圓C:(x-4)2+(y-5)2=12于A．直線l過定點(2,3) B．當(dāng)|AB|取得最大值時，m=1C．當(dāng)∠ACB最小時，其余弦值為14 D．AB?【答案】ABD【分析】A選項，將直線方程整理為m(x-2)-(y-3)=0，然后得到x-2=0y-3=0，解方程即可得到定點；B選項，根據(jù)弦長最大是直徑得到AB最大時經(jīng)過圓心，然后列方程求解即可；C選項，根據(jù)幾何知識得到當(dāng)直線l與過點(4,5)和(2,3)的直線垂直時∠ACB最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；D選項，根據(jù)外心的結(jié)論得到AB?【詳解】對于選項A，由動直線l:mx-y-2m+3=0，可得：m(x-2)-(y-3)=0，由x-2=0y-3=0，即x=2y=3，即直線l過定點(2,3)，即選項對于選項B，當(dāng)|AB|取得最大值時，直線l過點(4,5)，即m=5-34-2=1對于選項C，當(dāng)∠ACB最小時，此時|AB|最小，當(dāng)|AB|最小時，直線l與過點(4,5)和(2,3)的直線垂直，則|AB|2=12-(4-2)2-(5-3)對于選項D，AB?AC=|AB||AC|故選：ABD．考點二曲線方程命題點1橢圓、雙曲線和拋物線的方程典例01（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線y2=45x,F1,F2分別是雙曲線xA．x210-C．x2-y【答案】C【分析】由已知可得出c的值，求出點A的坐標(biāo)，分析可得AF1=F1F2，由此可得出關(guān)于【詳解】拋物線y2=45x的準(zhǔn)線方程為x=-5，則c=不妨設(shè)點A為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立y=-baxx=-c，可得因為AF1⊥F1且AF1=F1所以，ba=2c=5c故選：C.典例02（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）過原點的一條直線與圓C:(x+2)2+y2=3相切，交曲線y2=2px(p>0)于點【答案】6【分析】根據(jù)圓x+22+y2=3和曲線y2=2px【詳解】易知圓x+22+y2=3和曲線y2=2px所以2k1+k2=3，解得：k=3，由所以O(shè)P=2p3當(dāng)k=-3故答案為：6．典例03（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的焦點為(-2,0)和(2,0)，離心率為2，則C的方程為．【答案】x【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線C的實半軸、虛半軸長，再寫出C的方程作答.【詳解】令雙曲線C的實半軸、虛半軸長分別為a,b，顯然雙曲線C的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距c=2，由雙曲線C的離心率為2，得ca=2，解得a=所以雙曲線C的方程為x2故答案為：x典例04（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點A1,5在拋物線C：y2=2px上，則A到【答案】9【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-54，最后利用點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計算點A到C【詳解】由題意可得：52=2p×1，則2p=5，拋物線的方程為準(zhǔn)線方程為x=-54，點A到C的準(zhǔn)線的距離為故答案為：94命題點2求軌跡方程典例01（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知a,b∈R,ab>0，函數(shù)fx=ax2+b(x∈RA．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進(jìn)行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2，即對其進(jìn)行整理變形：asas2as-2a所以-2as2+a其中s2ba-故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進(jìn)行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，屬于中等題.典例02（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若AC?BC=1，則點A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【答案】A【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)AB=2aa>0，以AB則：A-a,0,Ba,0，設(shè)C從而：AC→結(jié)合題意可得：x+ax-a整理可得：x2即點C的軌跡是以AB中點為圓心，a2+1故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.典例03（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0,12的距離，記動點P的軌跡為(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33【答案】(1)y=(2)見解析【分析】（1）設(shè)P(x,y)，根據(jù)題意列出方程x2（2）法一：設(shè)矩形的三個頂點Aa,a2+14,Bb,b2+14,Cc,c2法二：設(shè)直線AB的方程為y=k(x-a)+a2+1法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點，利用三角換元再對角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1）設(shè)P(x,y),則y=x2故W:y=x（2）法一：設(shè)矩形的三個頂點Aa,a2+14,Bb,b則kAB?kBC同理令kBC=b+c=n>0，且mn=-1，則設(shè)矩形周長為C,由對稱性不妨設(shè)|m|≥|n|，kBC則12C=|AB|+|BC|=(b-a)則令f(x)=x+令f'(x)=0，解得當(dāng)x∈0,22時，f當(dāng)x∈(22,1]，f則f(x)故12C≥274當(dāng)C=33時,n=22,m=-2,且(b-a)得證.法二：不妨設(shè)A,B,D在W上，且BA⊥DA，依題意可設(shè)Aa,a2+14，易知直線則設(shè)BA,DA的斜率分別為k和-1k，由對稱性，不妨設(shè)直線AB的方程為y=k(x-a)+a則聯(lián)立y=x2+Δ=k則|AB|=1+同理|AD|=1+∴|AB|+|AD|=≥令k2=m，則m∈0,1則f'(m)=2m+3-1m2當(dāng)m∈0,12時，f當(dāng)m∈12,+∞，則f(m)∴|AB|+|AD|≥3但1+k2|k-2a|+1+1k21法三：為了計算方便,我們將拋物線向下移動14個單位得拋物線W矩形ABCD變換為矩形A'B'C'D設(shè)B't0,t則kA'B'=t1+t由于A'B'=1+t1+t02則A'B'+Bt1+t0=-A故A①當(dāng)θ∈0,πA②當(dāng)θ∈π4,π2時,由于從而-cotθ2故0≤t0<>=≥2當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=33時等號成立，故A

.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的第二個的關(guān)鍵是通過放縮得12C=|AB|+|BC|≥n+11．已知Q為直線l:x+2y+1=0上的動點，點P滿足QP=1,-3，記P的軌跡為E，則（A．E是一個半徑為5的圓 B．E是一條與l相交的直線C．E上的點到l的距離均為5 D．E是兩條平行直線【答案】C【分析】設(shè)Px,y，由QP=1,-3可得Q點坐標(biāo)，由Q在直線上，故可將點代入坐標(biāo)，即可得P軌跡【詳解】設(shè)Px,y，由QP=1,-3由Q在直線l:x+2y+1=0上，故x-1+2y+3化簡得x+2y+6=0，即P的軌跡為E為直線且與直線l平行，E上的點到l的距離d=6-112+22=5，故A故選：C.2．已知A1,A2是橢圓C:x24+y23=1的長軸上的兩個頂點，點P是橢圓上異于長軸頂點的任意一點，點Q與點A．雙曲線 B．拋物線C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線【答案】A【分析】由題意設(shè)出點P，Q坐標(biāo)，然后求出直線PA1與直線QA2【詳解】

由于A1,A2是橢圓設(shè)Px0,所以直線PA1的方程為y=y0x0+2①×②得y2又因為Px0,y0在橢圓C:所以y2=3即直線PA1與直線QA2的交點M故選：A.3．已知拋物線C1:y2=-2px(p>0)的焦點與橢圓C2:x2a2+yA．33 B．22 C．2-1【答案】C【分析】設(shè)橢圓的右焦點為F2，易得p=2c，先求出MF1，再根據(jù)橢圓的定義求出MF2，再在【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為F2拋物線C1:y橢圓C2:x由題意可得-p2=-c將x=-p2代入拋物線方程解得所以MF由橢圓的定義可得MF1+在Rt△MF1即4c2+4所以ca2+2?ca即橢圓的離心率為2-1故選：C.4．過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于Ax1,2p，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意，將A,B坐標(biāo)分別代入拋物線方程，即可得到x1,x2，再由A,F,B【詳解】將Ax1,可得2p2=2px1，解得-22p2=2px2又拋物線y2=2px(p>0)的焦點由題意可得，A,F,B三點共線，則kAF=kBF，即故選：DAA·新題速遞1．（2024·全國·模擬預(yù)測）過直線y=x上一點M作圓C：x-22+y2=1的兩條切線，切點分別為P，Q．若直線PQ過點1,3A．5x-y-2=0 B．x-5y+14=0C．5x+y-8=0 D．x+5y-16=0【答案】C【分析】設(shè)Mt,t，先利用兩圓方程相減得到直線PQ的方程，再利用直線PQ過點1,3求得t的值，進(jìn)而得到直線PQ的方程【詳解】圓C：x-22+y設(shè)Mt,t，則以MCx-與圓C的方程x-22+yt-2因為直線PQ過點1,3，所以t-2+3t-2t+3=0，解得t=-1所以直線PQ的方程為-52x-故選：C．2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知兩圓x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+yA．3 B．1 C．49 D．【答案】B【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)三條公切線，推出兩個圓外切，求出49a【詳解】根據(jù)題意可得，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2a)2+y圓心為-2a,0和0,b，半徑分別為2，1，若兩圓恰有三條公切線，則等價為兩圓外切，則滿足圓心距(-2a)2即4則49則1≥5當(dāng)且僅當(dāng)4a29b2=故選：B3．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）“-1≤b<1”是“方程1-x2=x+b有唯一實根”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求出“方程1-x2=x+b有唯一實根”時，【詳解】方程1-x即直線y=x+b與上半圓y=1-解得b的取值范圍為-1,1∪∴-1≤b<1是方程1-x故選：A．4．（2024·廣東汕頭·汕頭市潮陽實驗學(xué)校?？级＃┰诶忾L為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N為線段BD1上的兩個三等分點，動點A．23π3 B．3π6 C【答案】B【分析】先通過位置關(guān)系的證明說明N在平面△AB1C內(nèi)，然后根據(jù)已知條件求解出NG的長度，根據(jù)【詳解】如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B因為M、N為線段BD所以BN=3易知B1C⊥BC1,C1D1所以B1C⊥平面BC同理可證AC⊥BD1，又AC?平面B1AC，B1則BD1⊥設(shè)點B到平面B1AC的距離為h，則三棱錐BB則13所以N在平面△AB則GN⊥MN，所以S△GMN所以平面內(nèi)點G的軌跡是以N為圓心，33如圖，在正三角形B1AC中，N為中心，圓N的半徑為33NT=1所以在直角三角形ENT中NE=NF=3則∠ENT=π所以三個虛線弧圓心角弧度數(shù)為π2則三個實線弧圓心角弧度數(shù)為2π-所以G點的軌跡長度為π2故選：B5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知F是拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，P是拋物線上的一個動點．若Q3,1為拋物線內(nèi)部一點，且△PQF周長的最小值為4+A．x=-12 BC．y=-12 D【答案】B【分析】過點Q作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，結(jié)合拋物線定義，△PQF的周長為QF+PF【詳解】拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-p2，焦點因為點Q在拋物線C內(nèi)部，如圖，過點Q作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，由拋物線的定義可知PN=所以△PQF周長為QF+故當(dāng)Q，P，N三點共線時，PN+PQ取得最小值p2則△PQF周長的最小值為p2解得p=2，此時拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=故選：B6．（2023·四川綿陽·三臺中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C:x29+y24=1的左、右焦點，P是橢圓A．2 B．12 C．55 D【答案】A【分析】由橢圓的方程求出a,b,c，由PO=5可知∠F1PF【詳解】由橢圓C:x29又因為PO=5，所以在△PF設(shè)PF1=r，則PF2所以PF1<PF因為∠F1PF2整理可得：r2-6r+8=0，解得：r=2或即PF1=2,故選：A.7．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，A-p2,0，B是以FA為半徑的圓F與拋物線A．直線BF⊥x軸 B．直線AB與拋物線C相切C．PA?PB≥0【答案】ABD【分析】表示出圓F的方程，與拋物線C聯(lián)立求出B點坐標(biāo)驗證選項A；求出直線AB的方程，與拋物線C聯(lián)立判斷解的情況，驗證選項B；記AB的中點Q0,p2，化簡得PA?PB=【詳解】圓F的方程為x-p22+y2=解得x=p2或x=-3p2（舍去），不妨設(shè)BpkAB=1，直線AB的方程為x=y-p2，代入拋物線因為Δ=0，所以直線AB與拋物線C相切，所以BAB=p-02+p2+則PA?圓F上動點P到定點Q的距離滿足1-2所以1-2即PA?PB的最小值為1-2p2，最大值為1+故選：ABD．8．（多選）（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）已知I1:xA．與I1,B．與I1,C．向I1D．向I1引兩切線的夾角與向I【答案】AD【分析】根據(jù)相似比即可結(jié)合銳角三角函數(shù)求解A，根據(jù)圓的性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)距離公式即可求解軌跡方程，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】由題意知，與兩圓均有公共點，且斜率最大的直線恰為那條兩圓斜率為正的內(nèi)公切線，由兩圓半徑之比為13，I1I2=5設(shè)切線的傾斜角為θ,sinθ=3M與I1,I2向I1,I2引切線，設(shè)切線長相等的點為P所以x2+y2-1=(x-5)設(shè)I1,I2的圓心分別為O1,O2，點于是由相似三角形知PO設(shè)Px,y，則x可得到點P的軌跡是一個圓，選項D正確.故選：AD9．（多選）（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┮阎€C:x2m-1+y2m=1是頂點分別為A,B的雙曲線，點A．0<m<1B．C的焦點為1,0C．C的漸近線可能互相垂直D．當(dāng)m=12時，直線MA,MB【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線方程的形式特征判斷A、B；求出漸近線，利用漸近線互相垂直求解即可判斷C；設(shè)點的坐標(biāo)，求解斜率之積即可判斷D.【詳解】若C是雙曲線，則mm-1<0，解得此時曲線C:y2m其焦點為0,1，0,-1，故選項A正確、選項B錯誤；C的漸近線方程為y=±m(xù)1-mx，當(dāng)m=12滿足題意，故選項C正確；當(dāng)m=12時，C:y21設(shè)M(x0,y0)故選：ACD.10．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）與直線y=33x和直線y=3x【答案】(x-1)【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)(a,b),(a>0,b>0)，根據(jù)題意列關(guān)于a,b的方程，求出它們的值，進(jìn)而求得半徑，即可得答案.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b),(a>0,b>0)，由于所求圓與直線y=33x故|3a-3b|3+9=|3a-b|又圓心到原點的距離為2，即a2解得a=b=1，即圓心坐標(biāo)為(1,1)，則半徑為|3故圓的方程為(x-1)2故答案為：(x-1)11．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A12,0，A2-2,0，P為平面內(nèi)一動點，記直線PA1的斜率為k，直線PA2的斜率為k(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與曲線C交于M，N兩點（點M在第一象限，點N在第四象限），記直線MA1，的斜率為k3，直線NA2的斜率為k【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)P(x,y)帶入k1k2（2）設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2y1【詳解】（1）設(shè)P(x,y)，則x≠±2，k1整理得x2∴曲線C的方程為x2（2）

由題意知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線l:x=my+n(n>2)，與方程x24-設(shè)Mx1,則y1+y∵點M在曲線C上，∴y∴k3又k4=y∴4x∴4x1+2∴4m2∴4m得4m∵n>2，∴4m∴n=4，∴直線l的方程為x=my+4，直線l過定點(4,0)．12．（2019·上海楊浦·上海市控江中學(xué)?？既＃┰O(shè)拋物線Γ的方程為y2=2px，其中常數(shù)p>0，F(xiàn)是拋物線(1)若直線x=3被拋物線Γ所截得的弦長為6，求p的值；(2)設(shè)A是點F關(guān)于頂點O的對稱點，P是拋物線Γ上的動點，求|PA||PF|(3)設(shè)p=2,l1、l2是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點F的直線，l1與拋物線Γ交于點A,B,l2與拋物線Γ交于點C,D【答案】(1)32(2)2；(3)y【分析】（1）可令x=3，代入拋物線方程，計算可得弦長繼而得P；（2）根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化線段比值，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系計算即可；（3）設(shè)A、B、C、【詳解】（1）由x=3可得y=±6p，由題意可知2（2）易知Fp2,0，則A如圖所示，過P作PB⊥準(zhǔn)線，垂足為B，由拋物線定義可知PF=PB，故設(shè)直線AP為y=kx+p2則|PA||PB|欲求|PA||PF|的最大值，即求cos顯然當(dāng)直線AP與拋物線相切時，α取得最大，此時其余弦最小，聯(lián)立拋物線方程y=kx+p2由直線和拋物線相切可得Δ=結(jié)合拋物線對稱性，不妨取k=1，此時α=45°，即（3）

由已知可知y2=4x，則設(shè)Ax1,則l2l1與拋物線聯(lián)立可得：k即有x1同理則有x3因為點G滿足4FG即4x-1,y故x=x可得y2則G的軌跡方程為y2BB·易錯提升1．在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，圓C:(x-2)2+(y-2)2=1，若直線l:x+y+m=0繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°A．-2,2C．-2-2,-2+2【答案】A【分析】由題意首先得出旋轉(zhuǎn)后的直線為l1:x-y+m=0【詳解】連接OP，設(shè)∠POx=θ（即以x軸正方向為始邊，OP為終邊的角），由題意對于直線l:x+y+m=0上任意一點Px,y，存在a=x2則直線l:x+y+m=0繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點Pacosθ,asin因為Pacosθ,asin設(shè)x1=asin即P1asin而圓C:(x-2)2+若直線l:x+y+m=0繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后與圓C所以圓心C2,2到直線l1:x-y+m=0的距離d=故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是求出旋轉(zhuǎn)后的直線，從而即可順利得解.2．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F，過F作圓x2+y2=A．33 B．53 C．63【答案】B【分析】設(shè)出直線l:x=my-c，與橢圓聯(lián)立然后根據(jù)幾何關(guān)系FB→=2【詳解】設(shè)直線l:x=my-c，與橢圓x2a2+y設(shè)Ax1,y1，又FB=2AF，所以y2=-2y1，代入①又直線l與圓x2+y2=b2相切，所以c得9c2=5a2，因此橢圓E的離心率故選：B．【點睛】將直線與橢圓聯(lián)立后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及幾何關(guān)系，從而求解.3．若點P既在直線l:x-y+2=0上，又在橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的左、右焦點分別為F1A．102 B．10 C．102或104 D．【答案】B【分析】過點F1、F2分別作F1N、F2M垂直直線l于點N、M，由∠F1PF2的平分線與l垂直可得【詳解】過點F1、F2分別作F1N、F2M垂直直線作∠F1PF2的平分線PH由F1F2=2，故則F1N=由PH⊥l且PH為∠F1P故∠F又F1N⊥l、F2M⊥l，故故F1由l:x-y+2=0，令y=0，則x=-2，故直線l與x軸交于點G-2,0，故NGMG=32由F1故NP=14故PF1=由橢圓定義可知，PF1+即C的長軸長為10.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于作出F1N、F2M垂直直線l于點N、M，再將∠F1PF2的平分線與l垂直這個條件轉(zhuǎn)化為4．已知直線l與橢圓x29+y23=1在第二象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點（M,N在橢圓A．π6 B．π3 C．π4【答案】A【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到x1+x2，再由條件得到E也是MN的中點，從而得到關(guān)于k,b【詳解】設(shè)l：y=kx+b（k>0，b>0），設(shè)Ax1,聯(lián)立y=kx+bx29由題意知Δ=36所以x1+x設(shè)AB的中點為E，連接OE，因為AM=BN，所以AM+又因為N-bk,0，M0,b所以E的橫坐標(biāo)為xE從而得-6kb3k2+1=-b設(shè)直線l傾斜角為θ，得tanθ=33，得θ=π故選：A.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為x1（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，注意Δ的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1（5）代入韋達(dá)定理求解.5．（多選）已知拋物線E:y2=4x的焦點為F，過點F作互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點A，B，C，D，P，Q分別為AB，CD的中點，OA．1B．OPC．若F恰好為PB的中點，則直線PQ的斜率為±D．直線PQ過定點(3,0)【答案】ABD【分析】設(shè)直線AB的方程、Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示y1+y2、y1y2，結(jié)合弦長公式計算即可判斷【詳解】A：設(shè)直線AB的方程為x=my+1(m≠0)，Ax1,聯(lián)立方程組x=my+1,y2=4x,得y2-4my-4=0所以|AB|=1+m2所以1|AB|+1B：由選項A知，x1因為P分別為AB的中點，所以P2m2所以O(shè)P?OQ=1+2m2C：P2m2+1,2m，若F為PB的中點，則所以y1=6m．所以y1所以kPQ=2m+D：當(dāng)直線PQ的斜率存在時，kPQ=mm2整理得y=mm2-1(x-3)當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，m=±1，直線PQ的方程為x=3，過點(3,0)，所以直線PQ過定點(3,0)．故D正確．故選：ABD.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為x1（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，注意Δ的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1（5）代入韋達(dá)定理求解.6．（多選）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A4,0,B0,2,C0,1，D是線段OA上的動點，點O與點PA．當(dāng)CD∥AB時，點P的坐標(biāo)為4B．OP?OAC．當(dāng)點P在直線AB上時，直線DP的方程為4x+3y-8=0D．∠OAP正弦的最大值為4【答案】ABC【分析】由題可得點P在以C為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)∠POB=θ，則P2sinθcosθ,2cos2θ，可依次判斷A,B,C選項，對D【詳解】如圖，由題意可得點P在以C為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)∠POB=θ，0<θ<π2，則對于A，當(dāng)CD//AB時，可得∠POB=θ=∠OAB，∴sinθ=55，cosθ=255對于B，OP?OA=2sinθ×對于C，當(dāng)點P在直線AB上時，可得∠POB=θ=∠OAB，此時點P的坐標(biāo)為45,直線DP與圓C:x2+y-12=1相切，所以kDP對于D，當(dāng)直線AP與圓C相切時，∠OAP正弦的最大，設(shè)直線AP的斜率為k，則直線AP的方程為y=kx-4有1=1+4kk2+1，解得k=-8所以∠OAP正弦的最大值為817，故D故選：ABC．7．（多選）已知⊙C:(x-4)2+y2=4，A,B是⊙C上的兩個動點，且AB=23.設(shè)AxA．∠ACB=B．點M的軌跡方程為(x-4)C．x1xD．x1-【答案】BC【分析】A選項，由垂徑定理得到CM=1，從而得到∠ACM=∠BCM=60°，∠ACB=2π3；B選項，由CM=