第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（二）-解析

第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（二）典例精析題型一與指數(shù)函數(shù)復(fù)合方程有解問題【例1】已知方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍解.令.因?yàn)椋?，所以，即的值域?yàn)楸绢}也可設(shè)，則，從而化為關(guān)于的方程至少有一個(gè)正根的條件．題型二運(yùn)用與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的性質(zhì)解題【例2】已知函數(shù)，則滿足的取值范圍是 (A) (B) (C) (D)解易知為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，由，可得，即，解得，故選D注意本題的關(guān)鍵是注到不等式的右邊好是，通過挖掘發(fā)現(xiàn)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，根據(jù)這兩個(gè)挖掘的性質(zhì)，再充分利用圖像的直觀性，降低了思維難度，簡化了解題過程【例3】已知函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，，關(guān)于的方程的解集不可能是（） (A) (B) (C) (D)解令，則方程可轉(zhuǎn)化為，它有，個(gè)解，則解方程，可轉(zhuǎn)化為解方程及，由的圖象（如圖48所示）關(guān)于直線對(duì)稱可知，若方程及有解，則當(dāng)時(shí)，解為，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)關(guān)于對(duì)稱的解，結(jié)合選項(xiàng)知D選項(xiàng)不符合條件，故選D．注意本題的關(guān)鍵是要挖掘出內(nèi)層函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.類型三與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題例4已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.求在上的解析式;研究的單調(diào)性;（3）求的值域.分析根據(jù)奇函數(shù)的定義寫出在上的解析式，按單調(diào)性定義求單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)的值域.解（1）當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所?又，所以(2)設(shè)，則因?yàn)?，所?.又因?yàn)?，所以，?所以在上為減函數(shù).同理,在上也為減函數(shù).（3）由（2）知在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.而，所以函數(shù)的值域?yàn)槔?已知函數(shù).利用定義判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性;（2）對(duì)于任意正數(shù)，設(shè)，，試比較與的大小，并加以證明.解（1）任取且，則.因?yàn)?，所以，則.又，則，即.所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).（2）因?yàn)?，所?.而,所以.又函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，故.注意本例第（2）題的解法是：先確定某一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；然后把要比較的兩個(gè)值通過某種變形，使之成為的兩個(gè)函數(shù)值;再根據(jù)這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性來比較這兩個(gè)值的大小.例6已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，.（1）求證：對(duì)于，恒成立;（2）求證：函數(shù)在上為增函數(shù);（3）若對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明令，有.而，所以.又，所以.當(dāng)時(shí)，，所以，從而.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.所以對(duì)于，恒成立.證明任取且，則，即.而，所以，從而有又，則有.故在上是增函數(shù).若對(duì)于，恒成立解因?yàn)?,所以對(duì)于恒成立.又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以對(duì)于恒成立，則有對(duì)對(duì)于恒成立.因?yàn)?所以的最大值為從而注意對(duì)于沒有具體函數(shù)，而僅用函數(shù)符號(hào)來表示已知條件的函數(shù)問題，通常把特殊值代入已知關(guān)系式，得到解決問題所需要的新的關(guān)系式.如本例第（2）題.在確認(rèn)，的前提下，可以用來比較與的大小基礎(chǔ)精練5指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（二）A組1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）． A． B． C． D．【答案】B2．方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）． A． B． C． D．【答案】C3．如果函數(shù)，且)在區(qū)間上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是()． A． B． C． D．【答案】B4．不等式的解集為________．【答案】．【解析】不等式，可化為．即，解得．若函數(shù)在上的最大值為，最小值為，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則______．【答案】．【解析】當(dāng)時(shí)，有，，此時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)，不合題意．若，則，，故，，檢驗(yàn)知符合題意．6．對(duì)于函數(shù)定義域中任意的，有:①；②；③；④．當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論正確的是_________(填序號(hào))．【答案】①③④7．已知函數(shù)，．當(dāng)時(shí)，有，則，的大小關(guān)系是_______．【答案】8．設(shè)是定義在上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是_______．【答案】9．根據(jù)牛頓冷卻定律，可得出公式:，其中是物體的初始溫度，是物體經(jīng)過冷卻了后的溫度，是物體周圍的溫度，為正常數(shù)．假設(shè)有一根金屬棒放入水中，如果水的溫度保持為，后金屬棒的溫度由降至．試求后金屬棒的溫度．【答案】10．已知．(1)求的定義域;（2)判斷的奇偶性，并說明理由;(3)證明:．【答案】見詳解；【解析】（1）使函數(shù)有意義滿足即，因此函數(shù)的定義域?yàn)椋?）因?yàn)樗允桥己瘮?shù)．（3）．當(dāng)時(shí)，，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以；綜上，．B組11．已知函數(shù)若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()． A． B． C． D．【答案】．【解析】當(dāng)時(shí)，，要使函數(shù)的值域?yàn)?，則需當(dāng)時(shí)，解得．12．已知函數(shù)則______，不等式的解集為_________．【答案】，．【解析】因?yàn)?，，所以．?dāng)，即時(shí)，，解得；當(dāng)，即時(shí)，，解得．綜上所述，不等式的解集為．13．設(shè)且，函數(shù)為奇函數(shù)，則_____,_____．【答案】，．【解析】由題意可知，得，即，則易知，，則函數(shù)，所以．14．設(shè)函數(shù)則_______．【答案】．【解析】．15．若關(guān)于的方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】．【解析】設(shè)，則原方程可變?yōu)椋?1\*GB3①原方程有實(shí)根，即方程=1\*GB3①有正根．令．(1)若方程=1\*GB3①有兩個(gè)正實(shí)根，，則解得(2)若方程=1\*GB3①有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根，則，解得．(3)若方程=1\*GB3①有一個(gè)根為0時(shí)，則，此時(shí)另外一個(gè)根是，符合要求．綜上，．16．已知且,，若當(dāng)時(shí),均有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】．【解析】由題知，當(dāng)時(shí)，，即．在同一坐標(biāo)系中分別作出二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)且)的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，要使指數(shù)函數(shù)的圖象均在二次函數(shù)圖象的上方，易得的邊界值為，，由圖象可知，且，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．17．設(shè)函數(shù)．（1）證明:函數(shù)是奇函數(shù);（2）證明:函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù);（3）求函數(shù)在上的值域．【答案】見詳解【解析】（1）由題意，得，即函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)．（2）設(shè)，是內(nèi)任意兩實(shí)數(shù)，且，則因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)在內(nèi)是增函數(shù)．（3）因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)是增函數(shù)，所以函數(shù)在上也是增函數(shù)，所以，．所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?8．已知函數(shù)．（1）求證:不論為何實(shí)數(shù)，總是增函數(shù);（2）確定的值，使為奇函數(shù);（3）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，求的值域．【答案】見詳解【解析】（1）的定義域?yàn)椋O(shè)，則因?yàn)?，所以，，所以，即，所以不論為何?shí)數(shù)，總為增函數(shù)．（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，解得，所以（3）由（2）知，．因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的值域?yàn)椋?9．求函數(shù)的最大值和最小值．【答案】，．【解析】令，則，轉(zhuǎn)化為求在]上的最大值和最小值．20．已知函數(shù)，．(1)判斷函數(shù)的奇偶性;(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】見詳解【解析】（1）由條件得，其定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故是奇函數(shù)（2）解法1由，得．=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，