第三講(信號(hào)與系統(tǒng))

信號(hào)與系統(tǒng)第三講基本概念主講人：王安琪郵箱：wanganqi0006@163.com3/12/20241時(shí)域基本信號(hào)d(t)導(dǎo)數(shù)積分3.0課程回顧3.0.1信號(hào)3/12/20242d(t)與普通函數(shù)f(t)的相乘及積分運(yùn)算（篩選性質(zhì)）3/12/20243d’

(t)與普通函數(shù)f(t)相乘及積分積分3/12/20244振幅：A

角頻率：頻率：f

周期：初相：頻域基本信號(hào)正弦信號(hào)3/12/20245(1)實(shí)指數(shù)信號(hào)l

指數(shù)衰減l

指數(shù)增長(zhǎng)l

直流(常數(shù))KO復(fù)頻域基本信號(hào)指數(shù)信號(hào)3/12/20246重要特性：其對(duì)時(shí)間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。單邊指數(shù)信號(hào)3/12/20247(2)虛指數(shù)信號(hào)歐拉公式3/12/20248(3)復(fù)指數(shù)信號(hào)3/12/202493/12/202410若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。3.0.2系統(tǒng)按描述方式不同，系統(tǒng)模型可以分為數(shù)學(xué)模型和圖形結(jié)構(gòu)模型；輸入輸出模型和狀態(tài)空間模型。y(?)f(?)系統(tǒng)3/12/202411系統(tǒng)的輸入輸出描述(1)激勵(lì)與響應(yīng)f(?)y(?)含義1：輸入以t?、k?為界將f(?)區(qū)分為歷史輸入f?(?)和激勵(lì)（當(dāng)前輸入）f?(?)：系統(tǒng)含義2：響應(yīng)從開始觀察系統(tǒng)響應(yīng)。f(?)系統(tǒng)3/12/202412(2)連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出描述解析描述--建立微分方程框圖描述數(shù)乘器：加法器：積分器：3/12/202413(3)離散系統(tǒng)輸入輸出描述解析描述--建立差分方程y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)框圖描述移位器：加法器：數(shù)乘器：3/12/202414系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述除與外部變量f(?)和y(?)有關(guān)外還涉及內(nèi)部變量x(?)—狀態(tài)變量。描述方程由狀態(tài)方程和輸出方程組成。系統(tǒng)響應(yīng)：完全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程：一階微分方程組輸出方程：代數(shù)方程組離散系統(tǒng)狀態(tài)方程：一階差分方程組輸出方程：代數(shù)方程組3/12/202415

若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)也是連續(xù)信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為連續(xù)系統(tǒng)?？梢詮亩喾N角度來(lái)觀察、分析研究系統(tǒng)的特性，提出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類的方法。

若系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)均是離散信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為離散系統(tǒng)。

3.1系統(tǒng)的性質(zhì)及分類3.1.1連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)3/12/202416若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過(guò)去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無(wú)記憶系統(tǒng)。單輸入輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)具有單個(gè)輸入和輸出；多輸入輸出系統(tǒng)：系統(tǒng)具有多個(gè)輸入和輸出。3.1.2動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)3.1.3單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)3/12/202417(1)線性性質(zhì)滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。3.1.4線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)所引起的響應(yīng)y(·)可簡(jiǎn)記為

y(·)=T[f(·)]若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)f1(·)與f2(·)共同作用時(shí)的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)之和，即

T

[f1(·)，f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]則稱該系統(tǒng)具有疊加性。線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和疊加性。若系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)增大a倍時(shí)，其響應(yīng)y(·)也增大a倍，即T

[af

(·)]=aT

[f(·)]，則稱該系統(tǒng)具有齊次性。3/12/202418若系統(tǒng)既有齊次性又有疊加性，就稱該系統(tǒng)具有線性性質(zhì)，即T[af1(·),bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)](2)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：可分解性y

(·)=yx(·)+yf(·)=T[{x

(0)},{0}]+T[{0}，{f(?)}]狀態(tài)方程與輸出方程是無(wú)關(guān)的，即可分解的。3/12/202419零輸入線性或T[{ax1(0),bx2(0)},{0}]=aT[{x1(0)},{0}]+bT[{x2(0)},{0}]狀態(tài)方程既有齊次性又有疊加性。齊次性疊加性T[{ax(0)},{0}]=aT[{x(0)},{0}]T[{x1(0),x2(0)},{0}]=T[{x1(0)},{0}]+T[{x2(0)},{0}]齊次性疊加性3/12/202420

T[{0},{af

(·)}]=aT[{0},{f

(·)}]T[{0},{f1(t),f2(t)}]=T[{0},{f1

(·)}]+T[{0},{f2

(·)}]零狀態(tài)線性或T[{0},{af1(t),bf2(t)}]=aT[{0},{f1

(·)}]+bT[{0},{f2

(·)}]輸入方程既有齊次性又有疊加性。齊次性疊加性齊次性疊加性3/12/202421例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）yf(t)=2f

(t)+1，yx(t)=3x(0)+1，顯然y

(t)≠yf(t)＋yx(t)不滿足可分解性，故為非線性。（2）yf(t)=|f

(t)|，

yx(t)=2x(0)，由于

y

(t)=yf(t)+yx(t)滿足可分解性；但是T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayf(t)不滿足零狀態(tài)線性，故為非線性系統(tǒng)。（3）yf(t)=2f

(t),yx(t)=x2(0)，滿足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayx(t)不滿足零輸入線性，故為非線性系統(tǒng)。實(shí)例應(yīng)用3/12/202422例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yf(t)+yx(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。3/12/202423直觀判斷方法：方程中均為狀態(tài)、輸入函數(shù)(信號(hào))的線性關(guān)系，則為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)3/12/2024243.1.5時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)(1)時(shí)不變性質(zhì)若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間，即若T[{0}，f(t)]=yf(t)則有T[{0}，f(t-td)]=yf(t

-td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時(shí)不變性質(zhì)（或移位不變性）。(2)時(shí)不變/時(shí)變系統(tǒng)

具有時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)，否則稱為時(shí)變系統(tǒng)。3/12/202425例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yf

(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）

yf

(t)=tf

(t)

（3）yf(t)=f

(–t)解：(1)令g

(k)=f(k–kd)T[{0}，g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd

–1)而yf

(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd

–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yf

(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。

(2)令g

(t)=f(t–td)T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yf

(t–td)=(t–td)f

(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf

(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。實(shí)例應(yīng)用3/12/202426(3)令g

(t)=f(t–td),T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yf

(t–td)=f

[–(t–td)]，顯然

T[{0}，f(t–td)]≠yf

(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。直觀判斷方法：若f

(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yf

(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）

yf

(t)=tf

(t)

（3）yf(t)=f

(–t)f

(·)3/12/202427例：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時(shí)不變？并寫出方程的階數(shù)。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k–1)=f(1–k)+1解：判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項(xiàng)，則是線性系統(tǒng)。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無(wú)翻轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時(shí)不變系統(tǒng)。線性、時(shí)變，一階非線性、時(shí)不變，二階非線性、時(shí)變，一階本課程重點(diǎn)討論線性時(shí)不變系統(tǒng)(LinearTime-Invariant)，簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng)。3/12/202428若f(t)→yf(t)，則f’(t)→y’f(t)(3)LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性微分特性若f(t)→yf(t)，則積分特性3/12/202429如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yf(t)=3f(t-1)而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：(1)yf(t)=2f(t+1)(2)yf(t)=f(2t)因?yàn)?，令t=1時(shí)，有yf(1)=2f(2)因?yàn)?，若f(t)=0，t<t0

，有yf(t)=f(2t)=0,t<0.5t0

。3.1.6因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)即輸入的響應(yīng)不可能在此輸入到達(dá)的時(shí)刻之前出現(xiàn)的系統(tǒng)；也就是說(shuō)系統(tǒng)的輸出僅與當(dāng)前和過(guò)去的輸入有關(guān)，而與將來(lái)的輸入無(wú)關(guān)的系統(tǒng)。3/12/202430判定方法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：t=t1時(shí)刻的輸出y(t1)只取決于t<=t1時(shí)刻的輸入f(t<=t1)。離散時(shí)間系統(tǒng)：n=n1時(shí)刻的輸出y(n1)只取決于n<=n1時(shí)刻的輸入f(n<=n1)。線性時(shí)不變系統(tǒng)3/12/202431例某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，全響應(yīng)

y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)

y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3f(t)。解設(shè)當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1x(t)、y1f(t)；當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2x(t)、y2f(t)。3/12/202432由題中條件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得

y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào)f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改寫成

y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)（4）3/12/202433f1(t)→y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性f1(t–1)→y1f(t–1)={–4+cos[π(t–1)]}ε(t–1)由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入f3(t)=+2f1(t–1)時(shí)，y3f(t)=+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)+2{–4+cos[π(t–1)]}ε(t–1)3/12/202434一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如yf(k)=f(k)+f(k-1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而是不穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，?dāng)f(t)=ε(t)有界，當(dāng)t→∞時(shí)，它也→∞，無(wú)界。3.1.7穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)3/12/202435離散系統(tǒng)—Z域法（chp7)系統(tǒng)分析的基本問(wèn)題：如何描述系統(tǒng)；對(duì)給定的系統(tǒng)，如何求出激勵(lì)作用下的響應(yīng)。具體地說(shuō)：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出該方程的解。

系統(tǒng)的分析方法：輸入輸出法（外部法）狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）（chp.8)外部法時(shí)域法（chp.2,chp.5)變換域法連續(xù)系統(tǒng)—頻域法(chp3)和S域法(chp4)3.2系統(tǒng)分析的基本思路3.2.1系統(tǒng)分析的基本問(wèn)題和方法3/12/202436

LTI系統(tǒng)分析的理論基礎(chǔ)是信號(hào)的分解特性和系統(tǒng)的線性、時(shí)不變特性。（1）把零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開求。（2）把復(fù)雜信號(hào)分解為眾多基本信號(hào)之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性：多個(gè)基本信號(hào)作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個(gè)基本信號(hào)所引起的響應(yīng)之和。求解的基本思路：采用的數(shù)學(xué)工具：（1）卷積積分與卷積和（2）傅里葉變換（3）拉普拉斯變換（4）Z變換3.2.2LTI系統(tǒng)的分析思路3/12/202437信號(hào)與系統(tǒng)是為完成某一特定功能而相互作用、不可分割的統(tǒng)一整體。3.3信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法信號(hào)特性系統(tǒng)特性匹配3/12/2024383.3.1信號(hào)分析信號(hào)分析研究信號(hào)的描述、運(yùn)算、特性以及信號(hào)發(fā)生某些變化時(shí)其特性的相應(yīng)變化。信號(hào)分析的基本目的是揭示信號(hào)自身的特性，例如確定信號(hào)的時(shí)域特性與頻域特性，隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性等。實(shí)現(xiàn)信號(hào)分析的主要途徑是研究信號(hào)的分解，即將一般信號(hào)分解成眾多基本信號(hào)單元的線性組合，通過(guò)研究這些基本信號(hào)單元在時(shí)域或變換域的分布規(guī)律來(lái)達(dá)到了解信號(hào)特性的目的。由于信號(hào)的分解可以在時(shí)域進(jìn)行，也可以在頻域或復(fù)頻域進(jìn)行，因此信號(hào)分析的方法也有時(shí)域方法、頻域方法和復(fù)頻域方法。3/12/202439(1)時(shí)域分析在信號(hào)的時(shí)域分析中，采用單位沖激信號(hào)δ(t)或單位脈沖序列δ(k)作為基本信號(hào)，將連續(xù)時(shí)間信號(hào)表示為δ(t-τ)的加權(quán)積分，將離散時(shí)間信號(hào)表示為δ(k-i)的加權(quán)和，它們分別是一種特殊的卷積積分運(yùn)算與卷積和運(yùn)算。這里，通過(guò)基本信號(hào)單元的加權(quán)值隨變量t(或k)的變化直接表征信號(hào)的時(shí)域特性。3/12/202440在信號(hào)的頻域分析中，采用虛指數(shù)信號(hào)ejωt或ejΩk作為基本信號(hào)，將連續(xù)時(shí)間(或離散時(shí)間)信號(hào)表示為ejωt

(或ejΩk)的加權(quán)積分(或加權(quán)和)。這就導(dǎo)致了傅里葉分析的理論和方法。這里，通過(guò)各基本信號(hào)單元振幅(或振幅密度)、相位隨頻率的變化(即信號(hào)的頻譜)來(lái)反映信號(hào)的頻域特性。(2)頻域分析(3)復(fù)頻域分析在復(fù)頻域分析信號(hào)時(shí)，則采用復(fù)指數(shù)信號(hào)est(s=σ+jω)或zk(z=rejθ)作為基本信號(hào)，將連續(xù)時(shí)間(或離散時(shí)間)信號(hào)表示為est(或zk)的加權(quán)積分(或加權(quán)和)，相應(yīng)導(dǎo)出了拉普拉斯變換與Z變換的理論和方法。3/12/202441系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是分析給定系統(tǒng)在激勵(lì)作用下產(chǎn)生的響應(yīng)。其分析過(guò)程包括建立系統(tǒng)模型；用數(shù)學(xué)方法求解由系統(tǒng)模型建立的系統(tǒng)方程，求得系統(tǒng)的響應(yīng)。必要時(shí)，對(duì)求解結(jié)果給出物理解釋，賦予一定的物理意義。就本書所研究的LTI系統(tǒng)而言，由輸入輸出模型建立的系統(tǒng)方程是一個(gè)線性常系數(shù)的微分方程或差分方程；由狀態(tài)空間模型建立的狀態(tài)方程是一階線性微分方程組或差分方程組，輸出方程是一組代數(shù)方程。3.3.2系統(tǒng)分析3/12/202442在系統(tǒng)方程或系統(tǒng)輸出響應(yīng)的求解方面，按照系統(tǒng)理論，一般先求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)；然后將它們疊加，得到系統(tǒng)的完全響應(yīng)。設(shè)系統(tǒng)的初始觀察時(shí)刻t0=0，如果將系統(tǒng)的初始狀態(tài)看成另一種歷史輸入信號(hào)，那么，零輸入響應(yīng)yx(t)(t≥0)是歷史輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)后在t時(shí)刻所產(chǎn)生的響應(yīng)；而零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)(t≥0)是［0,t］區(qū)間的當(dāng)前輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)后在t時(shí)刻所產(chǎn)生的響應(yīng)。就系統(tǒng)分析方法而言，兩者沒有本質(zhì)上的差別。所以，系統(tǒng)分析問(wèn)題可以歸結(jié)為系統(tǒng)在當(dāng)前輸入作用下其零狀態(tài)響應(yīng)的求解問(wèn)題，也就是松弛系統(tǒng)在激勵(lì)作用下輸出響應(yīng)的求解問(wèn)題。(1)系統(tǒng)方程3/12/202443分析LTI松弛系統(tǒng)的基本思想是先將激勵(lì)信號(hào)分解為眾多基本信號(hào)單元的線性組合，求出各基本信號(hào)單元通過(guò)系統(tǒng)后產(chǎn)生的響應(yīng)分量，再將這些響應(yīng)分量疊加起來(lái)得到系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。與信號(hào)分析類似，系統(tǒng)分析也有相應(yīng)的時(shí)域分析法、頻域分析法和復(fù)頻域分析法。(2)基本思想3/12/202444(3)時(shí)域分析在LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析中，將輸入信號(hào)f(t)分解成沖激信號(hào)(或脈沖序列)單元的線性組合，只要求出基本信號(hào)δ(t)［或δ(k)］作用下系統(tǒng)的響應(yīng)，就可根據(jù)系統(tǒng)的線性和時(shí)不變特性確定各沖激信號(hào)(或脈沖序列)單元作用下系統(tǒng)的響應(yīng)分量，再將這些響應(yīng)分量疊加求得系統(tǒng)在f(t)激勵(lì)下的輸出響應(yīng)。這就產(chǎn)生了系統(tǒng)響應(yīng)的卷積積分和卷積和計(jì)算方法。3/12/202445(4)頻域分析在頻域分析中，把輸入信號(hào)f(t)分解為虛指數(shù)信號(hào)(ejωt或ejΩk)單元的線性組合，只要求出基本信號(hào)ejωt(或ejΩk)作用下系統(tǒng)的響應(yīng)，再由系統(tǒng)的線性、時(shí)不變特性確定各虛指數(shù)信號(hào)單元作用下系統(tǒng)的響應(yīng)分量，并將這些響應(yīng)分量疊加，便可求得f(t)激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)，這就是傅里葉分析的思想。3/12/202446在復(fù)頻域分析中，用復(fù)指數(shù)信號(hào)est或zk作為基本信號(hào)，將輸入f(t)(或f(k))分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)單元的線性組合，其系統(tǒng)響應(yīng)表示為各復(fù)指數(shù)信號(hào)單元作用下相應(yīng)輸出的疊加，這就是應(yīng)用拉普拉斯變換和Z變換的系統(tǒng)分析方法。(5)復(fù)頻域分析3/12/2024473.4卷積積分3.4.1卷積的定義3/12/2024483.4.2卷積的圖解機(jī)理用圖形方式理解卷積運(yùn)算過(guò)程，包括以下5個(gè)步驟：3/12/2024493/12/2024503.4.3卷積的性質(zhì)(1)卷積代數(shù)滿足乘法的三律：交換律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.結(jié)合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]3/12/202451(2)f(t)與奇異信號(hào)的卷積1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)

證：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)

證：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)3/12/202452(3)卷積的微分與積分1.證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)3/12/202453實(shí)例應(yīng)用例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得

f2(t)*f1(t)=注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0顯然是錯(cuò)誤的。例2：f1(t)如圖,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1